✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Разбираем очередную задачу по анализу данных!
Условие: Известно, что 1️⃣. Нужно найти 2️⃣
Решение: Для начала попробуем что-нибудь понять про f(x) и про её поведение в окрестности нуля. Умножим и разделим на синус, чтобы получить известное. Запишем 3️⃣
При x, стремящемся к 0, первый множитель стремится к двойке, а второй стремится к нулю. Значит, их произведение тоже стремится к нулю 4️⃣
Посмотрим на то частное предела, которое надо найти 5️⃣
Видно, что в знаменателе стоит нечто стремящееся к нулю. В числителе — нечто стремящееся к логарифму единицы, то есть тоже к нулю. Видна неопределённость 0/0.
Напишем предел частного, которое надо найти. Постараемся в этом частном выделить f(x)/sin x, про которое мы уже что-то знаем 6️⃣
Нам известно, что предел второго множителя — ½. А предел первого множителя можно посчитать с помощью правила Лопиталя 7️⃣
Мы видим, что 8️⃣
Следовательно, искомый предел равен ³/₂.
Хотите подготовиться к поступлению или подтянуть знания? Оставляйте заявку на наш курс по математике для Data Science💙
#задачи_шад
Разбираем очередную задачу по анализу данных!
Условие: Известно, что 1️⃣. Нужно найти 2️⃣
Решение: Для начала попробуем что-нибудь понять про f(x) и про её поведение в окрестности нуля. Умножим и разделим на синус, чтобы получить известное. Запишем 3️⃣
При x, стремящемся к 0, первый множитель стремится к двойке, а второй стремится к нулю. Значит, их произведение тоже стремится к нулю 4️⃣
Посмотрим на то частное предела, которое надо найти 5️⃣
Видно, что в знаменателе стоит нечто стремящееся к нулю. В числителе — нечто стремящееся к логарифму единицы, то есть тоже к нулю. Видна неопределённость 0/0.
Напишем предел частного, которое надо найти. Постараемся в этом частном выделить f(x)/sin x, про которое мы уже что-то знаем 6️⃣
Нам известно, что предел второго множителя — ½. А предел первого множителя можно посчитать с помощью правила Лопиталя 7️⃣
Мы видим, что 8️⃣
Следовательно, искомый предел равен ³/₂.
Хотите подготовиться к поступлению или подтянуть знания? Оставляйте заявку на наш курс по математике для Data Science💙
#задачи_шад
✏️ Снова разбираем задачу с экзамена ШАД
Условие: Вова загадал не нормальный случайный вектор X с математическим ожиданием α 1️⃣ и матрицей ковариации Φ 2️⃣. Лёша загадал другой не нормальный случайный вектор Y с матожиданием β 3️⃣ и матрицей ковариации Ω 4️⃣.
Найдите среднее значение квадрата расстояния между этими векторами в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением, если известно, что загаданные векторы независимы.
Решение: Пусть 5️⃣ и 6️⃣. Тогда 7️⃣. Символ ⊥ используется для обозначения независимости данных векторов, что влечёт за собой независимость их компонент. Это приводит к равенству произведения их математических ожиданий и математического ожидания их произведения.
Воспользуемся равенством 8️⃣ и линейностью математического ожидания. Получаем 9️⃣. Ответ равен 6.
#задачи_шад
Условие: Вова загадал не нормальный случайный вектор X с математическим ожиданием α 1️⃣ и матрицей ковариации Φ 2️⃣. Лёша загадал другой не нормальный случайный вектор Y с матожиданием β 3️⃣ и матрицей ковариации Ω 4️⃣.
Найдите среднее значение квадрата расстояния между этими векторами в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением, если известно, что загаданные векторы независимы.
Решение: Пусть 5️⃣ и 6️⃣. Тогда 7️⃣. Символ ⊥ используется для обозначения независимости данных векторов, что влечёт за собой независимость их компонент. Это приводит к равенству произведения их математических ожиданий и математического ожидания их произведения.
Воспользуемся равенством 8️⃣ и линейностью математического ожидания. Получаем 9️⃣. Ответ равен 6.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Дана матрица 1️⃣. Нужно заполнить третий столбец матрицы. Известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.
Решение: Назовём эту матрицу A. Будем пользоваться свойством ортогональных проекторов: A^2 = A. Займёмся арифметикой 2️⃣.
Нам необязательно считать 2 и 3 столбец, информации в первом достаточно для решения(на экзамене так можно было бы сэкономить время) . Получаем тривиальную систему 3️⃣.
Таким образом, мы заполнили третий столбец, получив в итоге матрицу 4️⃣.
#задачи_шад
Условие: Дана матрица 1️⃣. Нужно заполнить третий столбец матрицы. Известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.
Решение: Назовём эту матрицу A. Будем пользоваться свойством ортогональных проекторов: A^2 = A. Займёмся арифметикой 2️⃣.
Нам необязательно считать 2 и 3 столбец, информации в первом достаточно для решения
Таким образом, мы заполнили третий столбец, получив в итоге матрицу 4️⃣.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00 и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт 15 минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришёл после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Два события называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей 1️⃣
Чтобы определить независимость событий A и B, нужно посчитать две вероятности в правой части. Сделать это проще всего геометрически. Представим каждое из элементарных событий (пару «время, когда пришёл Лёша» и «время, когда пришла Марина») точками квадрата со стороной 1 час. Построим графическое представление каждого из событий.
✅Расчёт события А («Лёша и Марина не встретились»)
Какое условие накладывает событие А на координаты М и Л (они же x, y)? Оно показывает, что ребята не встретились, то есть что между приходом Лёши и Марины прошло больше четверти часа. Запишем 2️⃣. Изобразим событие А в пространстве элементарных событий 3️⃣
✅Расчёт события B («хотя бы один из друзей пришёл после 8:45»)
Это можно записать следующим образом 4️⃣ и изобразить так 5️⃣
Чтобы найти вероятность А, нужно разделить площадь красного фрагмента на площадь всего пространства элементарных событий. Эта площадь в задаче равна единице. Красный фрагмент состоит из двух треугольников со стороной три четверти. Считаем и получаем 9/16. Посчитать площадь B ещё проще. Оно занимает семь квадратов в общем пространстве элементарных событий, состоящем из 16 квадратов. Получаем 7/16
✅Расчёт пересечения
На схеме 6️⃣ видно, что пересечение занимает 5 квадратов. Получаем 5/16. В итоге подставляем все рассчитанные значения в формулу 1️⃣. P(A) * P (B) = 9/16 * 7/16. Это произведение не равно 5/16. Следовательно, события А и B не независимы.
#задачи_шад
Условие: Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00 и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт 15 минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришёл после 8:45»? Время считайте непрерывным.
Решение: Два события называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей 1️⃣
Чтобы определить независимость событий A и B, нужно посчитать две вероятности в правой части. Сделать это проще всего геометрически. Представим каждое из элементарных событий (пару «время, когда пришёл Лёша» и «время, когда пришла Марина») точками квадрата со стороной 1 час. Построим графическое представление каждого из событий.
✅Расчёт события А («Лёша и Марина не встретились»)
Какое условие накладывает событие А на координаты М и Л (они же x, y)? Оно показывает, что ребята не встретились, то есть что между приходом Лёши и Марины прошло больше четверти часа. Запишем 2️⃣. Изобразим событие А в пространстве элементарных событий 3️⃣
✅Расчёт события B («хотя бы один из друзей пришёл после 8:45»)
Это можно записать следующим образом 4️⃣ и изобразить так 5️⃣
Чтобы найти вероятность А, нужно разделить площадь красного фрагмента на площадь всего пространства элементарных событий. Эта площадь в задаче равна единице. Красный фрагмент состоит из двух треугольников со стороной три четверти. Считаем и получаем 9/16. Посчитать площадь B ещё проще. Оно занимает семь квадратов в общем пространстве элементарных событий, состоящем из 16 квадратов. Получаем 7/16
✅Расчёт пересечения
На схеме 6️⃣ видно, что пересечение занимает 5 квадратов. Получаем 5/16. В итоге подставляем все рассчитанные значения в формулу 1️⃣. P(A) * P (B) = 9/16 * 7/16. Это произведение не равно 5/16. Следовательно, события А и B не независимы.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Перед нами колода из 36 карт. Какова вероятность что среди вытянутых наугад 6 карт найдутся не менее трёх королей и ровно две пятерки?
Решение: Для решения задачи введём классическое вероятностное пространство. Обозначим это пространство как Ω, и количество всех возможных исходов будет 1️⃣. Это обозначает количество способов выбрать 6 карт из 36 без учёта порядка.
Мы рассматриваем события, когда среди вытянутых карт ровно 3 или 4 короля и ровно 2 пятёрки. Мы суммируем вероятность вытянуть ровно 3 короля и 2 пятёрки и вероятность вытянуть ровно 4 короля и 2 пятёрки 2️⃣. Эту сумму разделим на количество всех возможных исходов, чтобы получить искомую вероятность.
Она равна 0.00034808644.
#задачи_шад
Условие: Перед нами колода из 36 карт. Какова вероятность что среди вытянутых наугад 6 карт найдутся не менее трёх королей и ровно две пятерки?
Решение: Для решения задачи введём классическое вероятностное пространство. Обозначим это пространство как Ω, и количество всех возможных исходов будет 1️⃣. Это обозначает количество способов выбрать 6 карт из 36 без учёта порядка.
Мы рассматриваем события, когда среди вытянутых карт ровно 3 или 4 короля и ровно 2 пятёрки. Мы суммируем вероятность вытянуть ровно 3 короля и 2 пятёрки и вероятность вытянуть ровно 4 короля и 2 пятёрки 2️⃣. Эту сумму разделим на количество всех возможных исходов, чтобы получить искомую вероятность.
Она равна 0.00034808644.
#задачи_шад