✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: В мешке лежат шары трёх цветов: 6 красных, 2 чёрных, 2 белых. Мы вытаскиваем последовательно 5 шаров. Какова вероятность, что первые два шара были чёрными при условии, что четвёртый и пятый были красным и белым соответственно.
Решение: Введём классическое вероятностное пространство.
1️⃣ и, в зависимости от того, будет 3 шар белым или красным: 2️⃣
Ответ:1/28
#задачи_шад
Условие: В мешке лежат шары трёх цветов: 6 красных, 2 чёрных, 2 белых. Мы вытаскиваем последовательно 5 шаров. Какова вероятность, что первые два шара были чёрными при условии, что четвёртый и пятый были красным и белым соответственно.
Решение: Введём классическое вероятностное пространство.
1️⃣ и, в зависимости от того, будет 3 шар белым или красным: 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Случайная величина X задана функцией плотности: 1️⃣ Найдите математическое ожидание X.
Решение: Найдём для начала неизвестную константу c из условия нормировки плотности: 2️⃣ откуда получаем, что 3️⃣ Далее, 4️⃣
Ответ:35/24
#задачи_шад
Условие: Случайная величина X задана функцией плотности: 1️⃣ Найдите математическое ожидание X.
Решение: Найдём для начала неизвестную константу c из условия нормировки плотности: 2️⃣ откуда получаем, что 3️⃣ Далее, 4️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть U — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0, 1]. Пусть также Z — случайная величина такая, что 0 ≤ Z ≤ 4,
E(Z) = 1, Z и U независимы. Найти значение функции распределения случайной величины Z/U в точке 8.
Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности и полезным равенством: 1️⃣. Вычислим искомое значение функции распределения: 2️⃣
Ответ:7/8
#задачи_шад
Условие: Пусть U — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0, 1]. Пусть также Z — случайная величина такая, что 0 ≤ Z ≤ 4,
E(Z) = 1, Z и U независимы. Найти значение функции распределения случайной величины Z/U в точке 8.
Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности и полезным равенством: 1️⃣. Вычислим искомое значение функции распределения: 2️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите значение параметра a, для которого множество (k, l, m, n) будет линейно зависимым.
Подсказка:Используйте метод Гаусса.
Решение: Требование задачи равносильно вырожденности матрицы коэффициентов. Совершая над ней элементарные преобразования строк и столбцов, получим: 2️⃣ Последняя матрица вырожденна 3️⃣
Ответ:37/13
#задачи_шад
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите значение параметра a, для которого множество (k, l, m, n) будет линейно зависимым.
Подсказка:
Решение: Требование задачи равносильно вырожденности матрицы коэффициентов. Совершая над ней элементарные преобразования строк и столбцов, получим: 2️⃣ Последняя матрица вырожденна 3️⃣
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: На пространстве многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами задано скалярное произведение 1️⃣. Найдите длину ортогональной проекции многочлена 2️⃣ на линейную оболочку многочленов 3️⃣
Решение: Пусть 4️⃣ Коэффициенты a1, a2 в разложении 5️⃣ находятся из условия ортогональности 6️⃣
Ответ: 6️⃣
#задачи_шад
Условие: На пространстве многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами задано скалярное произведение 1️⃣. Найдите длину ортогональной проекции многочлена 2️⃣ на линейную оболочку многочленов 3️⃣
Решение: Пусть 4️⃣ Коэффициенты a1, a2 в разложении 5️⃣ находятся из условия ортогональности 6️⃣
Ответ: 6️⃣
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Линейный оператор φ действует на пространстве многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами. Известно, что 1️⃣. Найдите сумму действительных собственных значений оператора φ (сумму следует вычислять с учетом алгебраической кратности собственных значений).
Подсказка:Найдите матрицу данного оператора и её характеристический многочлен.
Решение: Матрица Φ данного оператора в базисе x^2,x,1 удовлетворяет уравнению AΦ^T = B где 2️⃣ откуда 3️⃣ поэтому 4️⃣. Это и есть ответ, так как все собственные значения матрицы Φ^T вещественные. Это следует из того, что ее характеристический многочлен 5️⃣ имеет 3 действительных корня, так как f(0)>0, f(1)<0.
#задачи_шад
Условие: Линейный оператор φ действует на пространстве многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами. Известно, что 1️⃣. Найдите сумму действительных собственных значений оператора φ (сумму следует вычислять с учетом алгебраической кратности собственных значений).
Подсказка:
Решение: Матрица Φ данного оператора в базисе x^2,x,1 удовлетворяет уравнению AΦ^T = B где 2️⃣ откуда 3️⃣ поэтому 4️⃣. Это и есть ответ, так как все собственные значения матрицы Φ^T вещественные. Это следует из того, что ее характеристический многочлен 5️⃣ имеет 3 действительных корня, так как f(0)>0, f(1)<0.
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Найдите, при каких значениях параметров a и b линейная оболочка векторов. 1️⃣ совпадает с множеством решений системы линейных уравнений Ax = 0, где матрица A равна: 2️⃣
Решение: Пусть 3️⃣ — строки матрицы A. Тогда 4️⃣, поэтому rkA ≤ 2. Векторы v и w должны удовлетворять системе. 5️⃣
#задачи_шад
Условие: Найдите, при каких значениях параметров a и b линейная оболочка векторов. 1️⃣ совпадает с множеством решений системы линейных уравнений Ax = 0, где матрица A равна: 2️⃣
Решение: Пусть 3️⃣ — строки матрицы A. Тогда 4️⃣, поэтому rkA ≤ 2. Векторы v и w должны удовлетворять системе. 5️⃣
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: (a) Игроки A, B и C сменяя друг друга, по очереди кидают две игральные кости до тех пор, пока не получат сумму очков, равную 7. Найдите вероятность того, что сумму очков равную 7 получит B.
(b) В результате проведения эксперимента возможны два исхода: успех (с вероятностью p) и неуспех (с вероятностью 1 − p). Экспериментаторы A, B и C сменяют друг друга, по очереди проводят этот эксперимент до тех пор пока не получат успех. Найдите максимальное значение вероятности p, при котором вероятность того, что успех получит B больше либо равна 1/3.
Решение: Пусть ξ — номер первого успеха в бесконечной схеме Бернулли с вероятностью успеха p, q=1-p, A={успех получил B}. Тогда 1️⃣
(a) В этом случае p=P{выпало 7 очков} = 6/36 =1/6, поэтому P(A)=30 / 91
(b) Воспользуемся неравенством q+1/q ≥ 2 : 2️⃣. Заметим, что равенство достигается только в случае 3️⃣
#задачи_шад
Условие: (a) Игроки A, B и C сменяя друг друга, по очереди кидают две игральные кости до тех пор, пока не получат сумму очков, равную 7. Найдите вероятность того, что сумму очков равную 7 получит B.
(b) В результате проведения эксперимента возможны два исхода: успех (с вероятностью p) и неуспех (с вероятностью 1 − p). Экспериментаторы A, B и C сменяют друг друга, по очереди проводят этот эксперимент до тех пор пока не получат успех. Найдите максимальное значение вероятности p, при котором вероятность того, что успех получит B больше либо равна 1/3.
Решение: Пусть ξ — номер первого успеха в бесконечной схеме Бернулли с вероятностью успеха p, q=1-p, A={успех получил B}. Тогда 1️⃣
(a) В этом случае p=P{выпало 7 очков} = 6/36 =1/6, поэтому P(A)=30 / 91
(b) Воспользуемся неравенством q+1/q ≥ 2 : 2️⃣. Заметим, что равенство достигается только в случае 3️⃣
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите при каких параметрах c во всех точках, в которых f(x) определена, выполняется неравенство 2️⃣.
Решение: Рассмотрим 3 случая. При c=0 неравенство, очевидно, выполняется. Если c>0, то ∀x∈R выполнено: 3️⃣. С другой стороны, 4️⃣, что снова справедливо при ∀x∈R. В случае c<0 аналогичные выкладки приводят к необходимости выполнения неравенства 5️⃣, что невозможно.
Ответ:c=0
#задачи_шад
Условие: Пусть 1️⃣. Найдите при каких параметрах c во всех точках, в которых f(x) определена, выполняется неравенство 2️⃣.
Решение: Рассмотрим 3 случая. При c=0 неравенство, очевидно, выполняется. Если c>0, то ∀x∈R выполнено: 3️⃣. С другой стороны, 4️⃣, что снова справедливо при ∀x∈R. В случае c<0 аналогичные выкладки приводят к необходимости выполнения неравенства 5️⃣, что невозможно.
Ответ:
#задачи_шад
✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД
Условие: Найти максимальное a, для которого существуют функции f(x) и g(x) такие, что 1️⃣ и выполнены следующие условия:
▪️ f(x) и g(x) — неубывающие дважды дифференцируемые функции,
▪️ f''(x) = g(x) и g''(x) = f(x),
▪️ функция f(x)g(x) линейна.
Решение: При a=0 тождественно нулевые функции f(x) и g(x) удовлетворяют всем условиям задачи. Предположим, что при некотором a>0 также существуют функции f(x)$ и g(x), которые удовлетворяют всем условиям задачи. Тогда из условий (a) и (b) следует 2️⃣ что противоречит условию (c). Значит, a=0 — максимальное значение a, для которого существуют искомые функции.
Ответ:a = 0
#задачи_шад
Условие: Найти максимальное a, для которого существуют функции f(x) и g(x) такие, что 1️⃣ и выполнены следующие условия:
▪️ f(x) и g(x) — неубывающие дважды дифференцируемые функции,
▪️ f''(x) = g(x) и g''(x) = f(x),
▪️ функция f(x)g(x) линейна.
Решение: При a=0 тождественно нулевые функции f(x) и g(x) удовлетворяют всем условиям задачи. Предположим, что при некотором a>0 также существуют функции f(x)$ и g(x), которые удовлетворяют всем условиям задачи. Тогда из условий (a) и (b) следует 2️⃣ что противоречит условию (c). Значит, a=0 — максимальное значение a, для которого существуют искомые функции.
Ответ:
#задачи_шад