438. Двое игроков отмечают точки плоскости. Сначала первый отмечает точку красным цветом, затем второй отмечает 100 точек синим, затем первый снова одну точку красным, второй 100 точек синим и так далее. (Перекрашивать уже отмеченные точки нельзя.) Докажите, что первый может построить правильный треугольник с красными вершинами.

#олмат
#матигры

439. На доске было написано число 141. Каждую минуту у написанного на доске числа перемножают все цифры и полученное произведение либо прибавляют к числу, либо вычитают из него (а результат записывают на доску вместо исходного числа). Докажите, что число 141 больше никогда не появится на доске.

#олмат
#тч

440. Для каких N>1 существуют N натуральных чисел, сумма которых равна их произведению?

#олмат
#алгебра

441. Предложите набор из четырех гирек, каждая из которых весит целое число граммов, чтобы с их помощью на чашечных весах без делений можно было взвесить любой целочисленный вес от 1 до 40 граммов.

#олмат
#гири

Вопрос 239. Автор вопроса назвала Махмуда Хассана Трезеге, Марвана Мухсина и Амра Медхата Варда ИМ. Площадь другого ЕГО равна шести. Назовите ЕГО двумя словами.

442. Решите в целых числах уравнение: 3x²+3y²+3z²+2x+2y+2z=28071996.

#олмат
#уравнения
#алгебра

443. Имеются фишки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Рома и Даля по очереди берут фишки (каждый ход по одной фишке). Выигрывает тот игрок, который первым соберёт у себя три фишки с суммой 15. (Если ни у одного игрока таких фишек не будет, фиксируется ничья.) Начинает Даля. Может ли один из игроков обеспечить себе победу? Ничью?

#олмат
#матигры

444. На доске записано несколько трехзначных чисел. Все они составные, однако, любые два взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

#олмат
#оценкаплюспример
#тч

445. В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.

#олмат
#графы

446. Через p(n,k) обозначим количество делителей числа n, не меньших k. Найдите p(1001,1)+...+p(2000,1000).

#олмат
#тч

447. 100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

#олмат
#алгоритмы

448. Таня Хадыева умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении n : (n + 1), где n — любое натуральное число. Таня утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом отношении m : k (m, k — натуральные). Права ли она?

#олмат
#тч
#текстовыезадачи

449. Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

#олмат
#тч

​​450. Двум мудрецам, А и Б, назначено испытание. Наутро их приведут в комнату, где на столе по кругу будут лежать шесть одинаковых с виду таблеток, из которых четыре безвредны, а две отравлены. Затем мудрецу А сообщат, какие таблетки отравлены, но передать информацию Б он уже не сможет. Мудрецы должны по очереди (начинает А) съедать по таблетке, пока не останется только две ядовитых. Как мудрецам заранее договориться, чтобы успешно пройти испытание?

#олмат
#алгоритмы

​​451. Для оклейки кубика n×n×n имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?

#олмат
#оценкаплюспример

452. Назовем редкой парой два последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на произведение своих цифр (числа не должны содержать в своей десятичной записи нулей). Среди каких чисел больше редких пар — среди 2018-значных или среди 2019-значных?

#олмат
#тч

​​453. За столом сидят 2018 джедаев. Любознательный Энакин хочет узнать, как их зовут (у всех джедаев разные имена). Он может показать на несколько джедаев пальцем и попросить магистра Йоду перечислить все их имена. К сожалению, порядок, в котором Йода перечисляет имена, может быть произвольным. Какое наименьшее количество раз Энакину придется отвлечь магистра Йоду от медитации?

#олмат
#алгоритмы

​​454. Даша Забродина утверждает, что число 0,112358132134… (после запятой записаны подряд идущие числа Фибоначчи) является иррациональным. Права ли она?

#олмат
#тч

455. Лиза Яковлева поет в течение месяца не менее одной песни в день, но не более 12 песен в любую неделю. Докажите, что найдётся несколько последовательных дней, в течение которых она споет ровно 20 песен.

#олмат
#текстовыезадачи

456. Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень 2019-ой степени?

#олмат
#алгебра