…и еще один: в пространстве непрерывных функций на [0, 1] (с нормой супремума) каждый линейный функционал можно представить как интеграл с некоторой борелевской мерой!
🔥19🤯7😁5😱1
📉 Смещение Чебышёва: почему простые чаще дают остаток 3, чем 1
Простые числа, на первый взгляд, должны распределяться равномерно. Например, если смотреть на простые числа по модулю 4, половина должна быть вида 4k + 1, а другая половина — 4k + 3. Это следует из расширенной теоремы о распределении простых.
🔍 Но Пафнутий Чебышёв ещё в 1853 году заметил странность: если начать считать, то простых чисел вида 4k+3 чаще оказывается больше, чем 4k+1. Это наблюдение вошло в историю как смещение Чебышёва или гипотеза Чебышёва .
📈 Например до x = 26 861 это неравенство выполняется почти всегда, кроме нескольких исключений, при x = 5, 17, 41 и 461.
Чтобы отслеживать счёт, вводят функцию π(x; n, m), которая говорит: сколько простых чисел ≤ x имеют вид nk + m. Логично ожидать, что две такие функции — π(x; 4, 1) и π(x; 4, 3) — будут по очереди вырываться вперёд. Но увы. Почти весь забег выигрывает одна команда — та, где остаток 3.
Почему так происходит?
🧠 На первый взгляд, это нарушает равномерность. Но причина — в тонкой алгебраической структуре: 1 является квадратичным вычетом по модулю 4 (то есть можно получить как квадрат какого-то целого числа по модулю 4), а 3 — нет. Оказывается простые чаще «предпочитают» числа, которые не являются вычетами.
📌 Что ещё интересней, в 1992 году Михаиэль Рубинштейн доказал эту гипотезу! Правда с одним условием. Доказательство работает только при условии выполнения усиленной формы знаменитой гипотезы Римана о нулях дзета-функции. То есть — строгое математическое объяснение смещения Чебышёва возможно, если гипотеза Римана и её обобщения верны.
🎯 Вывод: простые числа — это не просто случайный хаос. Они подчиняются глубоким законам, в которых даже такие «мелочи», как остатки по модулю, показывают удивительную асимметрию. И чтобы объяснить это строго — нужно дотянуться до самой гипотезы Римана.
@vitalmath
Простые числа, на первый взгляд, должны распределяться равномерно. Например, если смотреть на простые числа по модулю 4, половина должна быть вида 4k + 1, а другая половина — 4k + 3. Это следует из расширенной теоремы о распределении простых.
🔍 Но Пафнутий Чебышёв ещё в 1853 году заметил странность: если начать считать, то простых чисел вида 4k+3 чаще оказывается больше, чем 4k+1. Это наблюдение вошло в историю как смещение Чебышёва или гипотеза Чебышёва .
📈 Например до x = 26 861 это неравенство выполняется почти всегда, кроме нескольких исключений, при x = 5, 17, 41 и 461.
Чтобы отслеживать счёт, вводят функцию π(x; n, m), которая говорит: сколько простых чисел ≤ x имеют вид nk + m. Логично ожидать, что две такие функции — π(x; 4, 1) и π(x; 4, 3) — будут по очереди вырываться вперёд. Но увы. Почти весь забег выигрывает одна команда — та, где остаток 3.
Почему так происходит?
🧠 На первый взгляд, это нарушает равномерность. Но причина — в тонкой алгебраической структуре: 1 является квадратичным вычетом по модулю 4 (то есть можно получить как квадрат какого-то целого числа по модулю 4), а 3 — нет. Оказывается простые чаще «предпочитают» числа, которые не являются вычетами.
📌 Что ещё интересней, в 1992 году Михаиэль Рубинштейн доказал эту гипотезу! Правда с одним условием. Доказательство работает только при условии выполнения усиленной формы знаменитой гипотезы Римана о нулях дзета-функции. То есть — строгое математическое объяснение смещения Чебышёва возможно, если гипотеза Римана и её обобщения верны.
🎯 Вывод: простые числа — это не просто случайный хаос. Они подчиняются глубоким законам, в которых даже такие «мелочи», как остатки по модулю, показывают удивительную асимметрию. И чтобы объяснить это строго — нужно дотянуться до самой гипотезы Римана.
@vitalmath
👍31🔥11✍4❤4
Новый выпуск! Переговоры, торги, споры, – тысячи лет люди использовали интуицию, собственный опыт и личные качества. Но спустя тысячелетия обсуждений, на сцену пришла строгая математика. Чем же математика помогает в переговорах? Как договориться с пользой для всех? И при чём тут искусственный интеллект?
YT: ссылка
VK: ссылка
Приятного просмотра!
#vitalmath
YT: ссылка
VK: ссылка
Приятного просмотра!
#vitalmath
❤22👍11🤝9
Найти радиус!
Вот такая простая задачка. Рабочая неделя в самом разраге, но если хотите отдохнуть и отвлечься от повседневных забот - вот хорошое занятие.
Пишите в комментариях. Ответ получается красивый.
Ответ:7, а подробное решение тут
Вот такая простая задачка. Рабочая неделя в самом разраге, но если хотите отдохнуть и отвлечься от повседневных забот - вот хорошое занятие.
Пишите в комментариях. Ответ получается красивый.
Ответ:
🔥19❤3👍3👀3😴1
🧠 ИИ скоро решит одну из задач тысячелетия!
Уравнения Навье–Стокса описывают движение воздуха, жидкостей и вообще любых потоков — всё, что нас окружает. Но есть одна небольшая особенность: в аналитическом виде общее решение неизвестно. То есть мы не знаем точно, как ведут себя решения этих уравнений. А это уже важно не только для математики, но и для физики — например, чтобы наконец-то понять, что такое турбулентность. Причём настолько важно, что за решение задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье–Стокса Математический институт Клэя заплатит $1 000 000! Это одна из семи задач тысячелетия. Это не просто задача — это вопрос о предсказуемости физического мира.
Вопрос остаётся без ответа уже почти 200 лет — с времён Анри Навье и Джорджа Стокса. В 2014 году команда Томаса Хоу из Калтеха впервые нашла намёк на «особенность» — теоретический момент, когда решение теряет гладкость. Но тогда это была модель без вязкости — уравнения Эйлера.
🔥И вот — тайная операция.
Последние три года 20 инженеров Google DeepMind и 5 топовых математиков во главе с Хавьером Гомесом Серрано вели закрытый проект: операция «Навье–Стокс».
Серрано — профессор Brown University. Вместе с соавторами (включая Тристана Бакмастера и двух геофизиков из Принстона) они делают ставку на то, что традиционная математика здесь бессильна — а вот ИИ справится.
🤖 AlphaEvolve
Помните недавний пост про математические открытия с помощью AlphaEvolve? Оказывается, пользы от этой системы куда больше. Это система DeepMind, которая не просто оптимизирует или перебирает. Она понимает задачи. За 4 месяца её натренировали на 50 уравнениях, и она начала:
– в 75% случаев воспроизводить лучшие человеческие решения,
– в 20% — находить ещё лучшие.
Да, решение может появиться уже в ближайшие 1–2 года. Об этом намекал сам Демис Хассабис, глава DeepMind: «Мы близки к решению одной из задач тысячелетия».
Что это значит для мира?
Если уравнение будет решено — наука получит теоретическую гарантию предсказуемости флюидов. Или наоборот — доказательство того, что иногда даже математика не может предсказать, когда штиль станет ураганом.
«Я верю, что ИИ изменит мир — и хочу верить, что изменит к лучшему», — говорит Гомес Серрано.
Мы наблюдаем за этим в прямом эфире.
Решение, которое изменит физику. Математику. И, возможно, то, как мы понимаем саму реальность.
Как думаете — решат?
🔥 — решат
🤔 — за 2 года не решат
❤️ — главное, чтоб решение было красивым
@vitalmath
Уравнения Навье–Стокса описывают движение воздуха, жидкостей и вообще любых потоков — всё, что нас окружает. Но есть одна небольшая особенность: в аналитическом виде общее решение неизвестно. То есть мы не знаем точно, как ведут себя решения этих уравнений. А это уже важно не только для математики, но и для физики — например, чтобы наконец-то понять, что такое турбулентность. Причём настолько важно, что за решение задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье–Стокса Математический институт Клэя заплатит $1 000 000! Это одна из семи задач тысячелетия. Это не просто задача — это вопрос о предсказуемости физического мира.
Вопрос остаётся без ответа уже почти 200 лет — с времён Анри Навье и Джорджа Стокса. В 2014 году команда Томаса Хоу из Калтеха впервые нашла намёк на «особенность» — теоретический момент, когда решение теряет гладкость. Но тогда это была модель без вязкости — уравнения Эйлера.
🔥И вот — тайная операция.
Последние три года 20 инженеров Google DeepMind и 5 топовых математиков во главе с Хавьером Гомесом Серрано вели закрытый проект: операция «Навье–Стокс».
Серрано — профессор Brown University. Вместе с соавторами (включая Тристана Бакмастера и двух геофизиков из Принстона) они делают ставку на то, что традиционная математика здесь бессильна — а вот ИИ справится.
🤖 AlphaEvolve
Помните недавний пост про математические открытия с помощью AlphaEvolve? Оказывается, пользы от этой системы куда больше. Это система DeepMind, которая не просто оптимизирует или перебирает. Она понимает задачи. За 4 месяца её натренировали на 50 уравнениях, и она начала:
– в 75% случаев воспроизводить лучшие человеческие решения,
– в 20% — находить ещё лучшие.
Да, решение может появиться уже в ближайшие 1–2 года. Об этом намекал сам Демис Хассабис, глава DeepMind: «Мы близки к решению одной из задач тысячелетия».
Что это значит для мира?
Если уравнение будет решено — наука получит теоретическую гарантию предсказуемости флюидов. Или наоборот — доказательство того, что иногда даже математика не может предсказать, когда штиль станет ураганом.
«Я верю, что ИИ изменит мир — и хочу верить, что изменит к лучшему», — говорит Гомес Серрано.
Мы наблюдаем за этим в прямом эфире.
Решение, которое изменит физику. Математику. И, возможно, то, как мы понимаем саму реальность.
Как думаете — решат?
🔥 — решат
🤔 — за 2 года не решат
❤️ — главное, чтоб решение было красивым
@vitalmath
🤔50🔥38❤29👍7❤🔥3
Результаты конкурса!
Наконец-то подвели итоги. В выпуске про деление на ноль был вопрос "Что вас больше всего удивило в математике и почему?". Спасибо всем, кто отвечал! Много интересных тем (подробности тут позже).
Книжка про биографию нуля достается автору вот этого комментария. В нём просто и наглядно показано, как простые школьные задачи могут раскрыть глубину и парадоксы математики. Два простых и на первый взгляд противоположных факта: бесконечность простых чисел и существование сколь угодно длинных отрезков без них. Пример, когда математика одновременно удивляет, учит и вдохновляет.
#конкурс
Наконец-то подвели итоги. В выпуске про деление на ноль был вопрос "Что вас больше всего удивило в математике и почему?". Спасибо всем, кто отвечал! Много интересных тем (подробности тут позже).
Книжка про биографию нуля достается автору вот этого комментария. В нём просто и наглядно показано, как простые школьные задачи могут раскрыть глубину и парадоксы математики. Два простых и на первый взгляд противоположных факта: бесконечность простых чисел и существование сколь угодно длинных отрезков без них. Пример, когда математика одновременно удивляет, учит и вдохновляет.
#конкурс
🔥17❤🔥4👍4👌4🎉2
Математика рядом
Прямо над головой осы строили вот такой дом из аккуратных шестиугольников.
Если в вершинах этих шестиугольников разместить круги и добавить круг по центру, получится самая плотная упаковка кругов на плоскости. Лагранж доказал это ещё в 1773 (точнее он доказал, что это самая плотная среди решетчатных упаковок, среди всех доказал Ласло Фейеш Тот только в 1940м). Круги займут почти 90% плоскости.
Если же в вершинах этих шестиугольников разместить трехмерные шары, получится наиболее плотная трехмерная упаковка. Эту гипотезу сформулировал Кеплер ещё в 1611 году. Упаковка занимает 74% пространства (центры шаров следующего слоя лежат в отверстиях между шарами предыдущего слоя). Для доказательства понадобилось почти четыре сотни лет. Только в 2017 году после 20 лет доработки Томасом Хейлзом полноценное доказательство стало официально принятым.
На сегодня математики доказали как плотно упаковывать шары в одном, двух, трех, восьми и двадцати четырех измерениях. Для пространств остальных размерностей - вопрос ещё открыт. Но осы и пчелы что-то знали уже давно. Вопрос - у кого спросить про пятимерный случай?
#vitalmath
Прямо над головой осы строили вот такой дом из аккуратных шестиугольников.
Если в вершинах этих шестиугольников разместить круги и добавить круг по центру, получится самая плотная упаковка кругов на плоскости. Лагранж доказал это ещё в 1773 (точнее он доказал, что это самая плотная среди решетчатных упаковок, среди всех доказал Ласло Фейеш Тот только в 1940м). Круги займут почти 90% плоскости.
Если же в вершинах этих шестиугольников разместить трехмерные шары, получится наиболее плотная трехмерная упаковка. Эту гипотезу сформулировал Кеплер ещё в 1611 году. Упаковка занимает 74% пространства (центры шаров следующего слоя лежат в отверстиях между шарами предыдущего слоя). Для доказательства понадобилось почти четыре сотни лет. Только в 2017 году после 20 лет доработки Томасом Хейлзом полноценное доказательство стало официально принятым.
На сегодня математики доказали как плотно упаковывать шары в одном, двух, трех, восьми и двадцати четырех измерениях. Для пространств остальных размерностей - вопрос ещё открыт. Но осы и пчелы что-то знали уже давно. Вопрос - у кого спросить про пятимерный случай?
#vitalmath
🔥30👀6🫡6❤2👍1
Лекция "Парадоксы математики для всех!"
Неожиданно, в эту пятницу, я проведу лекцию на очень интересную и инригующую тему. Лично, офлайн, в Москве. Посещение бесплатное. Обязательна предварительная регистрация. Будет интересно, приходите! Обсудим парадоксы и как математика ломает мозг! Ниже подробности и форма регистрации.
Математика полна парадоксов. На лекции мы погрузимся в путешествие по миру математических парадоксов. Теория вероятностей, числа, многомерные пространства, математика и жизнь. Лекция для всех - неважно, насколько вы близки или далеки от математики.
Когда: 11 июля, 19:00
Где: ул. Валовая д.8, стр.1 (м. Павелецкая)
Стоимость: бесплатно
Регистрация обязательна по ссылке (количество мест органичено): Регистрация
@vitalmath
Неожиданно, в эту пятницу, я проведу лекцию на очень интересную и инригующую тему. Лично, офлайн, в Москве. Посещение бесплатное. Обязательна предварительная регистрация. Будет интересно, приходите! Обсудим парадоксы и как математика ломает мозг! Ниже подробности и форма регистрации.
Математика полна парадоксов. На лекции мы погрузимся в путешествие по миру математических парадоксов. Теория вероятностей, числа, многомерные пространства, математика и жизнь. Лекция для всех - неважно, насколько вы близки или далеки от математики.
Когда: 11 июля, 19:00
Где: ул. Валовая д.8, стр.1 (м. Павелецкая)
Стоимость: бесплатно
Регистрация обязательна по ссылке (количество мест органичено): Регистрация
@vitalmath
🔥25❤8👀3❤🔥1👎1
Десять приближений π
Число π иррациональное и трансцендентное, оно никогда не заканчивается, никогда не повторяется. Но встречается повсюду. Без него никуда. Поэтому тысячелетиями в жизни приходится использовать приближения. Вот 10 наиболее известных в порядке увеличения точности.
🔟 3
Месопотамия.
Древние очень любили целые числа и устный счёт. Звучит грубо, но стены Иерихона было удобно мерить.
Ошибка: +4.5%
9️⃣ √10 ≈ 3.162
Древняя Индия.
Хорошее приближение, когда нет калькулятора, но хочется выглядеть умно. Удивительно, но √10 почти совпадает с π - случайность?
Ошибка: +0.65%
8️⃣ 256 / 81 ≈ 3.1605
Египет, папирус Райнда.
Хитрое построение через диаметр. Гениально для своей эпохи.
Ошибка: +0.6%
7️⃣ 25 / 8 = 3.125
Вавилон.
Дробь, которую удобно записывать в шестидесятиричной системе.
Ошибка: −0.5%
6️⃣ 22 / 7 ≈ 3.142857
Архимед, III век до н.э.
Самая известное приближение π. Именно этот праздник отмечался на прошлой неделе 22 июля.
Ошибка: +0.04%
5️⃣ 223 / 71 ≈ 3.140845
Архимед.
Нижняя граница π. Выведена через 96-угольники. Удивительно точна.
Ошибка: −0.02%
4️⃣ 333 / 106 ≈ 3.141509
Китай, I–IV века.
Лёгкое в вычислении, точное до 5 знаков. Даже сейчас - мощный вариант для устных расчётов.
Ошибка: −0.0027%
3️⃣ 355 / 113 ≈ 3.1415929
Цзу Чунчжи, V век.
Китайский математик сделал невозможное: 7 знаков точности без вычислительных машин. Рекорд на 1000 лет.
Ошибка: +0.0000085%
2️⃣ 103993 / 33102 ≈ 3.14159265301
Европа, XVII век.
Продвинутая цепная дробь. Уместна в 8-битных микроконтроллерах и на олимпиадах по математике.
Ошибка: −0.0000000184%
1️⃣ 104348 / 33215 ≈ 3.14159265392
XVIII век и дальше.
Формула для тех, кто хочет сжать π до 16 бит и при этом не потерять точность. Гениальная компактность.
Ошибка: +0.0000000105%
🤓 А какое приближение понравилось вам?
@vitalmath
Число π иррациональное и трансцендентное, оно никогда не заканчивается, никогда не повторяется. Но встречается повсюду. Без него никуда. Поэтому тысячелетиями в жизни приходится использовать приближения. Вот 10 наиболее известных в порядке увеличения точности.
🔟 3
Месопотамия.
Древние очень любили целые числа и устный счёт. Звучит грубо, но стены Иерихона было удобно мерить.
Ошибка: +4.5%
9️⃣ √10 ≈ 3.162
Древняя Индия.
Хорошее приближение, когда нет калькулятора, но хочется выглядеть умно. Удивительно, но √10 почти совпадает с π - случайность?
Ошибка: +0.65%
8️⃣ 256 / 81 ≈ 3.1605
Египет, папирус Райнда.
Хитрое построение через диаметр. Гениально для своей эпохи.
Ошибка: +0.6%
7️⃣ 25 / 8 = 3.125
Вавилон.
Дробь, которую удобно записывать в шестидесятиричной системе.
Ошибка: −0.5%
6️⃣ 22 / 7 ≈ 3.142857
Архимед, III век до н.э.
Самая известное приближение π. Именно этот праздник отмечался на прошлой неделе 22 июля.
Ошибка: +0.04%
5️⃣ 223 / 71 ≈ 3.140845
Архимед.
Нижняя граница π. Выведена через 96-угольники. Удивительно точна.
Ошибка: −0.02%
4️⃣ 333 / 106 ≈ 3.141509
Китай, I–IV века.
Лёгкое в вычислении, точное до 5 знаков. Даже сейчас - мощный вариант для устных расчётов.
Ошибка: −0.0027%
3️⃣ 355 / 113 ≈ 3.1415929
Цзу Чунчжи, V век.
Китайский математик сделал невозможное: 7 знаков точности без вычислительных машин. Рекорд на 1000 лет.
Ошибка: +0.0000085%
2️⃣ 103993 / 33102 ≈ 3.14159265301
Европа, XVII век.
Продвинутая цепная дробь. Уместна в 8-битных микроконтроллерах и на олимпиадах по математике.
Ошибка: −0.0000000184%
1️⃣ 104348 / 33215 ≈ 3.14159265392
XVIII век и дальше.
Формула для тех, кто хочет сжать π до 16 бит и при этом не потерять точность. Гениальная компактность.
Ошибка: +0.0000000105%
🤓 А какое приближение понравилось вам?
@vitalmath
11👍44🔥21❤9👏4🆒3
🎯 100 000 цифр π: как машина впервые победила бесконечность
Лето 1961 года. Два математика — Дэниел Шэнкс и Джон Уренч — запускают расчёт, который войдёт в историю. На огромной ЭВМ IBM 7090, занимавшей половину комнаты и жужжавшей как самолёт, они первыми в мире вычисляют 100 000 знаков числа π.
8 часов 43 минуты. Столько длился расчет. До этого рекорд был 10 000 цифр, посчитанный тремя годами ранее. Мало кто верил, что компьютер может корректно посчитать настолько много. Но он смог.
Они использовали формулу Мэчина:
π/4 = 6 arctg(1/8) + 2 arctg(1/57) + arctg(1/239)
и две разные версии для проверки — чтобы убедиться, что результат не случайность.
На выходе — пачка из 20 страниц с 5000 цифр на каждой. Эту распечатку они передали в Смитсоновский институт. Сегодня её можно увидеть в музее.
Почему это важно?
Это был первый раз, когда машина победила человеческие пределы не просто в скорости, а в точности на относительно большом горизонте. Позже этот рекорд был побит, сейчас вычислили уже 100 триллионов (!!) знаков π, но число 100 000 стало психологической вехой. Началом большой истории, в которой мы сейчас живем и которая продолжает активно развиваться.
@vitalmath
Лето 1961 года. Два математика — Дэниел Шэнкс и Джон Уренч — запускают расчёт, который войдёт в историю. На огромной ЭВМ IBM 7090, занимавшей половину комнаты и жужжавшей как самолёт, они первыми в мире вычисляют 100 000 знаков числа π.
8 часов 43 минуты. Столько длился расчет. До этого рекорд был 10 000 цифр, посчитанный тремя годами ранее. Мало кто верил, что компьютер может корректно посчитать настолько много. Но он смог.
Они использовали формулу Мэчина:
π/4 = 6 arctg(1/8) + 2 arctg(1/57) + arctg(1/239)
и две разные версии для проверки — чтобы убедиться, что результат не случайность.
На выходе — пачка из 20 страниц с 5000 цифр на каждой. Эту распечатку они передали в Смитсоновский институт. Сегодня её можно увидеть в музее.
Почему это важно?
Это был первый раз, когда машина победила человеческие пределы не просто в скорости, а в точности на относительно большом горизонте. Позже этот рекорд был побит, сейчас вычислили уже 100 триллионов (!!) знаков π, но число 100 000 стало психологической вехой. Началом большой истории, в которой мы сейчас живем и которая продолжает активно развиваться.
@vitalmath
🔥35👍19💘1
🎯 x² + x + 41 — самый магический многочлен в истории
Если бы многочлены устраивали Олимпийские игры, победителем стал бы именно этот:
f(x) = x² + x + 41.
На первый взгляд — ничего особенного. Просто квадратный трёхчлен.
Но он стал легендой из-за одной магии:
если подставить вместо x числа от 0 до 39, на выходе всегда будет простое число!
📜 Эту формулу заметил сам Леонард Эйлер ещё в XVIII веке.
Он тогда не просто считал уравнения — он искал, как многочлены могут «порождать» простые числа.
И оказалось, что эта формула почти идеальна: 40 подряд простых чисел.
x = 0 → 41 (простое)
x = 1 → 43 (простое)
x = 2 → 47 (простое)
...
x = 39 → 1601 (простое)
Но на x = 40 магия ломается:
x² + x + 41 = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41 × 41.
💡 Почему это интересно?
Многочлены — это функции, которые порождают бесконечное множество чисел.
Но среди всех многочленов, способных «выдавать» простые числа, этот стал чемпионом.
Он стал прообразом поисков полиномов-простых генераторов, на которых позже строились идеи криптографии.
Он до сих пор поражает своей простотой: трёхчлен, который работает как чистая магия 40 раз подряд.
Но есть ещё одни многочлен, точнее целый класс многочленов, которые скрывают немало тайн, загадок и нерешенных задач. Про них в новом видео уже в этот вторник. Не пропустите!
@vitalmath
Если бы многочлены устраивали Олимпийские игры, победителем стал бы именно этот:
f(x) = x² + x + 41.
На первый взгляд — ничего особенного. Просто квадратный трёхчлен.
Но он стал легендой из-за одной магии:
если подставить вместо x числа от 0 до 39, на выходе всегда будет простое число!
📜 Эту формулу заметил сам Леонард Эйлер ещё в XVIII веке.
Он тогда не просто считал уравнения — он искал, как многочлены могут «порождать» простые числа.
И оказалось, что эта формула почти идеальна: 40 подряд простых чисел.
x = 0 → 41 (простое)
x = 1 → 43 (простое)
x = 2 → 47 (простое)
...
x = 39 → 1601 (простое)
Но на x = 40 магия ломается:
x² + x + 41 = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41 × 41.
💡 Почему это интересно?
Многочлены — это функции, которые порождают бесконечное множество чисел.
Но среди всех многочленов, способных «выдавать» простые числа, этот стал чемпионом.
Он стал прообразом поисков полиномов-простых генераторов, на которых позже строились идеи криптографии.
Он до сих пор поражает своей простотой: трёхчлен, который работает как чистая магия 40 раз подряд.
Но есть ещё одни многочлен, точнее целый класс многочленов, которые скрывают немало тайн, загадок и нерешенных задач. Про них в новом видео уже в этот вторник. Не пропустите!
@vitalmath
🔥50👍20👏3🤯2⚡1
Неделю хорошо начинать с хорошей задачки. Три окружности единичного радиуса касаются друг друга. Найти площадь области между этими окружностями.
Ответ:√3-π/2
Источник: https://www.youtube.com/shorts/JiX9QI8zwwo
#задача
Ответ:
Источник: https://www.youtube.com/shorts/JiX9QI8zwwo
#задача
👍32❤4🤔4
Новое видео!
Многочлены Литлвуда! Простые на вид, но с удивительным поведением. Они объединяют фракталы, связывают совершенно разные области математики и при этом оказываются невероятно полезными. Эти многочлены породили задачу, которую не могли решить 60 лет. Что это за многочлены? Какие тайны они скрывают? И как мы используем их каждый день, даже не подозревая об этом?
YouTube: смотреть
VK: смотреть
Приятного просмотра!
Многочлены Литлвуда! Простые на вид, но с удивительным поведением. Они объединяют фракталы, связывают совершенно разные области математики и при этом оказываются невероятно полезными. Эти многочлены породили задачу, которую не могли решить 60 лет. Что это за многочлены? Какие тайны они скрывают? И как мы используем их каждый день, даже не подозревая об этом?
YouTube: смотреть
VK: смотреть
Приятного просмотра!
3👍23🔥14❤3🍌1
Выпуск про корни многочленов Литлвуда оказался одним из самых математических за последний год. С одной стороны анализ, теория чисел и даже теория вероятностей. Но с другой — красивые объекты и свойства, неожиданно появляющиеся там, где их не ожидаешь.
Чтобы помочь видео, очень важна ваша реакция, особенно в первые дни. Буду благодарен, если зайдете на YouTube и оставите комментарий / посмотрите!
Ссылка на видео
Красивой математики должно быть больше!
Чтобы помочь видео, очень важна ваша реакция, особенно в первые дни. Буду благодарен, если зайдете на YouTube и оставите комментарий / посмотрите!
Ссылка на видео
Красивой математики должно быть больше!
3🔥33❤8👌4👏3👎1
Всем привет! Надеюсь вы хорошо проводите лето и его последние дни. Новых публикаций в канале явно поубавилось.
Но!
Скоро грядут изменения! Правда, подробнее про них чуть позже, в сентябре. А самое главное, активность в телеграм скоро вернется: ещё больше красоты, новостей математики и пищи для ума! Все-таки полезно думать хотя бы иногда, особенно, если есть чем.
Так что будем на связи! А пока что, вот такая задачка - пишите что думаете:
Задачка:
Сумма всех делителей числа 2025 равна
1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 25 + 27 + 45 + 75 + 81 + 135 + 225 + 405 + 675 + 2025 = 3751,
и это нечётное число.
Каково наименьшее число N > 2025, для которого сумма всех его делителей также нечётна?
Ответ:2048
Подсказка:Сумма делителей нечётна только у квадратов и чисел вида 2 × (нечётный квадрат). 2025 = 45², следующее
Но!
Скоро грядут изменения! Правда, подробнее про них чуть позже, в сентябре. А самое главное, активность в телеграм скоро вернется: ещё больше красоты, новостей математики и пищи для ума! Все-таки полезно думать хотя бы иногда, особенно, если есть чем.
Так что будем на связи! А пока что, вот такая задачка - пишите что думаете:
Задачка:
Сумма всех делителей числа 2025 равна
1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 25 + 27 + 45 + 75 + 81 + 135 + 225 + 405 + 675 + 2025 = 3751,
и это нечётное число.
Каково наименьшее число N > 2025, для которого сумма всех его делителей также нечётна?
Ответ:
Подсказка:
👍21🤔2😁1🤯1
Сколько существует теорем в математике?
Ответ зависит от того, что считать теоремой — и насколько глубоко вы готовы копать.
🔹 В ProofWiki, открытой базе математических доказательств, сейчас опубликовано более 20 000 теорем, лемм и утверждений.
🔹 В MathWorld от Wolfram — около 13 000 статей, многие из которых содержат по нескольку теорем.
🔹 В базе TheoremProver (система автоматических доказательств), количество формализованных теорем уже превышает 100 000, включая арифметику, алгебру, топологию и логику.
🔹 В крупнейших библиотеках формальной математики, таких как Lean, Coq и HOL Light, формализовано десятки тысяч теорем (например, Lean community mathlib - более 20000 теорем ещё пару лет назад).
📈 По оценкам М. Крёгера (1995), к концу XX века было известно более 250 000 математических теорем, опубликованных в журналах, книгах и монографиях. С тех пор прошло почти 30 лет — и темп публикаций только вырос.
🔍 Только на arXiv.org за 2023 год в разделе mathematics вышло более 50 000 статей. Даже если только 10% из них содержат новые теоремы — это уже 5000 новых утверждений за год.
🧠 При этом многие теоремы не опубликованы: они живут в курсах, диссертациях, докладах на конференциях и в личных записях исследователей. И ещё больше - в черновиках и идеях, которые пока не оформлены в строгое доказательство.
Поэтому точный счёт очень сложен. Но оценка на сегодня: от нескольких сотен тысяч до миллионов утверждений, которые можно назвать теоремами. И каждую неделю к ним добавляются новые.
Ответ зависит от того, что считать теоремой — и насколько глубоко вы готовы копать.
🔹 В ProofWiki, открытой базе математических доказательств, сейчас опубликовано более 20 000 теорем, лемм и утверждений.
🔹 В MathWorld от Wolfram — около 13 000 статей, многие из которых содержат по нескольку теорем.
🔹 В базе TheoremProver (система автоматических доказательств), количество формализованных теорем уже превышает 100 000, включая арифметику, алгебру, топологию и логику.
🔹 В крупнейших библиотеках формальной математики, таких как Lean, Coq и HOL Light, формализовано десятки тысяч теорем (например, Lean community mathlib - более 20000 теорем ещё пару лет назад).
📈 По оценкам М. Крёгера (1995), к концу XX века было известно более 250 000 математических теорем, опубликованных в журналах, книгах и монографиях. С тех пор прошло почти 30 лет — и темп публикаций только вырос.
🔍 Только на arXiv.org за 2023 год в разделе mathematics вышло более 50 000 статей. Даже если только 10% из них содержат новые теоремы — это уже 5000 новых утверждений за год.
🧠 При этом многие теоремы не опубликованы: они живут в курсах, диссертациях, докладах на конференциях и в личных записях исследователей. И ещё больше - в черновиках и идеях, которые пока не оформлены в строгое доказательство.
Поэтому точный счёт очень сложен. Но оценка на сегодня: от нескольких сотен тысяч до миллионов утверждений, которые можно назвать теоремами. И каждую неделю к ним добавляются новые.
1🤯20👍14🔥7✍2❤2
🔐 Квантовая криптография: новый фундамент безопасности
Современные шифры держатся на математике. Их основа — так называемые NP-задачи (non-deterministic polynomial time). Это задачи, для которых:
– найти решение очень трудно,
– но проверить готовый ответ легко.
Классический пример: разложить огромное число на простые множители. Решение почти безнадёжное, а проверка занимает мгновения. На этом и строится интернет-безопасность. Но если однажды кто-то найдёт быстрый алгоритм для таких задач, вся система рухнет.
Казалось, другого фундамента нет. Но в последние годы внимание криптографов повернулось к квантовой физике. В ней нашлись новые «строительные блоки», которые могут заменить классические основы.
В 2023 году криптографы Дакшита Курана и Кабир Томар сделали шаг вперёд. Они предложили концепцию «однонаправленных головоломок» (quantum one-way puzzles). Это квантовые аналоги однонаправленных функций (one-way functions — функций, которые легко вычислить, но почти невозможно обратить). Такие структуры создают замки и ключи: замки прочные, ключи существуют, но открыть ими замок напрямую почти невозможно. Парадокс? Да. Но именно из этого парадокса можно собрать целый набор протоколов шифрования.
Дальше — ещё интереснее. Учёные показали, что эти головоломки можно связать с одной из самых трудных задач линейной алгебры — вычислением перманента матрицы.
Перманент (в отличие от знакомого определителя) вычисляется похожей формулой по всем перестановкам, но без чередования знаков. Для больших матриц его нахождение считается одной из самых сложных задач: проверить правильность ответа почти так же трудно, как его найти.
Если будет доказано, что квантовые компьютеры справляются с такими задачами принципиально лучше классических, у квантовой криптографии появится фундамент прочнее, чем у всех существующих шифров.
Пока это теория. Но она меняет сам взгляд на безопасность. Если классическая криптография похожа на башню, построенную на песке NP-задач, то квантовая обещает возвести крепость на камне.
В будущем эта крепость может стать основой всего цифрового мира — от переписки до финансовых транзакций. И всё это — благодаря новой математике, которая соединяет глубины алгебры с законами квантовой механики.
✨ Вопрос лишь в том, кто первый построит реальный замок на этом фундаменте.
Современные шифры держатся на математике. Их основа — так называемые NP-задачи (non-deterministic polynomial time). Это задачи, для которых:
– найти решение очень трудно,
– но проверить готовый ответ легко.
Классический пример: разложить огромное число на простые множители. Решение почти безнадёжное, а проверка занимает мгновения. На этом и строится интернет-безопасность. Но если однажды кто-то найдёт быстрый алгоритм для таких задач, вся система рухнет.
Казалось, другого фундамента нет. Но в последние годы внимание криптографов повернулось к квантовой физике. В ней нашлись новые «строительные блоки», которые могут заменить классические основы.
В 2023 году криптографы Дакшита Курана и Кабир Томар сделали шаг вперёд. Они предложили концепцию «однонаправленных головоломок» (quantum one-way puzzles). Это квантовые аналоги однонаправленных функций (one-way functions — функций, которые легко вычислить, но почти невозможно обратить). Такие структуры создают замки и ключи: замки прочные, ключи существуют, но открыть ими замок напрямую почти невозможно. Парадокс? Да. Но именно из этого парадокса можно собрать целый набор протоколов шифрования.
Дальше — ещё интереснее. Учёные показали, что эти головоломки можно связать с одной из самых трудных задач линейной алгебры — вычислением перманента матрицы.
Перманент (в отличие от знакомого определителя) вычисляется похожей формулой по всем перестановкам, но без чередования знаков. Для больших матриц его нахождение считается одной из самых сложных задач: проверить правильность ответа почти так же трудно, как его найти.
Если будет доказано, что квантовые компьютеры справляются с такими задачами принципиально лучше классических, у квантовой криптографии появится фундамент прочнее, чем у всех существующих шифров.
Пока это теория. Но она меняет сам взгляд на безопасность. Если классическая криптография похожа на башню, построенную на песке NP-задач, то квантовая обещает возвести крепость на камне.
В будущем эта крепость может стать основой всего цифрового мира — от переписки до финансовых транзакций. И всё это — благодаря новой математике, которая соединяет глубины алгебры с законами квантовой механики.
✨ Вопрос лишь в том, кто первый построит реальный замок на этом фундаменте.
❤18🔥13👀5❤🔥1🗿1