​​​274. В компании из n человек есть "шпион" - человек, который знает всех, но его не знает никто. Вы можете спросить любого человека из компании про любого другого человека, знает ли он его или нет, и получить честный ответ. За какое наименьшее число вопросов можно найти "шпиона" в этой компании?

#олмат
#оценкаплюспример

275. В дебатах участвовали 9 кандидатов. Каждый заявил: "Кандидат, чей номер равен последней цифре квадрата моего номера — рыцарь". Выяснилось, что среди них были рыцари, но их было не более трех. Кто из них кто?

#логика

276. Докажите, что если отразить ортоцентр (точка пересечения высот в треугольнике) относительно стороны или середины стороны, то он попадет на описанную окружность треугольника.

#олмат
#геом

​​277. Шеренга новобранцев стоит перед старшиной. Старшина командует: нале-ВО! Но по неопытности часть солдат поворачивается налево, а часть — направо. После этого каждую секунду происходит вот что: солдаты, оказавшиеся друг к другу лицом, понимают, что произошла ошибка, и оба поворачиваются кругом. Требуется доказать, что рано или поздно повороты прекратятся (при любом числе солдат и при любом их положении после команды).

#олмат

278. Доску 8×8 покрасили в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 присутствуют все цвета. Докажите, что все угловые клетки таблицы покрашены в разные цвета.

#олмат
#раскраски

279. В строке написано несколько минусов. Двое по очереди исправляют один или два соседних минуса на плюс. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

280. Докажите, что число 100! не является полным квадратом.

#олмат
#тч
#бессмертнаяклассика

281. Сложили числа 9, 99, 999, …, 99…99 (20 девяток). Сколько единиц в записи получившейся суммы?

#олмат
#7класс

​​282. (Ханойские башни) Eсть три стержня и n колец разного размера (изначально все кольца на одном стержне). Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Докажите, что для любого n можно всю башню переложить с одного стержня на другой.

#олмат
#бессмертнаяклассика

​283. В шахматном турнире участвовало 10 человек. Турнир проходил в 4 круга. В одном круге каждый человек играл со всеми другими (победа - 1 очко, ничья 0.5 очков, проигрыш - 0 очков). Какая наибольшая разница очков могла быть между двумя соседними игроками после окончания турнира?

#олмат
#турниры

​284. На бесконечной плоскости расположены фишка-волк и 2000 фишек-овец. Двое ходят по очереди: один игрок передвигает волка, а другой одну из овец. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции, волк поймает хотя бы одну овцу?

#олмат
#матигры

285. Сумма нескольких натуральных чисел равна 20. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел.

#олмат
#алгебра

286. На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого были ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода. Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

#олмат
#всерос
#9класс

287. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x²–3x+1)¹⁰⁰ после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

#олмат
#алгебра

288. Найдите все натуральные n и m, для которых выполняется равенство: m!+12=n².

#олмат
#тч

​​289. (Окружность девяти точек) Докажите, что середины сторон произвольного треугольника, основания высот, и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, и что центр этой окружности находится в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности.

#олмат
#геом
#бессмертнаяклассика

290. В строке 2, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 4 каждое из чисел от 1 до 4 встречается дважды, и количество запятых между одинаковыми числами равно этому числу. А можно ли записать такую строку для чисел от 1 до 2018?

#олмат
#7класс

​291. Паук и муха бегают по прямой. Известно, что скорость паука в двое больше скорости мухи. Но паук слепой и не видит муху, если только не находится с ней в одной точке. Верно ли, что паук всегда сможет догнать и съесть муху, где бы она ни находилась в начальный момент?

#олмат
#матигры

292. Функция f(x) непрерывна и задана на всей оси. Известно, что уравнение f(f(x))=x имеет решение. Докажите, что уравнение f(x)=x также имеет решение.

#олмат
#матан
#алгебра

293. Докажите, что у любого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон.

#олмат
#стереом

​​294. Группа туристов делит печенье. Если они разделят поровну две одинаковые пачки, останется одно лишнее печенье. А если разделят поровну три такие же пачки, останется 13 лишних печений. Сколько туристов в группе?

#олмат
#ммо
#7класс