Сколько существует теорем в математике?

Ответ зависит от того, что считать теоремой — и насколько глубоко вы готовы копать.

🔹 В ProofWiki, открытой базе математических доказательств, сейчас опубликовано более 20 000 теорем, лемм и утверждений.
🔹 В MathWorld от Wolfram — около 13 000 статей, многие из которых содержат по нескольку теорем.
🔹 В базе TheoremProver (система автоматических доказательств), количество формализованных теорем уже превышает 100 000, включая арифметику, алгебру, топологию и логику.
🔹 В крупнейших библиотеках формальной математики, таких как Lean, Coq и HOL Light, формализовано десятки тысяч теорем (например, Lean community mathlib - более 20000 теорем ещё пару лет назад).

📈 По оценкам М. Крёгера (1995), к концу XX века было известно более 250 000 математических теорем, опубликованных в журналах, книгах и монографиях. С тех пор прошло почти 30 лет — и темп публикаций только вырос.

🔍 Только на arXiv.org за 2023 год в разделе mathematics вышло более 50 000 статей. Даже если только 10% из них содержат новые теоремы — это уже 5000 новых утверждений за год.

🧠 При этом многие теоремы не опубликованы: они живут в курсах, диссертациях, докладах на конференциях и в личных записях исследователей. И ещё больше - в черновиках и идеях, которые пока не оформлены в строгое доказательство.

Поэтому точный счёт очень сложен. Но оценка на сегодня: от нескольких сотен тысяч до миллионов утверждений, которые можно назвать теоремами. И каждую неделю к ним добавляются новые.

🔐 Квантовая криптография: новый фундамент безопасности

Современные шифры держатся на математике. Их основа — так называемые NP-задачи (non-deterministic polynomial time). Это задачи, для которых:
– найти решение очень трудно,
– но проверить готовый ответ легко.

Классический пример: разложить огромное число на простые множители. Решение почти безнадёжное, а проверка занимает мгновения. На этом и строится интернет-безопасность. Но если однажды кто-то найдёт быстрый алгоритм для таких задач, вся система рухнет.

Казалось, другого фундамента нет. Но в последние годы внимание криптографов повернулось к квантовой физике. В ней нашлись новые «строительные блоки», которые могут заменить классические основы.

В 2023 году криптографы Дакшита Курана и Кабир Томар сделали шаг вперёд. Они предложили концепцию «однонаправленных головоломок» (quantum one-way puzzles). Это квантовые аналоги однонаправленных функций (one-way functions — функций, которые легко вычислить, но почти невозможно обратить). Такие структуры создают замки и ключи: замки прочные, ключи существуют, но открыть ими замок напрямую почти невозможно. Парадокс? Да. Но именно из этого парадокса можно собрать целый набор протоколов шифрования.

Дальше — ещё интереснее. Учёные показали, что эти головоломки можно связать с одной из самых трудных задач линейной алгебры — вычислением перманента матрицы.
Перманент (в отличие от знакомого определителя) вычисляется похожей формулой по всем перестановкам, но без чередования знаков. Для больших матриц его нахождение считается одной из самых сложных задач: проверить правильность ответа почти так же трудно, как его найти.

Если будет доказано, что квантовые компьютеры справляются с такими задачами принципиально лучше классических, у квантовой криптографии появится фундамент прочнее, чем у всех существующих шифров.

Пока это теория. Но она меняет сам взгляд на безопасность. Если классическая криптография похожа на башню, построенную на песке NP-задач, то квантовая обещает возвести крепость на камне.

В будущем эта крепость может стать основой всего цифрового мира — от переписки до финансовых транзакций. И всё это — благодаря новой математике, которая соединяет глубины алгебры с законами квантовой механики.

✨ Вопрос лишь в том, кто первый построит реальный замок на этом фундаменте.

Гёдель-Доказатель v2: прорыв в математическом интеллекте

В последние годы ИИ-модели научились решать всё более сложные математические задачи — вплоть до уровня Международной математической олимпиады (IMO). Однако оставалась проблема: проверить правильность таких решений мог только человек.

Эта проблема связана с тем, что крупные языковые модели — «чёрные ящики». Они могут выдать разумное на вид доказательство, но нет способа гарантировать его корректность.

В июле 2025 года исследователи из Принстона представили Goedel-Prover v2 — обновлённую версию открытого ИИ-доказчика, построенного на языке Lean. Lean — это язык формальной верификации, позволяющий строго доказывать математические утверждения и проверять корректность каждого шага.

🔹 Goedel-Prover v2 умеет:
– генерировать математические доказательства,
– проверять их строгость в Lean,
– автоматически исправлять ошибки в собственных рассуждениях (режим самокоррекции).

Модель успешно прошла три бенчмарка:
– PutnamBench — задачи университетского уровня,
– miniF2F — задачи уровня школьной математики,
– MathOlympiadBench — задачи уровня IMO.

Точность модели на miniF2F выросла с 60% (в первой версии) до 90%. При этом Goedel-Prover использует модель с 32 млрд параметров и работает на вычислительных ресурсах, доступных в академической среде — в 20 раз меньших, чем у конкурентов.

Отдельная особенность: модель обучается в режиме scaffolded learning. Если она не может решить задачу, она генерирует более простые варианты, решает их и добавляет в собственную тренировку. Это позволяет модели накапливать полезные примеры и улучшаться без внешнего вмешательства.

Ключевая гарантия корректности — использование Lean: каждое доказательство формализуется и строго проверяется по математическим правилам.

🧠 Потенциально такая архитектура может создать замкнутый цикл обучения: ИИ будет сам генерировать и проверять задачи и доказательства, постепенно расширяя свой математический репертуар.

По мнению авторов, это один из ключевых шагов к созданию полноценного ИИ-соавтора в математике.

🗓 Алгоритм судного дня: как в уме определить день недели для любой даты

Каждую дату можно однозначно связать с днём недели. Но как это делать без календаря?

В 1973 году математик Джон Конвей придумал алгоритм, который позволяет в уме определить, какой день недели приходится на любую дату — хоть 4 октября 1582 года, хоть ваш следующий день рождения.

Принцип основан на том, что в каждом году есть “опорные даты”, которые всегда попадают на один и тот же день недели — он и называется судным днём (Doomsday) для этого года.

🔧 Шаг 1: Запомните опорные даты года (Doosday-дату)

Вот простый список для НЕвисокосных лет:

– 4 апреля → 4/4
– 6 июня → 6/6
– 8 августа → 8/8
– 10 октября → 10/10
– 12 декабря → 12/12
– 9 сентября 5 сентября → 9/5
– 5 мая 9 мая → 5/9
– 7/11 и 11/7
– февраль: 28 (или 29 — в високосный)

Все эти даты в одном году попадают на один и тот же день недели — его и нужно найти.

🔧 Шаг 2: Найдите судный день для конкретного года

Алгоритм для двух последних цифр года (yy):
1. Возьмите последние две цифры года → обозначим A
2. Разделите A на 12 → целая часть = B
3. Найдите остаток от деления A на 12 → C
4. Разделите C на 4 → целая часть = D
5. Сложите: B + C + D
6. Добавьте базу века (смотри ниже)
7. Возьмите результат по модулю 7 → это номер дня недели (0 = воскресенье, 1 = понедельник, …, 6 = суббота)

📌 База века:
– 1900–1999 → вторник (2)
– 2000–2099 → вторник (2)
– 2100–2199 → воскресенье (0)
– 1800–1899 → пятница (5)

📌 Шаг 3: Найдите ближайшую опорную дату и посчитайте сдвиг

📅 Пример: Какой день недели 10 сентября 2025 года?

✅ Год: 2025
Последние две цифры: A = 25
1. A = 25
2. B = 25 ÷ 12 = 2
3. C = 25 mod 12 = 1
4. D = 1 ÷ 4 = 0
5. B + C + D = 2 + 1 + 0 = 3
6. База века (2000–2099) = 2
7. 3 + 2 = 5 → 5 mod 7 = 5

🔢 Значит, судный день 2025 года — пятница

Ближайшая опорная дата к 10 сентября — это 5 сентября, и она, как мы знаем, выпадает на пятницу.

10 сентября — это на 5 дней позже, значит:

– 5 сентября → пятница
– 6 → суббота
– 7 → воскресенье
– 8 → понедельник
– 9 → вторник
– 10 → среда

✅ Ответ: 10 сентября 2025 года — это среда.

🧠 Алгоритм кажется длинным, но запоминается быстро. После пары тренировок вы будете считать такие вещи за 10–15 секунд — и производить впечатление человека, у которого в голове встроенный календарь.

🤖 AI-математики: новый класс научных открытий

В 2030 году возможен такой заголовок:
«ИИ получил все Нобелевские премии — и Филдсовскую тоже».

Это не фантастика, а логичное продолжение уже идущего процесса: создания нейро-символьных ИИ, способных формулировать, проверять и уточнять математические гипотезы. То есть — делать именно то, что раньше считалось эксклюзивной способностью человеческого разума.

🧠 Как устроен “Baby AI Gauss” — ИИ, который учится, как Гаусс
Исследователи разработали прототип “Baby AI Gauss” — систему, в которой языковая модель (LLM) соединена с символьным движком (SymPy). Она решает задачи на распознавание числовых последовательностей и поиск формулы, используя цикл:
Сгенерировать → Проверить → Уточнить.

🔁 Цикл работает так:
1. LLM предлагает гипотезу — например, формулу для первых n членов числовой последовательности.
2. Символьный движок проверяет гипотезу на корректность: совпадают ли значения, допустимы ли выводы.
3. Если ошибка — LLM получает обратную связь: либо оценку степени полинома, либо таблицу несоответствий.
4. Новый раунд: уточнённая гипотеза, снова проверка, снова уточнение.

📊 Результаты
Модель была протестирована на ряде последовательностей:
– простые (квадраты, треугольные числа)
– более сложные (факториалы, числа Каталана, Фибоначчи, гармонические числа)
– “сложные случаи” (простые числа, числа разбиений)

Результаты:
– GPT-3.5 решал только простейшие задачи
– GPT-4 и GPT-4o — уже справлялись с комбинаторными структурами
– GPT-5 решил 100% задач с первой попытки
При этом важно: на открытые задачи, вроде простых чисел, GPT-5 иногда давал формулы, корректные на первых шагах, но не являющиеся настоящим решением. Это подчёркивает, что речь не о “доказательствах”, а о подборе правильной структуры и способности к абстракции.

⚙️ Что делает эту архитектуру особенной
– LLM вносит интуицию, обобщение, догадки
– SymPy проверяет формальную корректность
– Обратная связь структурирована и нацелена: от подсказок по степени до указания на конкретные ошибки

📌 Это приближает нас к системам, которые работают не “по вдохновению”, а как исследователь: перебирают гипотезы, отбрасывают ложные, строят логические мосты.

🌍 К чему это ведёт
Если такие ИИ будут масштабированы до уровня «AI Гаусса», их можно будет запускать как облачные сервисы:
– “Включить математика уровня бакалавра” — дешево
– “Включить AI Гаусса” — дороже, но с прорывными гипотезами
– “Поднять AI Римана” — для теории чисел и геометрии

В этой модели ограничением становится не талант, а объём вычислений и токены, как в GPT.

🧮 Почему это важно именно в математике
Математика — это язык, которым описана физическая реальность.
Если ИИ сможет автоматизировать открытие новых формул, тождеств, решений уравнений, это приведёт к ускорению всей науки:
– биологии, где доказательство безопасности белков станет задачей уравнений
– климатологии, где AI классифицирует решения уравнений атмосферы
– физики, где AI будет проверять геометрии для объединения гравитации и квантовой теории

🧩 Итог
ИИ-математики уже переходят от задач олимпиад к задачам исследовательского уровня. Не через вдохновение, а через генерацию, проверку и уточнение.

«Следующий Гаусс, возможно, не родится — его развернут в облаке».

Такой подход может не заменить человеческий разум, но расширить его возможности, темпы, горизонты и стиль мышления.
Наука — это игра идей, и ИИ теперь умеет делать ходы. Следующий — за нами.

Источник

🎶 Математика оперы

Оперное пение кажется вершиной искусства. Но что именно делает голос "великим"? Яркость? Громкость? Вибрато?

Учёные из университета Кейо (Япония) пошли от обратного: они собрали записи, попросили судей выставить оценки, а затем прогнали всё через статистику и акустику.

Вот что выяснилось:
> Вибрато — главный фактор, влияющий на оценку судей. Ни дикция, ни интонация, ни выразительность не показали статистически значимого вклада. Вибрато — это естественное лёгкое колебание высоты звука, которое делает голос "живым", тёплым и выразительным. Без него голос кажется плоским и механическим.
> SPR (Singing Power Ratio) — количественная мера того, как хорошо голос "пробивается" в зале. Это не просто громкость, а соотношение энергии в определённых частотах. Именно она коррелирует с ощущением “силы” голоса.
> Громкость (LUFS) и чёткость (HNR) почти не влияют: у всех певиц они уже были на хорошем уровне.

📐 Почему это важно:
– Теперь у вокалистов есть метрики, которые можно тренировать осознанно.
– Учителя могут не “чувствовать”, а измерять прогресс.
– А в будущем, может быть, ИИ будет давать фидбек лучше, чем человек-наставник.

Это шаг к формализации оценки искусства — не вместо эмоций, а в помощь пониманию, что делает исполнение по-настоящему выдающимся.

Искусство остаётся искусством — но путь к нему может быть математически точным.

Любая Zoll-контактная форма на 5-сфере — на самом деле стандартная

Немного отвлечемся от повседневных забот и перенесемся в мир необычных геометрий. Вот совсем недавняя статья с такой простой теоремой:

Любая контактная форма на стандартной 5-сфере, у которой поток Рэба замкнутый и с одинаковым периодом (так называемый Zoll-поток), — эквивалентна стандартной форме с точностью до масштабирования.

🔍 Что это вообще значит?
Это результат из области геометрии и динамики, а ключевые понятия вот какие:

◾ Контактная форма — это способ задать в пространстве правило, по которому всё должно двигаться. Представьте, что вы в каждой точке ставите маленькую стрелку, куда “разрешено” двигаться. Только не одну стрелку, а целое направление. И оно в каждой точке своё. Это как если бы ветер в каждой точке дул по-своему, но по особому закону — он не может быть просто горизонтальным или вертикальным, а обязан “вкручиваться” в пространство.

◾ Поток Рэба — это особый вид движения по этим разрешённым направлениям. Можно сказать, что это траектории частиц, которые идеально “встроены” в эту структуру. Они двигаются в точности по тем линиям, которые разрешает контактная форма.

◾ Zoll-поток — это удивительная ситуация, когда ВСЕ такие траектории замкнуты и одинаковой длины. Это как если бы вы запустили любого жука по поверхности, и он всегда шёл по кругу и возвращался точно в ту же точку за одинаковое время — где бы вы его ни начали.

◾ 5-сфера — это обобщение обычной сферы в более высокое измерение. Например:
• 1-сфера — это окружность (граница круга),
• 2-сфера — поверхность мяча (граница трёхмерного шара),
• 5-сфера — это поверхность в шестимерном пространстве (граница 6D-шара).

Чтобы работать с 5-сферой, удобно представить её как множество точек в трёхмерном комплексном пространстве C³ (где каждая координата — это комплексное число). Поскольку одно комплексное число — это две вещественные координаты, C³ — это просто R⁶.
5-сфера тогда описывается уравнением:
(z₁, z₂, z₃) ∈ C³, такое что |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² = 1.

◾ Стандартная контактная форма — самая простая и симметричная версия такой структуры. Она возникает естественным образом, если взять эту 5-сферу в C³. Поток Рэба при этом — просто вращение по кругу.

◾ Экзотическая контактная форма — выглядит более сложно: направления движения могут меняться по необычному, “искривлённому” правилу. Они не похожи на вращение, и кажется, будто описывают новую геометрию. Но действительно ли это что-то иное — в этом и был вопрос статьи.

💡 Вопрос статьи: бывают ли на 5-сфере “нестандартные” Zoll-контактные формы? Или всё сводится к стандартной?

🧠 Ответ: всё сводится к стандартной. Даже если форма выглядит экзотично, геометрически она эквивалентна обычной.


🛠️ В чем идея доказательства?
1. Если поток Рэба замкнутый (Zoll), то можно “сжать” траектории и получить новое симплектическое пространство меньшей размерности.
2. Сравнивая такие пространства, авторы показывают, что все они на самом деле одинаковые — это комплексная проективная плоскость CP².
3. Используются глубокие инструменты: контактная гомология, индекс Конли-Зендера, теория Зиберга–Уиттена.
4. Получается, что исходная контактная структура была тоже стандартной, просто записана иначе.

❗ Почему это важно?
Этот результат показывает жёсткость симметричных динамических систем: несмотря на огромное количество возможных контактных форм, если поток очень симметричный (все траектории одинаковые), то вариантов почти нет.

Для размерности 3 это было известно раньше. Но 5 — следующая по сложности, и до этой статьи там ничего не было доказано.

Это важно для симплектической и контактной геометрии, задач оптимизации и физики.

🧩 А что дальше?
Главный открытый вопрос — существует ли экзотическая Zoll-контактная форма на 7-сфере (или выше)? Пока никто не знает. Ответ на него определит, насколько гибкой или жёсткой является контактная геометрия в высоких измерениях.

Сегодня утром разминал мозг такой устной задачкой — попробуйте и вы, только в уме:

Какое пятизначное число обладает следующим свойством: если приписать к нему цифру 1 в начале, то получится число, которое в три раза меньше, чем если приписать ту же цифру 1 в конце?

Ответ: 42857

Всем привет! Ищу людей, кому близка тема математики для AI/ML и тех, кто хочет в ней разобраться.

Хочу коротко созвониться (15 мин), чтобы лучше разобраться в подходах и потребностях.

Идеально, если вы:

1. Хотите подтянуть математику для ML/AI (линейная алгебра, вероятность, оптимизация и т.д.),
или
2. Преподаёте или можете познакомить с людьми, кто глубоко в теме математики для ML/AI.

Буду рад пообщаться и обменяться мыслями.

Напишите в комментариях ниже или сюда: https://forms.gle/LcN5nxHN9mvjD9zC9

Геометрия: от верёвки с узлами до многомерных пространств

Геометрия — это не просто треугольники из школьного учебника. Это история длиной в тысячи лет, полная сюрпризов и открытий. Геометрия прошла четыре больших этапа 👇

🔹 Зарождение
Египет, Вавилон, Греция. Геометрия рождается как прикладная наука: разделить землю, построить храм, измерить тень. Египтяне натягивали верёвку с 12 узлами и получали идеальный прямой угол, а Эратосфен вычислил длину окружности Земли почти без ошибки. Из простых правил и наблюдений постепенно рождается логика доказательств.

📚 Геометрия как наука
С Евклидом начинается новая эпоха. Его «Начала» превращают разрозненные знания в стройную систему аксиом и теорем, которая будет определять математику на 2000 лет. Позже Декарт вводит координаты — и фигуры впервые получают «адреса» на плоскости, а геометрия начинает говорить на языке алгебры.

⚙️ Геометрия и алгебра
XVII–XVIII века. Декарт придумывает координаты: теперь фигуры можно записать уравнениями. Паскаль открывает проективную геометрию — мир, где параллельные прямые встречаются в точке на бесконечности. Эйлер, Монж и Гаусс запускают дифференциальную геометрию: кривизна и поверхности впервые становятся объектами точного расчёта.

🌌 Эпоха многих геометрий
XIX век ломает привычное: Лобачевский создаёт неевклидову геометрию, Риман вводит многообразия с переменной кривизной — фундамент будущей теории относительности. В это же время рождается топология — «резиновая геометрия», где важна не форма, а связность: пончик и кружка с ручкой оказываются одним и тем же объектом. XX век приносит новые ветви: алгебраическая геометрия, многомерные пространства, квантовая и компьютерная геометрия. Мир становится не одной геометрией, а целой вселенной геометрий.

✨ От землемера с верёвкой до теории пространства-времени – на каждом этапе без сомнения есть своя мощь и красота!

📅✨ 27 сентября 2025 — С днём глобального квадрата!

Иногда календарь подкидывает такие совпадения, что мурашки бегут по коже. 27 сентября — именно такой день. Почему?

👉 Если записать дату в Американском формате (09/27/2025), получится число 9 272 025. Это точный квадрат:
3045 × 3045 = 9 272 025.

👉 А если записать её по-европейски (27/09/2025), мы получаем 27 092 025. И это тоже квадрат:
5205 × 5205 = 27 092 025.

Такое совпадение называется «глобальная квадратная дата» — и за весь XXI век оно случается всего 8 раз. Для сравнения: «голубая луна» бывает раз в 2–3 года, а солнечное затмение где-то на Земле — каждые полгода.

🔮 Следующая глобальная квадратная дата — только 1 января 2036 года, но там обе записи дают одно и то же число. Поэтому 27 сентября 2025-го считается самой красивой датой нашего времени.

И да, не забывайте, сам 2025 год — тоже квадратный:
2025 = 45 × 45.
А ещё это сумма кубов всех цифр от 0 до 9.

Так что сегодня отмечаем, 27 сентября 2025-го мы будем жить в чистой математической гармонии.

📚 Лучшие учителя в истории математики

Поздравляю всех с Днём учителя! Давайте сегодня посмотрим на учителей в математике.

Математика движется не только гениями, но и теми, кто умеет передать мысль. Иногда одна лекция способна изменить поколение — и направление целой науки.

Вот несколько имён, чьи ученики сделали не меньше, чем они сами 👇

👨‍🏫 Давид Гильберт — профессор в Гёттингене, у которого учились будущие легенды XX века. Его лекции были как театр идей: он формулировал проблемы, которые определили столетие (включая знаменитые 23 задачи).

👨‍🏫 Жан-Пьер Серр — педагог с чувством юмора и кристальной ясностью мысли. Он умел объяснить сложнейшую топологию так, что студенты чувствовали: “Я понимаю!” Его бывшие ученики стали ведущими учёными во Франции и США.

👨‍🏫 Серж Ланг — автор десятков учебников, на которых выросли поколения математиков. Ланг требовал не зубрёжки, а мышления: “Если вы не можете объяснить идею — вы её не поняли.”

👨‍🏫 Андрей Колмогоров — архитектор советской математической школы. Его ученики — Лаврентьев, Новиков, Арнольд — создали целые направления. Колмогоров умел заражать логикой и азартом мысли.

👨‍🏫 Владимир Арнольд — ученик Колмогорова и один из самых вдохновляющих лекторов XX века. Он говорил:

Математика — это умение видеть. Формулы — лишь следствие понимания.

👩‍🏫 Софья Ковалевская — первая женщина-профессор математики в Европе. Её ученицы вспоминали, что она давала не только знание, но и смелость мыслить.

📐 Что объединяет великих учителей?
Они не “учили решать”, а учили видеть — за формулой идею, за доказательством стиль, за задачей красоту.

Настоящий учитель — это не тот, кто всё знает, а тот, кто заставляет тебя захотеть понять.

А чему вас научили учителя?

🏅 Нобелевская премия по физике 2025: квантовый прорыв Google

В этом году Нобелевскую премию по физике получили:
Мишель Деворе — главный учёный по квантовому оборудованию Google Quantum AI,
Джон Мартинис — бывший руководитель квантового направления Google,
и Джон Кларк из Университета Калифорнии в Беркли.

🔹 За что премия
За открытие макроскопических квантовых эффектов — явлений, когда странные законы микромира проявляются в обычных электрических цепях.
В 1980-х учёные создали сверхпроводящую схему с джозефсоновским переходом, где квантовое состояние можно не только наблюдать, но и управлять им.

⚙️ Почему это важно
Именно эти эксперименты заложили основу сверхпроводящих кубитов — базового элемента современных квантовых компьютеров.
На этих принципах сегодня работает квантовый процессор Google, включая чип Willow и знаменитый эксперимент 2019 года, показавший квантовое превосходство.

🌍 Контекст
Google теперь насчитывает пять нобелевских лауреатов, включая Демиса Хассабиса, Джона Джампера и Джеффри Хинтона (лауреаты 2024).
Три премии за два года — и все связаны с границей между искусственным интеллектом и фундаментальной физикой.

✨ Квантовая механика, некогда считавшаяся философской загадкой, превратилась в технологию, на которой строится будущее вычислений.

👉 Источник — Google Quantum AI

🧠 Квантовые компьютеры: почему «конец света» всё ещё откладывается

Помните прогнозы, что вот-вот квантовые компьютеры взломают все шифры, уничтожат биткоин и перевернут интернет?
Прошло десять лет — и ничего не произошло. Почему?

Разберёмся, где на самом деле квантовые технологии в 2025 году и когда ждать настоящей революции


📊 Что у нас есть сейчас

В мире работает всего около 200 квантовых компьютеров — в лабораториях и корпоративных центрах.
Это всё ещё экспериментальные машины, требующие сверхнизких температур и колоссальной стабилизации.

Тем не менее, прогресс идёт.
Google Willow (2024) — 105-кубитный процессор — показал, что при росте числа кубитов ошибки можно уменьшать экспоненциально. Он решил задачу за 5 минут, на которую суперкомпьютерам понадобились бы 10²⁵ лет.
А в 2025-м исследователи из Техаса и D-Wave продемонстрировали «квантовое превосходство» уже на практических задачах моделирования.

🧩 Почему до «взлома интернета» далеко

Главное различие — между физическими и логическими кубитами.
Физические — реальные квантовые частицы, которые ошибаются каждую миллисекунду.
Логические — устойчивые комбинации сотен или тысяч физических кубитов, способные работать надёжно.

Для расшифровки RSA-2048 по алгоритму Шора нужен компьютер с 20 миллионами физических кубитов.
А крупнейший существующий, IBM Condor, имеет всего 1121 кубит.
Разрыв — в тысячи раз.

🔒 Почему шифрование пока в безопасности

• Ошибки в квантовых схемах около 0,1–1%, всё ещё слишком много.
• Время когерентности микросекунды: кубиты «забывают» состояние почти мгновенно.
• Масштабирование — нерешённая инженерная проблема: миллионы кубитов требуют чудовищных ресурсов.

Даже при самых оптимистичных прогнозах, криптографически опасные квантовые машины появятся не раньше 2035 года.
Так что интернет пока в безопасности.

🧮 Но подготовка идёт

С 2024 года NIST (организация определяющая стандарты безопасности) утвердил первые стандарты пост-квантовой криптографии — ML-KEM и ML-DSA.
Великобритания объявила план перехода:
• анализ рисков — к 2028 г.;
• миграция ключевых систем — к 2031 г.;
• полный переход — к 2035 г.

Это называется подготовкой к Q-Day — дню, когда квантовые компьютеры станут действительно опасны.

⚖️ Реальность против хайпа

Квантовые компьютеры — не провал и не чудо.
Это медленно зреющая технология, где каждое открытие требует прорыва в физике, инженерии и теории ошибок.

Медиа преувеличили угрозу, но недооценили масштаб задачи.
Квантовый апокалипсис не наступил — потому что физика сложнее заголовков.

🧭 Главная мысль:
Революция идёт, просто не в ритме ежедневных новостей.
Мы ещё далеки от квантового конца света, но ближе, чем когда-либо, к пониманию, как он может случиться.

Премия Абеля 2025: Масаки Касивара объединил алгебру и анализ

В 2025 году главную математическую награду мира, Премию Абеля, получил японский математик Масаки Касивара.
Жюри отметило его «фундаментальные вклады в алгебраический анализ и теорию представлений, включая развитие теории D-модулей и открытие кристаллических баз».

📘 Что это значит простыми словами
Масаки Касивара соединил два мира, которые раньше жили отдельно: анализ (работа с функциями и уравнениями) и алгебру (работа со структурами и симметриями).
Он создал язык, на котором можно говорить сразу с обоими.

🔹 D-модули: как алгебра решает уравнения
Когда физики ищут, как меняется температура, давление или волна, они решают дифференциальные уравнения.
Касивара показал, что такие уравнения можно рассматривать как D-модули — особые алгебраические объекты, на которых действуют операторы производных.

Это позволило решать аналитические задачи методами алгебры и создало новое направление — алгебраический анализ.

🔹 Кристаллические базы: симметрия под микроскопом
Во второй части карьеры Касивара разработал кристаллические базы.
Это комбинаторные структуры, которые помогают увидеть и описать симметрии, возникающие в квантовой физике.
Они стали основным инструментом в теории квантовых групп и теории представлений.

⚛️ Почему это важно

Теория представлений — это язык симметрий природы.
Благодаря идеям Касивары этот язык стал точнее и нагляднее.
Его подход сегодня лежит в основе современной математической физики и геометрии.

🏅 О премии

Премия Абеля учреждена парламентом Норвегии в 2002 году.
Ее называют «Нобелем по математике».
Награда составляет 7,5 миллиона норвежских крон, что примерно соответствует 700 тысячам долларов.

✨ Главная мысль
Масаки Касивара показал, что если соединить алгебру и анализ, то даже законы квантового мира становятся яснее.

5 лет каналу на YouTube, выпуск который почти месяц не хотелось публиковать, но 5 лет все-таки небольшой юбилей.

Что будет дальше? Здесь, в ТГ, явно появится больше активности про математику, красоту, с древних времен и до последних достижений, все как обычно, но чаще и больше. Начнем уже с завтрашнего дня!

Оставайтесь на связи!

https://youtu.be/JzOylcxz7lM

🔐 Kryptos: 35 лет в напряжении

В 1990 у входа в штаб-квартиру ЦРУ в Лэнгли поставили медную скульптуру Kryptos. На ней выгравированы 4 зашифрованных текста общей длиной 869 символов. Это не просто арт-объект, а компактный учебник по классической криптографии: каждый фрагмент — отдельная задача с собственным методом шифрования.

🧩 Какие задачи и в чём их сложность
• K1 — полиалфавитная подстановка (вариант Виженера). Надо угадать длину ключа и алфавит, а затем снять сдвиги: здесь работают индекс совпадений и частотный анализ.
• K2 — снова Виженер, но со «смешанным» алфавитом и другим ключом; внутри спрятаны координаты на территории ЦРУ. Сложность в комбинации нестандартного алфавита, периода и ключевого слова.
• K3 — транспозиция (перестановка). Буквы не меняют, меняют порядок. Подсказка: частоты букв остаются «английскими», значит надо восстанавливать маршруты чтения и ключ перестановки (KRYPTOS).
• K4 — финальный отрезок на 97 символов. Десятилетиями считалось, что это «меташифр», который замешан на подсказках из предыдущих частей и ещё одном приёме (или их смеси). Именно он держал всех 35 лет.

🕵️ Как нашли ответ в 2025
Двое авторов нашли в архивах Смитсоновского института «кодовые карты» художника Джима Санборна и заметили на наклеенных обрывках исходный открытый текст K4. Санборн подтвердил подлинность и попросил запечатать материалы на 50 лет.

📦 Аукцион в ноябре
Параллельно Санборн выставил на ноябрь аукцион комплекта материалов о K4. Покупатель должен получить метод и творческий контекст, то есть «как это задумано» и как K4 связан с возможным пятым слоем.

❓ Почему решение всё ещё открытый вопрос
Несколько людей уже знают предполагаемый текст K4, но не знают метод, который к нему ведёт. В криптографии «решить» значит не просто назвать слова, а показать воспроизводимую процедуру от шифртекста к открытому тексту. Пока общепринятого публичного разбора метода нет, поэтому для математиков задача формально не закрыта.

🎨 Почему это важно
Kryptos — редкий случай, когда искусство, математика и шифры сплетаются в один сюжет на десятилетия.
Три задачи решены, четвёртая, похоже, прочитана, но доказательство метода ещё ждёт своего публичного финала.

🔥 - а можно подробнее про К1, К2, К3?
❤️ - люблю криптографию

📐 Что такое алгебраическая геометрия и почему она считается самой красивой областью математики

С чего лучше всего начать неделю? Конечно с алгебраической геометрии.

Алгебраическая геометрия изучает фигуры, заданные уравнениями из полиномов, то есть из выражений, где используются только сложение, умножение и степени переменных.
Например, окружность можно записать как
x² + y² = 1.
Эллипс, парабола, гипербола — тоже решения полиномиальных уравнений.

Но вот пример, который не относится к алгебраической геометрии:
sin(x) = y.
Здесь появляется функция синуса, бесконечный ряд, который нельзя выразить конечным числом алгебраических операций.
Такие объекты изучает уже аналитическая геометрия и теория функций.

Почему алгебраическая геометрия ограничивается полиномами?
Потому что именно они дают чистую, точную структуру без приближений и бесконечных рядов.
Полиномы замкнуты под всеми алгебраическими операциями — это делает из них идеальный язык для строгих доказательств и универсальных форм.

Но алгебраическая геометрия идёт дальше: рассматривает такие «фигуры» не только над вещественными числами, но и над комплексными, p-адическими и даже абстрактными полями, где координаты — не числа, а алгебраические объекты.

📊 Что она изучает
• Геометрические формы, заданные алгебраическими уравнениями (кривые, поверхности, многообразия).
• Их свойства: пересечения, симметрии, особенности.
• Связи между алгебраическими формулами и геометрией фигур.

Современная алгебраическая геометрия — это язык, в котором можно описывать и кривые Эйлера, и квантовые поля, и криптографию криптомира.

📜 Немного истории
• В античности уравнения описывали реальные линии и поверхности.
• В XVII веке Декарт объединил алгебру и геометрию в координатной плоскости.
• XIX век добавил проективную геометрию и комплексные числа.
• XX век — революция: Гротендик создал схемы, превратив всё пространство в алгебру.
• Сегодня алгебраическая геометрия лежит в основе теории чисел, топологии, физики и даже машинного обучения.

💎 В чём красота
Простое уравнение превращается в форму.
Каждый полином, как зашифрованная фигура, которую можно «увидеть» с помощью алгебры.
Это соединение логики и интуиции, строгости и визуальности.

⚙️ В чём сложность
Чтобы понимать этот язык, нужно владеть и алгеброй, и топологией, и анализом.
Здесь числа становятся пространствами, а фигуры — системами уравнений.
Одна короткая формула может описывать бесконечно сложный многомерный мир.

✨ Главная идея
Алгебраическая геометрия — это искусство видеть формы сквозь формулы.
Она показывает, что числа могут быть геометрией, а геометрия — выражением законов самой логики.

Давайте проведем эксперимент!

Случайное блуждание из тем — следующие 10 дней темы определяете Вы!

Как вы уже поняли, в этом канале можно встретить любую математическую тему, от простых задачек до сложнейших тем современной математики. Часто в комментариях предлагают, о чем еще написать. Но давайте добавим системности (и случайности) в этот процесс.

Правила такие:
1. В течении следующих 10 дней Вы пишите комментарий с вопросом, затрагиваете какую-либо тему или явно говорите какую тему хотели бы увидеть дальше
2. Самый популярный (залайканный) или самый интересный и логичный (логичное продолжение текущего поста, на наш взгляд) комментарий станет основой темы на следующий день

Ключевая идея — не просто 10 случайных постов, а темы которые имеют некоторую логическую связь с предыдущим постом или комментариям к нему. Живой саморегулируемый организм из математики!

Проверим, куда сойдется процесс, сколько шагов от случайной темы до гипотезы Римана и о чем вообще мы думаем.

Не стесняйтесь писать о самых сокровенных математических темах (например, гипотеза Сато-Тейта или теорема Мордэлла-Вайля), которые всегда хотели спросить, но не было подходящего повода.

Для начала давайте определимся с первой темой на завтра 👇

День 1. Почему нормальное распределение именно такое

Друзья, спасибо всем за ваши комментарии 🙏
Каждый раз, когда я читаю ваш фидбэк, понимаю — аудитория этого канала особенная.
Вы не просто изучаете математику, вы замечаете настоящую математическую красоту.

Рано или поздно осветим все, что упоминалось, но, как и обещал, начнем с наиболее "залайканного".

5 лет назад ровно в это время я делал один из первых выпусков про Закон больших чисел (если по-простому, частота наблюдаемых событий стремится к теорической вероятности). Это простое и удивительное утверждение, про которое сразу не понятно, что это - закон природы или математическая теорема. Но именно этот закон управляет многими вещами в нашем мире. Даже канал первые два года рос только за счет выпуска про закон больших чисел.

Следом за ЗБЧ был ролик про Нормальное распределение, с распределение в форме колокола, которое встречается повсюду. Но возникает очень логичный вопрос:

Почему нормальное распределение имеет график f(x)=e^(-x²)? Есть миллион функций, имеющих форму горы со склонами. Почему, когда я кидаю снежки в столб, то вырисовывается именно такая функция?
Ответ на самом деле простой - форма распределения возникает из трёх простых свойств случаныйх ошибок: симметрии, независимости и редкости больших отклонений.

Три исходных предположения
1️⃣ Симметрия — вероятность ошибки не зависит от направления. Ошибка «влево» и «вверх» равнозначны.
2️⃣ Независимость — ошибки по горизонтали и вертикали независимы: промах влево не влияет на вероятность промаха вверх.
3️⃣ Малые ошибки встречаются чаще — большие отклонения от центра менее вероятны, чем маленькие.

Как из этого получается e^(-x²)
Пусть p(x) — вероятность ошибки на расстояние x по горизонтали, а p(y) — по вертикали.

Из независимости следует: p(x) * p(y) = g(r), где r = x² + y² — расстояние от центра.

Так как результат не зависит от поворота координат (симметрия), получаем уравнение:
(p'(x) / (x * p(x))) = (p'(y) / (y * p(y))) = C, где C — постоянная.

Решая это уравнение, получаем: p(x) = A * e^(C * x² / 2).

Но по условию (малые ошибки вероятнее больших) C должно быть отрицательным.
Обозначим C = -2k², где k > 0. Тогда:

p(x) = A * e^(-k² * x²), где A — коэффициент нормировки, а k определяет ширину распределения.

То есть форма e^(-x²) — единственная, которая сохраняет симметрию и независимость ошибок при любых поворотах координат.

Это и есть основная форма гауссиана!

💡 Главная идея:
Если ошибки независимы, симметричны и большие отклонения редки — единственная возможная форма распределения — экспонента в отрицательном квадрате.
Именно поэтому кривая e^(-x²) так часто возникает в природе. А ещё нормальное распределение - это распределение с наибольшей энтропией (при заданных среднем и дисперсии). Но это уже другая история..

📊 День 2. Как «тяжёлые хвосты» управляют миром

Нормальное распределение встречается повсюду: рост людей, ошибки измерений в экспериментах, шум в датчиках и каналах связи, погрешности при производстве, погрешности опросов и тестов. Затронув нормальное распределение, очень легко оказаться и в финансовой математике. Что говорить, автор этих строк тоже грешил в молодости, закончив МГУ с дипломом на тему восстановления данных на финансовых рынках с помощью метода Марковских цепей Монте-Карло (знаменитый MCMC).

В финансах, как вы поняли, очень много математики — и тоже часто встречается нормальное распределение. 5 лет назад, когда только создавался YouTube-канал, я активно слушал книги Насима Талеба, популяризатора идеи «чёрных лебедей» и самого ярого критика нормального распределения. Всего одна вещь делает нормальное распределение не просто бесполезным, но — как показали реальные кризисы — опасным. Всё дело в тяжёлых хвостах.

Как вы помните из Дня 1, нормальные случайные величины обладают симметрией и, что особенно важно, редкостью больших отклонений. Нормальное распределение почти «запрещает» экстремальные события, но рынки, да и наша жизнь, регулярно переживают шоки, которые по Гауссу были бы «раз в жизнь Вселенной».

🦢 Что такое «тяжёлые хвосты»

Распределение с тяжёлыми (толстыми) хвостами — это такое, где большие отклонения от среднего происходят заметно чаще, чем предсказывает нормальное. В хвостах вероятность убывает медленно — по степенному закону: P(|X| > x) ~ x^(−α). Чем меньше α, тем «толще» хвост и тем выше шанс экстремума. У нормального распределения хвосты тонкие: убывают примерно как exp(−x^2).

Интуитивно, нормальное — мир «мелкой ряби» (много маленьких флуктуаций, экстремумы редки). Тяжёлые хвосты — мир «редких цунами»: долго может быть спокойно, но иногда случается скачок, который перевешивает всё остальное (и «средние» больше не спасают). Именно такие редкие, непредсказуемые и сверхвоздействующие события Талеб назвал «чёрными лебедями».

📉 Несколько примеров "черных лебедей":
• Чёрный понедельник (1987): падение Dow Jones на 22,6% за день, что нормальное распределение предсказывает как "раз в миллионы лет".
• Кризис 2008: Dow Jones падает на 51,1%, S&P 500 на 56,8%; домохозяйства США потеряли ~$19 трлн, мировые рынки >$10 трлн капитализации.
• COVID-19 (2020): NYSE минус треть стоимости за считаные недели.

Это не аномалии, а проявление встроенных в систему тяжёлых хвостов. С 1987 по 1997 было три дня с движениями, которые классическая теория предсказывает «раз в 10 000 лет».

⚠️ Почему Гаусс не работает

Нормальная модель предполагает «много маленьких независимых эффектов» и отсутствие сильной зависимости в экстремумах. В реальности источники риска часто синхронизируются именно в хвостах: когда плохо — плохо всем сразу. Итог: экстремумы происходят чаще и сильнее.

✏️ Немного математики

• «Тяжесть» хвоста описывается степенным законом: P(|X| > x) ~ x^(−α). Меньше α → толще хвост.
• У нормального распределения - тонкие хвосты (exp(−x^2)); t-распределение Стьюдента — тяжелее; Коши — настолько тяжёлое, что не существует даже среднего.
• Практический маркер «хвостатости» — повышенный коэффициент эксцесс (куртозис > 3).

🛠 Практические выводы

• Моделируйте хвосты отдельно: t, α-stable, обобщённое Парето, EVT (peaks-over-threshold).
• Смотрите на Expected Shortfall (средний убыток за порогом), а не только на VaR (Value at Risk, стоимостная мера риска).
• Делайте стресс-сценарии «за пределами истории».
• Хеджируйте хвостовой риск (опционы, динамический хедж), не надейтесь на «усреднение само спасёт».
• Помните про «Экстремистан»: одно редкое событие может определить весь исход.

💡 Главная идея

Если система допускает редкие, но очень большие скачки, то «колокол» обманывает. Нужны модели и метрики, которые видят хвосты — потому что именно хвосты делают историю, в которой мы живём.