🎶 Математика оперы
Оперное пение кажется вершиной искусства. Но что именно делает голос "великим"? Яркость? Громкость? Вибрато?
Учёные из университета Кейо (Япония) пошли от обратного: они собрали записи, попросили судей выставить оценки, а затем прогнали всё через статистику и акустику.
Вот что выяснилось:
> Вибрато — главный фактор, влияющий на оценку судей. Ни дикция, ни интонация, ни выразительность не показали статистически значимого вклада. Вибрато — это естественное лёгкое колебание высоты звука, которое делает голос "живым", тёплым и выразительным. Без него голос кажется плоским и механическим.
> SPR (Singing Power Ratio) — количественная мера того, как хорошо голос "пробивается" в зале. Это не просто громкость, а соотношение энергии в определённых частотах. Именно она коррелирует с ощущением “силы” голоса.
> Громкость (LUFS) и чёткость (HNR) почти не влияют: у всех певиц они уже были на хорошем уровне.
📐 Почему это важно:
– Теперь у вокалистов есть метрики, которые можно тренировать осознанно.
– Учителя могут не “чувствовать”, а измерять прогресс.
– А в будущем, может быть, ИИ будет давать фидбек лучше, чем человек-наставник.
Это шаг к формализации оценки искусства — не вместо эмоций, а в помощь пониманию, что делает исполнение по-настоящему выдающимся.
Искусство остаётся искусством — но путь к нему может быть математически точным.
Оперное пение кажется вершиной искусства. Но что именно делает голос "великим"? Яркость? Громкость? Вибрато?
Учёные из университета Кейо (Япония) пошли от обратного: они собрали записи, попросили судей выставить оценки, а затем прогнали всё через статистику и акустику.
Вот что выяснилось:
> Вибрато — главный фактор, влияющий на оценку судей. Ни дикция, ни интонация, ни выразительность не показали статистически значимого вклада. Вибрато — это естественное лёгкое колебание высоты звука, которое делает голос "живым", тёплым и выразительным. Без него голос кажется плоским и механическим.
> SPR (Singing Power Ratio) — количественная мера того, как хорошо голос "пробивается" в зале. Это не просто громкость, а соотношение энергии в определённых частотах. Именно она коррелирует с ощущением “силы” голоса.
> Громкость (LUFS) и чёткость (HNR) почти не влияют: у всех певиц они уже были на хорошем уровне.
📐 Почему это важно:
– Теперь у вокалистов есть метрики, которые можно тренировать осознанно.
– Учителя могут не “чувствовать”, а измерять прогресс.
– А в будущем, может быть, ИИ будет давать фидбек лучше, чем человек-наставник.
Это шаг к формализации оценки искусства — не вместо эмоций, а в помощь пониманию, что делает исполнение по-настоящему выдающимся.
Искусство остаётся искусством — но путь к нему может быть математически точным.
🔥13👍9🤔5❤1
Любая Zoll-контактная форма на 5-сфере — на самом деле стандартная
Немного отвлечемся от повседневных забот и перенесемся в мир необычных геометрий. Вот совсем недавняя статья с такой простой теоремой:
Любая контактная форма на стандартной 5-сфере, у которой поток Рэба замкнутый и с одинаковым периодом (так называемый Zoll-поток), — эквивалентна стандартной форме с точностью до масштабирования.
🔍 Что это вообще значит?
Это результат из области геометрии и динамики, а ключевые понятия вот какие:
◾ Контактная форма — это способ задать в пространстве правило, по которому всё должно двигаться. Представьте, что вы в каждой точке ставите маленькую стрелку, куда “разрешено” двигаться. Только не одну стрелку, а целое направление. И оно в каждой точке своё. Это как если бы ветер в каждой точке дул по-своему, но по особому закону — он не может быть просто горизонтальным или вертикальным, а обязан “вкручиваться” в пространство.
◾ Поток Рэба — это особый вид движения по этим разрешённым направлениям. Можно сказать, что это траектории частиц, которые идеально “встроены” в эту структуру. Они двигаются в точности по тем линиям, которые разрешает контактная форма.
◾ Zoll-поток — это удивительная ситуация, когда ВСЕ такие траектории замкнуты и одинаковой длины. Это как если бы вы запустили любого жука по поверхности, и он всегда шёл по кругу и возвращался точно в ту же точку за одинаковое время — где бы вы его ни начали.
◾ 5-сфера — это обобщение обычной сферы в более высокое измерение. Например:
• 1-сфера — это окружность (граница круга),
• 2-сфера — поверхность мяча (граница трёхмерного шара),
• 5-сфера — это поверхность в шестимерном пространстве (граница 6D-шара).
Чтобы работать с 5-сферой, удобно представить её как множество точек в трёхмерном комплексном пространстве C³ (где каждая координата — это комплексное число). Поскольку одно комплексное число — это две вещественные координаты, C³ — это просто R⁶.
5-сфера тогда описывается уравнением:
(z₁, z₂, z₃) ∈ C³, такое что |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² = 1.
◾ Стандартная контактная форма — самая простая и симметричная версия такой структуры. Она возникает естественным образом, если взять эту 5-сферу в C³. Поток Рэба при этом — просто вращение по кругу.
◾ Экзотическая контактная форма — выглядит более сложно: направления движения могут меняться по необычному, “искривлённому” правилу. Они не похожи на вращение, и кажется, будто описывают новую геометрию. Но действительно ли это что-то иное — в этом и был вопрос статьи.
💡 Вопрос статьи: бывают ли на 5-сфере “нестандартные” Zoll-контактные формы? Или всё сводится к стандартной?
🧠 Ответ: всё сводится к стандартной. Даже если форма выглядит экзотично, геометрически она эквивалентна обычной.
🛠️ В чем идея доказательства?
1. Если поток Рэба замкнутый (Zoll), то можно “сжать” траектории и получить новое симплектическое пространство меньшей размерности.
2. Сравнивая такие пространства, авторы показывают, что все они на самом деле одинаковые — это комплексная проективная плоскость CP².
3. Используются глубокие инструменты: контактная гомология, индекс Конли-Зендера, теория Зиберга–Уиттена.
4. Получается, что исходная контактная структура была тоже стандартной, просто записана иначе.
❗ Почему это важно?
Этот результат показывает жёсткость симметричных динамических систем: несмотря на огромное количество возможных контактных форм, если поток очень симметричный (все траектории одинаковые), то вариантов почти нет.
Для размерности 3 это было известно раньше. Но 5 — следующая по сложности, и до этой статьи там ничего не было доказано.
Это важно для симплектической и контактной геометрии, задач оптимизации и физики.
🧩 А что дальше?
Главный открытый вопрос — существует ли экзотическая Zoll-контактная форма на 7-сфере (или выше)? Пока никто не знает. Ответ на него определит, насколько гибкой или жёсткой является контактная геометрия в высоких измерениях.
Немного отвлечемся от повседневных забот и перенесемся в мир необычных геометрий. Вот совсем недавняя статья с такой простой теоремой:
Любая контактная форма на стандартной 5-сфере, у которой поток Рэба замкнутый и с одинаковым периодом (так называемый Zoll-поток), — эквивалентна стандартной форме с точностью до масштабирования.
🔍 Что это вообще значит?
Это результат из области геометрии и динамики, а ключевые понятия вот какие:
◾ Контактная форма — это способ задать в пространстве правило, по которому всё должно двигаться. Представьте, что вы в каждой точке ставите маленькую стрелку, куда “разрешено” двигаться. Только не одну стрелку, а целое направление. И оно в каждой точке своё. Это как если бы ветер в каждой точке дул по-своему, но по особому закону — он не может быть просто горизонтальным или вертикальным, а обязан “вкручиваться” в пространство.
◾ Поток Рэба — это особый вид движения по этим разрешённым направлениям. Можно сказать, что это траектории частиц, которые идеально “встроены” в эту структуру. Они двигаются в точности по тем линиям, которые разрешает контактная форма.
◾ Zoll-поток — это удивительная ситуация, когда ВСЕ такие траектории замкнуты и одинаковой длины. Это как если бы вы запустили любого жука по поверхности, и он всегда шёл по кругу и возвращался точно в ту же точку за одинаковое время — где бы вы его ни начали.
◾ 5-сфера — это обобщение обычной сферы в более высокое измерение. Например:
• 1-сфера — это окружность (граница круга),
• 2-сфера — поверхность мяча (граница трёхмерного шара),
• 5-сфера — это поверхность в шестимерном пространстве (граница 6D-шара).
Чтобы работать с 5-сферой, удобно представить её как множество точек в трёхмерном комплексном пространстве C³ (где каждая координата — это комплексное число). Поскольку одно комплексное число — это две вещественные координаты, C³ — это просто R⁶.
5-сфера тогда описывается уравнением:
(z₁, z₂, z₃) ∈ C³, такое что |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² = 1.
◾ Стандартная контактная форма — самая простая и симметричная версия такой структуры. Она возникает естественным образом, если взять эту 5-сферу в C³. Поток Рэба при этом — просто вращение по кругу.
◾ Экзотическая контактная форма — выглядит более сложно: направления движения могут меняться по необычному, “искривлённому” правилу. Они не похожи на вращение, и кажется, будто описывают новую геометрию. Но действительно ли это что-то иное — в этом и был вопрос статьи.
💡 Вопрос статьи: бывают ли на 5-сфере “нестандартные” Zoll-контактные формы? Или всё сводится к стандартной?
🧠 Ответ: всё сводится к стандартной. Даже если форма выглядит экзотично, геометрически она эквивалентна обычной.
🛠️ В чем идея доказательства?
1. Если поток Рэба замкнутый (Zoll), то можно “сжать” траектории и получить новое симплектическое пространство меньшей размерности.
2. Сравнивая такие пространства, авторы показывают, что все они на самом деле одинаковые — это комплексная проективная плоскость CP².
3. Используются глубокие инструменты: контактная гомология, индекс Конли-Зендера, теория Зиберга–Уиттена.
4. Получается, что исходная контактная структура была тоже стандартной, просто записана иначе.
❗ Почему это важно?
Этот результат показывает жёсткость симметричных динамических систем: несмотря на огромное количество возможных контактных форм, если поток очень симметричный (все траектории одинаковые), то вариантов почти нет.
Для размерности 3 это было известно раньше. Но 5 — следующая по сложности, и до этой статьи там ничего не было доказано.
Это важно для симплектической и контактной геометрии, задач оптимизации и физики.
🧩 А что дальше?
Главный открытый вопрос — существует ли экзотическая Zoll-контактная форма на 7-сфере (или выше)? Пока никто не знает. Ответ на него определит, насколько гибкой или жёсткой является контактная геометрия в высоких измерениях.
👍9🤔7❤🔥6👀3❤2
Сегодня утром разминал мозг такой устной задачкой — попробуйте и вы, только в уме:
Какое пятизначное число обладает следующим свойством: если приписать к нему цифру 1 в начале, то получится число, которое в три раза меньше, чем если приписать ту же цифру 1 в конце?
Ответ:42857
Какое пятизначное число обладает следующим свойством: если приписать к нему цифру 1 в начале, то получится число, которое в три раза меньше, чем если приписать ту же цифру 1 в конце?
Ответ:
👍16❤🔥3❤1
Всем привет! Ищу людей, кому близка тема математики для AI/ML и тех, кто хочет в ней разобраться.
Хочу коротко созвониться (15 мин), чтобы лучше разобраться в подходах и потребностях.
Идеально, если вы:
1. Хотите подтянуть математику для ML/AI (линейная алгебра, вероятность, оптимизация и т.д.),
или
2. Преподаёте или можете познакомить с людьми, кто глубоко в теме математики для ML/AI.
Буду рад пообщаться и обменяться мыслями.
Напишите в комментариях ниже или сюда: https://forms.gle/LcN5nxHN9mvjD9zC9
Хочу коротко созвониться (15 мин), чтобы лучше разобраться в подходах и потребностях.
Идеально, если вы:
1. Хотите подтянуть математику для ML/AI (линейная алгебра, вероятность, оптимизация и т.д.),
или
2. Преподаёте или можете познакомить с людьми, кто глубоко в теме математики для ML/AI.
Буду рад пообщаться и обменяться мыслями.
Напишите в комментариях ниже или сюда: https://forms.gle/LcN5nxHN9mvjD9zC9
1👀13❤1
Геометрия: от верёвки с узлами до многомерных пространств
Геометрия — это не просто треугольники из школьного учебника. Это история длиной в тысячи лет, полная сюрпризов и открытий. Геометрия прошла четыре больших этапа 👇
🔹 Зарождение
Египет, Вавилон, Греция. Геометрия рождается как прикладная наука: разделить землю, построить храм, измерить тень. Египтяне натягивали верёвку с 12 узлами и получали идеальный прямой угол, а Эратосфен вычислил длину окружности Земли почти без ошибки. Из простых правил и наблюдений постепенно рождается логика доказательств.
📚 Геометрия как наука
С Евклидом начинается новая эпоха. Его «Начала» превращают разрозненные знания в стройную систему аксиом и теорем, которая будет определять математику на 2000 лет. Позже Декарт вводит координаты — и фигуры впервые получают «адреса» на плоскости, а геометрия начинает говорить на языке алгебры.
⚙️ Геометрия и алгебра
XVII–XVIII века. Декарт придумывает координаты: теперь фигуры можно записать уравнениями. Паскаль открывает проективную геометрию — мир, где параллельные прямые встречаются в точке на бесконечности. Эйлер, Монж и Гаусс запускают дифференциальную геометрию: кривизна и поверхности впервые становятся объектами точного расчёта.
🌌 Эпоха многих геометрий
XIX век ломает привычное: Лобачевский создаёт неевклидову геометрию, Риман вводит многообразия с переменной кривизной — фундамент будущей теории относительности. В это же время рождается топология — «резиновая геометрия», где важна не форма, а связность: пончик и кружка с ручкой оказываются одним и тем же объектом. XX век приносит новые ветви: алгебраическая геометрия, многомерные пространства, квантовая и компьютерная геометрия. Мир становится не одной геометрией, а целой вселенной геометрий.
✨ От землемера с верёвкой до теории пространства-времени – на каждом этапе без сомнения есть своя мощь и красота!
Геометрия — это не просто треугольники из школьного учебника. Это история длиной в тысячи лет, полная сюрпризов и открытий. Геометрия прошла четыре больших этапа 👇
🔹 Зарождение
Египет, Вавилон, Греция. Геометрия рождается как прикладная наука: разделить землю, построить храм, измерить тень. Египтяне натягивали верёвку с 12 узлами и получали идеальный прямой угол, а Эратосфен вычислил длину окружности Земли почти без ошибки. Из простых правил и наблюдений постепенно рождается логика доказательств.
📚 Геометрия как наука
С Евклидом начинается новая эпоха. Его «Начала» превращают разрозненные знания в стройную систему аксиом и теорем, которая будет определять математику на 2000 лет. Позже Декарт вводит координаты — и фигуры впервые получают «адреса» на плоскости, а геометрия начинает говорить на языке алгебры.
⚙️ Геометрия и алгебра
XVII–XVIII века. Декарт придумывает координаты: теперь фигуры можно записать уравнениями. Паскаль открывает проективную геометрию — мир, где параллельные прямые встречаются в точке на бесконечности. Эйлер, Монж и Гаусс запускают дифференциальную геометрию: кривизна и поверхности впервые становятся объектами точного расчёта.
🌌 Эпоха многих геометрий
XIX век ломает привычное: Лобачевский создаёт неевклидову геометрию, Риман вводит многообразия с переменной кривизной — фундамент будущей теории относительности. В это же время рождается топология — «резиновая геометрия», где важна не форма, а связность: пончик и кружка с ручкой оказываются одним и тем же объектом. XX век приносит новые ветви: алгебраическая геометрия, многомерные пространства, квантовая и компьютерная геометрия. Мир становится не одной геометрией, а целой вселенной геометрий.
✨ От землемера с верёвкой до теории пространства-времени – на каждом этапе без сомнения есть своя мощь и красота!
🔥30👍5❤3👀3❤🔥1
📅✨ 27 сентября 2025 — С днём глобального квадрата!
Иногда календарь подкидывает такие совпадения, что мурашки бегут по коже. 27 сентября — именно такой день. Почему?
👉 Если записать дату в Американском формате (09/27/2025), получится число 9 272 025. Это точный квадрат:
3045 × 3045 = 9 272 025.
👉 А если записать её по-европейски (27/09/2025), мы получаем 27 092 025. И это тоже квадрат:
5205 × 5205 = 27 092 025.
Такое совпадение называется «глобальная квадратная дата» — и за весь XXI век оно случается всего 8 раз. Для сравнения: «голубая луна» бывает раз в 2–3 года, а солнечное затмение где-то на Земле — каждые полгода.
🔮 Следующая глобальная квадратная дата — только 1 января 2036 года, но там обе записи дают одно и то же число. Поэтому 27 сентября 2025-го считается самой красивой датой нашего времени.
И да, не забывайте, сам 2025 год — тоже квадратный:
2025 = 45 × 45.
А ещё это сумма кубов всех цифр от 0 до 9.
Так что сегодня отмечаем, 27 сентября 2025-го мы будем жить в чистой математической гармонии.
Иногда календарь подкидывает такие совпадения, что мурашки бегут по коже. 27 сентября — именно такой день. Почему?
👉 Если записать дату в Американском формате (09/27/2025), получится число 9 272 025. Это точный квадрат:
3045 × 3045 = 9 272 025.
👉 А если записать её по-европейски (27/09/2025), мы получаем 27 092 025. И это тоже квадрат:
5205 × 5205 = 27 092 025.
Такое совпадение называется «глобальная квадратная дата» — и за весь XXI век оно случается всего 8 раз. Для сравнения: «голубая луна» бывает раз в 2–3 года, а солнечное затмение где-то на Земле — каждые полгода.
🔮 Следующая глобальная квадратная дата — только 1 января 2036 года, но там обе записи дают одно и то же число. Поэтому 27 сентября 2025-го считается самой красивой датой нашего времени.
И да, не забывайте, сам 2025 год — тоже квадратный:
2025 = 45 × 45.
А ещё это сумма кубов всех цифр от 0 до 9.
Так что сегодня отмечаем, 27 сентября 2025-го мы будем жить в чистой математической гармонии.
2🔥46👍6❤3👏1
📚 Лучшие учителя в истории математики
Поздравляю всех с Днём учителя! Давайте сегодня посмотрим на учителей в математике.
Математика движется не только гениями, но и теми, кто умеет передать мысль. Иногда одна лекция способна изменить поколение — и направление целой науки.
Вот несколько имён, чьи ученики сделали не меньше, чем они сами 👇
👨🏫 Давид Гильберт — профессор в Гёттингене, у которого учились будущие легенды XX века. Его лекции были как театр идей: он формулировал проблемы, которые определили столетие (включая знаменитые 23 задачи).
👨🏫 Жан-Пьер Серр — педагог с чувством юмора и кристальной ясностью мысли. Он умел объяснить сложнейшую топологию так, что студенты чувствовали: “Я понимаю!” Его бывшие ученики стали ведущими учёными во Франции и США.
👨🏫 Серж Ланг — автор десятков учебников, на которых выросли поколения математиков. Ланг требовал не зубрёжки, а мышления: “Если вы не можете объяснить идею — вы её не поняли.”
👨🏫 Андрей Колмогоров — архитектор советской математической школы. Его ученики — Лаврентьев, Новиков, Арнольд — создали целые направления. Колмогоров умел заражать логикой и азартом мысли.
👨🏫 Владимир Арнольд — ученик Колмогорова и один из самых вдохновляющих лекторов XX века. Он говорил:
👩🏫 Софья Ковалевская — первая женщина-профессор математики в Европе. Её ученицы вспоминали, что она давала не только знание, но и смелость мыслить.
📐 Что объединяет великих учителей?
Они не “учили решать”, а учили видеть — за формулой идею, за доказательством стиль, за задачей красоту.
Настоящий учитель — это не тот, кто всё знает, а тот, кто заставляет тебя захотеть понять.
А чему вас научили учителя?
Поздравляю всех с Днём учителя! Давайте сегодня посмотрим на учителей в математике.
Математика движется не только гениями, но и теми, кто умеет передать мысль. Иногда одна лекция способна изменить поколение — и направление целой науки.
Вот несколько имён, чьи ученики сделали не меньше, чем они сами 👇
👨🏫 Давид Гильберт — профессор в Гёттингене, у которого учились будущие легенды XX века. Его лекции были как театр идей: он формулировал проблемы, которые определили столетие (включая знаменитые 23 задачи).
👨🏫 Жан-Пьер Серр — педагог с чувством юмора и кристальной ясностью мысли. Он умел объяснить сложнейшую топологию так, что студенты чувствовали: “Я понимаю!” Его бывшие ученики стали ведущими учёными во Франции и США.
👨🏫 Серж Ланг — автор десятков учебников, на которых выросли поколения математиков. Ланг требовал не зубрёжки, а мышления: “Если вы не можете объяснить идею — вы её не поняли.”
👨🏫 Андрей Колмогоров — архитектор советской математической школы. Его ученики — Лаврентьев, Новиков, Арнольд — создали целые направления. Колмогоров умел заражать логикой и азартом мысли.
👨🏫 Владимир Арнольд — ученик Колмогорова и один из самых вдохновляющих лекторов XX века. Он говорил:
Математика — это умение видеть. Формулы — лишь следствие понимания.
👩🏫 Софья Ковалевская — первая женщина-профессор математики в Европе. Её ученицы вспоминали, что она давала не только знание, но и смелость мыслить.
📐 Что объединяет великих учителей?
Они не “учили решать”, а учили видеть — за формулой идею, за доказательством стиль, за задачей красоту.
Настоящий учитель — это не тот, кто всё знает, а тот, кто заставляет тебя захотеть понять.
А чему вас научили учителя?
1🔥34❤11👍7
🏅 Нобелевская премия по физике 2025: квантовый прорыв Google
В этом году Нобелевскую премию по физике получили:
Мишель Деворе — главный учёный по квантовому оборудованию Google Quantum AI,
Джон Мартинис — бывший руководитель квантового направления Google,
и Джон Кларк из Университета Калифорнии в Беркли.
🔹 За что премия
За открытие макроскопических квантовых эффектов — явлений, когда странные законы микромира проявляются в обычных электрических цепях.
В 1980-х учёные создали сверхпроводящую схему с джозефсоновским переходом, где квантовое состояние можно не только наблюдать, но и управлять им.
⚙️ Почему это важно
Именно эти эксперименты заложили основу сверхпроводящих кубитов — базового элемента современных квантовых компьютеров.
На этих принципах сегодня работает квантовый процессор Google, включая чип Willow и знаменитый эксперимент 2019 года, показавший квантовое превосходство.
🌍 Контекст
Google теперь насчитывает пять нобелевских лауреатов, включая Демиса Хассабиса, Джона Джампера и Джеффри Хинтона (лауреаты 2024).
Три премии за два года — и все связаны с границей между искусственным интеллектом и фундаментальной физикой.
✨ Квантовая механика, некогда считавшаяся философской загадкой, превратилась в технологию, на которой строится будущее вычислений.
👉 Источник — Google Quantum AI
В этом году Нобелевскую премию по физике получили:
Мишель Деворе — главный учёный по квантовому оборудованию Google Quantum AI,
Джон Мартинис — бывший руководитель квантового направления Google,
и Джон Кларк из Университета Калифорнии в Беркли.
🔹 За что премия
За открытие макроскопических квантовых эффектов — явлений, когда странные законы микромира проявляются в обычных электрических цепях.
В 1980-х учёные создали сверхпроводящую схему с джозефсоновским переходом, где квантовое состояние можно не только наблюдать, но и управлять им.
⚙️ Почему это важно
Именно эти эксперименты заложили основу сверхпроводящих кубитов — базового элемента современных квантовых компьютеров.
На этих принципах сегодня работает квантовый процессор Google, включая чип Willow и знаменитый эксперимент 2019 года, показавший квантовое превосходство.
🌍 Контекст
Google теперь насчитывает пять нобелевских лауреатов, включая Демиса Хассабиса, Джона Джампера и Джеффри Хинтона (лауреаты 2024).
Три премии за два года — и все связаны с границей между искусственным интеллектом и фундаментальной физикой.
✨ Квантовая механика, некогда считавшаяся философской загадкой, превратилась в технологию, на которой строится будущее вычислений.
👉 Источник — Google Quantum AI
11👍15🤔7🫡2
🧠 Квантовые компьютеры: почему «конец света» всё ещё откладывается
Помните прогнозы, что вот-вот квантовые компьютеры взломают все шифры, уничтожат биткоин и перевернут интернет?
Прошло десять лет — и ничего не произошло. Почему?
Разберёмся, где на самом деле квантовые технологии в 2025 году и когда ждать настоящей революции
📊 Что у нас есть сейчас
В мире работает всего около 200 квантовых компьютеров — в лабораториях и корпоративных центрах.
Это всё ещё экспериментальные машины, требующие сверхнизких температур и колоссальной стабилизации.
Тем не менее, прогресс идёт.
Google Willow (2024) — 105-кубитный процессор — показал, что при росте числа кубитов ошибки можно уменьшать экспоненциально. Он решил задачу за 5 минут, на которую суперкомпьютерам понадобились бы 10²⁵ лет.
А в 2025-м исследователи из Техаса и D-Wave продемонстрировали «квантовое превосходство» уже на практических задачах моделирования.
🧩 Почему до «взлома интернета» далеко
Главное различие — между физическими и логическими кубитами.
Физические — реальные квантовые частицы, которые ошибаются каждую миллисекунду.
Логические — устойчивые комбинации сотен или тысяч физических кубитов, способные работать надёжно.
Для расшифровки RSA-2048 по алгоритму Шора нужен компьютер с 20 миллионами физических кубитов.
А крупнейший существующий, IBM Condor, имеет всего 1121 кубит.
Разрыв — в тысячи раз.
🔒 Почему шифрование пока в безопасности
• Ошибки в квантовых схемах около 0,1–1%, всё ещё слишком много.
• Время когерентности микросекунды: кубиты «забывают» состояние почти мгновенно.
• Масштабирование — нерешённая инженерная проблема: миллионы кубитов требуют чудовищных ресурсов.
Даже при самых оптимистичных прогнозах, криптографически опасные квантовые машины появятся не раньше 2035 года.
Так что интернет пока в безопасности.
🧮 Но подготовка идёт
С 2024 года NIST (организация определяющая стандарты безопасности) утвердил первые стандарты пост-квантовой криптографии — ML-KEM и ML-DSA.
Великобритания объявила план перехода:
• анализ рисков — к 2028 г.;
• миграция ключевых систем — к 2031 г.;
• полный переход — к 2035 г.
Это называется подготовкой к Q-Day — дню, когда квантовые компьютеры станут действительно опасны.
⚖️ Реальность против хайпа
Квантовые компьютеры — не провал и не чудо.
Это медленно зреющая технология, где каждое открытие требует прорыва в физике, инженерии и теории ошибок.
Медиа преувеличили угрозу, но недооценили масштаб задачи.
Квантовый апокалипсис не наступил — потому что физика сложнее заголовков.
🧭 Главная мысль:
Революция идёт, просто не в ритме ежедневных новостей.
Мы ещё далеки от квантового конца света, но ближе, чем когда-либо, к пониманию, как он может случиться.
Помните прогнозы, что вот-вот квантовые компьютеры взломают все шифры, уничтожат биткоин и перевернут интернет?
Прошло десять лет — и ничего не произошло. Почему?
Разберёмся, где на самом деле квантовые технологии в 2025 году и когда ждать настоящей революции
📊 Что у нас есть сейчас
В мире работает всего около 200 квантовых компьютеров — в лабораториях и корпоративных центрах.
Это всё ещё экспериментальные машины, требующие сверхнизких температур и колоссальной стабилизации.
Тем не менее, прогресс идёт.
Google Willow (2024) — 105-кубитный процессор — показал, что при росте числа кубитов ошибки можно уменьшать экспоненциально. Он решил задачу за 5 минут, на которую суперкомпьютерам понадобились бы 10²⁵ лет.
А в 2025-м исследователи из Техаса и D-Wave продемонстрировали «квантовое превосходство» уже на практических задачах моделирования.
🧩 Почему до «взлома интернета» далеко
Главное различие — между физическими и логическими кубитами.
Физические — реальные квантовые частицы, которые ошибаются каждую миллисекунду.
Логические — устойчивые комбинации сотен или тысяч физических кубитов, способные работать надёжно.
Для расшифровки RSA-2048 по алгоритму Шора нужен компьютер с 20 миллионами физических кубитов.
А крупнейший существующий, IBM Condor, имеет всего 1121 кубит.
Разрыв — в тысячи раз.
🔒 Почему шифрование пока в безопасности
• Ошибки в квантовых схемах около 0,1–1%, всё ещё слишком много.
• Время когерентности микросекунды: кубиты «забывают» состояние почти мгновенно.
• Масштабирование — нерешённая инженерная проблема: миллионы кубитов требуют чудовищных ресурсов.
Даже при самых оптимистичных прогнозах, криптографически опасные квантовые машины появятся не раньше 2035 года.
Так что интернет пока в безопасности.
🧮 Но подготовка идёт
С 2024 года NIST (организация определяющая стандарты безопасности) утвердил первые стандарты пост-квантовой криптографии — ML-KEM и ML-DSA.
Великобритания объявила план перехода:
• анализ рисков — к 2028 г.;
• миграция ключевых систем — к 2031 г.;
• полный переход — к 2035 г.
Это называется подготовкой к Q-Day — дню, когда квантовые компьютеры станут действительно опасны.
⚖️ Реальность против хайпа
Квантовые компьютеры — не провал и не чудо.
Это медленно зреющая технология, где каждое открытие требует прорыва в физике, инженерии и теории ошибок.
Медиа преувеличили угрозу, но недооценили масштаб задачи.
Квантовый апокалипсис не наступил — потому что физика сложнее заголовков.
🧭 Главная мысль:
Революция идёт, просто не в ритме ежедневных новостей.
Мы ещё далеки от квантового конца света, но ближе, чем когда-либо, к пониманию, как он может случиться.
👍26❤4
Премия Абеля 2025: Масаки Касивара объединил алгебру и анализ
В 2025 году главную математическую награду мира, Премию Абеля, получил японский математик Масаки Касивара.
Жюри отметило его «фундаментальные вклады в алгебраический анализ и теорию представлений, включая развитие теории D-модулей и открытие кристаллических баз».
📘 Что это значит простыми словами
Масаки Касивара соединил два мира, которые раньше жили отдельно: анализ (работа с функциями и уравнениями) и алгебру (работа со структурами и симметриями).
Он создал язык, на котором можно говорить сразу с обоими.
🔹 D-модули: как алгебра решает уравнения
Когда физики ищут, как меняется температура, давление или волна, они решают дифференциальные уравнения.
Касивара показал, что такие уравнения можно рассматривать как D-модули — особые алгебраические объекты, на которых действуют операторы производных.
Это позволило решать аналитические задачи методами алгебры и создало новое направление — алгебраический анализ.
🔹 Кристаллические базы: симметрия под микроскопом
Во второй части карьеры Касивара разработал кристаллические базы.
Это комбинаторные структуры, которые помогают увидеть и описать симметрии, возникающие в квантовой физике.
Они стали основным инструментом в теории квантовых групп и теории представлений.
⚛️ Почему это важно
Теория представлений — это язык симметрий природы.
Благодаря идеям Касивары этот язык стал точнее и нагляднее.
Его подход сегодня лежит в основе современной математической физики и геометрии.
🏅 О премии
Премия Абеля учреждена парламентом Норвегии в 2002 году.
Ее называют «Нобелем по математике».
Награда составляет 7,5 миллиона норвежских крон, что примерно соответствует 700 тысячам долларов.
✨ Главная мысль
Масаки Касивара показал, что если соединить алгебру и анализ, то даже законы квантового мира становятся яснее.
В 2025 году главную математическую награду мира, Премию Абеля, получил японский математик Масаки Касивара.
Жюри отметило его «фундаментальные вклады в алгебраический анализ и теорию представлений, включая развитие теории D-модулей и открытие кристаллических баз».
📘 Что это значит простыми словами
Масаки Касивара соединил два мира, которые раньше жили отдельно: анализ (работа с функциями и уравнениями) и алгебру (работа со структурами и симметриями).
Он создал язык, на котором можно говорить сразу с обоими.
🔹 D-модули: как алгебра решает уравнения
Когда физики ищут, как меняется температура, давление или волна, они решают дифференциальные уравнения.
Касивара показал, что такие уравнения можно рассматривать как D-модули — особые алгебраические объекты, на которых действуют операторы производных.
Это позволило решать аналитические задачи методами алгебры и создало новое направление — алгебраический анализ.
🔹 Кристаллические базы: симметрия под микроскопом
Во второй части карьеры Касивара разработал кристаллические базы.
Это комбинаторные структуры, которые помогают увидеть и описать симметрии, возникающие в квантовой физике.
Они стали основным инструментом в теории квантовых групп и теории представлений.
⚛️ Почему это важно
Теория представлений — это язык симметрий природы.
Благодаря идеям Касивары этот язык стал точнее и нагляднее.
Его подход сегодня лежит в основе современной математической физики и геометрии.
🏅 О премии
Премия Абеля учреждена парламентом Норвегии в 2002 году.
Ее называют «Нобелем по математике».
Награда составляет 7,5 миллиона норвежских крон, что примерно соответствует 700 тысячам долларов.
✨ Главная мысль
Масаки Касивара показал, что если соединить алгебру и анализ, то даже законы квантового мира становятся яснее.
1❤19👍19🔥6🤔3❤🔥1
5 лет каналу на YouTube, выпуск который почти месяц не хотелось публиковать, но 5 лет все-таки небольшой юбилей.
Что будет дальше? Здесь, в ТГ, явно появится больше активности про математику, красоту, с древних времен и до последних достижений, все как обычно, но чаще и больше. Начнем уже с завтрашнего дня!
Оставайтесь на связи!
https://youtu.be/JzOylcxz7lM
Что будет дальше? Здесь, в ТГ, явно появится больше активности про математику, красоту, с древних времен и до последних достижений, все как обычно, но чаще и больше. Начнем уже с завтрашнего дня!
Оставайтесь на связи!
https://youtu.be/JzOylcxz7lM
5🔥56👏9👾3👀2🦄2
🔐 Kryptos: 35 лет в напряжении
В 1990 у входа в штаб-квартиру ЦРУ в Лэнгли поставили медную скульптуру Kryptos. На ней выгравированы 4 зашифрованных текста общей длиной 869 символов. Это не просто арт-объект, а компактный учебник по классической криптографии: каждый фрагмент — отдельная задача с собственным методом шифрования.
🧩 Какие задачи и в чём их сложность
• K1 — полиалфавитная подстановка (вариант Виженера). Надо угадать длину ключа и алфавит, а затем снять сдвиги: здесь работают индекс совпадений и частотный анализ.
• K2 — снова Виженер, но со «смешанным» алфавитом и другим ключом; внутри спрятаны координаты на территории ЦРУ. Сложность в комбинации нестандартного алфавита, периода и ключевого слова.
• K3 — транспозиция (перестановка). Буквы не меняют, меняют порядок. Подсказка: частоты букв остаются «английскими», значит надо восстанавливать маршруты чтения и ключ перестановки (KRYPTOS).
• K4 — финальный отрезок на 97 символов. Десятилетиями считалось, что это «меташифр», который замешан на подсказках из предыдущих частей и ещё одном приёме (или их смеси). Именно он держал всех 35 лет.
🕵️ Как нашли ответ в 2025
Двое авторов нашли в архивах Смитсоновского института «кодовые карты» художника Джима Санборна и заметили на наклеенных обрывках исходный открытый текст K4. Санборн подтвердил подлинность и попросил запечатать материалы на 50 лет.
📦 Аукцион в ноябре
Параллельно Санборн выставил на ноябрь аукцион комплекта материалов о K4. Покупатель должен получить метод и творческий контекст, то есть «как это задумано» и как K4 связан с возможным пятым слоем.
❓ Почему решение всё ещё открытый вопрос
Несколько людей уже знают предполагаемый текст K4, но не знают метод, который к нему ведёт. В криптографии «решить» значит не просто назвать слова, а показать воспроизводимую процедуру от шифртекста к открытому тексту. Пока общепринятого публичного разбора метода нет, поэтому для математиков задача формально не закрыта.
🎨 Почему это важно
Kryptos — редкий случай, когда искусство, математика и шифры сплетаются в один сюжет на десятилетия.
Три задачи решены, четвёртая, похоже, прочитана, но доказательство метода ещё ждёт своего публичного финала.
🔥 - а можно подробнее про К1, К2, К3?
❤️ - люблю криптографию
В 1990 у входа в штаб-квартиру ЦРУ в Лэнгли поставили медную скульптуру Kryptos. На ней выгравированы 4 зашифрованных текста общей длиной 869 символов. Это не просто арт-объект, а компактный учебник по классической криптографии: каждый фрагмент — отдельная задача с собственным методом шифрования.
🧩 Какие задачи и в чём их сложность
• K1 — полиалфавитная подстановка (вариант Виженера). Надо угадать длину ключа и алфавит, а затем снять сдвиги: здесь работают индекс совпадений и частотный анализ.
• K2 — снова Виженер, но со «смешанным» алфавитом и другим ключом; внутри спрятаны координаты на территории ЦРУ. Сложность в комбинации нестандартного алфавита, периода и ключевого слова.
• K3 — транспозиция (перестановка). Буквы не меняют, меняют порядок. Подсказка: частоты букв остаются «английскими», значит надо восстанавливать маршруты чтения и ключ перестановки (KRYPTOS).
• K4 — финальный отрезок на 97 символов. Десятилетиями считалось, что это «меташифр», который замешан на подсказках из предыдущих частей и ещё одном приёме (или их смеси). Именно он держал всех 35 лет.
🕵️ Как нашли ответ в 2025
Двое авторов нашли в архивах Смитсоновского института «кодовые карты» художника Джима Санборна и заметили на наклеенных обрывках исходный открытый текст K4. Санборн подтвердил подлинность и попросил запечатать материалы на 50 лет.
📦 Аукцион в ноябре
Параллельно Санборн выставил на ноябрь аукцион комплекта материалов о K4. Покупатель должен получить метод и творческий контекст, то есть «как это задумано» и как K4 связан с возможным пятым слоем.
❓ Почему решение всё ещё открытый вопрос
Несколько людей уже знают предполагаемый текст K4, но не знают метод, который к нему ведёт. В криптографии «решить» значит не просто назвать слова, а показать воспроизводимую процедуру от шифртекста к открытому тексту. Пока общепринятого публичного разбора метода нет, поэтому для математиков задача формально не закрыта.
🎨 Почему это важно
Kryptos — редкий случай, когда искусство, математика и шифры сплетаются в один сюжет на десятилетия.
Три задачи решены, четвёртая, похоже, прочитана, но доказательство метода ещё ждёт своего публичного финала.
🔥 - а можно подробнее про К1, К2, К3?
❤️ - люблю криптографию
1🔥73❤17😱2
📐 Что такое алгебраическая геометрия и почему она считается самой красивой областью математики
С чего лучше всего начать неделю? Конечно с алгебраической геометрии.
Алгебраическая геометрия изучает фигуры, заданные уравнениями из полиномов, то есть из выражений, где используются только сложение, умножение и степени переменных.
Например, окружность можно записать как
x² + y² = 1.
Эллипс, парабола, гипербола — тоже решения полиномиальных уравнений.
Но вот пример, который не относится к алгебраической геометрии:
sin(x) = y.
Здесь появляется функция синуса, бесконечный ряд, который нельзя выразить конечным числом алгебраических операций.
Такие объекты изучает уже аналитическая геометрия и теория функций.
Почему алгебраическая геометрия ограничивается полиномами?
Потому что именно они дают чистую, точную структуру без приближений и бесконечных рядов.
Полиномы замкнуты под всеми алгебраическими операциями — это делает из них идеальный язык для строгих доказательств и универсальных форм.
Но алгебраическая геометрия идёт дальше: рассматривает такие «фигуры» не только над вещественными числами, но и над комплексными, p-адическими и даже абстрактными полями, где координаты — не числа, а алгебраические объекты.
📊 Что она изучает
• Геометрические формы, заданные алгебраическими уравнениями (кривые, поверхности, многообразия).
• Их свойства: пересечения, симметрии, особенности.
• Связи между алгебраическими формулами и геометрией фигур.
Современная алгебраическая геометрия — это язык, в котором можно описывать и кривые Эйлера, и квантовые поля, и криптографию криптомира.
📜 Немного истории
• В античности уравнения описывали реальные линии и поверхности.
• В XVII веке Декарт объединил алгебру и геометрию в координатной плоскости.
• XIX век добавил проективную геометрию и комплексные числа.
• XX век — революция: Гротендик создал схемы, превратив всё пространство в алгебру.
• Сегодня алгебраическая геометрия лежит в основе теории чисел, топологии, физики и даже машинного обучения.
💎 В чём красота
Простое уравнение превращается в форму.
Каждый полином, как зашифрованная фигура, которую можно «увидеть» с помощью алгебры.
Это соединение логики и интуиции, строгости и визуальности.
⚙️ В чём сложность
Чтобы понимать этот язык, нужно владеть и алгеброй, и топологией, и анализом.
Здесь числа становятся пространствами, а фигуры — системами уравнений.
Одна короткая формула может описывать бесконечно сложный многомерный мир.
✨ Главная идея
Алгебраическая геометрия — это искусство видеть формы сквозь формулы.
Она показывает, что числа могут быть геометрией, а геометрия — выражением законов самой логики.
С чего лучше всего начать неделю? Конечно с алгебраической геометрии.
Алгебраическая геометрия изучает фигуры, заданные уравнениями из полиномов, то есть из выражений, где используются только сложение, умножение и степени переменных.
Например, окружность можно записать как
x² + y² = 1.
Эллипс, парабола, гипербола — тоже решения полиномиальных уравнений.
Но вот пример, который не относится к алгебраической геометрии:
sin(x) = y.
Здесь появляется функция синуса, бесконечный ряд, который нельзя выразить конечным числом алгебраических операций.
Такие объекты изучает уже аналитическая геометрия и теория функций.
Почему алгебраическая геометрия ограничивается полиномами?
Потому что именно они дают чистую, точную структуру без приближений и бесконечных рядов.
Полиномы замкнуты под всеми алгебраическими операциями — это делает из них идеальный язык для строгих доказательств и универсальных форм.
Но алгебраическая геометрия идёт дальше: рассматривает такие «фигуры» не только над вещественными числами, но и над комплексными, p-адическими и даже абстрактными полями, где координаты — не числа, а алгебраические объекты.
📊 Что она изучает
• Геометрические формы, заданные алгебраическими уравнениями (кривые, поверхности, многообразия).
• Их свойства: пересечения, симметрии, особенности.
• Связи между алгебраическими формулами и геометрией фигур.
Современная алгебраическая геометрия — это язык, в котором можно описывать и кривые Эйлера, и квантовые поля, и криптографию криптомира.
📜 Немного истории
• В античности уравнения описывали реальные линии и поверхности.
• В XVII веке Декарт объединил алгебру и геометрию в координатной плоскости.
• XIX век добавил проективную геометрию и комплексные числа.
• XX век — революция: Гротендик создал схемы, превратив всё пространство в алгебру.
• Сегодня алгебраическая геометрия лежит в основе теории чисел, топологии, физики и даже машинного обучения.
💎 В чём красота
Простое уравнение превращается в форму.
Каждый полином, как зашифрованная фигура, которую можно «увидеть» с помощью алгебры.
Это соединение логики и интуиции, строгости и визуальности.
⚙️ В чём сложность
Чтобы понимать этот язык, нужно владеть и алгеброй, и топологией, и анализом.
Здесь числа становятся пространствами, а фигуры — системами уравнений.
Одна короткая формула может описывать бесконечно сложный многомерный мир.
✨ Главная идея
Алгебраическая геометрия — это искусство видеть формы сквозь формулы.
Она показывает, что числа могут быть геометрией, а геометрия — выражением законов самой логики.
2👍30❤14🔥7💘2👀1
Давайте проведем эксперимент!
Случайное блуждание из тем — следующие 10 дней темы определяете Вы!
Как вы уже поняли, в этом канале можно встретить любую математическую тему, от простых задачек до сложнейших тем современной математики. Часто в комментариях предлагают, о чем еще написать. Но давайте добавим системности (и случайности) в этот процесс.
Правила такие:
1. В течении следующих 10 дней Вы пишите комментарий с вопросом, затрагиваете какую-либо тему или явно говорите какую тему хотели бы увидеть дальше
2. Самый популярный (залайканный) или самый интересный и логичный (логичное продолжение текущего поста, на наш взгляд) комментарий станет основой темы на следующий день
Ключевая идея — не просто 10 случайных постов, а темы которые имеют некоторую логическую связь с предыдущим постом или комментариям к нему. Живой саморегулируемый организм из математики!
Проверим, куда сойдется процесс, сколько шагов от случайной темы до гипотезы Римана и о чем вообще мы думаем.
Не стесняйтесь писать о самых сокровенных математических темах (например, гипотеза Сато-Тейта или теорема Мордэлла-Вайля), которые всегда хотели спросить, но не было подходящего повода.
Для начала давайте определимся с первой темой на завтра 👇
Случайное блуждание из тем — следующие 10 дней темы определяете Вы!
Как вы уже поняли, в этом канале можно встретить любую математическую тему, от простых задачек до сложнейших тем современной математики. Часто в комментариях предлагают, о чем еще написать. Но давайте добавим системности (и случайности) в этот процесс.
Правила такие:
1. В течении следующих 10 дней Вы пишите комментарий с вопросом, затрагиваете какую-либо тему или явно говорите какую тему хотели бы увидеть дальше
2. Самый популярный (залайканный) или самый интересный и логичный (логичное продолжение текущего поста, на наш взгляд) комментарий станет основой темы на следующий день
Ключевая идея — не просто 10 случайных постов, а темы которые имеют некоторую логическую связь с предыдущим постом или комментариям к нему. Живой саморегулируемый организм из математики!
Проверим, куда сойдется процесс, сколько шагов от случайной темы до гипотезы Римана и о чем вообще мы думаем.
Не стесняйтесь писать о самых сокровенных математических темах (например, гипотеза Сато-Тейта или теорема Мордэлла-Вайля), которые всегда хотели спросить, но не было подходящего повода.
Для начала давайте определимся с первой темой на завтра 👇
2❤23👍5👀3🥰2
День 1. Почему нормальное распределение именно такое
Друзья, спасибо всем за ваши комментарии 🙏
Каждый раз, когда я читаю ваш фидбэк, понимаю — аудитория этого канала особенная.
Вы не просто изучаете математику, вы замечаете настоящую математическую красоту.
Рано или поздно осветим все, что упоминалось, но, как и обещал, начнем с наиболее "залайканного".
5 лет назад ровно в это время я делал один из первых выпусков про Закон больших чисел (если по-простому, частота наблюдаемых событий стремится к теорической вероятности). Это простое и удивительное утверждение, про которое сразу не понятно, что это - закон природы или математическая теорема. Но именно этот закон управляет многими вещами в нашем мире. Даже канал первые два года рос только за счет выпуска про закон больших чисел.
Следом за ЗБЧ был ролик про Нормальное распределение, с распределение в форме колокола, которое встречается повсюду. Но возникает очень логичный вопрос:
Почему нормальное распределение имеет график f(x)=e^(-x²)? Есть миллион функций, имеющих форму горы со склонами. Почему, когда я кидаю снежки в столб, то вырисовывается именно такая функция?
Ответ на самом деле простой - форма распределения возникает из трёх простых свойств случаныйх ошибок: симметрии, независимости и редкости больших отклонений.
Три исходных предположения
1️⃣ Симметрия — вероятность ошибки не зависит от направления. Ошибка «влево» и «вверх» равнозначны.
2️⃣ Независимость — ошибки по горизонтали и вертикали независимы: промах влево не влияет на вероятность промаха вверх.
3️⃣ Малые ошибки встречаются чаще — большие отклонения от центра менее вероятны, чем маленькие.
Как из этого получается e^(-x²)
Пусть p(x) — вероятность ошибки на расстояние x по горизонтали, а p(y) — по вертикали.
Из независимости следует: p(x) * p(y) = g(r), где r = x² + y² — расстояние от центра.
Так как результат не зависит от поворота координат (симметрия), получаем уравнение:
(p'(x) / (x * p(x))) = (p'(y) / (y * p(y))) = C, где C — постоянная.
Решая это уравнение, получаем: p(x) = A * e^(C * x² / 2).
Но по условию (малые ошибки вероятнее больших) C должно быть отрицательным.
Обозначим C = -2k², где k > 0. Тогда:
p(x) = A * e^(-k² * x²), где A — коэффициент нормировки, а k определяет ширину распределения.
То есть форма e^(-x²) — единственная, которая сохраняет симметрию и независимость ошибок при любых поворотах координат.
Это и есть основная форма гауссиана!
💡 Главная идея:
Если ошибки независимы, симметричны и большие отклонения редки — единственная возможная форма распределения — экспонента в отрицательном квадрате.
Именно поэтому кривая e^(-x²) так часто возникает в природе. А ещё нормальное распределение - это распределение с наибольшей энтропией (при заданных среднем и дисперсии). Но это уже другая история..
Друзья, спасибо всем за ваши комментарии 🙏
Каждый раз, когда я читаю ваш фидбэк, понимаю — аудитория этого канала особенная.
Вы не просто изучаете математику, вы замечаете настоящую математическую красоту.
Рано или поздно осветим все, что упоминалось, но, как и обещал, начнем с наиболее "залайканного".
5 лет назад ровно в это время я делал один из первых выпусков про Закон больших чисел (если по-простому, частота наблюдаемых событий стремится к теорической вероятности). Это простое и удивительное утверждение, про которое сразу не понятно, что это - закон природы или математическая теорема. Но именно этот закон управляет многими вещами в нашем мире. Даже канал первые два года рос только за счет выпуска про закон больших чисел.
Следом за ЗБЧ был ролик про Нормальное распределение, с распределение в форме колокола, которое встречается повсюду. Но возникает очень логичный вопрос:
Почему нормальное распределение имеет график f(x)=e^(-x²)? Есть миллион функций, имеющих форму горы со склонами. Почему, когда я кидаю снежки в столб, то вырисовывается именно такая функция?
Ответ на самом деле простой - форма распределения возникает из трёх простых свойств случаныйх ошибок: симметрии, независимости и редкости больших отклонений.
Три исходных предположения
1️⃣ Симметрия — вероятность ошибки не зависит от направления. Ошибка «влево» и «вверх» равнозначны.
2️⃣ Независимость — ошибки по горизонтали и вертикали независимы: промах влево не влияет на вероятность промаха вверх.
3️⃣ Малые ошибки встречаются чаще — большие отклонения от центра менее вероятны, чем маленькие.
Как из этого получается e^(-x²)
Пусть p(x) — вероятность ошибки на расстояние x по горизонтали, а p(y) — по вертикали.
Из независимости следует: p(x) * p(y) = g(r), где r = x² + y² — расстояние от центра.
Так как результат не зависит от поворота координат (симметрия), получаем уравнение:
(p'(x) / (x * p(x))) = (p'(y) / (y * p(y))) = C, где C — постоянная.
Решая это уравнение, получаем: p(x) = A * e^(C * x² / 2).
Но по условию (малые ошибки вероятнее больших) C должно быть отрицательным.
Обозначим C = -2k², где k > 0. Тогда:
p(x) = A * e^(-k² * x²), где A — коэффициент нормировки, а k определяет ширину распределения.
То есть форма e^(-x²) — единственная, которая сохраняет симметрию и независимость ошибок при любых поворотах координат.
Это и есть основная форма гауссиана!
💡 Главная идея:
Если ошибки независимы, симметричны и большие отклонения редки — единственная возможная форма распределения — экспонента в отрицательном квадрате.
Именно поэтому кривая e^(-x²) так часто возникает в природе. А ещё нормальное распределение - это распределение с наибольшей энтропией (при заданных среднем и дисперсии). Но это уже другая история..
1❤32👍14🔥8🥰2👀1
📊 День 2. Как «тяжёлые хвосты» управляют миром
Нормальное распределение встречается повсюду: рост людей, ошибки измерений в экспериментах, шум в датчиках и каналах связи, погрешности при производстве, погрешности опросов и тестов. Затронув нормальное распределение, очень легко оказаться и в финансовой математике. Что говорить, автор этих строк тоже грешил в молодости, закончив МГУ с дипломом на тему восстановления данных на финансовых рынках с помощью метода Марковских цепей Монте-Карло (знаменитый MCMC).
В финансах, как вы поняли, очень много математики — и тоже часто встречается нормальное распределение. 5 лет назад, когда только создавался YouTube-канал, я активно слушал книги Насима Талеба, популяризатора идеи «чёрных лебедей» и самого ярого критика нормального распределения. Всего одна вещь делает нормальное распределение не просто бесполезным, но — как показали реальные кризисы — опасным. Всё дело в тяжёлых хвостах.
Как вы помните из Дня 1, нормальные случайные величины обладают симметрией и, что особенно важно, редкостью больших отклонений. Нормальное распределение почти «запрещает» экстремальные события, но рынки, да и наша жизнь, регулярно переживают шоки, которые по Гауссу были бы «раз в жизнь Вселенной».
🦢 Что такое «тяжёлые хвосты»
Распределение с тяжёлыми (толстыми) хвостами — это такое, где большие отклонения от среднего происходят заметно чаще, чем предсказывает нормальное. В хвостах вероятность убывает медленно — по степенному закону: P(|X| > x) ~ x^(−α). Чем меньше α, тем «толще» хвост и тем выше шанс экстремума. У нормального распределения хвосты тонкие: убывают примерно как exp(−x^2).
Интуитивно, нормальное — мир «мелкой ряби» (много маленьких флуктуаций, экстремумы редки). Тяжёлые хвосты — мир «редких цунами»: долго может быть спокойно, но иногда случается скачок, который перевешивает всё остальное (и «средние» больше не спасают). Именно такие редкие, непредсказуемые и сверхвоздействующие события Талеб назвал «чёрными лебедями».
📉 Несколько примеров "черных лебедей":
• Чёрный понедельник (1987): падение Dow Jones на 22,6% за день, что нормальное распределение предсказывает как "раз в миллионы лет".
• Кризис 2008: Dow Jones падает на 51,1%, S&P 500 на 56,8%; домохозяйства США потеряли ~$19 трлн, мировые рынки >$10 трлн капитализации.
• COVID-19 (2020): NYSE минус треть стоимости за считаные недели.
Это не аномалии, а проявление встроенных в систему тяжёлых хвостов. С 1987 по 1997 было три дня с движениями, которые классическая теория предсказывает «раз в 10 000 лет».
⚠️ Почему Гаусс не работает
Нормальная модель предполагает «много маленьких независимых эффектов» и отсутствие сильной зависимости в экстремумах. В реальности источники риска часто синхронизируются именно в хвостах: когда плохо — плохо всем сразу. Итог: экстремумы происходят чаще и сильнее.
✏️ Немного математики
• «Тяжесть» хвоста описывается степенным законом: P(|X| > x) ~ x^(−α). Меньше α → толще хвост.
• У нормального распределения - тонкие хвосты (exp(−x^2)); t-распределение Стьюдента — тяжелее; Коши — настолько тяжёлое, что не существует даже среднего.
• Практический маркер «хвостатости» — повышенный коэффициент эксцесс (куртозис > 3).
🛠 Практические выводы
• Моделируйте хвосты отдельно: t, α-stable, обобщённое Парето, EVT (peaks-over-threshold).
• Смотрите на Expected Shortfall (средний убыток за порогом), а не только на VaR (Value at Risk, стоимостная мера риска).
• Делайте стресс-сценарии «за пределами истории».
• Хеджируйте хвостовой риск (опционы, динамический хедж), не надейтесь на «усреднение само спасёт».
• Помните про «Экстремистан»: одно редкое событие может определить весь исход.
💡 Главная идея
Если система допускает редкие, но очень большие скачки, то «колокол» обманывает. Нужны модели и метрики, которые видят хвосты — потому что именно хвосты делают историю, в которой мы живём.
Нормальное распределение встречается повсюду: рост людей, ошибки измерений в экспериментах, шум в датчиках и каналах связи, погрешности при производстве, погрешности опросов и тестов. Затронув нормальное распределение, очень легко оказаться и в финансовой математике. Что говорить, автор этих строк тоже грешил в молодости, закончив МГУ с дипломом на тему восстановления данных на финансовых рынках с помощью метода Марковских цепей Монте-Карло (знаменитый MCMC).
В финансах, как вы поняли, очень много математики — и тоже часто встречается нормальное распределение. 5 лет назад, когда только создавался YouTube-канал, я активно слушал книги Насима Талеба, популяризатора идеи «чёрных лебедей» и самого ярого критика нормального распределения. Всего одна вещь делает нормальное распределение не просто бесполезным, но — как показали реальные кризисы — опасным. Всё дело в тяжёлых хвостах.
Как вы помните из Дня 1, нормальные случайные величины обладают симметрией и, что особенно важно, редкостью больших отклонений. Нормальное распределение почти «запрещает» экстремальные события, но рынки, да и наша жизнь, регулярно переживают шоки, которые по Гауссу были бы «раз в жизнь Вселенной».
🦢 Что такое «тяжёлые хвосты»
Распределение с тяжёлыми (толстыми) хвостами — это такое, где большие отклонения от среднего происходят заметно чаще, чем предсказывает нормальное. В хвостах вероятность убывает медленно — по степенному закону: P(|X| > x) ~ x^(−α). Чем меньше α, тем «толще» хвост и тем выше шанс экстремума. У нормального распределения хвосты тонкие: убывают примерно как exp(−x^2).
Интуитивно, нормальное — мир «мелкой ряби» (много маленьких флуктуаций, экстремумы редки). Тяжёлые хвосты — мир «редких цунами»: долго может быть спокойно, но иногда случается скачок, который перевешивает всё остальное (и «средние» больше не спасают). Именно такие редкие, непредсказуемые и сверхвоздействующие события Талеб назвал «чёрными лебедями».
📉 Несколько примеров "черных лебедей":
• Чёрный понедельник (1987): падение Dow Jones на 22,6% за день, что нормальное распределение предсказывает как "раз в миллионы лет".
• Кризис 2008: Dow Jones падает на 51,1%, S&P 500 на 56,8%; домохозяйства США потеряли ~$19 трлн, мировые рынки >$10 трлн капитализации.
• COVID-19 (2020): NYSE минус треть стоимости за считаные недели.
Это не аномалии, а проявление встроенных в систему тяжёлых хвостов. С 1987 по 1997 было три дня с движениями, которые классическая теория предсказывает «раз в 10 000 лет».
⚠️ Почему Гаусс не работает
Нормальная модель предполагает «много маленьких независимых эффектов» и отсутствие сильной зависимости в экстремумах. В реальности источники риска часто синхронизируются именно в хвостах: когда плохо — плохо всем сразу. Итог: экстремумы происходят чаще и сильнее.
✏️ Немного математики
• «Тяжесть» хвоста описывается степенным законом: P(|X| > x) ~ x^(−α). Меньше α → толще хвост.
• У нормального распределения - тонкие хвосты (exp(−x^2)); t-распределение Стьюдента — тяжелее; Коши — настолько тяжёлое, что не существует даже среднего.
• Практический маркер «хвостатости» — повышенный коэффициент эксцесс (куртозис > 3).
🛠 Практические выводы
• Моделируйте хвосты отдельно: t, α-stable, обобщённое Парето, EVT (peaks-over-threshold).
• Смотрите на Expected Shortfall (средний убыток за порогом), а не только на VaR (Value at Risk, стоимостная мера риска).
• Делайте стресс-сценарии «за пределами истории».
• Хеджируйте хвостовой риск (опционы, динамический хедж), не надейтесь на «усреднение само спасёт».
• Помните про «Экстремистан»: одно редкое событие может определить весь исход.
💡 Главная идея
Если система допускает редкие, но очень большие скачки, то «колокол» обманывает. Нужны модели и метрики, которые видят хвосты — потому что именно хвосты делают историю, в которой мы живём.
2👍34🔥14❤4🥰1
Vital Math pinned «Давайте проведем эксперимент! Случайное блуждание из тем — следующие 10 дней темы определяете Вы! Как вы уже поняли, в этом канале можно встретить любую математическую тему, от простых задачек до сложнейших тем современной математики. Часто в комментариях…»
📚 День 3. Топ 10 книг о математике
Вчера был интересный комментарий про «тяжёлые хвосты»:
Солярис Станислава Лема — уж точно не Гаусс.
Действительно, «Солярис» — это история о людях на орбитальной станции и разумном океане, кытаскивает из «краёв распределения» крайне маловероятные переживания и делает их главными событиями. Главное случается в хвостах. Хотя это больше философия пределов знания, собственно математики в «Солярисе» нет. 🧠
Но всё это подтолкнуло к ещё одной мысли: а где же есть математика? В каких художественных произведениях математика всё-таки встречается? Вот субъективный топ 10 в порядке возрастания важности математики в сюжете (1 - самое математичное). Поехали: 🚀
🔟 Дэн Браун — «Код да Винчи» (2003)
• Детективный триллер про шифры, символы и заговоры вокруг произведений искусства.
• Математика: числа Фибоначчи, «золотое сечение», простая криптография. Математика - реквизит сюжета, а не предмет исследования. Загадки и шифры лишь для продвижения действия.
9️⃣ Эдвин Эбботт — «Флатландия» (1884)
• Аллегорическая повесть о жизни в двумерном мире и «пробуждении» к четвёртому измерению.
• Математика: геометрия измерений, проекции, неэвклидово мышление — как мыслительный эксперимент и расширение интуиции о пространстве.
8️⃣ А. и Б. Стругацкие — «За миллиард лет до конца света» (1976)
• Учёные на пороге открытий сталкиваются с «сопротивлением мироздания».
• Математика: теорема Ферма как культурный маркер, методология науки, вероятностное мышление — как философская рамка и осмысление пределов познания.
7️⃣ Лю Цысинь — «Задача трёх тел» (2006)
• Контакт цивилизаций на фоне хаотической динамики и исторических катаклизмов.
• Математика: задача трёх тел, классическая механика, хаос Пуанкаре, численные методы — ЗТТ как метафора непредсказуемости, «простая» система с хаотичным поведением.
6️⃣ Нил Стивенсон — «Криптономикон» (1999)
• Криптография времён Второй мировой и истоки электронных денег.
• Математика: теория чисел, шифры, информационная теория, вычислительная сложность — реалистично показано, как математика ломает и строит шифры.
5️⃣ Нил Стивенсон — «Анафем» (2008)
• Мир «математических орденов», обсуждающих основания науки и реальность идей.
• Математика: основания математики, конфигурационные пространства, DAG (ориентированный ациклический граф), философия доказательства — математика формирует мировоззрение и сюжет.
4️⃣ Руди Ракер — «Белый свет» (1980)
• Фантазия-путешествие по «странам бесконечностей».
• Математика: канторовские мощности, алефы, кардиналы/ординалы, парадоксы бесконечности — как содержательная ткань мира, художественная «экспериментализация» теории множеств. ∞
3️⃣ Грег Иган — «Город перестановок» (1994)
• Сознание как вычисление и реальность как математическая структура.
• Математика: комбинаторика, вычислимость, клеточные автоматы, мат. вселенная — математика объясняет, «что такое реальность» и «кем быть сознанию».
2️⃣ Грег Иган — «Накаливание» (2008)
• Как инопланетная цивилизация «с нуля» открывает Общую теорию относительности.
• Математика: тензорный анализ, риманова геометрия, геодезические, приливные силы — весь сюжет движется через математическое открытие физики. 📐
1️⃣ Грег Иган — «Диаспора» (1997)
• Постчеловеческие формы жизни и вселенные с иной физикой/математикой.
• Математика: дифференциальная/риманова геометрия, расслоения, топология, многообразия высокой размерности, абстрактные структуры — математика определяет устройство реальности и философию сознания. 🌀
Какая из этих книг ваша любимая? Что добавить (Лем «Непобедимый»? ещё Стругацкие?) Список точно неполный — присылайте свои варианты, сделаем совместный топ. ✍️
Вчера был интересный комментарий про «тяжёлые хвосты»:
Солярис Станислава Лема — уж точно не Гаусс.
Действительно, «Солярис» — это история о людях на орбитальной станции и разумном океане, кытаскивает из «краёв распределения» крайне маловероятные переживания и делает их главными событиями. Главное случается в хвостах. Хотя это больше философия пределов знания, собственно математики в «Солярисе» нет. 🧠
Но всё это подтолкнуло к ещё одной мысли: а где же есть математика? В каких художественных произведениях математика всё-таки встречается? Вот субъективный топ 10 в порядке возрастания важности математики в сюжете (1 - самое математичное). Поехали: 🚀
🔟 Дэн Браун — «Код да Винчи» (2003)
• Детективный триллер про шифры, символы и заговоры вокруг произведений искусства.
• Математика: числа Фибоначчи, «золотое сечение», простая криптография. Математика - реквизит сюжета, а не предмет исследования. Загадки и шифры лишь для продвижения действия.
9️⃣ Эдвин Эбботт — «Флатландия» (1884)
• Аллегорическая повесть о жизни в двумерном мире и «пробуждении» к четвёртому измерению.
• Математика: геометрия измерений, проекции, неэвклидово мышление — как мыслительный эксперимент и расширение интуиции о пространстве.
8️⃣ А. и Б. Стругацкие — «За миллиард лет до конца света» (1976)
• Учёные на пороге открытий сталкиваются с «сопротивлением мироздания».
• Математика: теорема Ферма как культурный маркер, методология науки, вероятностное мышление — как философская рамка и осмысление пределов познания.
7️⃣ Лю Цысинь — «Задача трёх тел» (2006)
• Контакт цивилизаций на фоне хаотической динамики и исторических катаклизмов.
• Математика: задача трёх тел, классическая механика, хаос Пуанкаре, численные методы — ЗТТ как метафора непредсказуемости, «простая» система с хаотичным поведением.
6️⃣ Нил Стивенсон — «Криптономикон» (1999)
• Криптография времён Второй мировой и истоки электронных денег.
• Математика: теория чисел, шифры, информационная теория, вычислительная сложность — реалистично показано, как математика ломает и строит шифры.
5️⃣ Нил Стивенсон — «Анафем» (2008)
• Мир «математических орденов», обсуждающих основания науки и реальность идей.
• Математика: основания математики, конфигурационные пространства, DAG (ориентированный ациклический граф), философия доказательства — математика формирует мировоззрение и сюжет.
4️⃣ Руди Ракер — «Белый свет» (1980)
• Фантазия-путешествие по «странам бесконечностей».
• Математика: канторовские мощности, алефы, кардиналы/ординалы, парадоксы бесконечности — как содержательная ткань мира, художественная «экспериментализация» теории множеств. ∞
3️⃣ Грег Иган — «Город перестановок» (1994)
• Сознание как вычисление и реальность как математическая структура.
• Математика: комбинаторика, вычислимость, клеточные автоматы, мат. вселенная — математика объясняет, «что такое реальность» и «кем быть сознанию».
2️⃣ Грег Иган — «Накаливание» (2008)
• Как инопланетная цивилизация «с нуля» открывает Общую теорию относительности.
• Математика: тензорный анализ, риманова геометрия, геодезические, приливные силы — весь сюжет движется через математическое открытие физики. 📐
1️⃣ Грег Иган — «Диаспора» (1997)
• Постчеловеческие формы жизни и вселенные с иной физикой/математикой.
• Математика: дифференциальная/риманова геометрия, расслоения, топология, многообразия высокой размерности, абстрактные структуры — математика определяет устройство реальности и философию сознания. 🌀
Какая из этих книг ваша любимая? Что добавить (Лем «Непобедимый»? ещё Стругацкие?) Список точно неполный — присылайте свои варианты, сделаем совместный топ. ✍️
1🔥27👍15❤5💘4🥰1
🎓 День 4. Что после Великой Теоремы Ферма?
От книг о математике очень легко перейти к фильмам. Про это поговорим отдельно. Вчера упомянули про короткометражку "Математик и чёрт", экранизация рассказа Артура Порджеса с Всеволодом Шестаковым и Александром Кайдановским (он же Сталкер из "Сталкера") в главных ролях. Лучшая художественная экранизация с математикой на русском языке за всю историю. 🎬
В фильме речь идёт о Великой теореме Ферма. Простое на словах утверждение с невероятно трудным доказательством. Всего лишь нужно доказать, что не существует решения в целых числах для уравнения a^n + b^n = c^n при n > 2, где a, b, c — целые числа больше 0. Для квадратов решений бесконечно много (например, 3^2 + 4^2 = 5^2), а вот для кубов, четвёртых степеней и дальше — решений найти никак не могли. 🧩
В 1637 году Пьер Ферма на полях книги написал, что знает «поистине чудесное доказательство», но места, увы, не хватило. Математическое сообщество билось над задачей более 350 лет. Британский математик Эндрю Уайлз посвятил доказательству семь лет тайной работы и, наконец, в 1993 году, он объявил ключевой результат: доказал особый случай модулярности для так называемых полустабильных эллиптических кривых — из этого следует Великая теорема Ферма. При проверке нашли «дыру»; почти год Уайлз искал исправление и совместно с Ричардом Тейлором нашёл обход. В итоге, в 1995 году опубликовали итоговое полное доказательство. Самая известная нерешенная задача математики была решена. 🔥
Что именно доказал Уайлз 🔎
Главная идея доказательства Уайлза — мост между эллиптическими кривыми (геометрические объекты, задаваемые уравнениями вроде y^2 = x^3 + ax + b, за которыми скрываются «криптография», «рациональные точки», «диофантовы уравнения») и модулярными формами (функциями с высокой симметрией, живущими в комплексном анализе). Уайлз показал: для большого класса кривых этот мост существует — «кривая говорит на языке модулярных форм». Из этого «перевода» и следует ВТФ. 🌉
📜 Что было дальше
К Уайлзу пришли слава и признание. Правда самую престижную награду для молодых математиков, премию Филдса, Уайлз так и не получил, к моменту завершения доказательства ему было 41 (премия только до 40). Но Уайлзу достались премия Вольфа (1995), премия Вольфскеля, Шокка (1995), Королевская медаль (1996), Стипендия Макартура (1997), Премия Шо (2005), премия Абеля (2016), Медаль Копли (2017); в 2000 — рыцарство.
350 лет доказательств завершились, многие спорили зачем и как. Но ключевой вопрос - а что же произошло после? 🤔
Вклад ВТФ в математику
✅ В 1995–2001 годах Кристоф Брей, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор довели результат до полной модулярности всех эллиптических кривых над рациональными числами (Q). Это закрыло одну из центральных гипотез XX века. 🧠
✅ Методология Уайлза породила «многоразовые» техники, которые теперь лежат в «повседневном наборе» арифметической геометрии:
— поднятие модулярности (грубо: если соответствие «работает» на уровне приближений, его можно «поднять» до точного);
— знаменитая теорема R = T (деформационное кольцо = алгебра Хекке), которая скрепляет алгебру и арифметику;
— идеи «понижения/повышения уровня» (level lowering/raising), позволяющие переносить свойства между объектами. 🛠️
✅ Эти инструменты пошли дальше ВТФ: они использовались в работах о потенциальной модулярности, в прогрессе по гипотезе Серра, в результатах типа Сато–Тэйт для классов кривых и во множестве задач на стыке теории чисел и геометрии. 🔬
✅ Доказательство укрепило Программу Лэнглендса — «Великую объединяющую теорию» чисел, представлений и геометрии. Проще: всё больше разных разделов математики оказывается разными языками об одном и том же. 🌐
✅ История Уайлза привлекла в теорию чисел новое поколение студентов и подняла видимость математики далеко за пределами академии. 🎓
🏁 Главная мысль
Великая теорема Ферма — не финальная точка, а старт большой эпохи. Да, для решения понадобилось более 350 лет. Но результат открыл целые направления, дал новые инструменты и подтолкнул объединение разрозненных областей математики. 🚀
От книг о математике очень легко перейти к фильмам. Про это поговорим отдельно. Вчера упомянули про короткометражку "Математик и чёрт", экранизация рассказа Артура Порджеса с Всеволодом Шестаковым и Александром Кайдановским (он же Сталкер из "Сталкера") в главных ролях. Лучшая художественная экранизация с математикой на русском языке за всю историю. 🎬
В фильме речь идёт о Великой теореме Ферма. Простое на словах утверждение с невероятно трудным доказательством. Всего лишь нужно доказать, что не существует решения в целых числах для уравнения a^n + b^n = c^n при n > 2, где a, b, c — целые числа больше 0. Для квадратов решений бесконечно много (например, 3^2 + 4^2 = 5^2), а вот для кубов, четвёртых степеней и дальше — решений найти никак не могли. 🧩
В 1637 году Пьер Ферма на полях книги написал, что знает «поистине чудесное доказательство», но места, увы, не хватило. Математическое сообщество билось над задачей более 350 лет. Британский математик Эндрю Уайлз посвятил доказательству семь лет тайной работы и, наконец, в 1993 году, он объявил ключевой результат: доказал особый случай модулярности для так называемых полустабильных эллиптических кривых — из этого следует Великая теорема Ферма. При проверке нашли «дыру»; почти год Уайлз искал исправление и совместно с Ричардом Тейлором нашёл обход. В итоге, в 1995 году опубликовали итоговое полное доказательство. Самая известная нерешенная задача математики была решена. 🔥
Что именно доказал Уайлз 🔎
Главная идея доказательства Уайлза — мост между эллиптическими кривыми (геометрические объекты, задаваемые уравнениями вроде y^2 = x^3 + ax + b, за которыми скрываются «криптография», «рациональные точки», «диофантовы уравнения») и модулярными формами (функциями с высокой симметрией, живущими в комплексном анализе). Уайлз показал: для большого класса кривых этот мост существует — «кривая говорит на языке модулярных форм». Из этого «перевода» и следует ВТФ. 🌉
📜 Что было дальше
К Уайлзу пришли слава и признание. Правда самую престижную награду для молодых математиков, премию Филдса, Уайлз так и не получил, к моменту завершения доказательства ему было 41 (премия только до 40). Но Уайлзу достались премия Вольфа (1995), премия Вольфскеля, Шокка (1995), Королевская медаль (1996), Стипендия Макартура (1997), Премия Шо (2005), премия Абеля (2016), Медаль Копли (2017); в 2000 — рыцарство.
350 лет доказательств завершились, многие спорили зачем и как. Но ключевой вопрос - а что же произошло после? 🤔
Вклад ВТФ в математику
✅ В 1995–2001 годах Кристоф Брей, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор довели результат до полной модулярности всех эллиптических кривых над рациональными числами (Q). Это закрыло одну из центральных гипотез XX века. 🧠
✅ Методология Уайлза породила «многоразовые» техники, которые теперь лежат в «повседневном наборе» арифметической геометрии:
— поднятие модулярности (грубо: если соответствие «работает» на уровне приближений, его можно «поднять» до точного);
— знаменитая теорема R = T (деформационное кольцо = алгебра Хекке), которая скрепляет алгебру и арифметику;
— идеи «понижения/повышения уровня» (level lowering/raising), позволяющие переносить свойства между объектами. 🛠️
✅ Эти инструменты пошли дальше ВТФ: они использовались в работах о потенциальной модулярности, в прогрессе по гипотезе Серра, в результатах типа Сато–Тэйт для классов кривых и во множестве задач на стыке теории чисел и геометрии. 🔬
✅ Доказательство укрепило Программу Лэнглендса — «Великую объединяющую теорию» чисел, представлений и геометрии. Проще: всё больше разных разделов математики оказывается разными языками об одном и том же. 🌐
✅ История Уайлза привлекла в теорию чисел новое поколение студентов и подняла видимость математики далеко за пределами академии. 🎓
🏁 Главная мысль
Великая теорема Ферма — не финальная точка, а старт большой эпохи. Да, для решения понадобилось более 350 лет. Но результат открыл целые направления, дал новые инструменты и подтолкнул объединение разрозненных областей математики. 🚀
1👍22❤11🔥5🥰3
День 5. Теоремы, которые невозможно доказать
Мы приближаемся к экватору эксперимента — каждый следующий пост делаем на основе ваших комментариев к посту за предыдущий день. Пишите больше, завтра может быть ваша тема! А вчера был такой комментарий:
... и правда: были реальные опасения. В 1960–1980-е, после работ Курта Гёделя (1931) и особенно после метода форсинга Пола Коэна (1963), стало ясно, что существуют истинные, но недоказуемые в стандартных аксиомах утверждения. На этом фоне часть математиков всерьёз допускала: Великая теорема Ферма (ВТФ) может оказаться независимой от принятых аксиом. В прессе эта тревога тоже звучала: в конце 1980-х, на волне неудачных «прорывов», выходили тексты в духе: «а что если ВТФ принципиально недоказуема?»
Но к 1995 году Эндрю Уайлз развеял сомнения: доказательство ВТФ нашлось (через модулярность полустабильных эллиптических кривых). Или... всё-таки нет? 🤔
🧩 Вспомним, что такое теоремы Гёделя
Первая теорема (очень простыми словами): в любой непротиворечивой формальной системе, которая «умеет» говорить об обычной арифметике натуральных чисел, всегда найдётся истинное утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Это называется независимостью: чтобы добраться до истины, нужны более сильные аксиомы.
Вторая теорема: такая система не может доказать собственную непротиворечивость (если она действительно непротиворечива). Иными словами, «закрыть математику раз и навсегда» одним набором правил невозможно — всегда найдётся дверь наружу.
Это стало шоком: оказалось, не всё доказывается внутри одной "математики". Иногда нужно добавлять новые аксиомы. В результате математики начали составлять списки таких недоказуемых утверждений.
✅ Одним из первых примеров стала гипотеза континуума (CH): существует ли мощность строго между множеством целых и множеством вещественных? В общепринятой системе аксиом Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) ни доказать, ни опровергнуть нельзя: Гёдель показал совместимость CH с ZFC, а Коэн — совместимость отрицания CH с ZFC.
✅ Аксиома выбора (AC) относительно ZF (аксиомы Цермело–Френкеля без аксиомы выбора) — ни она, ни её отрицание не выводимы из ZF.
✅ Проблема Уайтхеда из теории абелевых групп и Гипотеза Суслина об упорядоченных множествах — невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ZFC.
✅ Теорема Гудстейна: каждую «последовательность Гудстейна» ждёт обнуление. Истинно, но не выводимо в арифметике Пеано (PA).
✅ Теорема Крускала о деревьях и результаты Харви Фридмана: целый класс естественных комбинаторных утверждений решаем лишь при добавлении больших кардиналов (то есть вне ZFC).
Важно напомнить, неразрешимое ≠ недоказуемое. «Неразрешимая» (алгоритмически неразрешимая) задача — это про вычислимость: нет программы, которая на всех входах даст ответ «да/нет» (классический пример — проблема остановки Тьюринга). «Недоказуемое» в смысле Гёделя — это про аксиомы: у вас может быть конкретное истинное утверждение, но выбранных аксиом не хватает, чтобы его доказать; добавьте аксиому — и доказательство появится. Независимость (невозможность ни доказать, ни опровергнуть) — свойство относительно системы аксиом, а не абсолютный приговор навсегда.
Но! Возвращаясь к доказательству ВТФ, вопрос о её «доказуемости» на самом деле остаётся открытым. Уайлз доказал ВТФ, опираясь на глубокие объекты теории множеств и геометрии (модулярные формы, представления Галуа, деформации и т. д.), далеко выходящие за пределы арифметики Пеано. Мы до сих пор не знаем, следует ли Великая теорема Ферма из стандартных аксиом арифметики. Вполне возможно, что теорема, будучи доказуемой в ZFC (аксиоматика Цермело–Френкеля с аксиомой выбора), не доказуема в более слабой системе арифметики Пеано (PA). Если это будет показано, ВТФ встанет в один ряд с примерами вроде теоремы Гудстейна — естественными утверждениями о натуральных числах, которые истинны, но недоказуемы в PA.
Мы приближаемся к экватору эксперимента — каждый следующий пост делаем на основе ваших комментариев к посту за предыдущий день. Пишите больше, завтра может быть ваша тема! А вчера был такой комментарий:
Ну а после появления в 40-х годах 20 века теоремы Геделя о неполноте, вообще был шанс, что ВТФ так и могла остаться просто недоказуемой истиной
... и правда: были реальные опасения. В 1960–1980-е, после работ Курта Гёделя (1931) и особенно после метода форсинга Пола Коэна (1963), стало ясно, что существуют истинные, но недоказуемые в стандартных аксиомах утверждения. На этом фоне часть математиков всерьёз допускала: Великая теорема Ферма (ВТФ) может оказаться независимой от принятых аксиом. В прессе эта тревога тоже звучала: в конце 1980-х, на волне неудачных «прорывов», выходили тексты в духе: «а что если ВТФ принципиально недоказуема?»
Но к 1995 году Эндрю Уайлз развеял сомнения: доказательство ВТФ нашлось (через модулярность полустабильных эллиптических кривых). Или... всё-таки нет? 🤔
🧩 Вспомним, что такое теоремы Гёделя
Первая теорема (очень простыми словами): в любой непротиворечивой формальной системе, которая «умеет» говорить об обычной арифметике натуральных чисел, всегда найдётся истинное утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Это называется независимостью: чтобы добраться до истины, нужны более сильные аксиомы.
Вторая теорема: такая система не может доказать собственную непротиворечивость (если она действительно непротиворечива). Иными словами, «закрыть математику раз и навсегда» одним набором правил невозможно — всегда найдётся дверь наружу.
Это стало шоком: оказалось, не всё доказывается внутри одной "математики". Иногда нужно добавлять новые аксиомы. В результате математики начали составлять списки таких недоказуемых утверждений.
✅ Одним из первых примеров стала гипотеза континуума (CH): существует ли мощность строго между множеством целых и множеством вещественных? В общепринятой системе аксиом Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) ни доказать, ни опровергнуть нельзя: Гёдель показал совместимость CH с ZFC, а Коэн — совместимость отрицания CH с ZFC.
✅ Аксиома выбора (AC) относительно ZF (аксиомы Цермело–Френкеля без аксиомы выбора) — ни она, ни её отрицание не выводимы из ZF.
✅ Проблема Уайтхеда из теории абелевых групп и Гипотеза Суслина об упорядоченных множествах — невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ZFC.
✅ Теорема Гудстейна: каждую «последовательность Гудстейна» ждёт обнуление. Истинно, но не выводимо в арифметике Пеано (PA).
✅ Теорема Крускала о деревьях и результаты Харви Фридмана: целый класс естественных комбинаторных утверждений решаем лишь при добавлении больших кардиналов (то есть вне ZFC).
Важно напомнить, неразрешимое ≠ недоказуемое. «Неразрешимая» (алгоритмически неразрешимая) задача — это про вычислимость: нет программы, которая на всех входах даст ответ «да/нет» (классический пример — проблема остановки Тьюринга). «Недоказуемое» в смысле Гёделя — это про аксиомы: у вас может быть конкретное истинное утверждение, но выбранных аксиом не хватает, чтобы его доказать; добавьте аксиому — и доказательство появится. Независимость (невозможность ни доказать, ни опровергнуть) — свойство относительно системы аксиом, а не абсолютный приговор навсегда.
Но! Возвращаясь к доказательству ВТФ, вопрос о её «доказуемости» на самом деле остаётся открытым. Уайлз доказал ВТФ, опираясь на глубокие объекты теории множеств и геометрии (модулярные формы, представления Галуа, деформации и т. д.), далеко выходящие за пределы арифметики Пеано. Мы до сих пор не знаем, следует ли Великая теорема Ферма из стандартных аксиом арифметики. Вполне возможно, что теорема, будучи доказуемой в ZFC (аксиоматика Цермело–Френкеля с аксиомой выбора), не доказуема в более слабой системе арифметики Пеано (PA). Если это будет показано, ВТФ встанет в один ряд с примерами вроде теоремы Гудстейна — естественными утверждениями о натуральных числах, которые истинны, но недоказуемы в PA.
11👍27🔥6❤4🥰1
🎓 День 6. Почему 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12? (одна из версий)
Кембридж, январь 1913. На столе у 36-летнего Харди бандероль из далёкого Мадраса. Отправитель — никому не известный 25-летний клерк по имени Шриниваса Рамануджан. Внутри — девять страниц формул без доказательств. И среди них фраза, достойная немедленной отправки автора «в сумасшедший дом», как шутливо предвосхитил сам Рамануджан:
«1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12».
Харди зовёт Литтлвуда. Ночь, Тринити-колледж, стол завален рядами и тетрадями. Перед ними — не просто «странные равенства», а россыпи формул по теориям чисел, эллиптическим функциям, q-рядам. Всё без привычных для Кембриджа доказательств — только чистая, дерзкая математика.
Но как быть с «1 + 2 + 3 + … = −1/12»? В обычном смысле ряд расходится к бесконечности. И всё же вычислительные следы в письме упираются в строгое ядро: формулу Эйлера–Маклорена, числа Бернулли, аккуратные поправки к суммам — одним словом, регуляризацию.
Наутро Харди произносит свою знаменитую оценку: «Это мог написать только математик высшего класса». Рамануджана приглашают в Кембридж. Так рождается то, что сегодня мы называем суммированием Рамануджана — методом, который присваивает конечные значения расходящимся рядам, когда это согласовано с глубокими структурами анализа.
🔹 Суммирование Рамануджана
Коротко: это строгий способ «присваивать» значение расходящемуся ряду, опираясь на сглаживание частичных сумм и формулу Эйлера–Маклорена с числами Бернулли. Он согласован с аналитическим продолжением дзета-функции Римана и на широком классе примеров даёт те же ответы (вроде −1/12).
Когда мы «складываем» 1 + 2 + 3 + … в обычном смысле, частичные суммы уезжают в бесконечность — ряд расходится.
Рамануджан предлагает: не пытаться «добежать» суммой до предела, а вместо этого:
1) Посмотреть на функцию частичных сумм
S(N) = ∑_{n=1}^{N} f(n); для нашего ряда f(n) = n.
Примеры:
S(1) = 1
S(2) = 3
S(3) = 6
S(4) = 10
В целом: S(N) = 1 + 2 + … + N = N(N+1)/2 = (1/2)N^2 + (1/2)N (параболический рост).
2) Сгладить ступеньки «мягким весом»
Вместо резкого обрезания на N вводим демпфирование:
S(ε) = ∑_{n=1}^{∞} n * e^(−ε n), где ε > 0.
Закрытая форма: S(ε) = e^(−ε) / (1 − e^(−ε))^2.
Для каждого фиксированного ε эта сумма конечна.
3) Разложить при больших N (или малых ε) по Эйлеру–Маклорену
Вариант A: по S(N) для f(n) = n
Интеграл: ∫_0^N x dx = (1/2)N^2
Крайняя правка: (1/2)f(N) − (1/2)f(0) = (1/2)N
Следующая правка с B2 = 1/6 даёт константу −1/12, дальше идут O(1/N^2).
Итого:
S(N) = (1/2)N^2 + (1/2)N − 1/12 + O(1/N^2).
Вариант B: по S(ε) при малых ε
S(ε) = 1/ε^2 − 1/12 + O(ε^2)
Здесь 1/ε^2 — «дивергентная часть», а константа −1/12 — «ренормированная».
4) Взять постоянный член как «ренормированное значение суммы»
— По S(N): берём константу в асимптотике −1/12.
— По S(ε): отнимаем 1/ε^2 и устремляем ε → 0+ → получаем −1/12.
Короткая запись:
1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12 (R)
где (R) — «суммирование Рамануджана» (регуляризованное значение, а не обычная сумма).
Именно постоянный член (то, что не растёт с N и не исчезает как 1/N, 1/N^2, …) объявляется «суммой в смысле Рамануджана».
🔹 Зачем это нужно
Метод линеен, совместим с «хорошими» преобразованиями и даёт те же значения, что и ζ-регуляризация, на больших классах функций. Поэтому −1/12 всплывает не только в теории чисел, но и в вычислениях квантовых флуктуаций и теории струн — там нужна согласованная процедура «снятия бесконечностей
Кембридж, январь 1913. На столе у 36-летнего Харди бандероль из далёкого Мадраса. Отправитель — никому не известный 25-летний клерк по имени Шриниваса Рамануджан. Внутри — девять страниц формул без доказательств. И среди них фраза, достойная немедленной отправки автора «в сумасшедший дом», как шутливо предвосхитил сам Рамануджан:
«1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12».
Харди зовёт Литтлвуда. Ночь, Тринити-колледж, стол завален рядами и тетрадями. Перед ними — не просто «странные равенства», а россыпи формул по теориям чисел, эллиптическим функциям, q-рядам. Всё без привычных для Кембриджа доказательств — только чистая, дерзкая математика.
Но как быть с «1 + 2 + 3 + … = −1/12»? В обычном смысле ряд расходится к бесконечности. И всё же вычислительные следы в письме упираются в строгое ядро: формулу Эйлера–Маклорена, числа Бернулли, аккуратные поправки к суммам — одним словом, регуляризацию.
Наутро Харди произносит свою знаменитую оценку: «Это мог написать только математик высшего класса». Рамануджана приглашают в Кембридж. Так рождается то, что сегодня мы называем суммированием Рамануджана — методом, который присваивает конечные значения расходящимся рядам, когда это согласовано с глубокими структурами анализа.
🔹 Суммирование Рамануджана
Коротко: это строгий способ «присваивать» значение расходящемуся ряду, опираясь на сглаживание частичных сумм и формулу Эйлера–Маклорена с числами Бернулли. Он согласован с аналитическим продолжением дзета-функции Римана и на широком классе примеров даёт те же ответы (вроде −1/12).
Когда мы «складываем» 1 + 2 + 3 + … в обычном смысле, частичные суммы уезжают в бесконечность — ряд расходится.
Рамануджан предлагает: не пытаться «добежать» суммой до предела, а вместо этого:
1) Посмотреть на функцию частичных сумм
S(N) = ∑_{n=1}^{N} f(n); для нашего ряда f(n) = n.
Примеры:
S(1) = 1
S(2) = 3
S(3) = 6
S(4) = 10
В целом: S(N) = 1 + 2 + … + N = N(N+1)/2 = (1/2)N^2 + (1/2)N (параболический рост).
2) Сгладить ступеньки «мягким весом»
Вместо резкого обрезания на N вводим демпфирование:
S(ε) = ∑_{n=1}^{∞} n * e^(−ε n), где ε > 0.
Закрытая форма: S(ε) = e^(−ε) / (1 − e^(−ε))^2.
Для каждого фиксированного ε эта сумма конечна.
3) Разложить при больших N (или малых ε) по Эйлеру–Маклорену
Вариант A: по S(N) для f(n) = n
Интеграл: ∫_0^N x dx = (1/2)N^2
Крайняя правка: (1/2)f(N) − (1/2)f(0) = (1/2)N
Следующая правка с B2 = 1/6 даёт константу −1/12, дальше идут O(1/N^2).
Итого:
S(N) = (1/2)N^2 + (1/2)N − 1/12 + O(1/N^2).
Вариант B: по S(ε) при малых ε
S(ε) = 1/ε^2 − 1/12 + O(ε^2)
Здесь 1/ε^2 — «дивергентная часть», а константа −1/12 — «ренормированная».
4) Взять постоянный член как «ренормированное значение суммы»
— По S(N): берём константу в асимптотике −1/12.
— По S(ε): отнимаем 1/ε^2 и устремляем ε → 0+ → получаем −1/12.
Короткая запись:
1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12 (R)
где (R) — «суммирование Рамануджана» (регуляризованное значение, а не обычная сумма).
Именно постоянный член (то, что не растёт с N и не исчезает как 1/N, 1/N^2, …) объявляется «суммой в смысле Рамануджана».
🔹 Зачем это нужно
Метод линеен, совместим с «хорошими» преобразованиями и даёт те же значения, что и ζ-регуляризация, на больших классах функций. Поэтому −1/12 всплывает не только в теории чисел, но и в вычислениях квантовых флуктуаций и теории струн — там нужна согласованная процедура «снятия бесконечностей
2🔥25👍15🤯4❤3🥰2