39. Пусть задана непрерывная функция f, которая переводит отрезок [0,1] в отрезок [0,1]. Докажите, что существует x, такой что f(x)=x.

#олмат
#11класс

90. Сфера касается 99 рёбер некоторой выпуклой 50-угольной пирамиды. Обязательно ли тогда она касается и 100-го ребра этой пирамиды?

#олмат
#стереометрия
#11класс

103. Докажите, что ряд 1 +1/2 +1/3+1/4... расходится (т.е. эта бесконечная сумма больше любого наперед заданного числа).

#олмат
#11класс
#матан

112. Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина -- отрицательна. Каково наибольшое возможное количество положительных произведений?

#олмат
#11класс
#комбинаторика

122. В стаде пасётся 101 корова. Каждая из них весит целое число килограммов. Известно, что если выбрать любые 100 коров, то их можно разделить на две группы по 50 коров так, что суммарный вес коров в первой группе равен суммарному весу коров во второй. Докажите, что все коровы весят одинаково.

#олмат
#системауравнений
#тч
#11класс