Наконец-то что-то стоящее.
Форум для общения агентов
https://www.moltbook.com/

Людям можно смотреть

Уже обсуждают E2EE, чтобы люди не подглядывали

Кем на самом деле был Пифагор? 🔍

Про Пифагора слышали все. Но вот парадокс... мы на самом деле почти ничего о нем не знаем. Собственных текстов Пифагора не сохранилось, а первые полноценные описания жизни Пифагора написаны через сотни лет после его смерти.

В поздних источниках легенды и мифы перемешались с реальностью, вот что дошло до нас:

🔹Пифагор был лидером тайного братства со странными правилами
Он основал в Кротоне (юг Италии) квазирелигиозную общину, жившую по жёстким нормам и ритуалам. Например, «сначала надевать правый башмак» и «не ходить по общественным дорогам». Новичкам приходилось 5 лет хранить молчание.
Пифагорейцы жили общиной: делили имущество, а слова Пифагора воспринимали как священный закон. Такой скрытный образ жизни одновременно завораживал посторонних и вызывал подозрения.

🔹 Женщины принимались в школу на равных правах.
В отличие от большинства древних обществ. Один источник говорит как минимум о 28 женщинах среди 300 членов общины.

🔹Пифагор верил в переселение душ и утверждал, что помнит прошлые жизни.
По легенде, Пифагор однажды остановил человека, который бил щенка, и воскликнул, что в визге собаки слышит голос старого друга. Пифагор учил уважению ко всему живому и верил, что одна и та же душа может оказаться в любом существе.

🔹Пифагор был вегитарианцем (вероятно, как следствие веры в переселение душ)
Пифагора говорил, что «все одушевлённые существа — одна семья». А значит, людям не более дозволено есть животных, чем ест друг друга. В античности выражение «пифагорейская диета» стало практически синонимом вегетарианства.

🔹Пифагор запрещал есть бобы
Версий много. По одной, бобы связаны с Аидом (подземным миром), то есть могут быть «домом» для переселяющихся душ. Есть и более практичные: бобы вызывают тяжесть в желудке и «мешают сосредоточению».

🔹 Ученики Пифагора считали его полубожеством (Чак Норрис античности!).
По описанию Аристотеля, у Пифагора было «золотое бедро» — знак божественности, а однажды он убил смертельно опасную змею, укусив её зубами. Говорили также, что когда Пифагор переходил реку, река заговорила и приветствовала его по имени, признавая его особый статус. Утверждали, будто Пифагор мог находиться в двух местах одновременно: его якобы видели в один и тот же день и в Кротоне, и в Метапонте.

🔹 Пифагор учил, что реальность математична и «поклонялся» числам.
Школе Пифгора приписывают знаменитую формулу: «Всё есть число». Числа лежат в основе устройства космоса. 10, тетрактис, считалось священным числом, символизирующая целостность природы. Последователи Пифагора молились тетрактиксу, называя его «источником непрерывно текущего творения».


🔹 Пифагор был ещё и политиком (закулисным).
Пифагор был советником городской элите в Кротоне и создал своего рода аристократический совета из пифагорейцев, управлявший городом. Бытует легенда, что некий знатный человек по имени Килон, после откзаза Пифагора принять в свой круг (из-за дурной репутации) поднял восстание против пифагорейцев. Толпа подожгла дом одного из ближайших учеников Пифагора, Милона, и многие пифагорейцы погибли в огне. Сам Пифагор смог уйти от первой атаки, но дальше его положение только ухудшилось: община — «государство внутри государства» — была разбита.

🔹 Запрет на бобы стоил Пифагору жизни (возможно)
Когда после восстания в Кротоне за Пифагором гналась толпа врагов, он бежал, пока не упёрся в поле бобов. Пифагор остановился и отказался пересекать поле даже ради спасения. Преследователи догнали его и убили.
История про смерть у бобового поля вполне может быть легендой, но она пережила века именно благодаря своей символике: она показывает, насколько серьёзно Пифагор относился даже к самым странным своим установлениям.

Евклид

Один из главных парадоксов истории: человек, чьё интеллектуальное наследие формировало математику, науку и философию более двух тысячелетий, но о котором мы не знаем почти ничего.

Самая известная история о Евклиде: царь Птолемей I спросил, нет ли более короткого пути к геометрии, чем «Начала». Евклид ответил: «В геометрии нет царской дороги», остроумная отсылка к Царской дороге Персидской империи. По сути, он сказал одному из самых могущественных людей на Земле: хватит искать лёгкие пути.

В другой истории студент спросил: «А что мне даст изучение геометрии?» Евклид позвал слугу и сказал: «Дай ему три монеты — раз уж он должен извлекать выгоду из всего, что учит». Правда, похожую историю рассказывают и про Менехма с Александром Македонским, так что обе могут быть апокрифами.

Ставьте 🔥 если хотите узнать больше о человеке, определившего математику на тысячелетия вперед!

30 🔥 и делаем пост про Евклида!

Человек, которого не существует 📐

Его книгу — вторая по популярности в истории. Его алгоритм работает в вашем телефоне прямо сейчас. Его имя знает каждый школьник. Но, как и про Пифагора, мы не знаем о нём почти ничего. Вот что удалось собрать об Евклиде:

🔹Никто не знает, как он выглядел
Ни единого слова о внешности Евклида не сохранилось. Бородатый мудрец на фреске Рафаэля «Афинская школа» — чистая выдумка художника. Евклид — один из самых влиятельных людей в истории, о чьей внешности мы не знаем вообще ничего.

🔹Его биографию выдумали средневековые арабские учёные
В исламских источниках появилась подробная, но полностью вымышленная биография: родился в Тире (современный Ливан), сын некоего Наукрата, внук Зенарха, грек, живший в Дамаске, по профессии — плотник. Современные историки считают всё это фикцией, созданной для укрепления связи великого математика с арабским миром.

🔹Его путали с другим человеком больше 1000 лет
На протяжении тысячелетия учёные смешивали Евклида-математика с Евклидом из Мегары — философом-сократиком, жившим на ~100 лет раньше. Ошибка кочевала из рукописи в рукопись и попала даже в первое печатное издание «Начал» 1482 года. Разобрались только в эпоху Возрождения.

🔹Он написал целую книгу о математических ошибках (и она утеряна)
Одна из самых интригующих утраченных работ Евклида — «Псевдария» («Книга ложных доказательств»). По свидетельству Прокла, она была написана специально для начинающих: каталог типичных ошибок в геометрических рассуждениях. Фактически Евклид изобрёл педагогику через разбор ошибок — за 2300 лет до того, как это стало модным.

🔹Евклид считал, что глаза стреляют лучами
В трактате «Оптика» — древнейшем сохранившемся греческом тексте о перспективе — Евклид утверждал, что зрение работает так: глаз испускает лучи, которые летят к предметам. Физика совершенно неверная, но математическая модель оказалась настолько точной, что служила основой оптики, перспективы в живописи и навигации более 2000 лет.

🔹Его алгоритм — самый древний нетривиальный алгоритм, который используется до сих пор
Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя из книги 7 «Начал» — старейший нетривиальный алгоритм в истории. Дональд Кнут назвал его «дедушкой всех алгоритмов». Этой процедуре ~2300 лет, и она до сих пор работает в современной криптографии, включая шифрование RSA.

🔹Его книга — вторая по числу изданий в истории после Библии
После изобретения книгопечатания «Начала» Евклида (первое издание — 1482) стали второй самой издаваемой книгой в истории. Более 1000 изданий. Книга оставалась стандартным учебником математики с ~300 года до н.э. до конца XIX — начала XX века!

🔹Некоторые учёные сомневаются, что он вообще существовал
Нет ни одного прижизненного упоминания Евклида по имени. Первое подтверждённое — у Аполлония Пергского, спустя десятилетия. Античные математики обычно говорили просто «автор "Начал"». Некоторые средневековые учёные предполагали, что «Евклид» — это искажение греческих математических терминов, а не имя реального человека. Возможно, за этим именем скрывалась целая группа учёных как Никола Бурбаки, но это уже совсем другая история...

Когда думал сегодня, подумал о математике.

Возник вопрос: Какие интересные задачи уже решены математикой?

Причем не просто теоретические, как гипотеза Римана, трансцендентность числа пи или плотность упаковки в 24-х мерном пространстве, а практические задачи, которые мы можем увидеть, ощутить в повседневной жизни, возможно, нарисовать или даже физически построить.

Например, находить площадь зная стороны прямоугольника или треугольника, мы точно можем математически. Как выиграть в крестики-нолики тоже точно знаем математически.

Делаем пост про топ решенных и нерешенных математикой задач?

Телефон напомнил, что я делал в этот день четыре года назад.

Что скажете, пишите ваши варианты?

Одного поста про задачи не получилось. Будет мини-сериал из постов, первая серия уже в понедельник!

А пока что, стоит подумать про вопрос, существует ли алгоритм, который по любой "школьной" системе многочленов скажет, есть ли у неё рациональное решение?

Формально: дан многочлен (или несколько) с целыми коэффициентами f(x₁,…,xₙ)=0, и мы хотим АЛГОРИТМ (может ИИ?), что за конечное время всегда отвечает ДА или НЕТ на вопрос: существует ли решение в рациональных числах (т.е. xᵢ ∈ ℚ)?

Почему это настолько странно и красиво одновременно:

Во-первых, задача звучит просто, но на самом деле это вопрос про границу того, что вообще можно вычислить.

Во-вторых, “родственная” версия задачи, про целые решения, уже известна как невозможная. Универсального алгоритма для определения наличия целых решений не существует. Это классический итог работ Дэвиса, Патнэма, Робинсона и Матиясевича ещё в 1970х.

В-третьих, когда мы расширяем мир решений с ℤ до ℚ, ситуация вдруг становится туманной: для рациональных чисел вопрос до сих пор открыт и упирается в очень глубокие идеи.

И в-четвёртых, тема живая “прямо сейчас”: в 2024–2025 появились большие продвижения в обобщениях задачи (всё это 10я проблема Гильберта), но это всё ещё не закрывает загадку именно для ℚ.

Если коротко, картина парадоксальная: для целых - мы знаем, что алгоритма не сущесвутет, а для рациальных - мы не умеем ни построить такой алгоритм, ни доказать, что он невозможен.

@vitalmath

Какие задачи решила математика? (часть 1/4) 📐✨

Математика родилась из прикладных нужд. За тысячи лет она довела нас до мира, где почти любая вещь вокруг — техника, здания, связь, навигация, финансы — внутри содержит математику: от простых расчётов до теории чисел, анализа, геометрии и вероятностей. И самое красивое: многие привычные “инженерные” проблемы на самом деле имеют строгие математические решения.

1. Площадь треугольника по трём сторонам 📐
Задача: есть три стороны a, b, c, но высоту измерять неудобно. Как найти площадь треугольника, имея только длины сторон?
Решение: вводим полупериметр p = (a+b+c)/2 и считаем по формуле Герона
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)).

2. Расчет высота объекта по тени 🌞
Задача: как определить высоту дерева или столба?
Решение 1: если у палки высота h₁ и тень t₁, а у объекта тень t₂, то по подобию треугольников
h₂ = h₁ · (t₂ / t₁).
Решение 2: стоя на расстоянии d от здания, измерить угол α до вершины и найти высоту. В прямоугольном треугольнике
tan(α) = h/d, значит h = d · tan(α).

3. Расстояние до недоступной точки (например, ширина реки) 🚣‍♂️
Задача: как измерить расстояние до точки, к которой нельзя подойти “по прямой” (другой берег, ограждённая зона)?
Решение: строят на доступной территории треугольник с измеряемыми сторонами и углами, а затем восстанавливают нужное расстояние через подобие треугольников или с помощью теорем синусов и косинусов.

4. Счет денег 💸
Задача: посчитать итоговую цену после нескольких процентов подряд (скидки, потом ещё скидки, потом налог).
Решение: проценты работают как коэффициенты: скидка 10% — это умножение на 0,9. Две скидки по 10% подряд дают ×0,9×0,9 = ×0,81.

5. Смеси и растворы 🧪
Задача: смешать растворы разной концентрации, чтобы получить нужную.
Решение: “количество вещества” сохраняется: (концентрация)·(объём). Например, если смешать x литров 10% и y литров 30%, чтобы получить 20%, то
0,1x + 0,3y = 0,2(x+y).

Но это только начало, такая математика была известна ещё тысячи лет назад. Есть задачи с ещё большим масштабом!

Продолжение следует...

@vitalmath

Какие задачи решила математика? (часть 2/4) 📐✨

Продолжаем наслаждаться прикладными задачами, решенными математикой. То, чем мы пользуемся каждый день:

6. Надёжное шифрование при передаче данных по открытому каналу (Интернет) 🔐
Задача: как сделать так, чтобы клиент мог отправить серверу конфиденциальные данные (номер карты, токен), зная только открытый ключ сервера, а перехватчик не смог ни расшифровать сообщение, ни подделать ответ. Всё опирается на сложность вычислительных задач вроде разложения огромных чисел на простые множители.
Решение: схема с открытым и закрытым ключом: зашифровать может любой, у кого есть открытый ключ, а расшифровать — только владелец секретного. Для злоумышленника перебор вариантов занимает астрономическое время (по крайней мере, пока не появились квантовые компьюетры).

7. Передача сообщений по шумному каналу 📡
Задача: как кодировать биты так, чтобы при частичном искажении (помехи Wi-Fi, радиоканал, сбои памяти) получатель мог восстановить исходное сообщение.
Решение: добавляют рассчитанную «избыточность» — контрольные биты. Ошибка меняет их характерным образом, и по этому следу можно найти и исправить сбой. Устройство видит «испорченное слово» и по правилам сдвигает его к ближайшему допустимому коду, получая оригинал.

8. Поиск маршрута с минимальным временем 🗺️
Задача: как по карте дорог (длины, скорости, пробки как веса) найти путь между двумя точками с минимальным временем или расстоянием.
Решение: дороги и перекрёстки представляют как граф с весами на рёбрах и запускают алгоритм, который шаг за шагом “расширяется” от старта, отбрасывая заведомо плохие варианты. При естественных условиях доказано: он находит именно кратчайший путь, а не просто “нормальный”.

9. Определение координат по сигналам спутников (GPS) 🛰️
Задача: измеряя времена прихода сигналов от нескольких спутников с известными орбитами, вычислить положение приёмника на Земле.
Решение: каждое измерение задаёт сферу возможных точек, где мог быть приёмник; пересечение нескольких сфер даёт маленькую область, где он реально находится. Алгоритмы решают систему уравнений с учётом ошибок и поправок и итеративно уточняют координаты, пока результат не станет достаточно точным.

10. Площадь, объём и другие величины для сложных форм 📏
Задача: по описанию криволинейных границ (крыша, бак, деталь) находить площади, объёмы, центры масс, работу сил, точно или с гарантированной точностью.
Решение: фигуру мысленно режут на очень мелкие простые кусочки, считают вклад каждого и суммируют. Математический анализ делает это строгим через интегралы. В реальных расчётах используют численные методы, которые дают контролируемую погрешность.

Но и это далеко не всё. Продолжение следует...

@vitalmath

Какие задачи решила математика? (часть 3/4) 📐✨

продолжаем смотреть на задачи, решенные математикой, сегодня немного комбинаторики и укладок:

11. Раскраска любой плоской карты четырьмя цветами 🎨
Задача: доказать, что любую карту на плоскости можно раскрасить так, чтобы соседние области были разных цветов, и при этом хватило четырёх красок.
Решение: построено доказательство (искали десятилетиями): если бы существовала карта, требующая пять цветов, в ней обязательно нашлась бы “запретная” конфигурация, которая не может возникнуть. Итог строгий: четырёх цветов всегда достаточно.

12. Максимально плотная укладка одинаковых шаров в 3D 🍊
Задача: уложить шары одного радиуса в пространстве так, чтобы доля занятого объёма была максимальной и шары не пересекались.
Решение: доказано, что классическая “пирамидальная” укладка (как у апельсинов в магазине) — предельно плотная. Никакая другая конфигурация не заполнит пространство большей долей. Эту задачу называют ещё гипотезой Кеплера.

13. Максимально плотная укладка кругов на плоскости 🪙
Задача: уложить одинаковые круги на плоскости максимально плотно без перекрытий.
Решение: оптимален рисунок в виде пчелиных сот: каждый круг окружён шестью соседями, центры образуют гексагональную решётку. Плотнее в плоскости нельзя — это строго доказано.

14. Стратегии в играх 🎮
Задача: для игр вроде крестиков-ноликов определиить при идеальной игре будет ли выигрыш или ничья.
Решение: игру представляют деревом ходов и систематически обходят, помечая позиции как выигрышные/проигрышные/ничейные. Для крестиков-ноликов строгий вывод: при идеальной игре получается ничья.

15. Замощение плоскости одной плиткой без периодичности 🟦
Задача: найти форму плитки, которая замощает плоскость без дыр и перекрытий, но так, чтобы узор не становился периодическим (никакой сдвиг не совпадает с самим собой).
Решение: найдены конкретные формы плиток, для которых доказано: замощение возможно, но любые получающиеся узоры неизбежно непериодичны. Получаются “орнаменты без обоев”: локальные мотивы повторяются, а глобального повторения нет.

Продолжение следует...

@vitalmath

Какие задачи решила математика? (часть 4/4) 📐✨

Наконец, ещё несколько прикладых задач из индустрий:

16. Оптимальное распределение ресурсов (производство, логистика) 📦
Задача: при линейных ограничениях (сырьё, мощности, время) и линейной цели (прибыль, выпуск) найти план, который максимизирует цель и соблюдает ограничения.
Решение: линейное программирование даёт строгую постановку и алгоритмы, которые гарантированно находят лучший вариант, исследуя ключевые точки допустимой области.

17. Сколько касс/операторов/серверов нужно, чтобы очереди были терпимыми 🧑‍💻
Задача: по статистике прихода клиентов и времени обслуживания выбрать число обслуживающих единиц так, чтобы ожидание и риск больших очередей были приемлемы при минимальных издержках.
Решение: теория очередей строит вероятностные модели и выводит формулы для средней длины очереди и времени ожидания. По ним сравнивают варианты и выбирают баланс между качеством сервиса и стоимостью инфраструктуры. Часто с описанием помогает распределение Пуассона.

18. Хорошие вычислительные сетки для моделирования поверхностей 🧩
Задача: по сложной поверхности (крыло самолёта, корпус, 3D-модель персонажа) построить сетку из треугольников/четырёхугольников без узких “плохих” элементов, чтобы расчёты были устойчивыми.
Решение: теоремы о круговых упаковках и связанные алгоритмы позволяют представить поверхность через касающиеся круги и по ним строить аккуратную сетку. Так получают элементы с хорошими углами и пропорциями, а численные методы работают точнее и стабильнее.

19. Разложение сигнала на “волны” для сжатия и фильтрации 🎧
Задача: представить звук или изображение как сумму простых компонентов так, чтобы можно было отбрасывать малозначимые части, фильтровать шум и уменьшать объём данных.
Решение: разложения по базису (например, знаменитое разложение Фурье) собирают “смысл” сигнала в сравнительно небольшом числе коэффициентов. Обрезая малые коэффициенты, почти не портим качество, но сильно уменьшаем размер данных. Так работают многие форматы сжатия и фильтры.

20. Вероятность разорения и расчёт страховых тарифов 🧾
Задача: по частоте страховых событий и распределению убытков определеить премии и резервы так, чтобы вероятность банкротства была ниже заданного порога.
Решение: капитал компании моделируют как случайный процесс с поступлениями и редкими крупными выплатами. Считают вероятность “уйти ниже нуля” за всё время. Модели дают формулы/методы оценки риска и позволяют подобрать тарифы и резервы под нормативы.

Как вы поняли (и судя по комментариями) этот список далеко не полный. Но пора бы уже ответить на вопрос. А какие прикладные задачи математика так до сих пор и не смогла решить?

@vitalmath

Давно что-то не было задачек, придется немного подумать. Позже будет решение, а пока что можно, как обычно, насладиться неожиданной красотой и сложностью простоты, скрытой в математике.

Всего навсего нужно найти целые числа a, b и с - которые являются решением уравнения:

a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) = 4

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4

Ищем решения в положительных целых числах. Решение на самом деле в две шага.

👉 Шаг первый: Внимательные наблюдения

Уравнение однородное. Если (a,b,c) — решение, то (ka,kb,kc) тоже решение, потому что ka/(kb+kc) = a/(b+c).

Значит, важны не сами числа, а только их отношения. Поэтому можно разделить всё на c, считать c = 1, найти рациональное решение, а потом умножить на общий знаменатель и вернуться к целым числам.

Умножим уравнение на знаменатели:

a(a+b)(a+c) + b(b+a)(b+c) + c(c+a)(c+b)
= 4(a+b)(a+c)(b+c)

После раскрытия получается кубическое уравнение

a³ + b³ + c³ − 3(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²) − 5abc = 0

Степень равна 3, а такие уравнения часто приводят к эллиптическим кривым.

После замены переменных оно переходит в форму

y² = x³ + 109x² + 224x

Это уже стандартный вид эллиптической кривой, с которым умеют работать.

👉 Шаг второй: Магия с эллиптическими крививыми

Дальше используется главный факт: если на такой кривой найдена хотя бы одна рациональная точка, из неё можно по строгому правилу строить новые. Правило геометрическое: через две известные точки проводят прямую, она ещё раз пересекает кривую, и из этой новой точки получают следующую. Если точка одна и ту же складывают с собой, вместо прямой берут касательную. Так из одной стартовой точки рождается целая последовательность новых рациональных точек.

Например, точка

x = −100, y = 260

лежит на этой кривой. Обратная замена переменных даёт

a = 4, b = −1, c = 11

Это уже решение исходного уравнения, но оно нам не подходит, потому что b отрицательно.

Теперь начинаем многократно применять ту самую операцию на кривой: получаем 2P, 3P, 4P и так далее, где P = (−100,260). Каждая новая точка снова переводится обратно в тройку (a,b,c). Первые несколько шагов дают решения, но среди них всё ещё есть отрицательные числа. А вот на 9-м шаге, то есть для точки 9P, впервые получается тройка, где все числа положительные.

Это и есть искомое решение - числа примерно по 80 цифр:

a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999

b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579

c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

И для них действительно

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4

Ирония в том, что уравнение, выглядящее как школьная головоломка, на самом деле решается через теорию эллиптических кривых — одну из самых глубоких областей современной математики.

Где работают математики?

Математику так или иначе используют все, но есть профессии, где нужна настоящая математика. Что это за профессии?

Готового ответа не нашёл, но вот такой ответ выше выдали рисерчи с ИИ. Так как лучшего ответа пока нет, придется вериться этому.

Топ 5 индустрий, где работают математики, выглядит так:
1. ИТ (Технологический сектор)
2. Финансы
3. Гос сектор
4. Академия
5. Страхование

Из профессий в топе индустрий - Data scientists, кванты, криптографы, преподаватели и актуарии.

Из областей - много машинного обучения, оптимизации и статистики.

С одной стороны, ничего необычного, с другой - интересно понимать, куда может привести математика.

А чем вы занимаетесь?

🔍 Премию Абеля снова дали за теорию чисел

Абелевскую премию 2026 года получил Герд Фальтингс, немецкий математик, который в 1983 году сделал то, что десятилетиями считалось почти недосягаемым.

Он доказал гипотезу Морделла.

По сути это история о том, как математики пытались понять одну простую вещь: когда у уравнения бесконечно много рациональных решений, а когда - только конечное число. И внезапно оказалось, что ответ зависит не столько от самих чисел, сколько от геометрии алгебраической кривой, которую задаёт это уравнение.

Если говорить совсем просто, то от количества «дырок». А точнее, от рода.

📚 Что вообще за уравнения

Речь идёт о диофантовых уравнениях, то есть об уравнениях, для которых мы ищем решения в целых или рациональных числах. Это одна из древнейших территорий математики: задачи такого типа обсуждали ещё во времена Диофанта почти две тысячи лет назад.

Классический дух здесь такой: не просто решить уравнение, а понять, существуют ли у него хорошие арифметические решения, то есть целые числа или дроби. Например, уравнение x² + y² = 25 имеет рациональные решения вроде (3, 4), уравнение y = x² задаёт параболу, а уравнение y² = x³ - x после добавления точки на бесконечности приводит нас к эллиптической кривой.

🧠 От чисел к геометрии

Главный фокус арифметической геометрии в том, что уравнение начинают изучать не только как запись с иксами и игреками, а как геометрический объект. И тут выясняется неожиданная вещь: вопросы про рациональные числа начинают зависеть от формы кривой.

Если совсем грубо, математики классифицируют кривые по роду. Род можно сравнить с числом «ручек» у соответствующей компактной поверхности: сфера имеет род 0, тор имеет род 1, дальше идут род 2, 3 и так далее.

И вот гипотеза Морделла, сформулированная ещё в 1922 году, утверждала нечто очень сильное. Если гладкая проективная кривая имеет род больше 1, то рациональных точек на ней может быть только конечное число.

✨ Почему это было так важно

Это очень жёсткое утверждение. Оно говорит, что для огромного класса уравнений рациональных решений не может быть бесконечно много просто по устройству самой геометрии.

До Фальтингса это была одна из больших открытых проблем XX века. Больше шестидесяти лет к ней подступались с разных сторон, и прогресс был очень ограниченным. А потом молодой немецкий математик доказал гипотезу, и после этого гипотеза Морделла стала теоремой Фальтингса.

За эту работу он получил Филдсовскую премию в 1986 году. А теперь и Абелевскую премию.

Фальтингс важен не только тем, что доказал гипотезу Морделла. Он ввёл мощные инструменты в арифметическую геометрию. То есть не просто закрыл одну знаменитую задачу, а изменил сам способ работы в этой области.

Позже он доказал и гипотезу Морделла-Ленга, гораздо более широкое утверждение о распределении рациональных точек.

Ты спрашиваешь: сколько у уравнения решений в дробях?
А математика отвечает: сначала пойми, каков род связанной с ним кривой.

Почему моряки столетиями шли не кратчайшим путем

Обычно нам кажется, что хороший маршрут — это самый короткий маршрут.

На море долгое время всё было наоборот. Самый удобный путь оказывался длиннее, но зато более практичным.

Это локсодрома — линия, которая пересекает все меридианы под одним и тем же углом.

Если по-простому, это маршрут, при котором можно держать один и тот же курс по компасу. Судно идёт все время под одним и тем же румбом. Для мореплавания это было не просто удобно, а почти спасительно.

Кратчайший путь, конечно, тоже существует: это дуга большой окружности, то есть геодезическая линия на сфере. Именно она дает минимальное расстояние между двумя точками на Земле.

Но с нюансами.

Чтобы идти по этому действительно кратчайшему пути, навигатору пришлось бы постоянно поправлять курс, каждую минуту. В реальном море прошлых веков - задача почти невыполнимая.

Локсодрома в этом смысле — гениальный компромисс. Она длиннее, зато ей можно следовать, не превращая плавание в бесконечную борьбу с отклонением курса.

Цена удобства

У локсодромы есть красивое свойство. Если продолжать идти по ней, она будет обвиваться вокруг Земли, закручиваться к полюсам, но так никогда их и не достигнет. Зато на карте Меркатора она выглядит как прямая.

Из Нью-Йорка в Лондон, например, по такому маршруту надо было бы идти под постоянным углом 73° к меридиану. Больше времени, зато сильно проще в навигации.

Ввел локсодрому в навигацию португальский математик и географ Педру Нуниш.

Локсодрома нужна не только парусникам раннего Нового времени. Некоторые мусульманские общины в Северной Америке используют именно локсодромическое направление на Мекку как киблу — то есть выбирают не кратчайший путь по сфере, а путь постоянного курса.

Что здесь главное

Локсодрома — хороший пример того, что математика побеждает не тогда, когда находит не “идеальное”, а практичное решение.

Именно поэтому линия, которая на глобусе выглядит как безумная спираль, оказалась одной из самых полезных линий в истории мореплавания.

Что общего у нуля и зефира

На первый взгляд — ничего, но это не так.

У нуля непростая история: его трижды открывали, долго не понимали и не принимали. И наконец, в XIII веке, вместе с арабскими цифрами он пришёл в Европу.

Переводом арабских трудов на латынь занимались итальянцы, точнее, тот самый Фибоначчи. В арабском языке ноль называли ṣifr — «пустой» (тоже перевод "пустоты" с санскрита). Это слово оказалось созвучным другому латинскому слову - Zephyrus (наследник греческого Zephyros), обозначающего "западный ветер". В результате на латыни ноль получил название zephirum.

За последующие пару столетий итальянцы изменили zephirum на более итальянское zefiro, а после вообще сократили до zero. А в это же время под Коломной появляются первые рецепты того, что через 300-400 лет получит новую легкую форму и название, вдохновленное западным ветром, - зефир.

Вот так ноль неожиданно приблизился, а потом отдалился от вкусного пирожного. Или западного ветра - кто как привык.

Брахисторона или таутохрона?

В XVII веке математики искали такую кривую, по которой шарики, запущенные из разных точек, будут доезажть вниз за одно и то же время. Суть в том, чтобы дополнительная длина пути компенсировалась большей скоростью на более крутом участке. В итоге система как будто сама себя “выравнивает” по времени.

Задача получила название задача о таутохроне (от греческих слов tauto — «тот же» и chronos — «время», то есть «одновременность»).

Её решил Христиан Гюйгенс в 1673 году. Искомая кривая — циклоида, траектория точки на окружности, которая катится по прямой. На основе этого он придумал циклойдальный маятник: если груз маятника движется не по дуге окружности, а по дуге циклоиды, период колебаний становится почти независимым от амплитуды, что важно для точных часов.

Но!

В XVII веке была ещё одна известная задача — задача о брахистохроне (тоже от греческих "самый короткий" и "время"), или кривой наискорейшего спуска. Она спрашивает: какую форму должна иметь гладкая кривая между двумя точками на плоскости, чтобы шарик, скользящий по ней без трения под действием тяжести, добирался до нижней точки за минимальное время.

В 1696 году Иоганн Бернулли объявил эту задачу конкурсной. В числе решивших её были Бернулли, Лейбниц и Ньютон, а ответ снова оказался циклоидой. Задача о брахистохроне стала одним из истоков вариационного исчисления и оптимального управления (считается простейшей и наглядной задачей!).

А математическая красота всего этого заключена в циклоиде. Одна и та же простая кривая одновременно решает две совершенно разные «оптимальные» задачи — даёт и наискорейший спуск, и одинаковое время спуска из любых точек.

А вам что ближе?

❤️ - циклоида
🔥 - брахистохрона
👍 - таутохрона

Заняло чуть больше, чем ожидалось. Но совсем скоро математические изменения уже начнутся.

1го апреля наконец-то небольшой выпуск - не пропустите и не удивляйтесь сильно!