🤯 Александр Гротендик: революция абстракции

Александр Гротендик — легендарный математик XX века, известный своей способностью видеть в математике неочевидные связи. Математики называют его архитектором абстракции. Его работы заложили основы нескольких сложнейших теорий современной математики.

🔍 Как начиналась революция?
Родившийся в Берлине, Гротендик пережил трудное детство и юность, повлиявшие на его взгляды на мир. Его отец погиб в концлагере во время Второй мировой войны, а сам Гротендик скрывался в небольшом французском городке, где и открыл для себя математику. Его невероятный талант привёл его в мир академической математики, где он в кратчайшие сроки стал настоящей звездой. В 1958 году он присоединился к Институту высших научных исследований (IHÉS) во Франции, где и началась его «золотая эра» исследований.

📜 Вклад в математику
Гротендик заложил основы множества новых областей. Среди его самых известных достижений:

📝 Схемы — новый способ взгляда на алгебраическую геометрию, который позволил объединить методы коммутативной алгебры, топологии и теории чисел.
📝 Коциклы и когомологии — новый набор инструментов, позволяющий изучать топологические свойства алгебраических объектов, что впоследствии помогло доказать гипотезы Вейля. Это было одной из ключевых задач арифметической геометрии.
📝 Теория категорий — язык, который сегодня используют для описания многих математических структур и связей между ними. Категории стали основой для огромного числа современных математических исследований.
📝 Теория мотивов — попытка создать общий подход для различных когомологических теорий, что вдохновило дальнейшее развитие таких направлений, как алгебраическая K-теория и мотивная гомотопическая теория. (помните мотивы были в выпуске про Трансцендентные числа)

🚀 Почему это важно?
Работы Гротендика не только создали новые математические инструменты, но и изменили само представление об абстракции. Его подход к созданию «универсальных структур» позволил математикам глубже понять взаимосвязи между разными областями, от алгебры до топологии и арифметики. Это стало основой для сегодняшней математики: теорий, лежащих в основе компьютерных наук, физики и даже квантовой теории поля.

🧩 Наследие Гротендика
Математическое наследие Гротендика столь велико, что трудно представить современную математику без его концепций. Как говорил один из современных математиков, «мы живем в доме, который построил Гротендик», и, даже если не знаем об этом, мы по-прежнему пользуемся его идеями и методами.

Гротендик оставил математику в 1970-х из-за своих политических и философских убеждений. Он не раз критиковал научное сообщество и даже отказался от одной из крупнейших наград — премии Крафорда. Свою жизнь он посвятил поискам духовного смысла, живя в уединении, вдали от научного мира, но оставляя после себя уникальное наследие, которое до сих пор вдохновляет и поражает.

🔥 — хочется узнать больше!
❤️ — очень интересно, но ничего не понятно

🔄 Гомотопическая теория типов

Когда ещё только начинался хайп с GenAI, решил сделать выпуск, в котором сценарий полностью написан chatGPT, про одну из сложнейших областей современной математики — гомотопическую теорию чисел. Вывод стандартный — для genAI объяснение таких вещей все ещё не получается, слишком поверхностно и абстрактно. Поэтому выпуск многим не зашёл, но эксперимент был интересный. А, самое главное, спасибо Wild Mathing за концовку!

Видимо, придётся когда-нибудь написать сценарий традиционным способом. А ниже, напоминание про эту важную теорию в основе математики будущего!

🔍 Что это? Гомотопическая теория типов (HoTT) — это подход, который объединяет математику и компьютерные науки. В HoTT математические объекты рассматриваются как «фигуры», связанные путями, которые можно «проходить» разными способами. Это больше, чем просто равенство чисел: появляется идея выбора пути — как разные маршруты на карте.

💡 Краткая история Идея, что типы можно рассматривать как гомотопические структуры (фигуры с путями), изначально зародилась в середине XX века. В 1990-х исследователи впервые сформулировали, как применять группоиды (модели с разными путями) в типах. Но настоящий прорыв случился в начале 2000-х, когда ученые, включая Владимира Воеводского, начали использовать HoTT для практических задач. Ключевой момент — появление аксиомы унивалентности, утверждающей, что «эквивалентные типы можно считать идентичными», что стало важной основой для новых исследований.

👨‍💻 Как применяется? Представьте, что вы пишете программу для доказательства теоремы. В традиционной математике вам пришлось бы тщательно прописывать каждый шаг, а любое отклонение потребовало бы новых доказательств. В HoTT можно «переходить» по разным путям, упрощая процесс доказательства, а компьютерная программа может понимать эти пути и проверять доказательства автоматически! Это делает математику более интуитивной и открывает новые горизонты для сложных теорем.

✨ Почему это важно? HoTT делает математику более гибкой и позволяет компьютерам участвовать в проверке доказательств. Это открывает двери к созданию систем, где точность и надёжность имеют критическое значение, и приближает нас к будущему, где математика и технологии работают вместе, как никогда раньше.

❤️ — нужен полноценный выпуск!
🔥 — звучит интересно!
🗿 — при чём тут доказательства на компьютере?

@vitalmath

Найти трехзначное число, всякая целая степень которого оканчивается тремя цифрами, составляющими первоначальное число. 🤔

Всем хороших выходных!

И в чем она не права? 😁

Выходные — самое время отдохнуть, подумав о какой-нибудь красивой задаче. Одна задачка уже есть (решение будет в понедельник), но отдыха мало не бывает, поэтому сегодня ещё вот такая головоломка:

Пройти конем все поля шахматной доски, побывав на каждом поле ровно один раз. Начать с поля в левом нижнем углу доски (а1).

🤔💭♟️

А вот и ответ! Задача о ходе коня — головоломка, ставшая классикой среди математиков и программистов. Со времен Эйлера она превратилась в своеобразный портал в мир математической красоты и нашла применение в реальных задачах. Во время подготовки этого выпуска было пройдено много маршрутов конём, так что не пропустите — будет интересно!

Поддержите выпуск просмотром и комментарием на YouTubе! Ссылка на выпуск: https://youtu.be/BxQFIYeDr9U

Вчера вышел новый ролик про задачу о ходе коня и огромное количество ее красивых обобщений.

А сегодня уже продолжается работа над новым выпуском, про простую, всем известную и очень непростую тему одновременно. В мире, возможно, есть несколько десятков математиков, кто в ней разбирается, хотя каждый из нас точно слышал про это или задавался таким вопросом.

Вообще, удивительно как в математике можно столетиями жить в понятном и обоснованном мире, но стоит сделать один маленький шаг в сторону и попадаешь в бездну математической абстракции, абсолютно новый мир со своими правилами и объектами. Например, бесконечность, комплексные числа, кватернионы, несчётные множества, теорема Ферма, группы Галуа, категории, аксиомы выбора и ещё бесконечный набор тем и объектов.

🚀 Теория групп — фундамент всей математики!

Идея группы простая. Группа — это множество объектов и операция, с четырьмя свойствами: 
1. замкнутость: результат операции остается внутри группы. Это основа устойчивости
2. ассоциативность: порядок скобок не важен, что делает вычисления предсказуемыми
3. наличие нейтрального элемента: есть "нулевое действие", не меняющее результат (например, 0 для сложения)
4. наличие обратного элемента: любое действие можно "отменить" (например, вычитание обратного числа)

🤯Звучит абстрактно? Но на самом деле группы повсюду!Эти четыре свойства создают структуру, которая позволяет математике описывать и анализировать симметрии во множестве областей: от геометрии и алгебры до квантовой механики и теории чисел. Представьте кристаллы в физике или молекулы в химии — их структура напрямую связана с группами. Даже шифрование данных в интернете опирается на свойства групп!

💡 Интересный результат:
Одним из самых удивительных открытий стал классификатор простых конечных групп. Это такая "периодическая таблица" математики, описывающая все возможные симметрии, которые нельзя разбить на более простые. Оказалось, всего есть 26 "экзотических" типов! Это как найти полный список всех возможных атомов симметрии.

❓ Как вы относитесь к теории групп?
🔥 Хотел(а) бы разобраться лучше!
❤️ Теория групп — настоящая красота!
😎 Куда ж без теории групп? 

@vitalmath

💡 3 великих разочарования в математике

Иногда математика рушит интуитивные представления и первоначальные ожидания. Вот три примера:

🔥 Теорема Абеля-Руффини: неразрешимость уравнений пятой степени с помощью радикалов
В XVIII веке математики надеялись найти формулу для решения уравнений любой степени. Однако Нильс Абель и Паоло Руффини доказали, что уравнения пятой степени (например, x^5−x+1=0) не могут быть решены с использованием только корней и арифметических операций. Это открытие навсегда изменило алгебру и показало пределы стандартных методов решения.

🔥 Функция Вейерштрасса: фрактал в мат. анализе
Функция Карла Вейерштрасса, которая непрерывна, но нигде не дифференцируема, стала настоящим ударом по интуитивному представлению о непрерывности и гладкости в XIX веке. Этот пример показал, что математические объекты даже в привычном математическом анализе могут вести себя совершенно неожиданно. Функция Вейерштрасса – один из первых примеров фрактала. Про нее есть выпуск, кто ещё не видел.

🔥 Десятая проблема Гильберта: неразрешимость общих диофантовых уравнений
Давид Гильберт в 1900 году поставил задачу найти универсальный алгоритм, который мог бы определить, существует ли целое решение у произвольного диофантова уравнения. Например, уравнение 3x^2 - 2xy - zy^2 - 7 = 0 имеет целое решение (x=1, y=2, z=−2), а x^2+y^2+1=0 — нет. Однако спустя 70 лет математики доказали, что такого алгоритма не существует. Этот результат стал важным шагом в понимании границ вычислимости.

Не всё, что очевидно, действительно очевидно.

Какое из разочарований удивило больше всего? 
😎 – теорема Абеля-Руффини
🔥 – функция Вейерштрасса 
😎 – десятая проблема Гильберта 
❤️ – всё удивительно!  

@vitalmath

Сегодня ещё не выходные, но вот небольшая задачка на ночь:

В школе два класса по 24 человека в каждом. Каждый год классы перемешиваются случайным образом. В среднем, какое количество школьников останутся одноклассниками одного заданного школьника на 2й год, 3й год, 4й год?

#задачананочь

Сегодняшняя новость, вдруг кому интересно (не реклама):

Во-первых, 1го декабря — день математика.
Во-вторых, 1го декабря — большой математический диктант. Интересная инициатива, хорошо, что математики становится больше. Тотальный диктант по русскому языку был полезным, интересно, что будет с математикой.

Новость: https://ria.ru/20241122/diktant-1985078896.html

Само мероприятие: https://fintech.tinkoff.ru/activities/events/event/t-math/

Что вы про такое думаете?

Задача на выходные!

Сегодня классика, всегда интересно немного подумать:

В пруд выпустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?

Что скажете?
🔥 — сейчас посчитаю
❤️ — хотелось бы увидеть решения всех прошлых задач, и этой тоже

#задачанавыходные

Математические публикации: больше, чем просто цифры

Вы задумывались, как устроен мир математических исследований? Вот несколько удивительных фактов о том, как математики публикуют свои работы, и почему традиционные метрики качества порой бесполезны.

1️⃣ Цитирования актуальны дольше
В отличие от других наук, математические статьи остаются актуальными десятилетиями. Средняя “жизнь” цитирования в математике составляет 10 лет, а для классических работ ещё дольше. Например, статьи в алгебре могут быть востребованы и через 50 лет после публикации. Это показывает, что такие метрики, как “импакт-фактор” (среднее количество цитирований), ориентированные на краткосрочную популярность, плохо подходят для оценки математических исследований.

2️⃣ Рост публикаций и коллабораций
Каждый год число публикаций в математике растёт на 3%, а число авторов — на 4,5%:
• В среднем над одной статьёй работают 2,5 автора, но есть различия: в прикладных областях, таких как машинное обучение, среднее число авторов достигает 4–5, тогда как в классических дисциплинах, как теория чисел или топология, около 2 авторов.
• За последние 40 лет доля статей с несколькими авторами увеличилась с 25% до 60%. Коллаборации становятся ключевым элементом современного математического мира.

3️⃣ Неравномерность авторства
• 44% математиков публикуют всего одну статью за карьеру, часто связанную с их диссертацией (хотя странно, что их все еще называют математиками!).
• 10% авторов публикуют 10 и более статей. А абсолютный рекордсмен, Пол Эрдёш, написал невероятные 1769 работ за карьеру. Это больше, чем один человек успел бы прочитать за всю жизнь!

4️⃣ Цитирования и математические “расстояния”
В математике цитирования часто приходятся на близких коллег или соавторов. Среднее “цитатное расстояние” между авторами — всего 3 шага. Это подчеркивает важность профессиональных сетей и совместных проектов.

5️⃣ Метрики и реальность
В математике высокая цитируемость не всегда означает значимость работы. Например, 12% всех ссылок в статьях — это самоцитирования. А “импакт-фактор” часто игнорирует долгосрочный вклад и сложность идей.

🔍 Что это всё значит?
Публикации в математике — это не просто способ зафиксировать знания, но и отражение уникального духа науки. Она строится медленно, коллективно и с огромным уважением к долговечности идей.

По ссылке можно почитать подробней.

А как у вас?
❤️ — я написал(а) не одну статью
🤓 — я написал(а) ровно одну статью
😎 — ничего не написал(а), но математику люблю
🤯 — что же написал Пол Эрдёш?!

@vitalmath

Группы, кольца, поля – что всё это значит? 

Мир математики кажется загадочным, но в основе многих её чудес лежат три базовые структуры: группы, кольца и поля. 

Что это такое?
1️⃣ Группы – это структуры, где определено одно действие (например, сложение или перемножение), которое выполняется по четырём простым правилам: результат всегда остаётся в группе, операция ассоциативна, есть нейтральный элемент, и у каждого элемента есть обратный.
👉 Пример: симметрии фигур. Переставьте куб на столе, поверните его – каждая такая операция образует элемент группы симметрий.
2️⃣ Кольца – это расширение групп: теперь у нас два действия, например сложение и умножение, которые связаны друг с другом (свойством дистрибутивности).
👉 Пример: целые числа. Мы можем складывать, умножать и применять законы дистрибутивности (a(b + c) = ab + ac).
3️⃣ Поля – это ещё более мощные структуры, где определены сложение, умножение и их обратные действия (вычитание и деление).
👉 Пример: рациональные числа. Мы можем свободно делить числа, кроме деления на ноль.

Как они связаны?
Поля включают в себя кольца, а кольца содержат группы. Это как матрёшка: каждое следующее понятие включает в себя предыдущее, добавляя новые свойства и возможности.

Зачем они нужны?
Математика – это поиск закономерностей. Группы, кольца и поля помогают описывать и исследовать структуры, которые встречаются повсюду:
1️⃣ Симметрии. Всякий раз, когда что-то обладает симметрией (будь то молекула, шахматная доска или кристалл), группа симметрий помогает понять свойства объекта.
👉 Пример: Группы лежат в основе работы алгоритмов для решения кубика Рубика.
2️⃣ Коды и связь. Поля используются в создании кодов для хранения и передачи данных (например, QR-коды или баркоды).
👉 Пример: Коррекция ошибок на CD-дисках строится на полях конечных чисел.
3️⃣ Алгебраические уравнения. Поля и кольца лежат в основе теорий, которые объясняют, почему некоторые уравнения, как x^5 - x + 1 =0, нельзя решить с помощью формул.
4️⃣ Физика и химия. Группы и алгебры описывают симметрии физических законов. Например, квантовая механика построена на теории групп Ли.
5️⃣ Геометрия и топология. Кольца функций помогают изучать поверхности, такие как сфера или тор, через понятия, связанные с их "формой".
👉 Пример: Чтобы отличить сферу от тора, мы смотрим на их "группы петель", которые описывают возможные замкнутые пути на этих поверхностях.

Эти абстракции позволяют математикам работать с объектами, не зная их деталей. Как только вы докажете теорему для группы, она будет справедлива для всех групп, от симметрий кристаллов до преобразований в квантовой физике.

Что скажете?
😎 — группы 
🔥 — кольца 
❤️ — поля

Почему группы, кольца и поля? 

Почему ключевые алгебраические структуры называются именно так? У их названий есть любопытная история, которая начинается в глубинах европейской математики XIX века.

👉Поля
На немецком их изначально называли Körper (корпус, тело). Этот термин ввел Рихард Дедекинд в своих приложениях к книге Дирихле по теории чисел. Он использовал слово Zahlenkörper ("числовые тела") для обозначения структур, похожих на поля деления, которые содержат рациональные числа, но не обязательно являются коммутативными.

Почему в английском появился термин "Field" ("поле")? Его предложил Элиак Хастингс Мур, первый заведующий кафедрой математики в Чикагском университете. Возможно, он посчитал "body" слишком странным. Так или иначе, "Field" прижилось, а в немецком и французском до сих пор используются Körper и corps.

👉Кольца
Термин Ring появился благодаря Давиду Гильберту, который изучал кольца алгебраических чисел (называемые Zahlring). Дедекинд тоже использовал этот термин, хотя точно неясно, кто был первым.
Название "кольцо" вряд ли связано с физической формой круга. Скорее, это было удобное слово для описания множества чисел с определенными свойствами. В других языках название тоже отсылает к идее круга: Anneau во французском, Кольцо в русском, Ring в немецком. 

👉Группы
Термин "группа" впервые появился в работах молодого Эвариста Галуа, который в 1830 году использовал его для описания перестановок корней многочленов. Он выбрал это слово, чтобы обозначить множество объектов с определенными свойствами, — простая и логичная идея, которая быстро прижилась.

Английское слово "Group" ввел Артур Кейли в 1854 году, заимствовав его у Галуа. С тех пор термин стал стандартом, хотя мог бы быть заменен чем-то другим — "группы" вполне могли называться "агрегатами" или "совокупностями"!

А какие математические термины вам кажутся самыми необычными?
🤓 — любые
🔥 — а как же моноиды, магма, циклы, группоиды, луга?
❤️ — главное, чтобы любая конечная абелева группа была прямым произведением циклических подгрупп

🎲 Какова вероятность, что два случайных числа не имеют общих делителей?

Сегодня немного отвлечемся от теории групп — удивительный факт про вероятность.

Какова вероятность, что два случайно выбранные натуральных числа откажутся взаимно простыми, то есть их общий делитель — только 1?

На первый взгляд, кажется сложным, но математика и тут удивляет. Ответ: 6/π², или примерно 0.608.

🔢 Почему так?
Смотрите сами:
1️⃣ Вероятность, что одно число делится на 2, равна 1/2. Вероятность, что оба числа делятся на 2, равна 1/4.
2️⃣ Вероятность, что оба числа делятся на 3, — 1/9.
3️⃣ Для любого простого числа p, вероятность, что оба числа делятся на p, равна 1/p².

Теперь найдём вероятность, что ни одно простое число не делит оба числа одновременно. Для простого числа p это 1-1/p². Чтобы учесть все простые числа, мы перемножаем эти вероятности:
Итоговая вероятность = ∏(1−1/p²), произведение по всем простым p.
Этот бесконечный ряд сходится к знаменитой формуле 6/π².

📊 Что это значит?
Это значит, что если взять два случайных числа, в 60.8% случаев их наибольший общий делитель будет равен 1. Эта вероятность лежит в основе многих теоретических и практических приложений — от теории чисел до криптографии.

❓ Как думаете, где ещё математика удивляет такими связями?

❤️ — красиво
🤯 — удивительно
🗿 — откуда тут число π

Почему 7?

💡 Факт: На игральных костях сумма чисел на противоположных гранях всегда равна 7 (1-6, 2-5, 3-4).

📜 История: Такая конфигурация использовалась еще в Древнем Риме около 400 г. до н.э. Это помогало компенсировать недостатки в симметрии, так как древние кубики часто были неровными.

🤔 Почему? Такая настройка делает распределение выпадений более равномерным, даже если кубик слегка перекошен. Сумма противоположных сторон — 7 — означает, что среднее значение на грани кубика остается неизменным: 3.5. Это помогает игре быть более предсказуемой и справедливой.

🤓 — надо проверить
❤️ — интересно
🔥 — неожиданно