67. Дана таблица 8*8 в которой записаны числа от 1 до 64 (см. рис.). Закрашиваются 8 клеток так, что в каждой горизонтали и в каждой вертикали - ровно одна закрашенная клетка. Докажите, что сумма чисел, записанная в этих 8 клетках, не зависит от набора закрашенных клеток.

#олмат
#9класс
#алгебра
#комбинаторика

71. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло быть выложено?

#олмат
#7класс
#комбинаторика

81. В классе 28 учеников. На уроке программирования они делятся на 3 группы. На уроке английского они делятся тоже на 3 группы(возможно, по-другому) и на уроке физкультуры ученики разбиваются на 3 группы каким-то способом. Докажите, что найдутся хотя бы два ученика, которые на всех трех занятиях находятся друг с другом в одной группе.

#олмат
#9класс
#комбинаторика

82. Найдите сумму цифр всех чисел от 1 до 1000000.

#олмат
#10класс
#комбинаторика

87. Докажите следующее свойство биномиальных коэффициентов:

#олмат
#комбинаторика
#10класс

97. Сколько чисел от 1 до 1000000, которые не являются ни квадратами, ни кубами, ни четвертыми степенями?

#олмат
#9класс
#комбинаторика

109. Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

#олмат
#комбинаторика
#9класс

112. Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина -- отрицательна. Каково наибольшое возможное количество положительных произведений?

#олмат
#11класс
#комбинаторика

121. Возможна ли такая компания, в которой у каждого человека ровно 10 друзей, а у каждой пары человек ровно 4 общих друга?

#олмат
#комбинаторика
#9класс

203. Сколькими способами можно выложить в ряд 5 красных, 5 синих и 5 зелёных шаров, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом? Тот же вопрос, если шарики выкладываются не в ряд, а по кругу.

#олмат
#8класс
#комбинаторика

212. На координатной плоскости проведены 7 прямых и отмечены все точки их попарного пересечения. Могло ли оказаться так, что на каждой из прямых лежит ровно 3 точки с положительными абсциссами и ровно 3 точки с отрицательными абсциссами?

#олмат
#геометрия
#комбинаторика
#8класс

220. Докажите, что число способов расставить максимальное количество слонов на шахматную доску, что никакие два не бьют друг друга - квадрат натурального числа.

#олмат
#комбинаторика
#8класс

255. Сколькими способами можно кинуть шесть кубиков так, чтобы сумма выпавших очков была кратна шести? (Кубики различимы)

#олмат
#комбинаторика

​371. На каждой половинке кости домино указано число очков – от 0 до некоторого N, большего 1. Все возможные пары чисел встречаются по одному разу (включая «дубли» – пары одинаковых чисел). Все кости домино выложены в цепочку, причем на прилегающих половинках соседних костей стоят одинаковые числа. Могут ли на концах цепочки стоять различные числа?

#олмат
#комбинаторика

399. Сколькими способами в таблице n×n (n>1) можно расставить единицы и нули так, чтобы в каждом квадратике 2×2 сумма чисел была четной?

#олмат
#комбинаторика
#яндексалгоритмы