✏️ Снова разбираем задачу с экзамена ШАД
Условие: Вова загадал не нормальный случайный вектор X с математическим ожиданием α 1️⃣ и матрицей ковариации Φ 2️⃣. Лёша загадал другой не нормальный случайный вектор Y с матожиданием β 3️⃣ и матрицей ковариации Ω 4️⃣.
Найдите среднее значение квадрата расстояния между этими векторами в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением, если известно, что загаданные векторы независимы.
Решение: Пусть 5️⃣ и 6️⃣. Тогда 7️⃣. Символ ⊥ используется для обозначения независимости данных векторов, что влечёт за собой независимость их компонент. Это приводит к равенству произведения их математических ожиданий и математического ожидания их произведения.
Воспользуемся равенством 8️⃣ и линейностью математического ожидания. Получаем 9️⃣. Ответ равен 6.
#задачи_шад
Условие: Вова загадал не нормальный случайный вектор X с математическим ожиданием α 1️⃣ и матрицей ковариации Φ 2️⃣. Лёша загадал другой не нормальный случайный вектор Y с матожиданием β 3️⃣ и матрицей ковариации Ω 4️⃣.
Найдите среднее значение квадрата расстояния между этими векторами в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением, если известно, что загаданные векторы независимы.
Решение: Пусть 5️⃣ и 6️⃣. Тогда 7️⃣. Символ ⊥ используется для обозначения независимости данных векторов, что влечёт за собой независимость их компонент. Это приводит к равенству произведения их математических ожиданий и математического ожидания их произведения.
Воспользуемся равенством 8️⃣ и линейностью математического ожидания. Получаем 9️⃣. Ответ равен 6.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Дана матрица 1️⃣. Нужно заполнить третий столбец матрицы. Известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.
Решение: Назовём эту матрицу A. Будем пользоваться свойством ортогональных проекторов: A^2 = A. Займёмся арифметикой 2️⃣.
Нам необязательно считать 2 и 3 столбец, информации в первом достаточно для решения(на экзамене так можно было бы сэкономить время) . Получаем тривиальную систему 3️⃣.
Таким образом, мы заполнили третий столбец, получив в итоге матрицу 4️⃣.
#задачи_шад
Условие: Дана матрица 1️⃣. Нужно заполнить третий столбец матрицы. Известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.
Решение: Назовём эту матрицу A. Будем пользоваться свойством ортогональных проекторов: A^2 = A. Займёмся арифметикой 2️⃣.
Нам необязательно считать 2 и 3 столбец, информации в первом достаточно для решения
Таким образом, мы заполнили третий столбец, получив в итоге матрицу 4️⃣.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00 и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт 15 минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришёл после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Два события называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей 1️⃣
Чтобы определить независимость событий A и B, нужно посчитать две вероятности в правой части. Сделать это проще всего геометрически. Представим каждое из элементарных событий (пару «время, когда пришёл Лёша» и «время, когда пришла Марина») точками квадрата со стороной 1 час. Построим графическое представление каждого из событий.
✅Расчёт события А («Лёша и Марина не встретились»)
Какое условие накладывает событие А на координаты М и Л (они же x, y)? Оно показывает, что ребята не встретились, то есть что между приходом Лёши и Марины прошло больше четверти часа. Запишем 2️⃣. Изобразим событие А в пространстве элементарных событий 3️⃣
✅Расчёт события B («хотя бы один из друзей пришёл после 8:45»)
Это можно записать следующим образом 4️⃣ и изобразить так 5️⃣
Чтобы найти вероятность А, нужно разделить площадь красного фрагмента на площадь всего пространства элементарных событий. Эта площадь в задаче равна единице. Красный фрагмент состоит из двух треугольников со стороной три четверти. Считаем и получаем 9/16. Посчитать площадь B ещё проще. Оно занимает семь квадратов в общем пространстве элементарных событий, состоящем из 16 квадратов. Получаем 7/16
✅Расчёт пересечения
На схеме 6️⃣ видно, что пересечение занимает 5 квадратов. Получаем 5/16. В итоге подставляем все рассчитанные значения в формулу 1️⃣. P(A) * P (B) = 9/16 * 7/16. Это произведение не равно 5/16. Следовательно, события А и B не независимы.
#задачи_шад
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00 и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт 15 минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришёл после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Два события называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей 1️⃣
Чтобы определить независимость событий A и B, нужно посчитать две вероятности в правой части. Сделать это проще всего геометрически. Представим каждое из элементарных событий (пару «время, когда пришёл Лёша» и «время, когда пришла Марина») точками квадрата со стороной 1 час. Построим графическое представление каждого из событий.
✅Расчёт события А («Лёша и Марина не встретились»)
Какое условие накладывает событие А на координаты М и Л (они же x, y)? Оно показывает, что ребята не встретились, то есть что между приходом Лёши и Марины прошло больше четверти часа. Запишем 2️⃣. Изобразим событие А в пространстве элементарных событий 3️⃣
✅Расчёт события B («хотя бы один из друзей пришёл после 8:45»)
Это можно записать следующим образом 4️⃣ и изобразить так 5️⃣
Чтобы найти вероятность А, нужно разделить площадь красного фрагмента на площадь всего пространства элементарных событий. Эта площадь в задаче равна единице. Красный фрагмент состоит из двух треугольников со стороной три четверти. Считаем и получаем 9/16. Посчитать площадь B ещё проще. Оно занимает семь квадратов в общем пространстве элементарных событий, состоящем из 16 квадратов. Получаем 7/16
✅Расчёт пересечения
На схеме 6️⃣ видно, что пересечение занимает 5 квадратов. Получаем 5/16. В итоге подставляем все рассчитанные значения в формулу 1️⃣. P(A) * P (B) = 9/16 * 7/16. Это произведение не равно 5/16. Следовательно, события А и B не независимы.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Перед нами колода из 36 карт. Какова вероятность что среди вытянутых наугад 6 карт найдутся не менее трёх королей и ровно две пятерки?
Решение: Для решения задачи введём классическое вероятностное пространство. Обозначим это пространство как Ω, и количество всех возможных исходов будет 1️⃣. Это обозначает количество способов выбрать 6 карт из 36 без учёта порядка.
Мы рассматриваем события, когда среди вытянутых карт ровно 3 или 4 короля и ровно 2 пятёрки. Мы суммируем вероятность вытянуть ровно 3 короля и 2 пятёрки и вероятность вытянуть ровно 4 короля и 2 пятёрки 2️⃣. Эту сумму разделим на количество всех возможных исходов, чтобы получить искомую вероятность.
Она равна 0.00034808644.
#задачи_шад
Условие: Перед нами колода из 36 карт. Какова вероятность что среди вытянутых наугад 6 карт найдутся не менее трёх королей и ровно две пятерки?
Решение: Для решения задачи введём классическое вероятностное пространство. Обозначим это пространство как Ω, и количество всех возможных исходов будет 1️⃣. Это обозначает количество способов выбрать 6 карт из 36 без учёта порядка.
Мы рассматриваем события, когда среди вытянутых карт ровно 3 или 4 короля и ровно 2 пятёрки. Мы суммируем вероятность вытянуть ровно 3 короля и 2 пятёрки и вероятность вытянуть ровно 4 короля и 2 пятёрки 2️⃣. Эту сумму разделим на количество всех возможных исходов, чтобы получить искомую вероятность.
Она равна 0.00034808644.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Заполните третий столбец матрицы, если известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.
Решение: Вспомним, что матрица ортогонального проектора удовлетворяет условиям 1️⃣ (это позволяет сразу заполнить элементы с номерами (1,3) и (2,3)) и 2️⃣ (откуда мы найдем последний элемент, например, приравняв элементы с номером (3,1) матриц 3️⃣, откуда 4️⃣, то есть x=5
#задачи_шад
Условие: Заполните третий столбец матрицы, если известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.
Решение: Вспомним, что матрица ортогонального проектора удовлетворяет условиям 1️⃣ (это позволяет сразу заполнить элементы с номерами (1,3) и (2,3)) и 2️⃣ (откуда мы найдем последний элемент, например, приравняв элементы с номером (3,1) матриц 3️⃣, откуда 4️⃣, то есть x=5
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: В ШАД поступили всего 10 студентов. Кураторы решили ограничить число доступных курсов и придумали набор простых правил:
- На каждый курс должно быть записано нечётное число студентов.
- Для любой пары курсов число студентов, записанных одновременно на оба, кратно 2.
Какое максимальное число курсов можно прочитать по новым правилам?
Решение: Пусть 1️⃣ — множество студентов, 2️⃣ — подмножества студентов, записанных на курсы 3️⃣. Нужно найти максимальное число подмножеств в A, мощности которых нечётны, а мощности попарных пересечений чётны. Рассмотрим матрицу 4️⃣
Условие «Все множества 5️⃣ имеют нечётную мощность, а их попарные пересечения имеют чётную мощность» равносильно условию 6️⃣, откуда следует, что 7️⃣, так как 8️⃣. Пример для m=n даёт система n одноэлементных подмножеств.
Ответ:10
#задачи_шад
Условие: В ШАД поступили всего 10 студентов. Кураторы решили ограничить число доступных курсов и придумали набор простых правил:
- На каждый курс должно быть записано нечётное число студентов.
- Для любой пары курсов число студентов, записанных одновременно на оба, кратно 2.
Какое максимальное число курсов можно прочитать по новым правилам?
Решение: Пусть 1️⃣ — множество студентов, 2️⃣ — подмножества студентов, записанных на курсы 3️⃣. Нужно найти максимальное число подмножеств в A, мощности которых нечётны, а мощности попарных пересечений чётны. Рассмотрим матрицу 4️⃣
Условие «Все множества 5️⃣ имеют нечётную мощность, а их попарные пересечения имеют чётную мощность» равносильно условию 6️⃣, откуда следует, что 7️⃣, так как 8️⃣. Пример для m=n даёт система n одноэлементных подмножеств.
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбираем задачу с экзамена ШАД
Условие: Рассмотрим некоторую билинейную функцию 1️⃣ на вещественных линейных пространствах V и W. В базисах α и βQ имеет матрицу 2️⃣: 3️⃣ где 4️⃣ — координаты векторов v, w в соответствующих базисах. Рассмотрим 5️⃣ как матрицу некоторого линейного оператора в некотором базисе. Оказалось, что в некотором другом базисе его матрица B обладает следующим свойством: 6️⃣ Найдите максимальную и минимальную возможную размерности собственного подпространства этого оператора, если известно, что Q в некоторой другой паре базисов ω, Ɣ: 7️⃣
Решение: Приведя матрицу 1️⃣ к ступенчатому виду, убедимся, что её ранг равен 2. Значит, ранг матрицы 2️⃣ тоже равен 2. Далее 3️⃣ поэтому 4️⃣ Так как 5️⃣ то B подобна матрице diag(1,1,0,0). Значит, у данного оператора максимальная размерность собственного подпространства равна 2, а минимальная равна 1.
#задачи_шад
Условие: Рассмотрим некоторую билинейную функцию 1️⃣ на вещественных линейных пространствах V и W. В базисах α и βQ имеет матрицу 2️⃣: 3️⃣ где 4️⃣ — координаты векторов v, w в соответствующих базисах. Рассмотрим 5️⃣ как матрицу некоторого линейного оператора в некотором базисе. Оказалось, что в некотором другом базисе его матрица B обладает следующим свойством: 6️⃣ Найдите максимальную и минимальную возможную размерности собственного подпространства этого оператора, если известно, что Q в некоторой другой паре базисов ω, Ɣ: 7️⃣
Решение: Приведя матрицу 1️⃣ к ступенчатому виду, убедимся, что её ранг равен 2. Значит, ранг матрицы 2️⃣ тоже равен 2. Далее 3️⃣ поэтому 4️⃣ Так как 5️⃣ то B подобна матрице diag(1,1,0,0). Значит, у данного оператора максимальная размерность собственного подпространства равна 2, а минимальная равна 1.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Подбрасываются 16 симметричных монет (вероятности орла и решки совпадают).
Найдите вероятность того, что:
1. На всех монетах выпадут орлы
2. На 6 монетах выпадут орлы, а на 10 — решки
3. Орлы выпадут хотя бы на двух монетах
Решение: Пусть 1️⃣ — число орлов после n бросков монет с вероятностью выпадения орла равной p. Тогда перед нами схема Бернулли с n=16, p=1/2. Имеем: 2️⃣
#задачи_шад
Условие: Подбрасываются 16 симметричных монет (вероятности орла и решки совпадают).
Найдите вероятность того, что:
1. На всех монетах выпадут орлы
2. На 6 монетах выпадут орлы, а на 10 — решки
3. Орлы выпадут хотя бы на двух монетах
Решение: Пусть 1️⃣ — число орлов после n бросков монет с вероятностью выпадения орла равной p. Тогда перед нами схема Бернулли с n=16, p=1/2. Имеем: 2️⃣
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Раскройте скобки в матричном выражении: 1️⃣
Подсказка:Матрицы не коммутируют
#задачи_шад
Условие: Раскройте скобки в матричном выражении: 1️⃣
Подсказка:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть 1️⃣ — пространство матриц размера n x n над полем действительных чисел, 2️⃣ линейный оператор, такой, что 3️⃣, для любой 4️⃣. Верно ли, что оператор F обратим?
Решение: На карточке
Ответ:Да
#задачи_шад
Условие: Пусть 1️⃣ — пространство матриц размера n x n над полем действительных чисел, 2️⃣ линейный оператор, такой, что 3️⃣, для любой 4️⃣. Верно ли, что оператор F обратим?
Решение: На карточке
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Найдите, при каких значениях параметра a система уравнений 1️⃣ имеет решение.
Подсказка:Используйте метод Гаусса.
Решение: Система с матрицей 2️⃣ совместна 3️⃣
Ответ:a = -3
#задачи_шад
Условие: Найдите, при каких значениях параметра a система уравнений 1️⃣ имеет решение.
Подсказка:
Решение: Система с матрицей 2️⃣ совместна 3️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Перед нами колода из 36 карт. Какова вероятность что среди вытянутых наугад 6 карт найдутся не менее трёх королей и ровно две пятерки?
Решение: Введём классическое вероятностное пространство: см. карточку
Ответ:113/324632
#задачи_шад
Условие: Перед нами колода из 36 карт. Какова вероятность что среди вытянутых наугад 6 карт найдутся не менее трёх королей и ровно две пятерки?
Решение: Введём классическое вероятностное пространство: см. карточку
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: В мешке лежат шары трёх цветов: 6 красных, 2 чёрных, 2 белых. Мы вытаскиваем последовательно 5 шаров. Какова вероятность, что первые два шара были чёрными при условии, что четвёртый и пятый были красным и белым соответственно.
Решение: Введём классическое вероятностное пространство.
1️⃣ и, в зависимости от того, будет 3 шар белым или красным: 2️⃣
Ответ:1/28
#задачи_шад
Условие: В мешке лежат шары трёх цветов: 6 красных, 2 чёрных, 2 белых. Мы вытаскиваем последовательно 5 шаров. Какова вероятность, что первые два шара были чёрными при условии, что четвёртый и пятый были красным и белым соответственно.
Решение: Введём классическое вероятностное пространство.
1️⃣ и, в зависимости от того, будет 3 шар белым или красным: 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Случайная величина X задана функцией плотности: 1️⃣ Найдите математическое ожидание X.
Решение: Найдём для начала неизвестную константу c из условия нормировки плотности: 2️⃣ откуда получаем, что 3️⃣ Далее, 4️⃣
Ответ:35/24
#задачи_шад
Условие: Случайная величина X задана функцией плотности: 1️⃣ Найдите математическое ожидание X.
Решение: Найдём для начала неизвестную константу c из условия нормировки плотности: 2️⃣ откуда получаем, что 3️⃣ Далее, 4️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть U — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0, 1]. Пусть также Z — случайная величина такая, что 0 ≤ Z ≤ 4,
E(Z) = 1, Z и U независимы. Найти значение функции распределения случайной величины Z/U в точке 8.
Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности и полезным равенством: 1️⃣. Вычислим искомое значение функции распределения: 2️⃣
Ответ:7/8
#задачи_шад
Условие: Пусть U — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0, 1]. Пусть также Z — случайная величина такая, что 0 ≤ Z ≤ 4,
E(Z) = 1, Z и U независимы. Найти значение функции распределения случайной величины Z/U в точке 8.
Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности и полезным равенством: 1️⃣. Вычислим искомое значение функции распределения: 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите значение параметра a, для которого множество (k, l, m, n) будет линейно зависимым.
Подсказка:Используйте метод Гаусса.
Решение: Требование задачи равносильно вырожденности матрицы коэффициентов. Совершая над ней элементарные преобразования строк и столбцов, получим: 2️⃣ Последняя матрица вырожденна 3️⃣
Ответ:37/13
#задачи_шад
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите значение параметра a, для которого множество (k, l, m, n) будет линейно зависимым.
Подсказка:
Решение: Требование задачи равносильно вырожденности матрицы коэффициентов. Совершая над ней элементарные преобразования строк и столбцов, получим: 2️⃣ Последняя матрица вырожденна 3️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: На пространстве многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами задано скалярное произведение 1️⃣. Найдите длину ортогональной проекции многочлена 2️⃣ на линейную оболочку многочленов 3️⃣
Решение: Пусть 4️⃣ Коэффициенты a1, a2 в разложении 5️⃣ находятся из условия ортогональности 6️⃣
Ответ: 6️⃣
#задачи_шад
Условие: На пространстве многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами задано скалярное произведение 1️⃣. Найдите длину ортогональной проекции многочлена 2️⃣ на линейную оболочку многочленов 3️⃣
Решение: Пусть 4️⃣ Коэффициенты a1, a2 в разложении 5️⃣ находятся из условия ортогональности 6️⃣
Ответ: 6️⃣
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Линейный оператор φ действует на пространстве многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами. Известно, что 1️⃣. Найдите сумму действительных собственных значений оператора φ (сумму следует вычислять с учетом алгебраической кратности собственных значений).
Подсказка:Найдите матрицу данного оператора и её характеристический многочлен.
Решение: Матрица Φ данного оператора в базисе x^2,x,1 удовлетворяет уравнению AΦ^T = B где 2️⃣ откуда 3️⃣ поэтому 4️⃣. Это и есть ответ, так как все собственные значения матрицы Φ^T вещественные. Это следует из того, что ее характеристический многочлен 5️⃣ имеет 3 действительных корня, так как f(0)>0, f(1)<0.
#задачи_шад
Условие: Линейный оператор φ действует на пространстве многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами. Известно, что 1️⃣. Найдите сумму действительных собственных значений оператора φ (сумму следует вычислять с учетом алгебраической кратности собственных значений).
Подсказка:
Решение: Матрица Φ данного оператора в базисе x^2,x,1 удовлетворяет уравнению AΦ^T = B где 2️⃣ откуда 3️⃣ поэтому 4️⃣. Это и есть ответ, так как все собственные значения матрицы Φ^T вещественные. Это следует из того, что ее характеристический многочлен 5️⃣ имеет 3 действительных корня, так как f(0)>0, f(1)<0.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Найдите, при каких значениях параметров a и b линейная оболочка векторов. 1️⃣ совпадает с множеством решений системы линейных уравнений Ax = 0, где матрица A равна: 2️⃣
Решение: Пусть 3️⃣ — строки матрицы A. Тогда 4️⃣, поэтому rkA ≤ 2. Векторы v и w должны удовлетворять системе. 5️⃣
#задачи_шад
Условие: Найдите, при каких значениях параметров a и b линейная оболочка векторов. 1️⃣ совпадает с множеством решений системы линейных уравнений Ax = 0, где матрица A равна: 2️⃣
Решение: Пусть 3️⃣ — строки матрицы A. Тогда 4️⃣, поэтому rkA ≤ 2. Векторы v и w должны удовлетворять системе. 5️⃣
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: (a) Игроки A, B и C сменяя друг друга, по очереди кидают две игральные кости до тех пор, пока не получат сумму очков, равную 7. Найдите вероятность того, что сумму очков равную 7 получит B.
(b) В результате проведения эксперимента возможны два исхода: успех (с вероятностью p) и неуспех (с вероятностью 1 − p). Экспериментаторы A, B и C сменяют друг друга, по очереди проводят этот эксперимент до тех пор пока не получат успех. Найдите максимальное значение вероятности p, при котором вероятность того, что успех получит B больше либо равна 1/3.
Решение: Пусть ξ — номер первого успеха в бесконечной схеме Бернулли с вероятностью успеха p, q=1-p, A={успех получил B}. Тогда 1️⃣
(a) В этом случае p=P{выпало 7 очков} = 6/36 =1/6, поэтому P(A)=30 / 91
(b) Воспользуемся неравенством q+1/q ≥ 2 : 2️⃣. Заметим, что равенство достигается только в случае 3️⃣
#задачи_шад
Условие: (a) Игроки A, B и C сменяя друг друга, по очереди кидают две игральные кости до тех пор, пока не получат сумму очков, равную 7. Найдите вероятность того, что сумму очков равную 7 получит B.
(b) В результате проведения эксперимента возможны два исхода: успех (с вероятностью p) и неуспех (с вероятностью 1 − p). Экспериментаторы A, B и C сменяют друг друга, по очереди проводят этот эксперимент до тех пор пока не получат успех. Найдите максимальное значение вероятности p, при котором вероятность того, что успех получит B больше либо равна 1/3.
Решение: Пусть ξ — номер первого успеха в бесконечной схеме Бернулли с вероятностью успеха p, q=1-p, A={успех получил B}. Тогда 1️⃣
(a) В этом случае p=P{выпало 7 очков} = 6/36 =1/6, поэтому P(A)=30 / 91
(b) Воспользуемся неравенством q+1/q ≥ 2 : 2️⃣. Заметим, что равенство достигается только в случае 3️⃣
#задачи_шад