Давно что-то не было задачек, придется немного подумать. Позже будет решение, а пока что можно, как обычно, насладиться неожиданной красотой и сложностью простоты, скрытой в математике.
Всего навсего нужно найти целые числа a, b и с - которые являются решением уравнения:
a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) = 4
Всего навсего нужно найти целые числа a, b и с - которые являются решением уравнения:
a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) = 4
1❤11👍5🔥4🥰1
Vital Math
Давно что-то не было задачек, придется немного подумать. Позже будет решение, а пока что можно, как обычно, насладиться неожиданной красотой и сложностью простоты, скрытой в математике. Всего навсего нужно найти целые числа a, b и с - которые являются решением…
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4
Ищем решения в положительных целых числах. Решение на самом деле в две шага.
👉 Шаг первый: Внимательные наблюдения
Уравнение однородное. Если (a,b,c) — решение, то (ka,kb,kc) тоже решение, потому что ka/(kb+kc) = a/(b+c).
Значит, важны не сами числа, а только их отношения. Поэтому можно разделить всё на c, считать c = 1, найти рациональное решение, а потом умножить на общий знаменатель и вернуться к целым числам.
Умножим уравнение на знаменатели:
a(a+b)(a+c) + b(b+a)(b+c) + c(c+a)(c+b)
= 4(a+b)(a+c)(b+c)
После раскрытия получается кубическое уравнение
a³ + b³ + c³ − 3(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²) − 5abc = 0
Степень равна 3, а такие уравнения часто приводят к эллиптическим кривым.
После замены переменных оно переходит в форму
y² = x³ + 109x² + 224x
Это уже стандартный вид эллиптической кривой, с которым умеют работать.
👉 Шаг второй: Магия с эллиптическими крививыми
Дальше используется главный факт: если на такой кривой найдена хотя бы одна рациональная точка, из неё можно по строгому правилу строить новые. Правило геометрическое: через две известные точки проводят прямую, она ещё раз пересекает кривую, и из этой новой точки получают следующую. Если точка одна и ту же складывают с собой, вместо прямой берут касательную. Так из одной стартовой точки рождается целая последовательность новых рациональных точек.
Например, точка
x = −100, y = 260
лежит на этой кривой. Обратная замена переменных даёт
a = 4, b = −1, c = 11
Это уже решение исходного уравнения, но оно нам не подходит, потому что b отрицательно.
Теперь начинаем многократно применять ту самую операцию на кривой: получаем 2P, 3P, 4P и так далее, где P = (−100,260). Каждая новая точка снова переводится обратно в тройку (a,b,c). Первые несколько шагов дают решения, но среди них всё ещё есть отрицательные числа. А вот на 9-м шаге, то есть для точки 9P, впервые получается тройка, где все числа положительные.
Это и есть искомое решение - числа примерно по 80 цифр:
a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
И для них действительно
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4
Ирония в том, что уравнение, выглядящее как школьная головоломка, на самом деле решается через теорию эллиптических кривых — одну из самых глубоких областей современной математики.
Ищем решения в положительных целых числах. Решение на самом деле в две шага.
👉 Шаг первый: Внимательные наблюдения
Уравнение однородное. Если (a,b,c) — решение, то (ka,kb,kc) тоже решение, потому что ka/(kb+kc) = a/(b+c).
Значит, важны не сами числа, а только их отношения. Поэтому можно разделить всё на c, считать c = 1, найти рациональное решение, а потом умножить на общий знаменатель и вернуться к целым числам.
Умножим уравнение на знаменатели:
a(a+b)(a+c) + b(b+a)(b+c) + c(c+a)(c+b)
= 4(a+b)(a+c)(b+c)
После раскрытия получается кубическое уравнение
a³ + b³ + c³ − 3(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²) − 5abc = 0
Степень равна 3, а такие уравнения часто приводят к эллиптическим кривым.
После замены переменных оно переходит в форму
y² = x³ + 109x² + 224x
Это уже стандартный вид эллиптической кривой, с которым умеют работать.
👉 Шаг второй: Магия с эллиптическими крививыми
Дальше используется главный факт: если на такой кривой найдена хотя бы одна рациональная точка, из неё можно по строгому правилу строить новые. Правило геометрическое: через две известные точки проводят прямую, она ещё раз пересекает кривую, и из этой новой точки получают следующую. Если точка одна и ту же складывают с собой, вместо прямой берут касательную. Так из одной стартовой точки рождается целая последовательность новых рациональных точек.
Например, точка
x = −100, y = 260
лежит на этой кривой. Обратная замена переменных даёт
a = 4, b = −1, c = 11
Это уже решение исходного уравнения, но оно нам не подходит, потому что b отрицательно.
Теперь начинаем многократно применять ту самую операцию на кривой: получаем 2P, 3P, 4P и так далее, где P = (−100,260). Каждая новая точка снова переводится обратно в тройку (a,b,c). Первые несколько шагов дают решения, но среди них всё ещё есть отрицательные числа. А вот на 9-м шаге, то есть для точки 9P, впервые получается тройка, где все числа положительные.
Это и есть искомое решение - числа примерно по 80 цифр:
a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
И для них действительно
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4
Ирония в том, что уравнение, выглядящее как школьная головоломка, на самом деле решается через теорию эллиптических кривых — одну из самых глубоких областей современной математики.
🔥34👍9😱5🥰2
Где работают математики?
Математику так или иначе используют все, но есть профессии, где нужна настоящая математика. Что это за профессии?
Готового ответа не нашёл, но вот такой ответ выше выдали рисерчи с ИИ. Так как лучшего ответа пока нет, придется вериться этому.
Топ 5 индустрий, где работают математики, выглядит так:
1. ИТ (Технологический сектор)
2. Финансы
3. Гос сектор
4. Академия
5. Страхование
Из профессий в топе индустрий - Data scientists, кванты, криптографы, преподаватели и актуарии.
Из областей - много машинного обучения, оптимизации и статистики.
С одной стороны, ничего необычного, с другой - интересно понимать, куда может привести математика.
А чем вы занимаетесь?
Математику так или иначе используют все, но есть профессии, где нужна настоящая математика. Что это за профессии?
Готового ответа не нашёл, но вот такой ответ выше выдали рисерчи с ИИ. Так как лучшего ответа пока нет, придется вериться этому.
Топ 5 индустрий, где работают математики, выглядит так:
1. ИТ (Технологический сектор)
2. Финансы
3. Гос сектор
4. Академия
5. Страхование
Из профессий в топе индустрий - Data scientists, кванты, криптографы, преподаватели и актуарии.
Из областей - много машинного обучения, оптимизации и статистики.
С одной стороны, ничего необычного, с другой - интересно понимать, куда может привести математика.
А чем вы занимаетесь?
1👍13🔥4🥰2👎1
🔍 Премию Абеля снова дали за теорию чисел
Абелевскую премию 2026 года получил Герд Фальтингс, немецкий математик, который в 1983 году сделал то, что десятилетиями считалось почти недосягаемым.
Он доказал гипотезу Морделла.
По сути это история о том, как математики пытались понять одну простую вещь: когда у уравнения бесконечно много рациональных решений, а когда - только конечное число. И внезапно оказалось, что ответ зависит не столько от самих чисел, сколько от геометрии алгебраической кривой, которую задаёт это уравнение.
Если говорить совсем просто, то от количества «дырок». А точнее, от рода.
📚 Что вообще за уравнения
Речь идёт о диофантовых уравнениях, то есть об уравнениях, для которых мы ищем решения в целых или рациональных числах. Это одна из древнейших территорий математики: задачи такого типа обсуждали ещё во времена Диофанта почти две тысячи лет назад.
Классический дух здесь такой: не просто решить уравнение, а понять, существуют ли у него хорошие арифметические решения, то есть целые числа или дроби. Например, уравнение x² + y² = 25 имеет рациональные решения вроде (3, 4), уравнение y = x² задаёт параболу, а уравнение y² = x³ - x после добавления точки на бесконечности приводит нас к эллиптической кривой.
🧠 От чисел к геометрии
Главный фокус арифметической геометрии в том, что уравнение начинают изучать не только как запись с иксами и игреками, а как геометрический объект. И тут выясняется неожиданная вещь: вопросы про рациональные числа начинают зависеть от формы кривой.
Если совсем грубо, математики классифицируют кривые по роду. Род можно сравнить с числом «ручек» у соответствующей компактной поверхности: сфера имеет род 0, тор имеет род 1, дальше идут род 2, 3 и так далее.
И вот гипотеза Морделла, сформулированная ещё в 1922 году, утверждала нечто очень сильное. Если гладкая проективная кривая имеет род больше 1, то рациональных точек на ней может быть только конечное число.
✨ Почему это было так важно
Это очень жёсткое утверждение. Оно говорит, что для огромного класса уравнений рациональных решений не может быть бесконечно много просто по устройству самой геометрии.
До Фальтингса это была одна из больших открытых проблем XX века. Больше шестидесяти лет к ней подступались с разных сторон, и прогресс был очень ограниченным. А потом молодой немецкий математик доказал гипотезу, и после этого гипотеза Морделла стала теоремой Фальтингса.
За эту работу он получил Филдсовскую премию в 1986 году. А теперь и Абелевскую премию.
Фальтингс важен не только тем, что доказал гипотезу Морделла. Он ввёл мощные инструменты в арифметическую геометрию. То есть не просто закрыл одну знаменитую задачу, а изменил сам способ работы в этой области.
Позже он доказал и гипотезу Морделла-Ленга, гораздо более широкое утверждение о распределении рациональных точек.
Ты спрашиваешь: сколько у уравнения решений в дробях?
А математика отвечает: сначала пойми, каков род связанной с ним кривой.
Абелевскую премию 2026 года получил Герд Фальтингс, немецкий математик, который в 1983 году сделал то, что десятилетиями считалось почти недосягаемым.
Он доказал гипотезу Морделла.
По сути это история о том, как математики пытались понять одну простую вещь: когда у уравнения бесконечно много рациональных решений, а когда - только конечное число. И внезапно оказалось, что ответ зависит не столько от самих чисел, сколько от геометрии алгебраической кривой, которую задаёт это уравнение.
Если говорить совсем просто, то от количества «дырок». А точнее, от рода.
📚 Что вообще за уравнения
Речь идёт о диофантовых уравнениях, то есть об уравнениях, для которых мы ищем решения в целых или рациональных числах. Это одна из древнейших территорий математики: задачи такого типа обсуждали ещё во времена Диофанта почти две тысячи лет назад.
Классический дух здесь такой: не просто решить уравнение, а понять, существуют ли у него хорошие арифметические решения, то есть целые числа или дроби. Например, уравнение x² + y² = 25 имеет рациональные решения вроде (3, 4), уравнение y = x² задаёт параболу, а уравнение y² = x³ - x после добавления точки на бесконечности приводит нас к эллиптической кривой.
🧠 От чисел к геометрии
Главный фокус арифметической геометрии в том, что уравнение начинают изучать не только как запись с иксами и игреками, а как геометрический объект. И тут выясняется неожиданная вещь: вопросы про рациональные числа начинают зависеть от формы кривой.
Если совсем грубо, математики классифицируют кривые по роду. Род можно сравнить с числом «ручек» у соответствующей компактной поверхности: сфера имеет род 0, тор имеет род 1, дальше идут род 2, 3 и так далее.
И вот гипотеза Морделла, сформулированная ещё в 1922 году, утверждала нечто очень сильное. Если гладкая проективная кривая имеет род больше 1, то рациональных точек на ней может быть только конечное число.
✨ Почему это было так важно
Это очень жёсткое утверждение. Оно говорит, что для огромного класса уравнений рациональных решений не может быть бесконечно много просто по устройству самой геометрии.
До Фальтингса это была одна из больших открытых проблем XX века. Больше шестидесяти лет к ней подступались с разных сторон, и прогресс был очень ограниченным. А потом молодой немецкий математик доказал гипотезу, и после этого гипотеза Морделла стала теоремой Фальтингса.
За эту работу он получил Филдсовскую премию в 1986 году. А теперь и Абелевскую премию.
Фальтингс важен не только тем, что доказал гипотезу Морделла. Он ввёл мощные инструменты в арифметическую геометрию. То есть не просто закрыл одну знаменитую задачу, а изменил сам способ работы в этой области.
Позже он доказал и гипотезу Морделла-Ленга, гораздо более широкое утверждение о распределении рациональных точек.
Ты спрашиваешь: сколько у уравнения решений в дробях?
А математика отвечает: сначала пойми, каков род связанной с ним кривой.
1👍22🔥9⚡3❤🔥1🥰1
Почему моряки столетиями шли не кратчайшим путем
Обычно нам кажется, что хороший маршрут — это самый короткий маршрут.
На море долгое время всё было наоборот. Самый удобный путь оказывался длиннее, но зато более практичным.
Это локсодрома — линия, которая пересекает все меридианы под одним и тем же углом.
Если по-простому, это маршрут, при котором можно держать один и тот же курс по компасу. Судно идёт все время под одним и тем же румбом. Для мореплавания это было не просто удобно, а почти спасительно.
Кратчайший путь, конечно, тоже существует: это дуга большой окружности, то есть геодезическая линия на сфере. Именно она дает минимальное расстояние между двумя точками на Земле.
Но с нюансами.
Чтобы идти по этому действительно кратчайшему пути, навигатору пришлось бы постоянно поправлять курс, каждую минуту. В реальном море прошлых веков - задача почти невыполнимая.
Локсодрома в этом смысле — гениальный компромисс. Она длиннее, зато ей можно следовать, не превращая плавание в бесконечную борьбу с отклонением курса.
Цена удобства
У локсодромы есть красивое свойство. Если продолжать идти по ней, она будет обвиваться вокруг Земли, закручиваться к полюсам, но так никогда их и не достигнет. Зато на карте Меркатора она выглядит как прямая.
Из Нью-Йорка в Лондон, например, по такому маршруту надо было бы идти под постоянным углом 73° к меридиану. Больше времени, зато сильно проще в навигации.
Ввел локсодрому в навигацию португальский математик и географ Педру Нуниш.
Локсодрома нужна не только парусникам раннего Нового времени. Некоторые мусульманские общины в Северной Америке используют именно локсодромическое направление на Мекку как киблу — то есть выбирают не кратчайший путь по сфере, а путь постоянного курса.
Что здесь главное
Локсодрома — хороший пример того, что математика побеждает не тогда, когда находит не “идеальное”, а практичное решение.
Именно поэтому линия, которая на глобусе выглядит как безумная спираль, оказалась одной из самых полезных линий в истории мореплавания.
Обычно нам кажется, что хороший маршрут — это самый короткий маршрут.
На море долгое время всё было наоборот. Самый удобный путь оказывался длиннее, но зато более практичным.
Это локсодрома — линия, которая пересекает все меридианы под одним и тем же углом.
Если по-простому, это маршрут, при котором можно держать один и тот же курс по компасу. Судно идёт все время под одним и тем же румбом. Для мореплавания это было не просто удобно, а почти спасительно.
Кратчайший путь, конечно, тоже существует: это дуга большой окружности, то есть геодезическая линия на сфере. Именно она дает минимальное расстояние между двумя точками на Земле.
Но с нюансами.
Чтобы идти по этому действительно кратчайшему пути, навигатору пришлось бы постоянно поправлять курс, каждую минуту. В реальном море прошлых веков - задача почти невыполнимая.
Локсодрома в этом смысле — гениальный компромисс. Она длиннее, зато ей можно следовать, не превращая плавание в бесконечную борьбу с отклонением курса.
Цена удобства
У локсодромы есть красивое свойство. Если продолжать идти по ней, она будет обвиваться вокруг Земли, закручиваться к полюсам, но так никогда их и не достигнет. Зато на карте Меркатора она выглядит как прямая.
Из Нью-Йорка в Лондон, например, по такому маршруту надо было бы идти под постоянным углом 73° к меридиану. Больше времени, зато сильно проще в навигации.
Ввел локсодрому в навигацию португальский математик и географ Педру Нуниш.
Локсодрома нужна не только парусникам раннего Нового времени. Некоторые мусульманские общины в Северной Америке используют именно локсодромическое направление на Мекку как киблу — то есть выбирают не кратчайший путь по сфере, а путь постоянного курса.
Что здесь главное
Локсодрома — хороший пример того, что математика побеждает не тогда, когда находит не “идеальное”, а практичное решение.
Именно поэтому линия, которая на глобусе выглядит как безумная спираль, оказалась одной из самых полезных линий в истории мореплавания.
❤30🔥15💯4❤🔥3🥰1
Самая странная форма
Обычные однородные тела (камни, игрушки, геометрические модели) имеют много положений равновесия: несколько устойчивых, несколько неустойчивых и так называемые седловые, а их число связано топологическими теоремами типа Пуанкаре–Хопфа.
Но в в 1995 году выдающийся математик Владимир Арнольд задал вопрос: бывает ли однородное выпуклое тело, у которого ровно одна устойчивая и одна неустойчивая точка равновесия?
Через 10 лет поисков Венгерские математики Габор Домокош и Петер Варконьи дали положительный ответ. Такая форма существует - это гёмбёц.
Помимо редкого сочетания двух букв ё в слове, гёмбёц - уникальный объект. Это "честная" неваляшка. В обычной неваляшке центр тяжести смещен за счет груза внутри. Но гёмбёц - однородное тело. При этом как ни положи его на стол, он всё равно вернётся в своё единственное «правильное» положение. Без магнита, без груза. Только за счёт формы.
Гёмбёц уникален тем, что при однородной плотности и строгой выпуклости имеет строго одно устойчивое и одно неустойчивое положение без седловых точек, то есть реализует минимально возможное число равновесий. При этом его форма экстремально «близка к шару», но настолько чувствительна, что малейшее отклонение (царапина, небольшой выступ) добавляет новые точки равновесия и разрушает уникальное свойство самовосстановления.
Оказалось, что такие объекты есть и в природе - панцири у черепах. Гёмбёц помогает черепахе переворачиваться без особых усилий, если вдруг она оказалась на спине. А сейчас такие формы используют для роботов, дронов и в лекарствах.
Вот так геометрия управляет динамикой и в очередной раз связывает абстрактную математику с реальностью.
Обычные однородные тела (камни, игрушки, геометрические модели) имеют много положений равновесия: несколько устойчивых, несколько неустойчивых и так называемые седловые, а их число связано топологическими теоремами типа Пуанкаре–Хопфа.
Но в в 1995 году выдающийся математик Владимир Арнольд задал вопрос: бывает ли однородное выпуклое тело, у которого ровно одна устойчивая и одна неустойчивая точка равновесия?
Через 10 лет поисков Венгерские математики Габор Домокош и Петер Варконьи дали положительный ответ. Такая форма существует - это гёмбёц.
Помимо редкого сочетания двух букв ё в слове, гёмбёц - уникальный объект. Это "честная" неваляшка. В обычной неваляшке центр тяжести смещен за счет груза внутри. Но гёмбёц - однородное тело. При этом как ни положи его на стол, он всё равно вернётся в своё единственное «правильное» положение. Без магнита, без груза. Только за счёт формы.
Гёмбёц уникален тем, что при однородной плотности и строгой выпуклости имеет строго одно устойчивое и одно неустойчивое положение без седловых точек, то есть реализует минимально возможное число равновесий. При этом его форма экстремально «близка к шару», но настолько чувствительна, что малейшее отклонение (царапина, небольшой выступ) добавляет новые точки равновесия и разрушает уникальное свойство самовосстановления.
Оказалось, что такие объекты есть и в природе - панцири у черепах. Гёмбёц помогает черепахе переворачиваться без особых усилий, если вдруг она оказалась на спине. А сейчас такие формы используют для роботов, дронов и в лекарствах.
Вот так геометрия управляет динамикой и в очередной раз связывает абстрактную математику с реальностью.
2❤33👍13🐳3🥰1
Что общего у нуля и зефира
На первый взгляд — ничего, но это не так.
У нуля непростая история: его трижды открывали, долго не понимали и не принимали. И наконец, в XIII веке, вместе с арабскими цифрами он пришёл в Европу.
Переводом арабских трудов на латынь занимались итальянцы, точнее, тот самый Фибоначчи. В арабском языке ноль называли ṣifr — «пустой» (тоже перевод "пустоты" с санскрита). Это слово оказалось созвучным другому латинскому слову - Zephyrus (наследник греческого Zephyros), обозначающего "западный ветер". В результате на латыни ноль получил название zephirum.
За последующие пару столетий итальянцы изменили zephirum на более итальянское zefiro, а после вообще сократили до zero. А в это же время под Коломной появляются первые рецепты того, что через 300-400 лет получит новую легкую форму и название, вдохновленное западным ветром, - зефир.
Вот так ноль неожиданно приблизился, а потом отдалился от вкусного пирожного. Или западного ветра - кто как привык.
На первый взгляд — ничего, но это не так.
У нуля непростая история: его трижды открывали, долго не понимали и не принимали. И наконец, в XIII веке, вместе с арабскими цифрами он пришёл в Европу.
Переводом арабских трудов на латынь занимались итальянцы, точнее, тот самый Фибоначчи. В арабском языке ноль называли ṣifr — «пустой» (тоже перевод "пустоты" с санскрита). Это слово оказалось созвучным другому латинскому слову - Zephyrus (наследник греческого Zephyros), обозначающего "западный ветер". В результате на латыни ноль получил название zephirum.
За последующие пару столетий итальянцы изменили zephirum на более итальянское zefiro, а после вообще сократили до zero. А в это же время под Коломной появляются первые рецепты того, что через 300-400 лет получит новую легкую форму и название, вдохновленное западным ветром, - зефир.
Вот так ноль неожиданно приблизился, а потом отдалился от вкусного пирожного. Или западного ветра - кто как привык.
❤23😁7👌5🥰1🥴1
Брахисторона или таутохрона?
В XVII веке математики искали такую кривую, по которой шарики, запущенные из разных точек, будут доезажть вниз за одно и то же время. Суть в том, чтобы дополнительная длина пути компенсировалась большей скоростью на более крутом участке. В итоге система как будто сама себя “выравнивает” по времени.
Задача получила название задача о таутохроне (от греческих слов tauto — «тот же» и chronos — «время», то есть «одновременность»).
Её решил Христиан Гюйгенс в 1673 году. Искомая кривая — циклоида, траектория точки на окружности, которая катится по прямой. На основе этого он придумал циклойдальный маятник: если груз маятника движется не по дуге окружности, а по дуге циклоиды, период колебаний становится почти независимым от амплитуды, что важно для точных часов.
Но!
В XVII веке была ещё одна известная задача — задача о брахистохроне (тоже от греческих "самый короткий" и "время"), или кривой наискорейшего спуска. Она спрашивает: какую форму должна иметь гладкая кривая между двумя точками на плоскости, чтобы шарик, скользящий по ней без трения под действием тяжести, добирался до нижней точки за минимальное время.
В 1696 году Иоганн Бернулли объявил эту задачу конкурсной. В числе решивших её были Бернулли, Лейбниц и Ньютон, а ответ снова оказался циклоидой. Задача о брахистохроне стала одним из истоков вариационного исчисления и оптимального управления (считается простейшей и наглядной задачей!).
А математическая красота всего этого заключена в циклоиде. Одна и та же простая кривая одновременно решает две совершенно разные «оптимальные» задачи — даёт и наискорейший спуск, и одинаковое время спуска из любых точек.
А вам что ближе?
❤️ - циклоида
🔥 - брахистохрона
👍 - таутохрона
В XVII веке математики искали такую кривую, по которой шарики, запущенные из разных точек, будут доезажть вниз за одно и то же время. Суть в том, чтобы дополнительная длина пути компенсировалась большей скоростью на более крутом участке. В итоге система как будто сама себя “выравнивает” по времени.
Задача получила название задача о таутохроне (от греческих слов tauto — «тот же» и chronos — «время», то есть «одновременность»).
Её решил Христиан Гюйгенс в 1673 году. Искомая кривая — циклоида, траектория точки на окружности, которая катится по прямой. На основе этого он придумал циклойдальный маятник: если груз маятника движется не по дуге окружности, а по дуге циклоиды, период колебаний становится почти независимым от амплитуды, что важно для точных часов.
Но!
В XVII веке была ещё одна известная задача — задача о брахистохроне (тоже от греческих "самый короткий" и "время"), или кривой наискорейшего спуска. Она спрашивает: какую форму должна иметь гладкая кривая между двумя точками на плоскости, чтобы шарик, скользящий по ней без трения под действием тяжести, добирался до нижней точки за минимальное время.
В 1696 году Иоганн Бернулли объявил эту задачу конкурсной. В числе решивших её были Бернулли, Лейбниц и Ньютон, а ответ снова оказался циклоидой. Задача о брахистохроне стала одним из истоков вариационного исчисления и оптимального управления (считается простейшей и наглядной задачей!).
А математическая красота всего этого заключена в циклоиде. Одна и та же простая кривая одновременно решает две совершенно разные «оптимальные» задачи — даёт и наискорейший спуск, и одинаковое время спуска из любых точек.
А вам что ближе?
❤️ - циклоида
🔥 - брахистохрона
👍 - таутохрона
1❤27👍11🔥6🤣2🥰1
Vital Math
Всем привет! Как вы могли заметить последнее время на канале не было большой активности. Крайний выпуск был в марте, да и вообще всего один в этом году. При этом математики меньше не становится, наоборот, число математиков и открытий растет. Теории развиваются…
Заняло чуть больше, чем ожидалось. Но совсем скоро математические изменения уже начнутся.
1го апреля наконец-то небольшой выпуск - не пропустите и не удивляйтесь сильно!
1го апреля наконец-то небольшой выпуск - не пропустите и не удивляйтесь сильно!
❤9👍4🔥4🥰2
Сегодня - неофициальный день математика, с чем всех и поздравляю!
Очень ценю и уважаю внимательных зрителей и читателей, внимательно подмечающих все неточности, ошибки и опечатки.
Но вот вопрос, нашлось простое доказательство теоремы Ферма, где всё можно решить в несколько строчек. Думаете, это прорыв или все-таки где-то подвох?
Небольшой выпуск в честь праздника уже на канале!
YT: ссылка
VK: ссылка
Очень ценю и уважаю внимательных зрителей и читателей, внимательно подмечающих все неточности, ошибки и опечатки.
Но вот вопрос, нашлось простое доказательство теоремы Ферма, где всё можно решить в несколько строчек. Думаете, это прорыв или все-таки где-то подвох?
Небольшой выпуск в честь праздника уже на канале!
YT: ссылка
VK: ссылка
❤23🔥11👍6😁3🐳3
Как все-таки вы считаете, что делаем с названием?
Anonymous Poll
6%
Оставляем «вКорень»
57%
Оставляем «Vital Math»
37%
Неважно, как называется, главное, чтобы контент был хорошим
1👀9👍1
Название
Спасибо всем за обратную связь, реакции и терпение к экспериментам с названием.
Контекст простой: Vital Math - хорошее и более близкое мне название, с которым связаны большие планы, о которых я обязательно расскажу чуть позже. Для этих планов нужно именно название Vital Math.
Поэтому и появился "вКорень", как название, "освобождавшее" Vital Math, и как отсылка к тому, что лежит в основе Vital Math и в чём его суть: разбираться в корне математических вещей.
Но согласен, полностью менять название было не самой удачной идеей, и по обратной связи, и по личным ощущениям. Поэтому Vital Math остаётся в названии.
А самое главное - впереди много интересного контента и красивой математики. На этом и сфокусируемся.
Спасибо всем за обратную связь, реакции и терпение к экспериментам с названием.
Контекст простой: Vital Math - хорошее и более близкое мне название, с которым связаны большие планы, о которых я обязательно расскажу чуть позже. Для этих планов нужно именно название Vital Math.
Поэтому и появился "вКорень", как название, "освобождавшее" Vital Math, и как отсылка к тому, что лежит в основе Vital Math и в чём его суть: разбираться в корне математических вещей.
Но согласен, полностью менять название было не самой удачной идеей, и по обратной связи, и по личным ощущениям. Поэтому Vital Math остаётся в названии.
А самое главное - впереди много интересного контента и красивой математики. На этом и сфокусируемся.
3👍48❤16❤🔥4🥰1👀1
Задачка на выходные
Что может быть лучше разминки для мозга на выходных. Потратил какое-то время на решение этой простой задачки. А оказалась, эта школьная задачка находится в миниатюрном шаге от задачи, которую доказывали величайшие математики теории чисел, включая Диофанта, Ферма, Эйлера, Бейкера и современных математиков.
Задачка такая:
Набор чисел 1, 3, 8 и 120 обладает замечательным свойством: произведение любых двух из них на единицу меньше точного квадрата какого-либо числа. Найдите пятое число, которое можно присоединить к этому набору, не нарушая его свойств.
Пишите ваши варианты.
Подсказка и ответ:в условии не сказано, какие числа, так что пробуйте любые целые
Ответ: число 0, ненулевых целых нет, сделаю отдельный пост про это.
Что может быть лучше разминки для мозга на выходных. Потратил какое-то время на решение этой простой задачки. А оказалась, эта школьная задачка находится в миниатюрном шаге от задачи, которую доказывали величайшие математики теории чисел, включая Диофанта, Ферма, Эйлера, Бейкера и современных математиков.
Задачка такая:
Набор чисел 1, 3, 8 и 120 обладает замечательным свойством: произведение любых двух из них на единицу меньше точного квадрата какого-либо числа. Найдите пятое число, которое можно присоединить к этому набору, не нарушая его свойств.
Пишите ваши варианты.
Подсказка и ответ:
Ответ: число 0, ненулевых целых нет, сделаю отдельный пост про это.
👀11❤🔥3❤1🥰1
Как 2000 лет искали пятый элемент?
Набор четырёх чисел {1,3,8,120} на первый взгляд ничем не примечательный. Но оказывается, он скрывает в себе задачу 2000-летней давности, объединяет Диофанта, Ферма, Эйлера, современных математиков, затрагивает теорию трансцендентных чисел, уравнения Пелля, числа Фибоначчи и элиптические кривые. Обо всём по порядку.
Всё началось в III веке.
Диофант искал набор чисел {a1, a2, a3, a4}, для которого для любой пары выполняется:
ai*aj + 1 = квадрат (то есть произведение любых двух чисел плюс один - это полный квадрат какого-то числа)
Такой набор и получил название диофантовой четверки, или квадрупля. Сам Диофант нашёл ответ в виде набора дробей:
{1/16, 33/16, 17/4, 105/16}
12 столетий спустя первый целочисленный пример привел Ферма. Те самые числа {1,3,8,120}. Но тут же возник вопрос: а сколько вообще таких наборов из четырёх чисел?
Ответ дал великий Эйлер. Оказывается, таких четверок бесконечно много. Более того, Эйлер привел формулу, как искать такие числа.
Если у вас есть пара {a,b} и ab + 1 = r^2, то можно построить вот такой квадрупль:
{a, b, a+b+2r, 4r(a+r)(b+r)}
Но, решив вопрос с четверкой чисел, тут же возник новый вопрос: а есть ли диофантова пятерка? Ответ появился даже позже, чем доказательство Великой теоремы Ферма.
В 1969 году Бейкер и Давенпорт нашли ответ для набора Ферма: пятого элемента не существует. {1,3,8} можно продолжить только одним способом - до 120, и всё. Для доказательства ипользовали результаты Бейкера из теории трансценднетных чисел, о которых рассказывал вот здесь. Но четверка Ферма, это всего лишь один набор из бесконечности.
В 2004 Дюелла продвинул ответ ещё дальше. Он доказал, что диофантовых шестёрок не существует, а пятёрок - есть лишь конечное число. Что уже большой плюс: теперь можно просто проверить все наборы на компьютере. Но этого математикам мало!
В 2016 году Хе, Тогбе и Зиглер поставили жирную точку: целочисленных диофантовых квинтуплей не существует вообще. Задача сводится к системе уравнений Пелля вида a*e+1=x^2, у которой просто нет решений: система несовместима. Пятый элемент добавить нельзя.
Но, как часто бывает в теории чисел, открытых вопросов всё ещё очень много. Открытыми остаются
👉 гипотеза регулярности: правда ли, что квадрупль обязан удовлетворять условию (a+b-c-d)^2 = 4(ab+1)(cd+1)
👉 как продолжить исходную рациональную четверку Диофанта до пяти (рациональные числа оказали намного "гибче" целых)
👉 как ведут себя четверки для "особых" n (то есть когда прибавляют не +1, а +n, чтоб получился целый квадрат)
👉 существует ли семёрка рациональных чисел (оказалось, что рациональных шестерок бесконечно много)
👉 существует ли рациональная четверка, порождающая эллиптическую кривую с рангом больше 10 (оказывается, любой четверке можно сопоставить эллиптическую кривую)
Вот за что мы любим теорию чисел. Безобидный вопрос тут же приводит нас в новый мир. Мир чисел со своими структурами и удивительными связями. Мир, в котором мы будем разбираться ещё десятки, сотни, а скорей всего, и тысячи лет.
#vitalmath
Набор четырёх чисел {1,3,8,120} на первый взгляд ничем не примечательный. Но оказывается, он скрывает в себе задачу 2000-летней давности, объединяет Диофанта, Ферма, Эйлера, современных математиков, затрагивает теорию трансцендентных чисел, уравнения Пелля, числа Фибоначчи и элиптические кривые. Обо всём по порядку.
Всё началось в III веке.
Диофант искал набор чисел {a1, a2, a3, a4}, для которого для любой пары выполняется:
ai*aj + 1 = квадрат (то есть произведение любых двух чисел плюс один - это полный квадрат какого-то числа)
Такой набор и получил название диофантовой четверки, или квадрупля. Сам Диофант нашёл ответ в виде набора дробей:
{1/16, 33/16, 17/4, 105/16}
12 столетий спустя первый целочисленный пример привел Ферма. Те самые числа {1,3,8,120}. Но тут же возник вопрос: а сколько вообще таких наборов из четырёх чисел?
Ответ дал великий Эйлер. Оказывается, таких четверок бесконечно много. Более того, Эйлер привел формулу, как искать такие числа.
Если у вас есть пара {a,b} и ab + 1 = r^2, то можно построить вот такой квадрупль:
{a, b, a+b+2r, 4r(a+r)(b+r)}
Но, решив вопрос с четверкой чисел, тут же возник новый вопрос: а есть ли диофантова пятерка? Ответ появился даже позже, чем доказательство Великой теоремы Ферма.
В 1969 году Бейкер и Давенпорт нашли ответ для набора Ферма: пятого элемента не существует. {1,3,8} можно продолжить только одним способом - до 120, и всё. Для доказательства ипользовали результаты Бейкера из теории трансценднетных чисел, о которых рассказывал вот здесь. Но четверка Ферма, это всего лишь один набор из бесконечности.
В 2004 Дюелла продвинул ответ ещё дальше. Он доказал, что диофантовых шестёрок не существует, а пятёрок - есть лишь конечное число. Что уже большой плюс: теперь можно просто проверить все наборы на компьютере. Но этого математикам мало!
В 2016 году Хе, Тогбе и Зиглер поставили жирную точку: целочисленных диофантовых квинтуплей не существует вообще. Задача сводится к системе уравнений Пелля вида a*e+1=x^2, у которой просто нет решений: система несовместима. Пятый элемент добавить нельзя.
Но, как часто бывает в теории чисел, открытых вопросов всё ещё очень много. Открытыми остаются
👉 гипотеза регулярности: правда ли, что квадрупль обязан удовлетворять условию (a+b-c-d)^2 = 4(ab+1)(cd+1)
👉 как продолжить исходную рациональную четверку Диофанта до пяти (рациональные числа оказали намного "гибче" целых)
👉 как ведут себя четверки для "особых" n (то есть когда прибавляют не +1, а +n, чтоб получился целый квадрат)
👉 существует ли семёрка рациональных чисел (оказалось, что рациональных шестерок бесконечно много)
👉 существует ли рациональная четверка, порождающая эллиптическую кривую с рангом больше 10 (оказывается, любой четверке можно сопоставить эллиптическую кривую)
Вот за что мы любим теорию чисел. Безобидный вопрос тут же приводит нас в новый мир. Мир чисел со своими структурами и удивительными связями. Мир, в котором мы будем разбираться ещё десятки, сотни, а скорей всего, и тысячи лет.
#vitalmath
2🔥21👍9❤5🥰2
На днях вспомнилась постоянная Капрекара
6174 - это постоянная Капрекара. Из любого четырехзначного, у которого не все цифры одинаковы, можно получить 6174, повторяя простую процедуру Капрекара не более 7 раз.
Процедура Капрекара - это вычитание из числа, полученного упорядочиванием цифр по убыванию, числа, полученного упорядочиванием цифр по возрастанию.
Например, берёте свой год рождения, пин-код, любимое число 1729 или просто любое четырёхзначное. И считаете:
Шаг 1: 1729 → 9721 − 1279 = 8442
Шаг 2: 8442 → 8442 − 2448 = 5994
Шаг 3: 5994 → 9954 − 4599 = 5355
Шаг 4: 5355 → 5553 − 3555 = 1998
Шаг 5: 1998 → 9981 − 1899 = 8082
Шаг 6: 8082 → 8820 − 0288 = 8532
Шаг 7: 8532 → 8532 − 2358 = 6174
Оказывается, всегда получается 6174, причем 7 шагов - это максимум, а почти в половине случаев хватит и 4х.
Но самое интересное не в этом. Поведение такой процедуры на первый взгляд хаотично, если начать обобщать. Для трёхзначных чисел есть похожее число 495, к которому сходятся все трёхзначные числа. А вот для бОльших чисел - таких постоянных (то есть к которым сходится процедура Капрекара) либо вообще нет, либо их несколько.
И самое главное: когда мы переходим к произвольному основанию системы счисления (а не только остаемся в десятичной) и к произвольному числу цифр, всё становится по-настоящему очень сложным. Общего ответа, когда и что получается, просто нет. Пока что.
Легко доказать, почему процедура Капрекара работает, почему 6174 единственно, найти 495 для трёхзначных чисел. А вот что сложно - так это понять, что перед нами: случайность или тень какой-то более великой теоремы, до которой мы ещё не дошли.
А какие у вас любимые четырёхзначные числа?
#vitalmath
6174 - это постоянная Капрекара. Из любого четырехзначного, у которого не все цифры одинаковы, можно получить 6174, повторяя простую процедуру Капрекара не более 7 раз.
Процедура Капрекара - это вычитание из числа, полученного упорядочиванием цифр по убыванию, числа, полученного упорядочиванием цифр по возрастанию.
Например, берёте свой год рождения, пин-код, любимое число 1729 или просто любое четырёхзначное. И считаете:
Шаг 1: 1729 → 9721 − 1279 = 8442
Шаг 2: 8442 → 8442 − 2448 = 5994
Шаг 3: 5994 → 9954 − 4599 = 5355
Шаг 4: 5355 → 5553 − 3555 = 1998
Шаг 5: 1998 → 9981 − 1899 = 8082
Шаг 6: 8082 → 8820 − 0288 = 8532
Шаг 7: 8532 → 8532 − 2358 = 6174
Оказывается, всегда получается 6174, причем 7 шагов - это максимум, а почти в половине случаев хватит и 4х.
Но самое интересное не в этом. Поведение такой процедуры на первый взгляд хаотично, если начать обобщать. Для трёхзначных чисел есть похожее число 495, к которому сходятся все трёхзначные числа. А вот для бОльших чисел - таких постоянных (то есть к которым сходится процедура Капрекара) либо вообще нет, либо их несколько.
И самое главное: когда мы переходим к произвольному основанию системы счисления (а не только остаемся в десятичной) и к произвольному числу цифр, всё становится по-настоящему очень сложным. Общего ответа, когда и что получается, просто нет. Пока что.
Легко доказать, почему процедура Капрекара работает, почему 6174 единственно, найти 495 для трёхзначных чисел. А вот что сложно - так это понять, что перед нами: случайность или тень какой-то более великой теоремы, до которой мы ещё не дошли.
А какие у вас любимые четырёхзначные числа?
#vitalmath
🤔18👍10❤🔥7❤3🥰1
Христос Воскресе!
Поздравляю всех православных с этим светлым праздником.
Но вы знали, что Пасха - самый математический праздник! Дата Пасхи вычисляется по особому алгоритму под названием computus paschalis («пасхального вычисления»).
Правило вычисления Пасхи было канонически закреплено на Первом Вселенском Соборе в Никее в 325 году:
Пасха - это первое воскресенье после первого полнолуния, наступшего не ранее весеннего равноденствия (21 марта).
Математически сложность в необходимости согласовать три цикла: солнечный год, лунный месяц и семидневная неделя. Причём никакие два из них не имеют общего периода.
Первые полторы тысячи лет ключевым инструментом были пасхальные таблицы. Например, даты Пасхи на 19 лет вперед, а дальше этот цикл повторяется. Дионисий Малый (тот самый, кто ввёл летоисчисление от Рождества Христова) использовал Великий пасхальный цикл в 532 года.
Помимо конечного горизонта, сложность такого подхода в том, что computus - это огромные многостраничные справочники. Чтобы найти дату Пасхи, нужно последовательно пройти несколько таких таблиц и легко допустить ошибку.
Лишь в 1800 году 23-летний Карл Гаусс существенно упростил расчет с помощью простого алгоритма модульной арифметики: он свел решение к нескольким операциям по модулям 4, 7, 19 и 30 и простым арифметическим действиям, которые дают дату без всяких таблиц (то что на картинке выше). По легенде, начал он с попытки вычислить собственный день рождения.
Алгоритм расчета един в православной и католической церки (в православной даже проще), но разница возникает из-за того, по какому календарю отсчитывается "21 марта".
Вот так в очередной раз проявляется мощь и красота математики, которая повсюду!
#vitalmath
Поздравляю всех православных с этим светлым праздником.
Но вы знали, что Пасха - самый математический праздник! Дата Пасхи вычисляется по особому алгоритму под названием computus paschalis («пасхального вычисления»).
Правило вычисления Пасхи было канонически закреплено на Первом Вселенском Соборе в Никее в 325 году:
Пасха - это первое воскресенье после первого полнолуния, наступшего не ранее весеннего равноденствия (21 марта).
Математически сложность в необходимости согласовать три цикла: солнечный год, лунный месяц и семидневная неделя. Причём никакие два из них не имеют общего периода.
Первые полторы тысячи лет ключевым инструментом были пасхальные таблицы. Например, даты Пасхи на 19 лет вперед, а дальше этот цикл повторяется. Дионисий Малый (тот самый, кто ввёл летоисчисление от Рождества Христова) использовал Великий пасхальный цикл в 532 года.
Помимо конечного горизонта, сложность такого подхода в том, что computus - это огромные многостраничные справочники. Чтобы найти дату Пасхи, нужно последовательно пройти несколько таких таблиц и легко допустить ошибку.
Лишь в 1800 году 23-летний Карл Гаусс существенно упростил расчет с помощью простого алгоритма модульной арифметики: он свел решение к нескольким операциям по модулям 4, 7, 19 и 30 и простым арифметическим действиям, которые дают дату без всяких таблиц (то что на картинке выше). По легенде, начал он с попытки вычислить собственный день рождения.
Алгоритм расчета един в православной и католической церки (в православной даже проще), но разница возникает из-за того, по какому календарю отсчитывается "21 марта".
Вот так в очередной раз проявляется мощь и красота математики, которая повсюду!
#vitalmath
1❤32👍13🥰2🤡2🖕2
Как два пальца
Начал читать «Введение в теорию схем и квантовые группы» Манина, наверное, одну из лучших книг на русском про К-алгебру и то, что придумал Гротендик по геометризации коммутативной алгебры.
Уже в конце первой страницы первого содержательного параграфа вот такое утверждение (картинка выше).
С одной стороны - ничего не понятно, даже для большинства математиков. С другой - наверняка, пятилетние дети ощущают что-то похожее, если начать рассказывать про дроби, иррациональные числа, тригонометрию, логарифмы, задачи с параметрами. Не говоря уже, про матан, линейную алгебру и функциональный анализ.
То, что выглядит как набор слов, в какой то момент (через десятки или тысячи часов) становится новым понятным миром, который мы интуитивно ощущаем и в котором спокойно ориентируемся.
Вопрос только какие объекты и в какой последовательности оптимально осознавать и в какой математике жить.
А самое главное интересно - до какого момента может наше осознание дойти. За тысячи лет мы более менее научились понимать треугольник. Через какое время будем спокойно говорить на языке векторных расслоений и пучков конечного ранга?
#vitalmath
Начал читать «Введение в теорию схем и квантовые группы» Манина, наверное, одну из лучших книг на русском про К-алгебру и то, что придумал Гротендик по геометризации коммутативной алгебры.
Уже в конце первой страницы первого содержательного параграфа вот такое утверждение (картинка выше).
С одной стороны - ничего не понятно, даже для большинства математиков. С другой - наверняка, пятилетние дети ощущают что-то похожее, если начать рассказывать про дроби, иррациональные числа, тригонометрию, логарифмы, задачи с параметрами. Не говоря уже, про матан, линейную алгебру и функциональный анализ.
То, что выглядит как набор слов, в какой то момент (через десятки или тысячи часов) становится новым понятным миром, который мы интуитивно ощущаем и в котором спокойно ориентируемся.
Вопрос только какие объекты и в какой последовательности оптимально осознавать и в какой математике жить.
А самое главное интересно - до какого момента может наше осознание дойти. За тысячи лет мы более менее научились понимать треугольник. Через какое время будем спокойно говорить на языке векторных расслоений и пучков конечного ранга?
#vitalmath
1🔥23😁5🥰2
Вот это самое первое известное уравнение
Задумайтесь! Мы решаем квадратные уравнения как минимум уже 4000 лет!
Самое древнее дошедшее до нас уравнение записано на вавилонской глиняной табличке, ей примерно 3800 лет.
На ней такая задача:
Длина прямоугольника больше ширины на 7, а площадь равна 60. Найти длину и ширину.
Если перевести на язык математики, получится система:
x · y = 60
y – х = 7
Отсюда получается обычное квадратное уравнение относительно x:
x² + 7x − 60 = 0
Вавилоняне использовали не формулы, а пошаговый алгоритм, похожий на то, что сейчас известно как «выделение полного квадрата».
Как они решали:
- берём разность сторон, 7
- делим пополам
- возводим в квадрат
- прибавляем к площади, 60
- извлекаем корень
- вычитаем половину разности сторон, получается меньшая сторона
- прибавляем 7, получается большая сторона
Отрицательные числа изобрели сильно позже, но на практике хватало и положительных.
Хорошо хоть без комплексных чисел. Пишите, какой ответ?
Ответ:длина 12, ширина 5.
🔥 - посчитал в уме
❤️ - посчитал по теореме Виета
👍 - посчитал через дискриминант
🤯 - посчитал не через дискриминант и Виета
Задумайтесь! Мы решаем квадратные уравнения как минимум уже 4000 лет!
Самое древнее дошедшее до нас уравнение записано на вавилонской глиняной табличке, ей примерно 3800 лет.
На ней такая задача:
Длина прямоугольника больше ширины на 7, а площадь равна 60. Найти длину и ширину.
Если перевести на язык математики, получится система:
x · y = 60
y – х = 7
Отсюда получается обычное квадратное уравнение относительно x:
x² + 7x − 60 = 0
Вавилоняне использовали не формулы, а пошаговый алгоритм, похожий на то, что сейчас известно как «выделение полного квадрата».
Как они решали:
- берём разность сторон, 7
- делим пополам
- возводим в квадрат
- прибавляем к площади, 60
- извлекаем корень
- вычитаем половину разности сторон, получается меньшая сторона
- прибавляем 7, получается большая сторона
Отрицательные числа изобрели сильно позже, но на практике хватало и положительных.
Хорошо хоть без комплексных чисел. Пишите, какой ответ?
Ответ:
🔥 - посчитал в уме
❤️ - посчитал по теореме Виета
👍 - посчитал через дискриминант
🤯 - посчитал не через дискриминант и Виета
1🔥38❤17👍6😁5🗿4