274. В компании из n человек есть "шпион" - человек, который знает всех, но его не знает никто. Вы можете спросить любого человека из компании про любого другого человека, знает ли он его или нет, и получить честный ответ. За какое наименьшее число вопросов можно найти "шпиона" в этой компании?
#олмат
#оценкаплюспример
#олмат
#оценкаплюспример
277. Шеренга новобранцев стоит перед старшиной. Старшина командует: нале-ВО! Но по неопытности часть солдат поворачивается налево, а часть — направо. После этого каждую секунду происходит вот что: солдаты, оказавшиеся друг к другу лицом, понимают, что произошла ошибка, и оба поворачиваются кругом. Требуется доказать, что рано или поздно повороты прекратятся (при любом числе солдат и при любом их положении после команды).
#олмат
#олмат
278. Доску 8×8 покрасили в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 присутствуют все цвета. Докажите, что все угловые клетки таблицы покрашены в разные цвета.
#олмат
#раскраски
#олмат
#раскраски
282. (Ханойские башни) Eсть три стержня и n колец разного размера (изначально все кольца на одном стержне). Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Докажите, что для любого n можно всю башню переложить с одного стержня на другой.
#олмат
#бессмертнаяклассика
#олмат
#бессмертнаяклассика
284. На бесконечной плоскости расположены фишка-волк и 2000 фишек-овец. Двое ходят по очереди: один игрок передвигает волка, а другой одну из овец. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции, волк поймает хотя бы одну овцу?
#олмат
#матигры
#олмат
#матигры
286. На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого были ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода. Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?
#олмат
#всерос
#9класс
#олмат
#всерос
#9класс
289. (Окружность девяти точек) Докажите, что середины сторон произвольного треугольника, основания высот, и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, и что центр этой окружности находится в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности.
#олмат
#геом
#бессмертнаяклассика
#олмат
#геом
#бессмертнаяклассика