129. У многочленов P(x) и Q(x) -- один и тот же набор целых коэффициентов, но их порядок -- различен. Докажите, что разность P(228) - Q(228) кратна 227.

#олмат
#алгебра
#9класс

133. Из любых ли пяти различных чисел, выписанных в ряд, можно выбрать три, стоящие (не обязательно подряд) в этом ряду в порядке убывания или в порядке возрастания?

#олмат
#алгебра
#8класс

160. Существуют ли такие 10 различных натуральных чисел, что сумма этих десяти чисел равна произведению двух наибольших?

#олмат
#алгебра
#тч
#8класс

166. Доказать, если x и y — положительные иррациональные числа, такие, что 1/х + 1/у = 1, то для любого неотрицательного целого числа n можно найти такое целое число k, что либо n = [kx], либо n = [ky].

#олмат
#алгебра
#9класс

205. f(x) - некоторый квадратный трёхчлен. Известно, что уравнение f(x²+2016)=f(x) имеет единственный действительный корень. Какой?

#олмат
#алгебра
#9класс

239. Сумма двух чисел равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма этих чисел не превосходит 2.

#олмат
#алгебра
#8класс

285. Сумма нескольких натуральных чисел равна 20. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел.

#олмат
#алгебра

287. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x²–3x+1)¹⁰⁰ после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

#олмат
#алгебра

292. Функция f(x) непрерывна и задана на всей оси. Известно, что уравнение f(f(x))=x имеет решение. Докажите, что уравнение f(x)=x также имеет решение.

#олмат
#матан
#алгебра

334. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее — полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

#олмат
#алгебра

337. Известно, что a/(b+c)=b/(a+c)=c/(a+b)=x. Найдите x.

#олмат
#алгебра

350. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 228 членов — целые числа, а все остальные члены не являются целыми числами?

#олмат
#алгебра

353. Что больше: ₑπ или πᵉ?

#олмат
#алгебра
#матан

​​358. Докажите, что для любого натурального n следующее выражение является целым числом:

#олмат
#алгебра

387. Вычеркните из произведения 1!·2!·3!·...·99!·100! один из ста факториалов, чтобы оставшееся произведение было квадратом целого числа.

#олмат
#тч
#алгебра