В этой таблице отображены даты возникновения современных математических знаков, а также их авторы. Это очень хорошая иллюстрация того, что современная математическая нотация возникла относительно недавно. История нотации - это отдельный "естественный" отбор, который можно изучать с позиции философии науки. Приведу пример. Лично мне нравится история того как появился знак √(корень квадратный). Изначально это буква r от латинского "radix", корень. Ее писали перед числом. А если корень извлекался из сложного выражения, то его брали в скобки. Раньше вместо них использовали линию над выражением. И со временем буква r "приросла" к этой линии и превратилась в угловатый знак, которым пользуются сегодня, ибо удобнее. Вот так история скобки сохранилась внутри другого знака. Причем Рудольф, который предложил такое обозначение, ввел также знаки для второй, третьей и других степеней, которые добавляли к знаку корня крючки слева по числу степеней. Но это нововведение не пошло в народ, проще писать цифру.

#математика

Космос - это целое или часть?

Давайте рассмотрим соотношение между тремя объектами: электрон, человек и космос. Определим космос, как совокупность всего существующего естественным образом, без исключения. Если мы будем рассуждать буквально, то можно сказать так: электрон - это часть человека и часть космоса, человек - это часть космоса. Но что мы имеем ввиду под словом "часть"? Чаще всего, если речь идёт о современной мереологии, для натуралиста имеется ввиду пространственная и/или временная часть. Допустим, ломоть хлеба - это часть буханки хлеба, потому что занимает часть области пространства, которая занята буханкой. А хлеб - это целое, потому что занимает пространство, равное сумме пространств, занимаемых всеми его частями. А что насчет космоса? Занимает ли он пространство, занимаемое всеми его частями? Тут уже возникает проблема, потому что с философской и физической точек зрения правильнее было бы сказать, что пространство - это тоже часть космоса. Мы даже не можем быть уверены, что пространство не является некоторым производным свойством космоса (об этой гипотезе я скоро еще расскажу). В этом случае, насколько вообще уместно говорить о частях космоса, как о частях "в пространстве"?

По этой и многим другим причинам многие, адаптируя позицию Аристотеля на современный лад, допускают, что под частями объекта можно подразумевать не только пространственные части, но и функциональную (или биологическую, физическую) организацию, т.е. своего рода "форму" вещи, и материал, из которого состоит объект и даже, в некотором смысле, причины, влекущие те или иные свойства объекта. Разве нельзя сказать, что законы природы, ставшие одной из причин возникновения объекта, являются некоторой его частью, по крайней мере, в смысле универсалий (т.е. как идея "собаки" заложена в реальной собаке). Коль скоро описание частей, как пространственных элементов, невозможно, то нам же надо что-то описывать как части.

И вот теперь я спрошу: так что является частями человека, в указанном смысле? И как только мы отказались от пространственного описания частей, мы сразу же (или довольно быстро) приходим к тому, что частями человека являются некоторые свойства космоса (потому что всё, что существует - это некоторая непространственная часть космоса, т.е. нечто, что мы ему приписываем, т.е. его свойство). Тогда мы можем описать это так: свойство космоса, связанное с проявлением свойств атомов таких-то веществ, совпало со свойством космоса, связанным с реализацией такого-то региона пространства, и, в сочетании с такими-то законами природы, образует то, что мы называем человеком. Звучит странновато, но веду я вовсе не к тому, что вы обязаны такой язык и стоящую за этим идею принимать. А к тому, что в таком описании сам космос оказывается, в некотором смысле, частью человека. Как так?

Допустим, что мы берем порцию материи, достаточную, чтобы из неё мог возникнуть человек и затем собираем по частицам. Как только этот фантастический проект будет завершен, мы можем сказать, что человек состоит из таких-то частиц, находящихся в такой-то конфигурации. Вот таким же образом мы можем сказать, описывая человека, как в прошлом абзаце, что человек состоит из космоса, находящегося в такой-то конфигурации (сюда входят и свойства частиц и свойства пространства и их соответствие). Получается, что если мы отказываемся от рассмотрения пространства как фундаментальной системы координат (что вполне оправдано), то и при рассмотрении частей и при рассмотрении целого мы приходим к некоторому единству, к какому-то типу монизма. Любопытно, что в мереологии есть даже такой термин - нулевой индивид (null individual), или индивид, являющийся собственной частью всех вещей. Хотя большинство его рассматривают как удобную фикцию для рассуждений, есть и те, кто принимает эту идею всерьёз.

Окончание поста.

#метафизика #монизм

Начало поста.

Вот такой вот способ сломать мереологию, когда космос коллапсирует в атом, а атом превращается в целый космос. Значимо здесь не то, что из себя эта идея представляет (повторюсь - её никто не обязан принимать), а то, что монизм в принципе может быть описан и рассмотрен двояко: и с точки зрения фундаментальности целого и с точки зрения фундаментальности части, которая есть часть всего. Это может указывать на то, что на уровне рассмотрения космоса, как целого, не только термин "пространство" перестаёт иметь фундаментальный смысл, но и даже отношения между частью и целым. Так что, космос - это целое или часть?

#метафизика #монизм

Гармония в "сердце" треугольника: удивительная теорема Морли

Для того, чтобы показать красоту некоторых математических формул или построений нужно проделать значительную работу. Поэтому красота математики в какой-то её части остаётся скрыта от людей, не занимающихся математикой. Но есть случаи, когда красота совершенно очевидна. Мне, как человеку вообще не занимающемуся математикой, особенно приятно такие случаи находить и созерцать. Один из таких случаев - это теорема Морли.

Сформулировать её можно так: если в произвольном треугольнике разделить каждый угол на три равные части (то есть построить трисектрисы), то точки пересечения делящих их лучей (из этих трисектрис) окажутся вершинами равностороннего треугольника. Чтобы осознать насколько это удивительный факт, посмотрите на это вот с какой стороны: трисектрисы делят на равные части разные по величине углы неравностороннего треугольника, то есть образовавшиеся тройки углов, очевидно, друг другу не равны, как и длина трисектрис, но в итоге это построение образует равносторонний треугольник. Неким образом величина угла и длина трисектрисы до пересечения друг друга уравновешивают. И это работает для абсолютно любого треугольника! Ну а чтобы еще лучше прочувствовать гармонию этой математической конструкции, воспользуйтесь вот этой страницей, иллюстрирующей теорему Морли, тут можно произвольно взятый треугольник покрутить как вам хочется и убедиться, что равносторонний треугольник в его "сердце" всегда сохраняется.

Нет никакого сомнения, что у древних греков от такой теоремы сорвало бы крышу. Но удивительно еще и то, что данная теорема была открыта американским математиком Франком Морли только на рубеже XIX и XX веков. Вероятно, это связано с тем, что деление угла с помощью циркуля и линейки возможно не всегда (насколько я знаю, есть даже доказательство этого факта), а греки пытались строить геометрические фигуры именно таким образом.

Когда осознаете этот замечательный факт, то приготовьтесь удивиться еще раз: построение равностороннего треугольника с помощью трисекстрис работает не только для внутренних, но и для внешних углов. Таким образом, можно получить вокруг произвольного треугольника целых три равносторонних (откуда третий - не так важно в данном случае). Это обобщение теоремы Морли было доказано позже в ХХ веке (как говорят, это сделал математик Анри Лебег). Анимированную презентацию обобщения теоремы Морли с учетом этого открытия вы можете посмотреть тут. А те, кто заинтересовался математическими аспектами этой теоремы, могут почитать об этом, например, здесь.

#математика #эстетика

Аргумент Ансельма

Конспектирую в образовательных целях статью по логической формализации онтологического аргумента в пользу существования Бога. А потому выкладываю параллельный перевод аргумента в версии Ансельма Кентерберийского. Русский перевод не мой и местами своеобразный, но суть передаёт. И поскольку есть понятный английский - я не стал ничего менять, всегда интересно сравнить: как вообще люди на разные языки переводят. А выкладываю вот зачем...

Вернуться к основному посту про аргумент Ансельма.

#метафизика #философия_религии #конспект

...так вот.

Если вам кажется, как и многим, к сожалению, что аргументы в пользу существования Бога устарели и бесполезны, то потратьте пол часа на его вдумчивое прочтение и осмысление. Подумайте над значениями терминов, над переходами от тезиса к тезису и постарайтесь понять почему и как этот аргумент мог возникнуть. Сформулируйте четкие аргументы против, свои, а не чужие. В ходе этого упражнения, если вы делали его правильно, вы осознаете много полезных вещей и уже не сможете назвать аргумент бесполезным. Может быть он не убедит вас в истинности заключения (как впрочем и меня), но при внимательном рассмотрении вы откроете в нём для себя настоящую лабораторию философского поиска, в том числе, в вопросе существования Бога. Над этим аргументом рассуждали многие атеисты и вряд ли кто-то из них посчитал, если ум его не слеп, что потратил время зря.

#метафизика #философия_религии

Пока я неспешно конспектирую статью про Ансельма, хочу некоторые интересные моменты опубликовать. Поэтому, думаю, не лишним будет объявить на канале неделю Ансельма. Первые четыре дня будут посвящены комментариям авторов по поводу терминов, которые использует Ансельм в вышеуказанном аргументе: существование, Бог, большее, мышление. А затем будет еще парочка постов непосредственно про логическую формализацию аргумента.

Понятие "Существование" в онтологическом аргументе Ансельма

Во-первых, авторы статьи отмечают, что в "Прослогионе" Ансельма необходимо различать по крайней мере три понятия или концепции существования:

(1) существование в понимании (esse in intellectu);
(2) Существование в реальности;
(3) Необходимое существование (или "non cogitari potest ... non esse", "нельзя помыслить, чтобы не было").

Во-вторых, авторы фиксируют тот факт, что Ансельм считает существование в реальности существенным свойством. Иными словами, вещь может иметь или не иметь существование так же, как она может быть зеленой или не зеленой. Поэтому возражения Канта и других авторов по поводу того, что существование не является предикатом заранее выносится за скобки.

В-третьих, авторы делают следующие замечания в отношении концепции "существование в понимании" (esse in intellectu):
1) Существование в понимании фактически рассматривается параллельно существованию в реальности. Это предполагает, что существование в понимании следует понимать как существенное свойство, которое объект может иметь или не иметь так же, как и существование в реальности. Однако тот факт, что Ансельм использует существование в понимании как грамматический предикат, сам по себе ничего не говорит нам о смысле существования в понимании и о том, какую роль это понятие играет в формальной структуре доказательства Ансельма.
2) Поэтому, во-вторых, нужно посмотреть, что значит существовать в понимании и как это понятие соотносится с существованием в реальности. Здесь важную роль играет ссылка Ансельма на образ безумца из Псалтирь 13:1. Поскольку именно (реальное) существование этого безумца проясняет, что вообще имеется ввиду. Однако, если понимать это как высказывание о конкретном человеке, то мы должны были бы, таким образом, трактовать существование в понимании Ансельма как предикат, истинный (или ложный) для объектов относительно конкретного человека, и в формализации использовать индекс, явно указывающий на конкретного человека.
3) Однако, авторы полагают, что это не случайность, что безумец больше не упоминается с (II.9) до конца доказательства в гл. II. Ансельм здесь не делает различия между тем, чтобы быть в понимании конкретного лица (т.е. этого безумца) и быть в понимании tout court, т.е. быть понятным вообще. Хотя роль дурака важна для того, чтобы сделать различие между существованием в понимании и существованием в реальности внятным, дурак не имеет значения для формальной структуры аргумента, приведенного в (II.9)-(II.13).
4) Заметка по поводу формализации: по крайней мере, в отношении порядка аргументации, существование в понимании предшествует существованию в реальности. Таким образом, представляется разумным выразить существование в понимании посредством экзистенциального квантора и использовать предикат для существования в реальности.
В-четвёртых, что касается еще одного способа существования - т.е. ансельмовского "non cogitari potest ... non esse" ("нельзя помыслить, чтобы не было") - большинство комментаторов, похоже, сходятся в интерпретации этого высказывания как каким-то образом выражающего необходимое существование. Именно таким образом его в дальнешем понимают авторы.

Вернуться к основному посту про аргумент Ансельма.

#метафизика #философия_религии #конспект

Понятие "Бог" в онтологическом аргументе Ансельма

Ансельм использует две формулировки в отношении Высшего существа:
1) то, больше чего нельзя помыслить ("id quo maius cogitari non potest"), сокращенно - id quo.
2) что-то, больше чего нельзя помыслить ("aliquid quo nihil maius cogitari potest"), сокращенно - aliquid quo.

В связи с этим у авторов возникают два замечания:
Первое. Не вполне ясно (по крайней мере, в гл. II), что быть чем-то, больше чего нельзя помыслить (вторая формулировка), это то же самое, что быть чем-то, что мы традиционно называем "Богом". Однако, пишут они, аргумент в гл. II, в первую очередь, призван показать, что что-то, соответствующее второй формулировке, существует, и только в последующих главах "Прослогиона" Ансельм приписывает обычные божественные атрибуты (справедливость, правдивость, благословение, всемогущество и т.д.) уникально идентифицированному id quo, тем самым устанавливая, что такой id quo действительно является Богом, как мы обычно его себе представляем.

Второе. В определенных фрагментах гл. II Ансельм использует первое выражение вместо второго, поэтому можно было бы предположить, что первое выражение - это определённая дескрипция, т.е. такая дескрипция которая четко выбирает объект референции (например, не "какой-то дом", а "этот дом"). Однако, авторы отмечают, что если бы id quo нужно было читать как определенную дескрипцию, Ансельм был бы обязан предположить уникальность aliquid quo уже в гл. II, что, кажется, противоречит тому факту, что только в гл. III Ансельм впервые упоминает уникальность Бога. Другими словами, авторы полагают, что id quo Ансельма лучше всего понимать как вспомогательное имя, которое используется для доказательства чего-либо исходя из одного только предположения существования.

Интересно, что, по мнению авторов, Ансельм здесь использует стратегию, которую я ранее уже описывал, как более предпочтительную: в теистических доказательствах необходимо, по мере возможности, отказываться от теологического контекста и рассматривать отдельно взятые свойства и только после завершения доказательства добавлять необходимые подробности теологического характера. Можно было бы ожидать, что Ансельм сразу будет рассуждать о рассматриваемом им Высшем существе, как о Боге. Я думаю, что в какой-то мере использование этой стратегии показывает непредвзятость и точность мышления Ансельма.

Вернуться к основному посту про аргумент Ансельма.

#метафизика #философия_религии #конспект

Понятие "Большее" в онтологическом аргументе Ансельма

Еще одним понятием, которое рассматривают авторы статьи об онтологическом аргументе Ансельма, является ансельмовское "больший" ("maius"). В связи с этим возникает вопрос:

Каковы необходимые и/или достаточные условия для того, чтобы что-то было больше, чем что-то (другое)?

В гл. II "Прослогиона" все, что Ансельм буквально говорит нам о соотношении большего, это то, что существование в действительности делает большим. Поэтому, если взять гл. II ((II.10), в частности) изолированно, было бы последовательным интерпретировать Ансельма таким образом, что любое свойство делает что-то большим. Такое прочтение подтверждается тем, что Ансельм использует онтологически и морально нейтральный термин "maius" ("больше"), а не оценочный "melius" ("лучше"), который вводится только в гл. III. Что касается гл. II, то ситуация такова, что, очевидно, любой класс свойств может быть последовательно принят за класс свойств, которые делают вещь более великой, если только существование в реальности входит в этот класс.

Далее авторы применяют широкое понимание рассуждений Ансельма, согласно которому существование - это лишь одно свойство из многих, которые каким-то образом определяют отношение большего. Если расширить контекст, который считается релевантным для реконструкции, и включить в него гл. III, то необходимое существование также становится кандидатом на свойство, которое делает нечто большим. Это, по-видимому, означает, что, по крайней мере, различные способы существования таковы, что их наличие делает вещь более великой. Идя дальше, мы можем принять во внимание остальную часть "Прослогиона". В гл. V Ансельм утверждает, что Бог "справедлив, правдив и благословен и что лучше быть, чем не быть". В последующих главах он также приписывает Богу всемогущество, сострадание и бесстрастие. Это указывает на интерпретацию, согласно которой не только способы существования делают больше, но и каждое свойство в определенном, более широком классе положительных свойств. Общий принцип, стоящий за утверждением Ансельма, по-видимому, заключается в том, что все, что не имеет существования, можно представить себе большим, чем оно есть.

Вернуться к основному посту про аргумент Ансельма.

#метафизика #философия_религии #конспект

Это допущение непосредственно влияет на формализацию. Вот что авторы пишут по поводу формализации обсуждаемых свойств:

1. В формальных реконструкциях, где требуется квантификация свойств, кванторы второго порядка следует, следовательно, понимать как релятивизированные к "классу параметров" свойств P. Единственное, что мы требуем, чтобы этот класс был непротиворечивым - т.е. чтобы свойства в P не противоречили друг другу, и, чтобы избежать технических неудобств, чтобы свойства в P были примитивными. Хотя Ансельм хранит молчание по этому вопросу (как и мы), проблемы, связанные с этой темой, становятся важными для Лейбница, а затем и для Гёделя в их попытках строгого доказательства существования в понимании/возможного существования Бога путем доказательства непротиворечивости определенных классов свойств.

2. В большинстве наших реконструкций отношение "быть больше" будет представлено двухместным отношением ">", применяемым к парам индивидов. Используя знак ">", авторы, в том числе, указывают на то, что отношение "быть больше" у Ансельма упорядочено.

3. Мы можем предположить, что отношение ">" является таковым, что ничто не может быть больше самого себя. Однако это ставит под сомнение верную интерпретацию (II.10) и (II.11) с помощью одного только ">". Ансельм здесь, очевидно, утверждает, что если бы Бог не существовал, то можно было бы представить себе нечто большее, чем Бог - а именно, Его самого! Идея, похоже, состоит в том, что если бы Бог не существовал, мы могли бы каким-то образом помыслить это самое существо и просто "добавить" к нему свойство существования и тем самым считать это существо существующим. Однако, если, как мы предполагаем, ">" таково, что ничто не может быть больше самого себя и, следовательно, никакое существо не является (на самом деле) большим, чем оно (на самом деле) есть, то, похоже, нет очевидного способа снять противоречие, которое Ансельм выводит из предположения, что Бог не существует, а именно, что Бог является (или был бы) большим, чем он сам. Поэтому, чтобы не приписывать Ансельму противоречивость, авторы отказываются приписывать Ансельму такую тривиализированную версию рассуждения.

#метафизика #философия_религии #логика #конспект