🎲 Закон больших чисел (ЗБЧ)

Один из первых и моих наиболее любимых выпусков. А самое интересное, его стабильно смотрят. Первые два года он вообще лидировал по просмотрам. И каждый день, независимо от частоты публикаций, просмотры росли, правда по чуть-чуть. Но что вообще такое ЗБЧ? 

Если коротко:
🤔 На длинной дистанции предсказуемость и стабильность побеждает случайность и хаос!

Чуть более формально, ЗБЧ говорит (в терминах частоты), что с ростом числа испытаний частота успеха приближается к теоретической вероятности. В терминах среднего ЗБЧ говорит, что среднее приближается к мат. ожиданию с ростом количества.

Но что в этом такого?

Во-первых, удивительна сама связь реальности и теории. Частота (реальность, которую мы наблюдаем) приближается к вероятности (числу из теории, которое мы построили на основе правил и аксиом). ЗБЧ это мост между тем, что мы видим вокруг, и миром формул и аксиом. При этом — это не закон природы, как гравитация или движение в физике, это всё ещё теорема из математики.

Во-вторых, наша интуиция не принимает ЗБЧ. Если при подбрасывании монеты 5 раз выпадает решка, наверняка, вы подумаете, что следующим выпадет орёл. Но вероятность орла не меняется, она 50% как и была раньше. Почему так? Потому что закон БОЛЬШИХ чисел (акцент на больших). Только когда испытаний много (десятки, сотни, тысячи?) частота близка к вероятности. А на МАЛЕНЬКИХ числах может быть всё, что угодно.  Помните случай с рулеткой Монте-Карло? 

А ещё ЗБЧ объясняет как работает страхование, лотереи и казино. Что думаете?

❤️ — ЗБЧ!
🤯 — после 5 решек вероятность орла 1/2
🗿— знаю, что после 5 решек шансы равны, но надеюсь на орла

📊 Нормальное распределение!

«На волне успеха» выпуска про Закон больших чисел, я тут же сделал выпуск о нормальном распределении. Это одно из самых удивительных явлений, которое встречается буквально везде, хотя мы не всегда это осознаём. От роста людей до рыночных колебаний, от оценок в школе до погрешностей в измерениях — нормальное распределение объясняет многое. Но это не просто красивая математическая кривая, это мощный инструмент для понимания мира, но который может легко обмануть!

🤔 Почему оно?
Нормальное распределение возникает, когда много мелких случайных факторов влияют на одно событие. Например, рост человека зависит от генетики, питания и множества других случайных факторов, которые складываются вместе. В итоге большинство людей оказываются где-то посередине, а отклонения — это редкость.

📌 Удивительные особенности
1 Центр притягивает: Большинство значений группируется вокруг среднего, крайние значения — редкость.
2 Симметрия: Отклонения вправо и влево от среднего происходят с одинаковой вероятностью, отсюда и красивая форма колокола.
3 Правило 68-95-99,7: 68% значений находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95% — в пределах двух, и почти все (99,7%) — в пределах трёх.

🔮 Главные заблуждения
1 Попытка применить нормальное распределение везде. Оно не подходит везде. Не все данные независимы и это важно учитывать.
2 Недооценка «тяжелых хвостов». Нормальное распределение быстро уходит к нулю по краям и "обрезает" хвосты, но в реальной жизни редкие события (чёрные лебеди) важнее, чем кажется, как это было в кризис 2008 года.
3 Ожидание нормальности от «малых выборок». Чтобы увидеть нормальное распределение, нужно достаточно большое количество данных (спасибо Закону больших чисел). На маленьких выборках может быть что угодно.
4 Среднее — не "норма": Средний рост 170 см не значит, что это "нормально" для всех. Отклонения от среднего — это тоже часть нормы!

Напоследок, недавно услышал жизненный принцип: "От центра вправо!" — делать что-то, что отдаляет тебя от среднего, открывая новые возможности. Хороший пример жизненных приложений, но полезно помнить, что всегда будут те, кто справа и те, кто ближе к центру – и всё это нормально!

Что вас больше всего удивляет в нормальном распределении?
❤️ — Удивительно, что оно повсюду
😲 — Не знал(а), что редкие события важнее, чем кажется
🗿— Нормальное распределение только вводит в заблуждение

@vitalmath

🎲 Пуассоновское распределение

Пару лет назад делал выпуск про Пуассоновское распределение. Каждый раз думаешь про него, когда ждешь — когда откроется дверь в подъезд, когда подъедет автобус, когда произойдет что-то хорошее или плохое. Распределение Пуаасона не такое известное, как нормальное, но тоже очень красивое.

🎲 Что это такое?
Распределение Пуассона описывает вероятность наступления любого количества независимых событий за фиксированный промежуток времени или на фиксированном пространстве. Например, сколько звонков поступит в колл-центр за час, сколько машин проедет перекресток за минуту.
Кроме того, распределение простое в расчёте. Зная среднее количество событий, можно легко предсказать, сколько таких событий может произойти в будущем.

🎲 В чем его суть?
Распределение Пуассона ещё называют законом редких событий, потому что оно описывает распределение редких, случайных и независимых событий.
Например, звонок в колл-центр это редкое событие для каждого человека. Каждый по отдельности звонит не часто. Но все вместе мы звоним много, и уже это «много» описывается распределением Пуассона.
На удивление в нашей жизни очень много явлений имеют такую природу — события, редкие для каждого по отдельности, но частые в совокупности.
Поэтому редкие события встречаются чаще, чем кажется.

🤯 Распределение повсюду:
звонки в службу поддержки, аварии на дороге, ошибки в книге или коде, количество клиентов в магазине за час, сбои оборудования на производстве, число пациентов в больнице за день, случаи редких заболеваний, запросы на веб-сервер за час, количество сообщений, полученных за день в чате, число преступлений в районе за месяц, посещения сайта в редкие часы, количество покупок на кассе за час и много других.

В общем, пуассоновское распределение — это ключ к пониманию закономерностей редких событий и превращения хаоса вокруг нас в предсказуемую систему.

Что думаете?
❤️ — Удивительно!
😎 — Все понятно!
🗿 — Ничего не понятно!

@vitalmath

🎲 Парадоксы 🎲

Первые видео на YT канале были про парадоксы. Да и после появилось ещё несколько. Мы все любим парадоксы, особенно в теории вероятностей. Они просто формулируются, легко представить условие, но сложно осознать реальное решение. Часто математика противоречит интуиции. Вот такая теория вероятностей!

Вот несколько, что уже было:

🎲 Парадокс Монти Холла (посмотреть): Если вы выбрали одну из трёх дверей, за которой спрятан приз, стоит ли поменять выбор после того, как ведущий открыл пустую дверь? Подсчёты показывают, что смена двери увеличивает шансы на победу, хотя это и кажется нелогичным.

🎲 Санкт-Петербургский парадокс (посмотреть): Сколько вы готовы заплатить за участие в игре с бесконечно растущим выигрышем, которая, казалось бы, должна сделать вас богачом? Однако интуиция подсказывает, что игра совсем не так выгодна, как кажется.

🎲 Парадокс двух конвертов (посмотреть): Если вы открыли один конверт с деньгами, стоит ли поменять его на второй, зная, что в нём может быть либо в 2 раза больше, либо в раза меньше меньше? Кажется, что всегда есть шанс получить больше, но интуиция может завести в тупик.

🎲 Парадокс мальчика и девочки (посмотреть): Узнав, что в семье есть мальчик, каковы шансы, что второй ребёнок тоже мальчик? Ответ не так прост, как кажется на первый взгляд, и может удивить своей логикой.

🎲 Парадокс неожиданной казни (посмотреть): Судья объявляет, что казнь произойдёт в один из дней следующей недели, но её дата будет неожиданной. При попытке предсказать день казни приговорённый приходит к выводу, что она вообще не состоится — но именно это делает её ещё более неожиданной.

🎲 Парадокс дней рождения (посмотреть): Какова вероятность, что в группе из 23 человек двое родились в один и тот же день? Оказывается, совпадение намного более вероятно, чем вы могли бы предположить.

🎲 Парадокс спящей красавицы (посмотреть): Спящая красавица просыпается, не зная, какой сегодня день, и должна решить, какова вероятность, что это понедельник. Один и тот же набор фактов приводит к двум разным, но одинаково правдоподобным ответам.

А какой парадокс нравится вам больше всего?

P.S. Кстати мой любимый выпуск, про парадокс мальчика и девочки с экспериментальным нелинейным форматом повествования, что, вместе с запутанным объяснением, делает его практически непостижимым для понимания, но фильм хороший 😊

😎 — Парадокс Монти Холла
🤯 — Парадокс двух конвертов
😍 — Санкт-Петербургский парадокс
🤔 — Что-то из других, в комментариях👇

@vitalmath

Задача на выходные

Так как на этой неделе было много про вероятность, то и задача на подумать на выходные тоже по теме:

Представьте, что вы играете в русскую рулетку. Две пули заряжены в две соседние ячейки (их называют каморами) барабана 6-ти зарядного револьвера. Крутят барабан. Нажимают на курок и происходит выстрел. Теперь ваша очередь. Вопрос: что будете делать, крутить барабан или стрелять?

Задачка действительно простая, давайте немного усложним:

Представьте, что также заряжены две пули. Также крутят барабан, нажимают на спусковой крючок. Но! Первому повезло, выстрела не происходит. Теперь ваша очередь. Что вы будете делать в таком случае? Крутить барабан или стрелять сразу?

🎲 Теория вероятностей: от азартных игр к управлению реальностью

Завершая неделю теории вероятностей, пара глобальных мыслей об этой области математики.

Когда-то теория вероятностей началась с простой задачи, как справедливо разделить ставку в прерванной игре. В XVII веке Блез Паскаль и Пьер Ферма заложили её основы, рассуждая о шансах в азартных играх. Это были первые попытки понять и измерить случайность.

Со временем теория вероятностей развивалась, и к XX веку появились новые направления, такие как теория случайных процессов, изучающая динамику случайных явлений во времени, и статистическая механика, описывающая поведение больших систем частиц. В XXI веке вероятностные методы стали основой анализа больших данных и машинного обучения, помогая строить прогнозы в медицине, экономике и социальных сетях. Сегодня вероятность лежит в основе многих систем, от предсказания погоды до моделирования распространения вирусов и изучения поведения сложных сетей, включая интернет и транспортные системы.

А что если заглянуть на 1000 лет вперёд, куда все будет развиваться? Теория вероятностей будущего может стать ключом к управлению реальностью. Вместо того чтобы только описывать случайные процессы, она, возможно, научит нас ими управлять. Объединившись с квантовой теорией, вероятности смогут предсказывать события с максимальной точностью, моделировать параллельные реальности и управлять сложными биологическими и цифровыми системами. Теория вероятностей станет основой, с помощью которой мы сможем не только понимать, но и создавать будущее, формируя предсказуемый и управляемый мир.

Теория вероятностей будущего — это путь к созданию предсказуемого и управляемого мира.

А как считаете вы?
😎 — Мы научимся управлять случайностью
🤯 — Случайность неуправляема
🗿 — Всё вероятно

@vitalmath

♟ Почему шахматы и математика так близки?

На днях задумался, а почему, действительно, шахматы обычно ассоциируют с математикой? Что в шахматах такого особенного?

Во-первых, схожесть мышления. Шахматы и математика требуют схожих навыков: логики, анализа и стратегического мышления. В обеих областях каждое решение имеет последствия, и успех зависит от умения просчитывать шаги вперёд и оценивать варианты. Шахматы — это своего рода «математическая задача» на доске, где игроки используют навыки комбинаторики, вероятностные расчёты и стратегическое планирование.

Во-вторых, методы анализа.
Комбинаторика помогает оценивать количество возможных позиций и комбинаций, позволяя просчитывать ходы на несколько шагов вперёд. Теория графов рассматривает доску и ходы как сетевую структуру, где клетки связаны возможными передвижениями фигур — это упрощает поиск наилучших путей и контролируемых зон. Вероятностные расчёты позволяют оценивать шансы на выигрыш той или иной позиции, особенно при анализе игры с компьютером, где ИИ просчитывает все возможные исходы. Алгоритмы и искусственный интеллект, такие как AlphaZero, находят оптимальные стратегии, обучаясь на миллионах партий.

Так что, шахматы — это не просто игра, а полигон для математических исследований и открытий, где логика и расчёт становятся ключом к победе!

P.S. Видео в ноябре будет про одно такое исследование, перевернувшее мир математики или, как минимум, мир десятков и сотен математиков. Сценарий готов.

@vitalmath

Суд и большие числа

В математике есть много очень больших чисел, число Грэма, Tree(3) или даже SCG(13). Правда встречаются они в основном в теории, в жизни числа поменьше. Но тоже интересные, например, такие (источник):

Общая сумма требований 17 российских телеканалов к Google достигла 2 ундециллионов рублей, рассказал источник РБК, знакомый с ходом спора. Ундециллион — это единица с 36 нулями.
В ходе очередного заседания суда, которое состоялось в понедельник, 28 октября судья упомянул, что рассматривает «дело, в котором много-много нулей».

2 ундециллиона рублей. Всего-то 2,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000.

Откуда такая сумма? Изначальные суммы требований начинались с десятков миллиардов. Но есть интересное условие! Если решение суда не выполнено в течении 9 месяцев с момента его вступления в силу, за каждый день неисполнения начисляется штраф в размере 100 тыс. рублей. Сумма удваивается каждую неделю, пока решение не будет выполнено, без ограничения общей стоимости штрафа.

Задачка! Попробуйте посчитать:
Предположим консервативный сценарий — неустойка начинается с суммы 2 ундециллиона рублей: сумма штрафа 100 тыс рублей в день и удваивается каждую неделю. Когда сумма штрафа Google достигнет количества атомов в видимой части Вселенной (10^80)?
Подсказка: ждать не долго

Современный аналог задачи о зернах на шахматной доске!

@vitalmath

Новый выпуск уже в работе! Любопытный вопрос, который, кажется, не подчиняется никакому исследованию.

🔢 Удивительные простые числа

Простые числа называют кирпичиками математики, из них строятся все целые числа. Также как в химии из атомов строятся все вещества.

Но кроме сложных теорем и нерешенных задач, есть несколько интересных фактов с простыми числами:

1. Простые квадратичные формы: Оказывается, есть формулы, которые создают длинные последовательности простых чисел. Например, n^2+n+41 даёт простое число для каждого целого числа от 0 до 39. Этот вид математической «магии» — одно из чудес теории чисел, хотя, к сожалению, универсальной формулы для всех простых чисел пока не найдено.

2. Магия остатков: Если возвести любое простое число больше 3 в квадрат и разделить его на 24, всегда получится остаток 1. Это удивительное свойство кажется магией, пока не разберёшься, почему оно работает.

3. Бесконечное изучение: Мы изучаем простые числа уже тысячи лет, но всё ещё не знаем ответов на многие фундаментальные вопросы, такие как гипотеза близнецов (есть ли бесконечно много простых пар, отличающихся на 2?) и гипотеза Гольдбаха (можно ли любое чётное число представить как сумму двух простых?).

4. Милсовы простые числа: Существует константа A, которая при возведении в степень 3^n и округлении вниз до целого, дает простое число для любого целого n. Это странное и редкое свойство называется теоремой Миллса.

5. Простые числа и цикады: В природе простые числа почти не встречаются, но у некоторых видов цикад удивительные циклы жизни: они появляются каждые 13 или 17 лет. Это защищает их от хищников, чей цикл обычно четный, 2, 4, 6 лет, и не совпадает с их собственным.

А вам какой факт о простых числах кажется наиболее интересным?

🤯 — формулы для простых чисел
🤓 — магия остатков
❤️ — открытые проблемы
🔥 — константа Миллса
🗿 — цикады
👍 — другое (в комментариях)

Теорема о бесконечных обезьянах

Наверняка вы ее слышали: если посадить обезьяну печатать в течении неограниченного количества времени, она, случайно ударяя по клавишам, рано или поздно напечатает любой заданный текст, будь то произведения Шекспира или стихи Пушкина.

🎲 С точки зрения теории вероятностей звучит логично. Вероятность события «случайно напечатать произведение «Руслан и Людмила» стремится к единице при росте количества нажатий к бесконечности. В теории все возможно, но что это значит на практике.

Австралийские ученые недавно посчитали:
🎲 2% — вероятность напечатать слово «бананы» при непрерывном печатании одной обезьяны в течении 30 лет
🎲 Намного дольше тепловой смерти Вселенной — столько времени потребуется чтобы напечатать «Гамлет» Шекспира. Представьте, обезьяна печатает непрерывно до конца существования вселенной, а потом еще продолжает до момента, когда вселенная полностью остынет, а после печатает ещё. Физики, что будет после? 🤯
🎲 Все еще дольше тепловой смерти Вселенной — даже если посадить печатать всех обезьян на Земле (около 200 тысяч), что-то разумное скорей всего появиться только после конца вселенной.

В общем вывод, теорема вводит в заблуждение, в нашем конечном мире интуиция не в силах осознать или примерно представить такие бесконечные аналогии.

Как считаете?
🗿 — подождем
🔥 — долго ждать, но все понятно
🤔 — а кто нибудь пробовал проверить?

@vitalmath

Задачка для отдыха после длинной рабочей недели

Простая понятная всем формулировка:
найти две последние цифры числа (116+17^17)^21

👇

🤯 "Невозможное" доказательство теоремы Пифагора

🧩 Теорема Пифагора известна всем — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Есть более 400 способов доказательства — от геометрических до алгебраических. Но среди них не было ни одного тригонометрического. Почему? 🤔 В 1907 году математик Элиша Скотт Лумис заявил, что доказать теорему Пифагора с помощью тригонометрии невозможно: он утверждал, что «тригонометрия возникает, потому что есть теорема Пифагора». Другими словами, все тригонометрические доказательства сами основаны на теореме Пифагора, получается "круговое доказательство". Лумис все поверили и на протяжении десятилетий математики считали тригонометрическое доказательство неразрешимой задачей.

🧮 Что произошло сейчас? В декабре 2022 года на школьном математическом конкурсе в Луизиане этот "невозможный" вызов оказался в качестве бонусного задания. Две старшеклассницы, Нэкия Джексон и Кэлсия Джонсон, построили "невозможное" тригонометрическое доказательство!

✍️ Подход к доказательству: Джексон и Джонсон использовали закон синусов — правило, которое позволяет находить стороны и углы треугольника без необходимости полагаться на теорему Пифагора. Вместо стандартных тригонометрических формул, школьницы разделили исходный треугольник на несколько меньших треугольников. Применяя закон синусов в каждом из этих треугольников, они выразили стороны через углы, обходя круговое рассуждение. Этот метод позволил им вывести соотношение для гипотенузы, не предполагая его истинность заранее.

🔑 В чём значимость? Их подход доказал, что «невозможное» не всегда таковым является, даже в классической математике. Даже в самой исследованной теореме можно найти новые подходы, если взглянуть на задачу свежим взглядом!

Вот сама статья — ссылка

Что вас больше всего удивляет в этой истории?
🔥 — неожиданно
🤯 — разве не было известно раньше?
❤️ — век живи — век учись

Почему у ChatGPT так плохо с математикой? ИИ скоро обещает стать умней человека во всем, но все еще не может делать даже базовые математические вещи.

На днях попросил голосового ассистента ChatGPT посчитать до 50, две ошибки. После ещё раз, до 100 — снова ошибки. ChatGPT пропускает числа, особенно не любит 47, 87, один раз даже забыл 10.

Если поискать в интернете, можно найти много примеров с ошибками в базовых вычислениях, простых задачках, подсчете количества слов, логических математических рассуждениях и так далее.

Как так? Как и все LLM (большие языковые модели), чат угадывает следующий символ или токен на основе примеров которые встречал раньше. Для LLM математика — это текст, а не численные операции. В основе «разума» ИИ лежат текстовые, а не логические шаблоны. Да и обучаются чаты на огромных объемах текста, а не математических базах.

Так что, пока доверия мало, но есть надежда на будущее.

А вы встречались с математическими ошибками ИИ? Пишите в комментариях

@vitalmath

🧐 Интересные числа

Каждое число интересно по-своему, математически. Если бы какое-то число было не интересным, оно стало бы скучным. Но тогда было бы множество скучных чисел. А это точно интересно всем. Все бы хотели узнать, например, минимальное скучное число. Противоречие. Значит все числа интересны.

Но есть числа, у которых просто удивительные, почти магические, свойства. Смотрите сами:

🔢 17 — единственное простое число равное сумме четырех последовательных простых чисел (2+3+5+7)
🔢 145 — равно сумме факториалов своих цифр (1!+4!+5!)
🔢 1729 — единственное число, представимое в виде суммы двух кубов двумя способами (= 1^3+12^3 = 9^3+10^3)
🔢 3435 — равно сумме цифр, возведенных в степень самих этих цифр (3^3+4^4+3^3+5^5)
🔢 142857 — минимальное циклическое число, для которого последовательные произведения на 1, 2, 3, 4, 5, 6 дают циклические перестановки цифр этого числа:
142857 х 1 = 142857
142857 х 2 = 285714
142857 х 3 = 428571
142857 х 4 = 571428
142857 х 5 = 714285
142857 х 6 = 857142

И, конечно, это далеко не всё!

А какое число интересно для вас?
❤️ — все числа хороши
🤯 — 1729
😎 — 37 конечно же!

📐 Дробная производная: математика на грани фантастики  

Представьте себе инструмент, который не просто фиксирует скорость или ускорение, а «помнит» всё, что происходило до текущего момента. Это и есть дробная производная. Впервые идею предложил ещё Лейбниц в 1695 году, и хотя тогда это казалось абстрактной игрой, сейчас дробные производные находят реальное применение в науке и технике.

🤔 Что это такое?
В отличие от обычных производных первого или второго порядка, дробная производная может быть, например, порядка 0.5 или 1.3. Она "смотрит на весь путь" функции, так как её значение зависит не только от текущего состояния функции, но и от её предыдущих значений.

Эта зависимость выражается через интегральные операторы, такие как производная Римана-Лиувилля или производная Капуто, которые включают интегрирование по промежутку от начального значения функции до текущей точки.   

Дробные производные описывают более сложные процессы с учётом "накопленного" эффекта. Они словно учитывают "память" системы. Это особенно полезно для моделирования процессов с накопительным эффектом (например, тепловые эффекты, деформация материалов).  

📈 Где встречаются дробные производные?
Физика: для описания процессов с запаздыванием, например, реакция материалов на нагрузку
- Биология: моделирование обмена веществ или процессов, чувствительных к предыдущим состояниям
- Финансовые рынки: в моделях для предсказания нестабильных изменений.
- Электротехника: для анализа цепей с элементами со свойствами накопления (катушки, конденсаторы)

Что думаете? Знали про дробные производные?
🔥 — Впечатляет!
❤️ — Хочу узнать больше!
🤯 — Интересно, но сложно  

✨ Проблема Эрдёша о дискретности: бесконечная красота

Представьте себе бесконечную последовательность из чисел ±1 (например, +1, -1, +1, +1, -1, ...). В 1930-х Пол Эрдёш, задался вопросом: существует ли такая последовательность, в которой сумма её элементов на равномерно распределённых отрезках (арифметических прогрессиях) не превышает заранее заданное значение C? Другими словами, как сильно могут отличаться суммы элементов этой последовательности?

🔍 Задача: Более формально, Эрдёш сформулировал задачу так: для любой бесконечной последовательности, состоящей из чисел +1 и -1, всегда найдутся такие параметры d (разность прогрессии) и n (количество шагов), что абсолютная величина суммы элементов прогрессии превысит C. Это значит, что рано или поздно, в любой такой последовательности, найдётся подотрезок с суммой, превышающей заданное ограничение.

🔄 В чём сложность? Несмотря на кажущуюся простоту последовательности из +1 и -1, она обладает огромной степенью вариативности. Чем больше длина последовательности, тем сложнее предсказать, как будет складываться сумма её элементов на определённых подотрезках. Арифметические прогрессии могут перекрывать друг друга и «скапливать» сумму, создавая всплески больше любого заранее заданного значения C. Последовательность может становиться всё более «разбалансированной», и этот процесс не имеет ограничений. Это делает задачу невероятно трудной для анализа — необходимо учитывать все возможные подотрезки и их взаимное влияние.

📚 История решения: Проблема впервые описана Эрдёшем в 1930-х годах и, независимо, Николаем Чудаковым в 1956 году. Первые успешные доказательства появились для отдельных значений C только спустя десятилетия.  Для C=1 решение было найдено Адрианом Матиасом в 1993 году, а для C=2 — Борисом Коневым и Алексеем Лисицыным в 2014 году с использованием логического анализа. И наконец, в 2015 году знаменитый математик Теренс Тао доказал утверждение для всех значений C, завершив многолетнюю головоломку.

✨ В чём красота? Проблема иллюстрирует, как простая, казалось бы, последовательность может скрывать удивительные математические тайны и глубокие закономерности. Решение требует не только знания теории чисел, но и применения логики, автоматов и даже компьютеров для проверки гипотез. Это пример того, как математика соединяет различные области знаний, создавая гармонию из хаоса.

Источник: ссылка

❤️ — красиво! 
🔥 — удивительно!
🤯 — нужно пояснение! 

🧠 Математика без диплома: 5 удивительных историй 

Не обязательно иметь диплом, чтобы стать великим математиком. Вот 5 историй людей, которые сами проложили путь к математической славе:

1. Сринаваса Рамануджан — индийский гений, чьи открытия в теории чисел до сих пор восхищают учёных. Одним из его самых значительных достижений стали формулы для вычисления значений π и исследования в области модульных форм. Рамануджан обучался математике самостоятельно, используя лишь одну книгу, и добился международного признания благодаря своему феноменальному интуитивному пониманию чисел.

2. Стефан Банах — основатель функционального анализа, который получил докторскую степень без формального диплома о высшем образовании. Его вклад включает знаменитую теорему Банаха о неподвижной точке и развитие теории топологических векторных пространств. Банах начал свой путь, решая задачи вместе с друзьями в кафе, что позже привело к основанию Львовской математической школы.

3. Михаил Остроградский — российский математик, который не получил диплом из-за строгих требований и бюрократических препятствий. Однако его работы по вариационному исчислению, теории чисел и математической физике сделали его важной фигурой в развитии отечественной школы математики. Он публиковал свои исследования во французских научных журналах и стал известным благодаря тесному сотрудничеству с Огюстеном Коши.

4. Израиль Гельфанд — один из крупнейших математиков XX века, у которого не было ни законченного среднего, ни высшего образования. Несмотря на это, он стал профессором, заведовал кафедрами и был членом множества академий. Гельфанд внёс вклад в функциональный анализ, теорию представлений и алгебру, а также создал уникальную образовательную программу для школьников, доказывая, что математика доступна каждому, кто готов учиться.

5. Томас Фуллер, известный как «Вирджинский калькулятор», был поразительным примером самородка. Он не умел ни читать, ни писать, но выполнял сложные вычисления с невероятной скоростью и точностью. Его способность к математике впечатляла даже учёных, что показало, что талант может проявляться в самых неожиданных условиях.

📝 Какая история вдохновила вас больше всего?

❤️ — все
🔥 — некоторые точно
😎 — диплом все равно нужен

@vitalmath

Задачка на выходные на устный счет:

Найти все двузначные числа, кратные произведению своих цифр.