153. Какое наименьшее количество точек надо расположить внутри выпуклого пятиугольника ABCDE, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в точках A, B, C, D, и E лежала хотя бы одна точка?

#олмат
#геометрия
#оценкаплюспример
#9класс

186. На шахматной доске отмечены центры всех клеток. Рассмотрим все векторы, начало которых в центре черной клетки, а конец в центре белой клетки. Докажите, что сумма этих векторов равна нулевому вектору.

#олмат
#геометрия
#10класс

190. Известно, что в некотором треугольнике две высоты не меньше соответствующих сторон, к которым они проведены. Найдите все углы такого треугольника.

#олмат
#геометрия
#10класс

206. Дана окружность, у которой проведены 2 радиуса (они не составляют диаметр). Постройте с помощью циркуля и линейки хорду, которая делится радиусами на 3 равные части.

#олмат
#8класс
#геометрия
#построения

212. На координатной плоскости проведены 7 прямых и отмечены все точки их попарного пересечения. Могло ли оказаться так, что на каждой из прямых лежит ровно 3 точки с положительными абсциссами и ровно 3 точки с отрицательными абсциссами?

#олмат
#геометрия
#комбинаторика
#8класс

​223. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#10класс

254. Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек — обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#8класс

264. Могут ли обе декартовы координаты всех вершин равностороннего треугольника быть целыми числами?

#олмат
#геометрия
#тч
#бессмертнаяклассика

​326. Есть бильярдный стол, который имеет вид правильного шестиугольника со стороной 1. Лузы располагаются в вершинах шестиугольника. Изначально бильярдный шар лежит в центре стола. Какое минимальное расстояние он должен прокатиться, чтобы попасть в лузу с двумя отскоками от бортов?


Пояснение: удар шара о борт - упругий (угол падения равен углу отражения). Считаем, что размеры шара и лузы очень малы (они являются точками).

#олмат
#геометрия

351. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами, равна половине площади треугольника.

#олмат
#геометрия

​383. Ортогональными проекциями некоторого тела на каждую из двух данных плоскостей являются круги. Докажите, что диаметры этих кругов совпадают.

#олмат
#геометрия
#стереометрия

​418. На описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) лежит точка D. Она расположена на дуге CB, не содержащей точку A. Докажите, что AB + BC > AD + DC.

#олмат
#геометрия

​434. ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке E, а катетов AB и BC в точках F и G соответственно. FH — высота в треугольнике FEG. Докажите, что AH — биссектриса угла BAC.

#олмат
#геометрия