📒 Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Монография (2-е изд., перераб. и доп.) [2005] Потапов А.А.
💾 Скачать книгу
В основу изложения положен общий подход, опирающийся на идеи фрактальной геометрии, дробного интегродифференцирования и размерностей дробного порядка. Представлены материалы о недифференцируемых функциях и множествах, о разнообразных типах фрактальных антенн. Отдельная глава посвящена результатам исследований по созданию новых информационных технологий с использованием текстурных и фрактальных мер на основе синергетических принципов нелинейной динамики.
#физика #радиолокация #радиофизика #электродинамика #фракталы
💾 Скачать книгу
В основу изложения положен общий подход, опирающийся на идеи фрактальной геометрии, дробного интегродифференцирования и размерностей дробного порядка. Представлены материалы о недифференцируемых функциях и множествах, о разнообразных типах фрактальных антенн. Отдельная глава посвящена результатам исследований по созданию новых информационных технологий с использованием текстурных и фрактальных мер на основе синергетических принципов нелинейной динамики.
#физика #радиолокация #радиофизика #электродинамика #фракталы
fern.gif
19.1 MB
🌿 Фрактальный папоротник, созданный благодаря игре хаоса. Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) могут быть воссозданы через систему повторяющихся функций.
Папоротник Барнсли — фрактал, названый в честь британского математика Майкла Барнсли, впервые описан в его книге "Фракталы повсюду" (eng. Fractals Everywhere). Папоротник Барнсли — это базовый пример множества самоподобия, т.е. математического объекта, совпадающего с частью себя. Папоротник Барнсли использует четыре аффинных преобразования.
💡 Physics.Math.Code
#хаос #фракталы #физика #математика #math #physics #рекурсия #программирование
Папоротник Барнсли — фрактал, названый в честь британского математика Майкла Барнсли, впервые описан в его книге "Фракталы повсюду" (eng. Fractals Everywhere). Папоротник Барнсли — это базовый пример множества самоподобия, т.е. математического объекта, совпадающего с частью себя. Папоротник Барнсли использует четыре аффинных преобразования.
💡 Physics.Math.Code
#хаос #фракталы #физика #математика #math #physics #рекурсия #программирование
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
🔺 Так выглядит фрактал
Сложно перечислить все сферы деятельности, в которых применяются фракталы. Их кажущаяся сложность обманчива: все фракталы состоят из простейших фигур. В разных масштабах каждый элемент фрактала подобен друг другу. Одними из первых с фракталами столкнулись картографы, пытавшиеся точно воспроизвести линию морских побережий и убедившиеся в том, что для этого нужны бесконечные измерения.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы
Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.
💡 Physics.Math.Code
Сложно перечислить все сферы деятельности, в которых применяются фракталы. Их кажущаяся сложность обманчива: все фракталы состоят из простейших фигур. В разных масштабах каждый элемент фрактала подобен друг другу. Одними из первых с фракталами столкнулись картографы, пытавшиеся точно воспроизвести линию морских побережий и убедившиеся в том, что для этого нужны бесконечные измерения.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы
Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.
💡 Physics.Math.Code
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
🔺 Так выглядит фрактал
Сложно перечислить все сферы деятельности, в которых применяются фракталы. Их кажущаяся сложность обманчива: все фракталы состоят из простейших фигур. В разных масштабах каждый элемент фрактала подобен друг другу. Одними из первых с фракталами столкнулись картографы, пытавшиеся точно воспроизвести линию морских побережий и убедившиеся в том, что для этого нужны бесконечные измерения.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы
Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.
💡 Physics.Math.Code
Сложно перечислить все сферы деятельности, в которых применяются фракталы. Их кажущаяся сложность обманчива: все фракталы состоят из простейших фигур. В разных масштабах каждый элемент фрактала подобен друг другу. Одними из первых с фракталами столкнулись картографы, пытавшиеся точно воспроизвести линию морских побережий и убедившиеся в том, что для этого нужны бесконечные измерения.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы
Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.
💡 Physics.Math.Code
Fractals_Everywhere,_Second_Edition_2000_Michael_F_Barnsley.pdf
16.4 MB
📘 Fractals Everywhere, Second Edition [2000] Michael F. Barnsley
This volume is the second edition of the highly successful Fractals Everywhere. The Focus of this text is how fractal geometry can be used to model real objects in the physical world. This edition of Fractals Everywhere is the most up-to-date fractal textbook available today.Fractals Everywhere may be supplemented by Michael F. Barnsley's Desktop Fractal Design System (version 2.0) with IBM for Macintosh software. The Desktop Fractal Design System 2.0 is a tool for designing Iterated Function Systems codes and fractal images, and makes an excellent supplement to a course on fractal geometry * A new chapter on recurrent iterated function systems, including vector recurrent iterated function systems.* Problems and tools emphasizing fractal applciations.* An all-new answer key to problems in the text, with solutions and hints. #фракталы #геометрия #математика #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
This volume is the second edition of the highly successful Fractals Everywhere. The Focus of this text is how fractal geometry can be used to model real objects in the physical world. This edition of Fractals Everywhere is the most up-to-date fractal textbook available today.Fractals Everywhere may be supplemented by Michael F. Barnsley's Desktop Fractal Design System (version 2.0) with IBM for Macintosh software. The Desktop Fractal Design System 2.0 is a tool for designing Iterated Function Systems codes and fractal images, and makes an excellent supplement to a course on fractal geometry * A new chapter on recurrent iterated function systems, including vector recurrent iterated function systems.* Problems and tools emphasizing fractal applciations.* An all-new answer key to problems in the text, with solutions and hints. #фракталы #геометрия #математика #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Barnsley fern.gif
19.1 MB
🌿 Папоротник Барнсли — это фрактал, названный в честь британского математика Майкла Барнсли, который впервые описал его в своей книге Фракталы повсюду. Папоротник является одним из основных примеров самоподобных множеств, т. е. это математически сгенерированный узор, который может быть воспроизведен при любом увеличении или уменьшении. Как и треугольник Серпинского, папоротник Барнсли показывает, как графически красивые структуры могут быть построены на основе повторяющегося использования математических формул с помощью компьютеров.
Хотя папоротник Барнсли теоретически можно нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, количество необходимых итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Множество различных компьютерных моделей папоротника Барнсли пользуются популярностью у современных математиков. Пока математика правильно запрограммирована с использованием матрицы констант Барнсли, будет получаться одна и та же форма папоротника. #нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Хотя папоротник Барнсли теоретически можно нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, количество необходимых итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Множество различных компьютерных моделей папоротника Барнсли пользуются популярностью у современных математиков. Пока математика правильно запрограммирована с использованием матрицы констант Барнсли, будет получаться одна и та же форма папоротника. #нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
z ₙ ₊ ₁ = z ₙ ² + C при z₀ = 0 задаёт ограниченную последовательность. Иными словами, это множество таких c, для которых существует такое действительное R, что неравенство |z ₙ| < R выполняется при всех натуральных n. Определение и название принадлежат французскому математику Адриену Дуади, в честь математика Бенуа Мандельброта.
Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.
Множество Мандельброта находит применение для анализа возникновения турбулентности в физике плазмы и термодинамике, развития бифуркаций и т. д.
Дауди и Хаббард доказали, что множество Мандельброта является связным, хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части. Связность множества Мандельброта следует из того, что оно является пересечением вложенных связных компактных множеств.
Однако неизвестно, является ли оно локально связным. Эта известная гипотеза в комплексной динамике получила название MLC (англ. Mandelbrot locally connected). Многие математики прилагают усилия к её доказательству. Жан-Кристоф Иокко (Jean-Christophe Yoccoz) доказал, что гипотеза верна во всех точках с конечной ренормализацией, затем многие другие математики доказывали справедливость гипотезы во многих отдельных точках множества Мандельброта, но общая гипотеза остается недоказанной.
Мицухиро Шишикура (Mitsuhiro Shishikura) доказал, что размерность Хаусдорфа границы множества Мандельброта равна 2. Но остается неизвестным ответ на вопрос, имеет ли граница множества Мандельброта положительную меру Лебега на плоскости.
Число итераций для любой точки в построении множества очень близко к логарифму электрического потенциала, который возникает, если зарядить множество Мандельброта. #математика #math #gif #animation #geometry #фракталы #тфкп
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
fern.gif
19.1 MB
🌿 Папоротник Барнсли — это фрактал, названный в честь британского математика Майкла Барнсли, который впервые описал его в своей книге Фракталы повсюду. Папоротник является одним из основных примеров самоподобных множеств, т. е. это математически сгенерированный узор, который может быть воспроизведен при любом увеличении или уменьшении. Как и треугольник Серпинского, папоротник Барнсли показывает, как графически красивые структуры могут быть построены на основе повторяющегося использования математических формул с помощью компьютеров.
Хотя папоротник Барнсли теоретически можно нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, количество необходимых итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Множество различных компьютерных моделей папоротника Барнсли пользуются популярностью у современных математиков. Пока математика правильно запрограммирована с использованием матрицы констант Барнсли, будет получаться одна и та же форма папоротника. #нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Хотя папоротник Барнсли теоретически можно нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, количество необходимых итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Множество различных компьютерных моделей папоротника Барнсли пользуются популярностью у современных математиков. Пока математика правильно запрограммирована с использованием матрицы констант Барнсли, будет получаться одна и та же форма папоротника. #нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]
Возможно вы не знаете этого, но фракталы, подобно воздуху которым вы дышите, всегда находятся рядом с нами. Их нерегулярные повторяющиеся формы обнаруживаются в плывущих облаках, ветвях деревьев, форме кочанов капусты брокколи, скалистых горных пиках, даже в сердечном ритме. В этом фильме NOVA отправляет своего зрителя в захватывающее приключение вместе с группой безумных математиков, задавшихся целью найти законы, управляющие геометрией фракталов.
Столетиями фрактало-подобные формы считались находящимися за пределами математического понимания. Сегодня математики наконец-то начали наносить на карту эту неизведанную страну. Эта потрясающая находка дала нам более глубокое понимание природы и позволила раздвинуть границы доступного для наших научных, медицинских и художественных возможностей, от понимания экологии тропических лесов до изобретения новых покроев модной одежды. Этот фильм рассказывает о дизайнерах одежды, специалистах по спецэффектам, физиках и исследователях, которым удалось добиться успеха благодаря использованию фрактальной геометрии.
#нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Страна: США, PBS Nova
Режиссер: Michael Schwarz, Bill Jersey / Михаэль Шварц, Билл Джерси
Возможно вы не знаете этого, но фракталы, подобно воздуху которым вы дышите, всегда находятся рядом с нами. Их нерегулярные повторяющиеся формы обнаруживаются в плывущих облаках, ветвях деревьев, форме кочанов капусты брокколи, скалистых горных пиках, даже в сердечном ритме. В этом фильме NOVA отправляет своего зрителя в захватывающее приключение вместе с группой безумных математиков, задавшихся целью найти законы, управляющие геометрией фракталов.
Столетиями фрактало-подобные формы считались находящимися за пределами математического понимания. Сегодня математики наконец-то начали наносить на карту эту неизведанную страну. Эта потрясающая находка дала нам более глубокое понимание природы и позволила раздвинуть границы доступного для наших научных, медицинских и художественных возможностей, от понимания экологии тропических лесов до изобретения новых покроев модной одежды. Этот фильм рассказывает о дизайнерах одежды, специалистах по спецэффектам, физиках и исследователях, которым удалось добиться успеха благодаря использованию фрактальной геометрии.
#нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть
Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.
▪️ В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
▪️ Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.
▪️ Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
▪️ Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
▪️ Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]
#нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
0:00 — Ковёр Серпинского
0:16 — Дерево Пифагора
0:32 — Дерево Пифагора (версия 2)
0:46 — Красивый фрактал из окружностей
1:10 — Кривая дракона
1:30 — Папоротник Барнсли
1:47 — Вопрос из игры «Что? Где? Когда?»
2:00 — Снежинка Коха
2:10 — Треугольник Серпинсого
2:23 — Множество Кантора
2:40 — Кривая Гильберта
2:50 — Множество Мандельброта
3:15 — Фрактал на основе центроида
Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.
▪️ В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
▪️ Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.
▪️ Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
▪️ Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
▪️ Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]
#нелинейная_динамика #теория_хаоса #математика #дискретная_математика #math #gif #фракталы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
🔺 Так выглядит фрактал
Сложно перечислить все сферы деятельности, в которых применяются фракталы. Их кажущаяся сложность обманчива: все фракталы состоят из простейших фигур. В разных масштабах каждый элемент фрактала подобен друг другу. Одними из первых с фракталами столкнулись картографы, пытавшиеся точно воспроизвести линию морских побережий и убедившиеся в том, что для этого нужны бесконечные измерения.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы
Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Сложно перечислить все сферы деятельности, в которых применяются фракталы. Их кажущаяся сложность обманчива: все фракталы состоят из простейших фигур. В разных масштабах каждый элемент фрактала подобен друг другу. Одними из первых с фракталами столкнулись картографы, пытавшиеся точно воспроизвести линию морских побережий и убедившиеся в том, что для этого нужны бесконечные измерения.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы
Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib