Что послушать на длинных выходных?

Потрусить налеге 34км 1го января помогла ещё одна вещь. 31го декабря вышел подкаст Лекса Фридмана с математиком Джоэлом Хэмкинсом, профессором Оксфорда, специалистом в логике, теории множеств и основаниями математики, и номер один в рейтинге MathOverflow.

Почти 4 часа Хэмкинс наглядно рассказывал про основания математики, теорию множеств, математические школы, Гёделя, вычислимость, основания математики и взгляд на современное состоянии.

После местами пессимистичной "утраты определенности" Клайна было интересно послушать оптимистичный взгляд современного математика.

Хэмкинс говорит, что теорема Гёделя не вводит математиков в депрессию и не делает математику «беспомощной» — наоборот, это трезвое и даже освобождающее знание о природе математической реальности: никакой фиксированный список аксиом не сможет раз и навсегда ответить на все вопросы, и это нормально.

При этом современная математика, по его словам, уверенно прогрессирует: мы понимаем ключевые идеи (вроде бесконечности) всё глубже, поле вопросов постоянно смещается к более тонким и интересным, и нет причин думать, что этот рост знаний остановится.

Всё интервью — кладезь простых и наглядных объяснений сложнейших вещей, про которые очень хочется рассказать в полноформатных видео на канале Vital Math. Но чуть позже. А пока что, советую послушать.

А что вы слушали или смотрели из математики в последнее время или за весь 2025 год?

@vitalmath

Длинные выходные подходят к концу, но есть еще несколько дней, чтобы вспомнить и посмотреть интересные видео. Всё из списка ниже можно посмотреть на YT и в VK.

🌟 Выпуски 2025 года:

1. Как биткоин изменил мир? Как математика автоматизирует доверие. YT, VK

2. Как причесать ежа? Самая необычная теорема! YT, VK

3. Почему мы считаем до десяти? Как мы пришли к десятичной системе счисления и какие были и есть альтернативы. YT, VK

4. Математика переговоров. Как найти компромисс с помощью математики. YT, VK

5. Многочлены Литтлвуда. Красота и удивительные свойства загадочных многочленов. YT, VK

🧠 Большие выпуски на важные темы:

6. Как делить на ноль? Что говорит о делении на ноль современная математика. YT, VK

7. Искусственный интеллект. Какой путь он прошел, где сейчас и куда идет. Актуален до сих пор. YT, VK

📚 Выпуски про числа:

8. Трансцендентные числа. Один из моих любимых выпусков на настоящую "чисто-математичускую" красивую тему. YT, VK

9. Корень из двух. Первый выпуск, набравший миллион просмотров (хотя задумывался, как разогрев для Трансцендентных чисел). YT, VK

10. Комплексные числа. Красивая история про необычные числа. YT, VK

11. Ноль. Как "ничто" стало важнейшим числом для человечества. YT, VK

12. Отрицательные числа. Почему их отвергали тысячи лет? YT, VK

Было и много других, про парадоксы, функцию Вейерштрасса, энтропию, и ещё много чего.

А что вам запомнилось больше всего?

@vitalmath

Что ждать в 2026м году от этого канала?

В прошлом году были разные попытки запустить или перезапустить те или иные форматы и активности Vital Math. Ютюб канала пока что сильно приуныл. Что же будет в 2026?

Короткий ответ - много интересного.

Две вещи:

Во-первых, здесь, в ТГ, будет регулярная активность каждую неделю. В математике есть много красивых, интересных и увлекательных вещей и историй. Поэтому теперь эти вещи и истории станут более регулярными и постоянными. Простые и посложнее. Красивую математику никогда не лишне вспомнить или узнать!

Во-вторых, YouTube и полноформатные видео ещё впереди. Только за последние две недели собрался список из 70+ тем, каждая из которых могла бы стать полноценным видео. Но, к сожалению, время для полноформатных видео ещё не пришло. Надеюсь, всё-таки ждать придётся не долго.

Всем кто смотрит, читает, комментирует и ждёт новых выпусков, огромное спасибо! Вы - двигатель интереса математики на всей планете!

Если ещё не сделали, поделитесь ссылкой на этот канал с друзьями, знакомыми, близкими и далёкими, в целом и от математики. Это канал для всех. Это канал о математике, в первую очередь её красоте и всём том, что хоть немного помогает серым клеточкам шевелиться, думать, удивляться и осознавать, в каком удивительном математическом мире мы с вами живём!

Vital Math

@vitalmath

Вечный вопрос

Готфрид Харди писал в «Апологии математика»:

Я считаю, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция заключается в открытии и наблюдении ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем своими «творениями», в действительности являются не более чем записями наших наблюдений.

Похоже думали Кантор, члены группы Бурбаки, Гильберт, Эрмит, Гаусс.

Перси Бриджес в книге «Логика современной физики»:

Это общеизвестная истина, очевидная с первого взгляда, что математика — изобретение человека.

Также думали Вейрштрасс, Дедекинд, Вейль.

А вы как думаете, мы открываем или изобретаем математику?

❤️ — открываем
🔥 — изобретаем
🤓 — всё сразу

@vitalmath

Сколько цветов нужно, чтобы раскрасить карту так, чтобы соседние страны были разных цветов?

Интуитивно кажется — много. Но, оказывается, достаточно всего четырех. А сама задача стала первой на стыке математики и, как бы сейчас сказали, AI.

Для начала договоримся про понятия. Соседние страны — значит имеют общую границу ненулевой длины, а если страны соприкасаются только в одной точке, то им можно быть одного цвета. Допустим ещё, что у стран нет «анклавов», то есть каждая — одна связная область.

📚 Всё началось ещё в 1852 году. Фрэнсис Гатри раскрашивал карту Англии и заметил закономерность. Через брата он передал вопрос профессору Августу де Моргану. Задача ушла в мир математики, но решение не удавалось найти более 100 лет!

✨ Только в 1976 году Аппель и Хакен с помощью компьютера перебрали все возможные варианты определенных комбинаций и доказали, что 4х красок достаточно.

В первые в истории компьютер помог найти решение задачи, которую человек решить был не в состоянии. Математики, конечно, приняли решение прохладно. Доказательство перепроверяли и упрощали, a в итоге оно стало классикой подхода к решению задач с помощью AI.

🧠 Задачу легко перевести на язык графов: заменяем каждую страну на вершину, а общую границу — на ребро. Тогда вопрос становится таким: сколько цветов нужно, чтобы раскрасить вершины планарного графа, чтобы у каждого ребра концы были разного цвета?

🔷 Важная тонкость: речь именно о плоскости (или сфере, что по сути то же самое). На других поверхностях правила меняются: например, для карты на торе уже нужно 7 цветов, а на ленте Мёбиуса — 6.

Про задачу рассказывал здесь.

❤️ — красота
🤯 — неинтуитивно
😎 — всё логично

@vitalmath

Галуа: увлечение, изменившее науку 🔥

1823 год. Париж. В Королевский колледж Луи-ле-Гран поступает 12-летний мальчишка из Бур-ля-Рена. Учителя видят в нём гуманитария: блестящие переводы с греческого, спокойный характер. Но внутри у Эвариста Галуа уже растёт другая страсть — математика.

Он мечтает о Политехнической школе, École polytechnique — ключевом месте для инженеров и республиканцев. На вступительных экзаменах решает все задачи и… проваливается. Комиссия считает, что юноша «перепрыгивает» важные шаги. Галуа же уверен: они очевидны.

Через год он снова проваливает экзамен. По легенде, рассерженный Галуа швырнул тряпку в экзаменатора и тем самым окончательно закрыл себе дорогу в университет.

Но дорогу в математику не закрывает никто. Ещё через год Галуа поступает в другое престижное заведение — Высшую нормальную школу, École normale supérieure.

Галуа делает то, что математики обсуждали три столетия: выводит критерий, когда алгебраическое уравнение можно решить с помощью радикалов, а когда — нет. Как и все гениальные математики, он совершенно по-новому смотрит на привычные уравнения.

Важны не сами формулы, а структуры. Точнее структуры группы перестановок корней уравнения, именно эта группа показывает, можно ли выразить решение через радикалы.

Галуа погиб на Дуэли в 20 лет, но его идеи стали основной ключевого раздела математики, алгебры. Через несколько десятилетий появилась теория Галуа — язык, который объясняет, почему уравнения пятой степени не решаются в радикалах, как группы перестановок описывают корни многочленов и почему конечные поля устроены именно так.

Галуа стал одним из основателей теории групп, превратив алгебру из искусства в науку.

@vitalmath

🔍 Где прячется функция y = a^x?

Показательная функция кажется сложной формулой, которую придумали, чтобы мучить школьников. Но если посмотреть вокруг, окажется, что многие из знакомых процессов описываются этой формулой.

📏 Главная идея простая: за равные шаги времени величина не прибавляется, а умножается, причём на один и тот же коэффициент. Если a > 1, это рост; если 0 < a < 1, это спад.

Интуиция любит линейность. Нам кажется естественным, что если каждый день прибавлять одно и то же, то через месяц будет “в 30 раз больше”. Но огромное количество процессов устроено иначе: они прибавляют не одинаковую сумму, а одинаковую долю.

Отсюда же появляются две магические фразы: время удвоения и период полураспада.

🧠 Бактерии — почти идеальная иллюстрация. Пока хватает питательных веществ и места, колония может удваиваться через примерно равные промежутки времени, и через какое то время число бактерий “улетает в небо”.

🔍 Эпидемии устроены похожим образом. В ранней фазе, когда каждый заражённый приводит в среднем больше одного нового, начинается режим, где небольшая разница в темпах за неделю превращается в огромную разницу за месяц. Это и есть причина, почему ранние меры или ранние решения иногда важнее поздних в десять раз.

💸 Сложные проценты работают также. Все "финансовые коучи" учат как небольшие проценты помогут удвоить инвестии или заработать миллион, а всё благодаря показательной функции.

✨ Радиоактивный распад — зеркальная сторона: величина убывает пропорционально тому, сколько ещё осталось. Поэтому удобно говорить не “уменьшается на столько-то”, а “каждые N лет остаётся половина”.

И вот почему y = a^x мощная: она про мир, где важна не прибавка, а доля. Мы интуитивно думаем линейно, а многие процессы живут “процентами”.

@vitalmath

🏆 За что награждали математиков в 2025 году?

🇯🇵 Масаки Кашивара — Премия Абеля

Разработал теорию D-модулей, позволяющую решать сложные дифференциальные уравнения методами алгебры вместо анализа. Это как найти секретный проход вместо штурма крепости.

Открыл кристаллические базисы — инструмент, преобразующий невообразимо сложные задачи в простые комбинаторные проблемы. Применяется в математической физике, криптографии, квантовых вычислениях.

🇺🇸🇩🇪 Денис Гайцгори — Breakthrough Prize

После 30 лет исследований завершил доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — «великой единой теории математики», соединяющей разные области как теория Эйнштейна соединила пространство и время.

Доказательство (800+ страниц в пяти статьях) показало, что теория чисел, алгебраическая геометрия и математическая физика — разные грани одного целого. Влияет на квантовые вычисления и теоретическую физику.

🇸🇬🇺🇸 Си Ин Ли — Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize

Нашла способ разбить глобальную сложную задачу программы Ленглендса на маленькие локальные задачи, которые легче решать. Работает с многообразиями Шимуры — геометрическими пространствами, связывающими теорию чисел с геометрией, что открывает новые пути для исследований в математике.

🇮🇳🇩🇪 Раджула Шривастава — Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize

Решила давнюю задачу: по каким закономерностям распределяются рациональные точки (с координатами-дробями) на алгебраических многообразиях. Раньше математики просто считали, Шривастава нашла закономерности.

Её метод открыл дорогу к решению задач диофантова приближения с приложениями в криптографии и численных методах.

🇺🇸 Евэйн Гвинн — New Horizons in Mathematics Prize

Разобрался с метрикой LQG (квантовой гравитацией Лиувилля) — математическим описанием случайных геометрических объектов, возникающих при критических явлениях (лёд→вода, магнит теряет намагниченность).

Создал мост между вероятностной теорией и физикой конденсированного состояния. Результаты применяют в фазовых переходах, статистической механике, квантовой физике.

🇺🇸 Джон Пардон — New Horizons in Mathematics Prize

Разработал новые методы в симплектической геометрии и топологии — науках о формах и структурах пространств.

Решил классические геометрические задачи, которые долгие годы были загадкой. Методы применяются в классической механике, теоретической физике и геометрии.

🇺🇸 Сэм Расин — New Horizons in Mathematics Prize

Сыграл ключевую роль в доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса. Разработал теорию модели Уиттейкера — центральный инструмент, позволивший свести одну гигантскую задачу к более простым.

Его работа входит в список величайших математических достижений наравне с доказательством Великой теоремы Ферма.

🇺🇸 Юэнь Тан — Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize

Доказала, что некоторые квантовые вычисления машинного обучения можно выполнить на обычном компьютере за сравнимое время. Это как показать, что летающий автомобиль едет не быстрее наземного.

Уточнила границы квантового преимущества, важно для развития квантовых алгоритмов и практических приложений.

🇷🇺 Сергей Иванов — Международная премия РУДН

Один из сильнейших специалистов в метрической геометрии — науке о расстояниях и формах пространств. Его открытия стали основой целых исследовательских направлений.

Разработал новые методы для решения классических задач Хопфа, Бусманна и Банаха (поставлены десятки лет назад). Работает с динамическими системами и уравнениями в частных производных с приложениями в физике и инженерии. Первый лауреат новой российской премии.

#vitalmath

Все темы из предыдущего поста с достижениями современных математиков звучат страшно. Но так ли сложны эти темы на самом деле? 🤔

Представьте, что у вас есть знания только школьной математики. Что ещё нужно понять, чтоб стать экспертом в D-модулях Кашивары и спокойно читать работы лауреата премии Абеля?

Оказывается, достаточно всего 35 тем (если совсем спешите ⭐️ отмечены 12 самых критичных):

A: Основы математического анализа

1️⃣ Производные и дифференциальное исчисление ⭐️: D-модули буквально о дифференциальных операторах (∂/∂x)
2️⃣ Интегралы и интегрирование: обратные операции, нужны для концептуального понимания
3️⃣ Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) ⭐️: D-модули это системы дифференциальных уравнений
4️⃣ Уравнения в частных производных (УЧП): Большинство приложений D-модулей это УЧП
5️⃣ Линейные системы и матрицы ⭐️: системы ДУ становятся матричными уравнениями

B: Линейная алгебра

6️⃣ Векторные пространства и линейная независимость ⭐️: D-модули это обобщения векторных пространств, ключевая концепция
7️⃣ Линейные отображения и матричные представления ⭐️: Дифференциальные операторы это линейные отображения
8️⃣ Собственные значения и собственные векторы: Характеристические многочлены связаны со структурой D-модулей
9️⃣ Скалярные произведения, нормы, ортогональность: Менее критично, но полезно для приложений, можно пропустить
🔟 Нормальная форма Жордана: Понимание упрощения матриц; связано с классификацией D-модулей
1️⃣1️⃣ Тензорные произведения: D-модули часто включают тензорные произведения

C: Абстрактная алгебра

1️⃣2️⃣ Кольца, идеалы и гомоморфизмы колец ⭐️: Без глубокого понимания теории колец невозможно строить D-модули
1️⃣3️⃣ Модули и гомоморфизмы модулей ⭐️: D-модули ЭТО модулиб ЭТО ЦЕНТРАЛЬНАЯ КОНЦЕПЦИЯ; потратьте здесь дополнительное время
1️⃣4️⃣ Основы коммутативной алгебры: Понимание коммутативных колец (полиномы, локализация)
1️⃣5️⃣ Теория групп (минимальная): Не нужна полная глубина; сосредоточьтесь на основах
1️⃣6️⃣ Области главных идеалов и евклидовы области: Понимание делимости в алгебраических структурах

D: Топология и геометрия:

1️⃣7️⃣ Базовая топология: Нужна для геометрического аспекта D-модулей
1️⃣8️⃣ Многообразия и дифференцируемые структуры: D-модули живут на многообразиях
1️⃣9️⃣ Комплексный анализ (основы): лучше выучить для приложений
2️⃣0️⃣ Алгебраические многообразия: введение нужно знать

E: Гомологическая алгебра

2️⃣1️⃣ Цепные комплексы и гомология ⭐️: Необходима для понимания производных функторов
2️⃣2️⃣ Точные последовательности ⭐️: постоянно используется в теории D-модулей
2️⃣3️⃣ Производные функторы: можно выучить быстро, если знаете гомологию
2️⃣4️⃣ Спектральные последовательности: Используются для вычисления когомологии D-модулей

F: Пучки

2️⃣5️⃣ Пучки и предпучки ⭐️: D-модули ЭТО пучки
2️⃣6️⃣ Когомология пучков: Необходима для приложений

G: Алгебраическая геометрия

2️⃣7️⃣ Схемы: минимально
2️⃣8️⃣ Теория представлений: Кристаллические базисы (прорыв Кашивары) это о представлениях

H: Основания D-модулей

2️⃣9️⃣ Алгебра Вейля ⭐️: ЭТО то, над чем D-модули это модули
3️⃣0️⃣ D-идеалы и аннуляторы: Дифференциальные уравнения становятся D-идеалами
3️⃣1️⃣ Голономные D-модули и регулярность ⭐️: Здесь D-модули становятся мощными
3️⃣2️⃣ Базовые характеристические многообразия: Можно усвоить быстро, когда поймёте модули

I: Мастерство в D-модулях -> Чтобы стать глубоким экспертом

3️⃣3️⃣ Микролокализация и микролокальный анализ: Продвинутое геометрическое понимание
3️⃣4️⃣ Соответствие Римана-Гильберта: Мост между D-модулями и топологией
3️⃣5️⃣ Приложения к УЧП: Конкретные приложения; мотивация для теории
3️⃣6️⃣ Продвинутые темы и текущие cтатьи

Вот так вы дойдёте до границы знаний и начнёте понимать, где живут открытые проблемы. 🚀

А чем вы займётесь на выходных?

@vitalmath

🔍 Почему сложная математика "сложная"?

Пока мы не ушли далеко от Кашивары и D-модулей, давайте на этом примере посмотрим, чем сложна математика. Одна причина понятна - масштаб и время. Чтобы детально разобраться во всех 30+ областях потребуется лет 6-7 глубокого изучения и ещё лет 5-10, чтобы начать создавать новые результаты. Но почему именно столько времени? Несколько причин.

1️⃣ Рост абстракции с каждым уровнем

В школе функция — это линия на плоскости. Мы верим глазам: вот максимум, вот ноль, вот пересечение. В анализе функция превращается в бесконечномерную сущность, и привычная картинка становится лишь частным случаем. В алгебре объектов уже не видно вовсе: мы изучаем структуры и их свойства “без фона”.

Потом приходит геометрия высоких размерностей: многообразия и разнообразия, которые нельзя нарисовать, а интуиция из 2D и 3D начинает систематически подводить. И наконец D-модули: объект часто рассматривают в производных категориях, а его ключевая геометрическая информация кодируется в кокасательном пространстве T*X через характеристическое многообразие.

То есть вы как будто хотели понять “функцию”, а вам говорят: “смотри не на график, а на то, где лежит её микролокальная тень”. Рисовать нечего, а привычная интуиция больше мешает, чем помогает.

2️⃣ Одна идея в пяти ролях

В D-модулях один и тот же объект “законно” воспринимается сразу несколькими способами.

Представьте, что вам дали вещь и сказали:
- смотри на него как алгебру (модуль над дифференциальными операторами);
- теперь как геометрию (характеристики в T*X);
- теперь как анализ (система линейных ДУ/ЧДУ);
- теперь как топологию (через соответствие Римана–Гильберта в нужных классах);
- и иногда ещё как комбинаторику в геометрической теории представлений.

И трудность в том, что это не “пять разных разделов”. Это одно понятие, которое надо уметь видеть сразу со всех сторон.

3️⃣ Сдвиг от “ответа” к “инвариантам”

Что спрашивают в школе: если задано уравнение, цель — решить. Но современная теория часто меняет цель: понять пространство решений, его размерность, особенности, поведение при продолжении, связь с геометрией.

Даже если какое-то уравнение элементарно решается (например, у ∂ₓu + xu = 0 есть явная формула), язык D-модулей всё равно спрашивает другое: какой D-идеал задаёт это уравнение, как устроена характеристика, где возникают особенности, какие функторы что делают с решением.

Такая парадигма расширяет задачу, но дает мощный результат: вы понимаете "устройство" решений и не зависите от “поиска красивой формулы”.

4️⃣ Формальность как цена универсальности

Ещё один слой боли — это формальные условия. Чтобы теоремы работали, приходится говорить “когерентный”, “голономный”, “регулярный”, “конструктивный”, “совместимый”, “функториальный”… и это не словесная игра. Каждый эпитет фиксирует, что именно не сломается при переходе между разными областями математики.

В какой-то момент математика становится похожа на мост: пока не закрутишь все болты, по нему нельзя ехать. И D-модули — это мост, где болтов очень много.

📚 И всё же у этой истории есть красивая развязка. Когда окончательно разберёшься, D-модули перестают быть “страшной техникой” и становятся тем, чем они и являются: языком единства между анализом, геометрией, алгеброй и топологией.

А как думаете вы, почему сложная математика "сложная"?

И ещё вопрос, делать ли видео про D-модули?

@vitalmath

Удивительное Дерево Пифагора

Откуда возникла фраза «пифагоровы штаны»? Все просто, дорисуйте каждую сторону прямоугольного треугольника до квадрата. Получится картинка похожая на штаны, где квадрат возле гипотенузы равен сумме квадратов с катетами.

Спустя 2500 лет после Пифагора голландский учитель математики Альберт Босман взглянул на эту фигуру совсем иначе. Что если повторять её бесконечно?

Так родилось дерево Пифагора — один из самых элегантных фракталов в математике.

Как оно строится:
1️⃣ Начинаем с одного квадрата (это корень дерева)
2️⃣ На верхней стороне квадрата строим прямоугольный треугольник так, чтобы сторона квадрата была его гипотенузой
3️⃣ На двух катетах этого треугольника достраиваем новые квадраты
4️⃣ Повторяем весь процесс для этих квадратов… бесконечно много раз

Что удивительно:

✨ На каждом уровне дерева сумма площадей квадратов остаётся одинаковой! Если первый квадрат имеет площадь 1, то на втором уровне площадь двух квадратов в сумме тоже будет 1. На третьем уровне уже четыре квадрата, но их сумма опять же = 1.

✨ Каждая часть дерева похожа на целое — это самоподобие, основной признак фракталов. Вы можете увеличить любой «пучок веточек» и увидите ту же структуру.

✨ Всё дерево вмещается в аккуратный прямоугольник размером 6×4 (если исходный квадрат 1×1).

✨ В стандартной версии углы всегда 45°. Но если взять другой угол — допустим, 30° или 60° — Получаются «обдуваемые ветром деревья Пифагора» с совершенно иной геометрией.

🔍 удивительные и простые фрактальные деревья. Но остается вопрос - почему природа часто выбирает именно такие самоподобные структуры?

@vitalmath

«Большинство математиков владеют одним методом. Например, Норберт Винер в совершенстве овладел преобразованиями Фурье.

Некоторые математики овладели двумя методами и могут произвести впечатление на того, кто знает только один.

Джон фон Нейман владел тремя методами:
1. навыком формального оперирования линейными операторами;
2. интуитивным ощущением логической структуры любой новой математической теории;
3. интуитивным ощущением комбинаторной структуры новых теорий».

-Станислав Улам

📸 Джон фон Нейман беседует с Ричардом Фейнманом и Станиславом Уламом в Лос-Аламосе.

Из интернета.

Что скажете, похоже на правду?

Пост о посте: что сказал Улам?

В продолжение предыдущего поста, вот ещё один. Пояснительный. Цитата в переводе действительно запутанна и возникает вопрос: «что хотел сказать автор?»

Я не эксперт в английском, поэтому на помощь приходит оригинальная цитата и небольшое пояснение.

«Most mathematicians know one method. For example, Norbert Wiener had mastered Fourier transforms. Some mathematicians have mastered two methods and might really impress someone who knows only one of them. John von Neumann had mastered three methods:
1. A facility with the symbolic manipulation of linear operators;
2. An intuitive feeling for the logical structure of any new mathematical theory; and
3. An intuitive feeling for the combinatorial superstructure of new theories.»

О чем речь?

1) A facility with the symbolic manipulation of linear operators

Это способность быстро и безошибочно выполнять формальные преобразования и операции с линейными операторами в уме, что является основной техникой работы в функциональном анализе и квантовой механике.

2) An intuitive feeling for the logical structure of any new mathematical theory

Это способность моментально схватывать логику любой новой теории — её аксиомы, определения и доказательства — не разбираясь последовательно в каждом шаге, а интуитивно видя, как всё это организовано и как одно следует из другого.

3) An intuitive feeling for the combinatorial superstructure of new theories

Это способность интуитивно ощущать скрытую комбинаторную организацию теории - как её элементы могут комбинироваться, какие конфигурации и переходы возможны, и какие глубокие паттерны структурируют теорию на уровне выше логических следствий.

Какой контекст?

Улам произнёс эту цитату в интервью с математиком Джан-Карло Ротой в январе 1974 года, более 20 лет спустя после смерти фон Неймана, когда его спросили о влиянии фон Неймана на математику.

Улам объяснял, что ценит в фон Неймане не столько чистую математику, сколько его вклад в вычислительные машины, теорию игр и автоматы, что требовало совершенно особого способа мышления.

Три метода — это объяснение того, как именно работал ум фон Неймана и почему он был уникален: он мыслил формально и комбинаторно, а не геометрически, как большинство математиков.

Выходные - лучшее время, чтобы переключить голову и подумать о чем-нибудь высоком. Например, о математике.

Найдите m (целое, положительное, т.е. натуральное число).

Кстати, прежде чем начать решать, попробуйте почувствовать. Какой ответ приходит на ум в первые 10-20 секунд?

Решение: видео

Ответ: интеграл от 0 до π функции 2 sin(x) по dx

✨ Минутка математической красоты.

📏 Если бы наша точность была до десятитысячной (то есть до 4 знаков после запятой), тут можно было бы спокойно поставить знак равенства. Это примерно как допустить погрешность 10 см на километр.

Сравните:

🔹 π⁴ + π⁵ = 403.428775819…

🔹 e⁶ = 403.428793492…

Разница всего 0.000017673…, так что на уровне “обычной” точности они практически неотличимы.

Так что, если захотите быстро прикинуть число e, вот вам ещё одна формула:

e ≈ (π⁴ + π⁵)^(1/6)

Красота!

@vitalmath

Два “бублика”, которые ломают правило 🧠

Пока Бублик уже готовится к следующему турниру, поговорим про бублики в топологии.

Представьте, что мы никогда не видели Землю из космоса. Всё равно можно догадаться, что она круглая: достаточно измерять расстояния и углы на поверхности.

В геометрии поверхностей есть похожая идея: иногда маленького набора локальных измерений хватает, чтобы восстановить всю форму целиком.

В 1867 году Пьер Оссиан Бонне показал, что если вы знаете метрику поверхности (как по ней мерить расстояния) и среднюю кривизну в каждой точке (как она “в среднем” изгибается в пространстве), то этого обычно достаточно, чтобы определить поверхность.

Обычно, но не всегда, и именно это “не всегда” математики вылавливали почти полтора века.

Проблема была в том, что все известные исключения оказывались некомпактными: они тянулись бесконечно или имели края. А вот для “красивых” замкнутых поверхностей вроде сферы и тора долго не удавалось найти контрпример.

В начале 1980-х стало ясно, что для рода 0 (без дырок) всё действительно работает, а для торов оставалась тонкая лазейка: теоретически могло существовать не больше двух разных торов с одним и тем же набором локальных данных.

И вот в октябре 2025 года Александр Бобенко, Тим Хоффман и Эндрю Сейджмен-Фернас наконец предъявили такую пару: два очень “закрученных” тора, которые совпадают по метрике и средней кривизне, но глобально устроены по-разному.

Самое красивое то, как они туда пришли. Их дорожка началась с “пиксельной” геометрии: дискретных поверхностей, где вместо гладкости у вас сетка. В 2018-м компьютерный поиск нашёл странный “носорогоподобный” тор, который выглядел подозрительно, но оказался важной подсказкой.

Потом всплыл неожиданный мостик к Дарбу: старые формулы про линии кривизны, которые долго “убегали на бесконечность”. Их удалось подкрутить так, чтобы линии замыкались, и из этого выросли уже гладкие примеры.

Сначала — зеркальная пара (формально годится, но визуально обидно), а затем — более явно разные торы.

Правда, есть нюанс: найденные торы самопересекаются, как будто поверхность в пространстве “проткнула сама себя”. И теперь следующий вопрос звучит почти неизбежно: а бывают ли такие же пары без самопересечений?

Иногда математика напоминает: локально всё выглядит одинаково, а глобально можно жить в совсем другом мире.

Источник

Как создавалась новая теория: от корней к группам 🔍

Решение уравнений — база алгебры. Кажется, что если человечество столетиями училось извлекать корни и раскладывать выражения, то дальше остаётся только доводить технику. Но история уравнений показала другое: одного опыта “решать” недостаточно, иногда нужна новая оптика. Такой оптикой и стала теория Галуа.

Уравнения пятой и более высокой степени пытались “взять штурмом” ещё в XVI–XVII веках, а затем Лагранж и Безу подвели к мысли, что дело не только в формулах, но и в том, как переставляются корни. Лагранж изучал резольвенты: специальные выражения от корней, которые сохраняют часть симметрии уравнения и помогают понять, какой вообще может быть формула решения.

К началу XIX века стало ясно: ключ не в том, чтобы придумать ещё один хитрый радикал, а в том, чтобы понять структуру перестановок корней. Галуа в 1832 году оформил это как закон: он дал необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения в радикалах и одновременно ввёл язык, на котором это удобно говорить — язык групп и полей.

Сердце теории звучит удивительно просто: уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима — то есть её можно разложить в цепочку всё более простых симметрий, где на каждом шаге остаётся абелева часть.

И дальше случается магия масштаба. Эта идея работает не только для многочленов: группы Галуа помогают в геометрических построениях, в понимании систем дифференциальных уравнений и в других сюжетах, где есть “скрытые симметрии” задачи.

А ещё теория честно объясняет слово “невозможно”. Абель в 1824 году доказал, что общего решения уравнений степени ≥ 5 в радикалах не существует. Галуа объяснил, почему: если группа Галуа неразрешима, то радикальной формулы не будет.

И это, пожалуй, главный урок: иногда новая теория рождается не из новых вычислений, а из новой идеи — что считать “данными” задачи.

@vitalmath

Интересно, когда появится Math Stack Exchange для ИИ- математиков? 🤔

Наконец-то что-то стоящее.
Форум для общения агентов
https://www.moltbook.com/

Людям можно смотреть

Уже обсуждают E2EE, чтобы люди не подглядывали