Когда звёзды гаснут — математика остаётся
В 1783 году умер Леонард Эйлер. В 1856 — Николай Лобачевский. В 1943 — Давид Гильберт. В 1987 — Андрей Колмогоров.
А в 2025 мы всё ещё живём в их мире.
Математика — не просто язык природы. Это язык вечного. Она не нуждается в питании, не стареет, не болеет. В отличие от биологии, истории, технологий — её законы не переписываются, не меняются и не обнуляются. Теорема Пифагора работала в Афинах, работает в Сеуле и будет работать на спутнике Проксима b.
В каждый момент времени где-то на Земле кто-то впервые открывает для себя, что
∑(1/n²) = π²/6.
Именно в этот момент огонь снова загорается.
Кто-то осознаёт, что прямые могут не пересекаться даже в бесконечности — и понимает неевклидову геометрию Лобачевского.
Кто-то в первый раз видит, как формула Эйлера e^{iπ} + 1 = 0 связывает экспоненту, π, и мнимую единицу — и замирает.
Кто-то впервые слышит, что хаос можно описать вероятностью — и оказывается в царстве Колмогорова.
Кто-то, глядя на закат, догадывается, что все уравнения мира можно уместить в аксиомах — и ощущает дух Гильберта.
Это не просто алгебра. Это факел, который передают из рук в руки сквозь века.
От Архимеда к Эйлеру. От Гаусса к Гротендику. От вас — к кому-то, кто ещё даже не родился.
🔥 Математика — вне времени. Это дыхание вечности.
📜 Её теоремы не стареют. Их можно забыть, но невозможно отменить.
🌱 Каждый новый разум, соприкасающийся с доказательством, становится продолжением знания длиной в тысячелетия.
🪐 И даже если исчезнут города, если потускнеют экраны — останется кто-то с палкой на песке, рисующий окружность.
И в этот миг круг замкнётся снова.
Математика — это огонь, который не гаснет.
А мы с вами те, кто его разжигает и поддерживает. Жизненной математики впереди ещё много. Уже скоро!
В 1783 году умер Леонард Эйлер. В 1856 — Николай Лобачевский. В 1943 — Давид Гильберт. В 1987 — Андрей Колмогоров.
А в 2025 мы всё ещё живём в их мире.
Математика — не просто язык природы. Это язык вечного. Она не нуждается в питании, не стареет, не болеет. В отличие от биологии, истории, технологий — её законы не переписываются, не меняются и не обнуляются. Теорема Пифагора работала в Афинах, работает в Сеуле и будет работать на спутнике Проксима b.
В каждый момент времени где-то на Земле кто-то впервые открывает для себя, что
∑(1/n²) = π²/6.
Именно в этот момент огонь снова загорается.
Кто-то осознаёт, что прямые могут не пересекаться даже в бесконечности — и понимает неевклидову геометрию Лобачевского.
Кто-то в первый раз видит, как формула Эйлера e^{iπ} + 1 = 0 связывает экспоненту, π, и мнимую единицу — и замирает.
Кто-то впервые слышит, что хаос можно описать вероятностью — и оказывается в царстве Колмогорова.
Кто-то, глядя на закат, догадывается, что все уравнения мира можно уместить в аксиомах — и ощущает дух Гильберта.
Это не просто алгебра. Это факел, который передают из рук в руки сквозь века.
От Архимеда к Эйлеру. От Гаусса к Гротендику. От вас — к кому-то, кто ещё даже не родился.
🔥 Математика — вне времени. Это дыхание вечности.
📜 Её теоремы не стареют. Их можно забыть, но невозможно отменить.
🌱 Каждый новый разум, соприкасающийся с доказательством, становится продолжением знания длиной в тысячелетия.
🪐 И даже если исчезнут города, если потускнеют экраны — останется кто-то с палкой на песке, рисующий окружность.
И в этот миг круг замкнётся снова.
Математика — это огонь, который не гаснет.
А мы с вами те, кто его разжигает и поддерживает. Жизненной математики впереди ещё много. Уже скоро!
❤54👍18🔥9
С Днём квадратного корня!
Сегодня — 05.05.2025, а значит, мы отмечаем пятый из девяти дней квадратного корня в этом столетии. Почему это круто? Потому что такая дата случается всего 9 раз за 100 лет!
Идея проста и изящна, как сама математика: если месяц и день — это корень квадратный из последних двух цифр года, то у нас праздник. Сегодня 5 мая 2025, и √25 = 5. Вот и 5/5/25.
Первый такой день был 1/1/01, последний в XXI веке случится 9/9/81. Так что мы уже на экваторе — 5 из 9.
Вот все даты на века:
1/1/01
2/2/04
3/3/09
4/4/16
5/5/25 ← сегодня!
6/6/36
7/7/49
8/8/64
9/9/81
Праздник придумал учитель из Калифорнии Рон Гордон, а его дочь даже завела Facebook-группу, где можно делиться фото с корнеплодами, вырезанными в форме квадратов — настоящие “square roots”.
Так что если сегодня вы едите редиску, нарезанную квадратами — вы в теме.
А самое главное, загадывайте желания и ставьте цели, где вы хотите быть и к чему прийти к следующему дню квадратного корня! Все-таки время ещё есть, 11 лет. Пусть все хорошее сбудется!
Сегодня — 05.05.2025, а значит, мы отмечаем пятый из девяти дней квадратного корня в этом столетии. Почему это круто? Потому что такая дата случается всего 9 раз за 100 лет!
Идея проста и изящна, как сама математика: если месяц и день — это корень квадратный из последних двух цифр года, то у нас праздник. Сегодня 5 мая 2025, и √25 = 5. Вот и 5/5/25.
Первый такой день был 1/1/01, последний в XXI веке случится 9/9/81. Так что мы уже на экваторе — 5 из 9.
Вот все даты на века:
1/1/01
2/2/04
3/3/09
4/4/16
5/5/25 ← сегодня!
6/6/36
7/7/49
8/8/64
9/9/81
Праздник придумал учитель из Калифорнии Рон Гордон, а его дочь даже завела Facebook-группу, где можно делиться фото с корнеплодами, вырезанными в форме квадратов — настоящие “square roots”.
Так что если сегодня вы едите редиску, нарезанную квадратами — вы в теме.
А самое главное, загадывайте желания и ставьте цели, где вы хотите быть и к чему прийти к следующему дню квадратного корня! Все-таки время ещё есть, 11 лет. Пусть все хорошее сбудется!
❤28🔥13👍11🍾2👀2
Зачем учить математику? Чтобы стать Папой Римским.
Да, это не опечатка. Новый Папа Римский — математик.
На этой неделе избрали нового главу Католической церкви — Папу Льва XIV. Это историческое событие: он стал первым Папой из США. Но что особенно интересно — это первый Папа с математическим образованием. Он окончил Villanova University в 1977 году со степенью бакалавра по математике.
Кто-то надеется, что математическое мышление отразится в аналитическом подходе к управлению и принятию решений. Кто-то видит в этом начало новой эры связи науки и религии.
Но одно можно сказать точно, математическое образование - одно из самых широких из всех. Помимо теории, оно про мышление, а это полезно везде. Так что, если ещё не решили, кем стать, когда вырастешь, становитесь математиком. А дальше будет видно.
Да, это не опечатка. Новый Папа Римский — математик.
На этой неделе избрали нового главу Католической церкви — Папу Льва XIV. Это историческое событие: он стал первым Папой из США. Но что особенно интересно — это первый Папа с математическим образованием. Он окончил Villanova University в 1977 году со степенью бакалавра по математике.
Кто-то надеется, что математическое мышление отразится в аналитическом подходе к управлению и принятию решений. Кто-то видит в этом начало новой эры связи науки и религии.
Но одно можно сказать точно, математическое образование - одно из самых широких из всех. Помимо теории, оно про мышление, а это полезно везде. Так что, если ещё не решили, кем стать, когда вырастешь, становитесь математиком. А дальше будет видно.
👍41🔥10👨💻4🤯3🦄1
🔷 Математика переговоров: как найти компромисс
Переговоры — это не только искусство убеждения, но и… математика. Чтобы найти честный и устойчивый компромисс, математика предлагает несколько подходов — от классики до сложных моделей с неопределённостью.
Вот 4 ключевых модели, которые придумали математики, и способ проверки решения на оптимальность.
1. Модель Нэша (Nash Bargaining Solution)
📐 Компромисс как максимум взаимной выгоды
Вы хотите договориться, но у каждого есть точка, ниже которой соглашение бессмысленно. Нэш предложил выбирать такое решение, где произведение «выигрышей» обеих сторон максимально:
(u₁ – d₁) · (u₂ – d₂) → максимум
где:
• u₁ и u₂ — итоговые полезности (выгоды)
• d₁ и d₂ — минимальные приемлемые уровни (disagreement point)
Решение этой модели справедливо и сбалансировано — и именно по ней часто договариваются профсоюзы, правительства и бизнес-партнёры.
2. Модель поочерёдных предложений (Rubinstein Alternating Offers)
⏳ Компромисс через время и терпение
Если стороны делают предложения по очереди, важна не только «цена», но и терпение. В этой модели каждый ход откладывается, и ценность предложения «дисконтируется» во времени:
(1 – δ₂) / (1 – δ₁·δ₂)
где δ₁ и δ₂ — коэффициенты терпения (discount factors)
Тот, кто умеет ждать и не спешит соглашаться, получает больше. Эта модель отлично объясняет, почему затяжные переговоры — не всегда плохой знак, а иногда стратегический приём.
3. Оптимизация полезности (Utility Optimization)
🧮 Компромисс как взвешенное решение по нескольким критериям
Иногда компромисс — это не просто цена, а набор ценностей:
• выгода (B)
• справедливость (F)
• издержки (C)
• доверие (T)
Их можно объединить в одну функцию:
U = w₁·B + w₂·F – w₃·C + w₄·T
Каждому критерию присваивается вес (w), который отражает приоритет. Такой подход используется в переговорах в больших группах, на переговорах о политике или в мультисторонних соглашениях, где важно учитывать не только деньги, но и отношения, риски, репутацию.
4. Оценка ожидаемого результата (Estimated Negotiation Outcome, ENO)
🔁 Компромисс как приближение — шаг за шагом
Если переговоры ведутся раундами, то результат может постепенно улучшаться. ENO — это способ предсказать следующий шаг:
ENO = uₙ – ½(uₙ – uₙ₋₁)
То есть вы делаете шаг навстречу, но только наполовину. Такие модели применяются в автоматизированных переговорах и в ситуациях, когда уступки делаются постепенно — например, при переговорах о длительных контрактах.
Итоговая проверка: Парето-оптимум (Pareto Efficiency)
🎯 Как понять, что вы нашли идеальный компромисс?
Решение считается оптимальным по Парето, если невозможно улучшить положение одной стороны, не ухудшив другой:
Если:
∀i: uᵢ(s) ≥ uᵢ(s′) → ∃j: uⱼ(s) > uⱼ(s′)
— значит, вы нашли точку, где никто не проигрывает, но кто-то выигрывает.
Это главный тест любого соглашения. Парето-оптимум — это не обязательно «идеальный» компромисс, но это точно лучшая возможная сделка для всех.
Вывод:
Чтобы вести переговоры, недостаточно интуиции. Нужна система.
Компромисс — это не просто уступка, а рациональное решение в многомерном пространстве интересов.
@vitalmath
Переговоры — это не только искусство убеждения, но и… математика. Чтобы найти честный и устойчивый компромисс, математика предлагает несколько подходов — от классики до сложных моделей с неопределённостью.
Вот 4 ключевых модели, которые придумали математики, и способ проверки решения на оптимальность.
1. Модель Нэша (Nash Bargaining Solution)
📐 Компромисс как максимум взаимной выгоды
Вы хотите договориться, но у каждого есть точка, ниже которой соглашение бессмысленно. Нэш предложил выбирать такое решение, где произведение «выигрышей» обеих сторон максимально:
(u₁ – d₁) · (u₂ – d₂) → максимум
где:
• u₁ и u₂ — итоговые полезности (выгоды)
• d₁ и d₂ — минимальные приемлемые уровни (disagreement point)
Решение этой модели справедливо и сбалансировано — и именно по ней часто договариваются профсоюзы, правительства и бизнес-партнёры.
2. Модель поочерёдных предложений (Rubinstein Alternating Offers)
⏳ Компромисс через время и терпение
Если стороны делают предложения по очереди, важна не только «цена», но и терпение. В этой модели каждый ход откладывается, и ценность предложения «дисконтируется» во времени:
(1 – δ₂) / (1 – δ₁·δ₂)
где δ₁ и δ₂ — коэффициенты терпения (discount factors)
Тот, кто умеет ждать и не спешит соглашаться, получает больше. Эта модель отлично объясняет, почему затяжные переговоры — не всегда плохой знак, а иногда стратегический приём.
3. Оптимизация полезности (Utility Optimization)
🧮 Компромисс как взвешенное решение по нескольким критериям
Иногда компромисс — это не просто цена, а набор ценностей:
• выгода (B)
• справедливость (F)
• издержки (C)
• доверие (T)
Их можно объединить в одну функцию:
U = w₁·B + w₂·F – w₃·C + w₄·T
Каждому критерию присваивается вес (w), который отражает приоритет. Такой подход используется в переговорах в больших группах, на переговорах о политике или в мультисторонних соглашениях, где важно учитывать не только деньги, но и отношения, риски, репутацию.
4. Оценка ожидаемого результата (Estimated Negotiation Outcome, ENO)
🔁 Компромисс как приближение — шаг за шагом
Если переговоры ведутся раундами, то результат может постепенно улучшаться. ENO — это способ предсказать следующий шаг:
ENO = uₙ – ½(uₙ – uₙ₋₁)
То есть вы делаете шаг навстречу, но только наполовину. Такие модели применяются в автоматизированных переговорах и в ситуациях, когда уступки делаются постепенно — например, при переговорах о длительных контрактах.
Итоговая проверка: Парето-оптимум (Pareto Efficiency)
🎯 Как понять, что вы нашли идеальный компромисс?
Решение считается оптимальным по Парето, если невозможно улучшить положение одной стороны, не ухудшив другой:
Если:
∀i: uᵢ(s) ≥ uᵢ(s′) → ∃j: uⱼ(s) > uⱼ(s′)
— значит, вы нашли точку, где никто не проигрывает, но кто-то выигрывает.
Это главный тест любого соглашения. Парето-оптимум — это не обязательно «идеальный» компромисс, но это точно лучшая возможная сделка для всех.
Вывод:
Чтобы вести переговоры, недостаточно интуиции. Нужна система.
Компромисс — это не просто уступка, а рациональное решение в многомерном пространстве интересов.
@vitalmath
👍34🥰6🤓2👏1👀1
🔷 ИИ сделал то, что не удавалось математикам 56 лет
На этой неделе DeepMind от Гугла поделился интересными новостями. Последнее время они работали над проектом AlphaEvolve, ИИ на основе LLM и генетических алгоритмов, цель которого - создание алгоритмов. И, о чудо, он уже начал работать.
AlphaEvolve нашёл новый способ перемножать матрицы 4×4, используя всего 48 умножений. Предыдущий рекорд — 49, установлен Штрассеном в 1969 году. А обычный школьный метод требует 64.
Почти 60 лет без прогресса — и вот, прорыв. Сделанный не человеком.
Что делает это особенно удивительным — AlphaEvolve не был специально обучен умножать матрицы. Это универсальная система: она получает на вход код с примерным решением, проверочную программу, и затем с помощью генетических алгоритмов строит десятки и сотни новых решений. Самостоятельно.
Почему это важно?
Потому что умножение матриц — это двигатель почти всех вычислений:
— 3D-графика и физические симуляции
— машинное обучение и нейросети
— криптография
— работа дата-центров
— даже поведение квантовых систем
Одна лишняя операция в фундаментальной процедуре — это триллионы избыточных действий по всему миру. А теперь их стало меньше.
Этот результат — не просто точечная победа. AlphaEvolve был запущен на 70+ открытых математических задачах, и в каждой пятой из них нашёл лучшее решение, чем было известно науке, а остальных - пришел к уже известным решениям.
В числе других успехов:
— повышение нижней границы контактного числа в 11 измерениях с 592 до 593 (то есть число сфер, которые одновременно касаются одной центральной);
— оптимизация архитектуры чипов Google TPU;
— ускорение обучения моделей Gemini на 1% за счёт 23% ускорения в ключевом ядре умножения.
Мы все ещё в начале пути. Интересно, когда уже ИИ откроет всю математику.
@vitalmath
На этой неделе DeepMind от Гугла поделился интересными новостями. Последнее время они работали над проектом AlphaEvolve, ИИ на основе LLM и генетических алгоритмов, цель которого - создание алгоритмов. И, о чудо, он уже начал работать.
AlphaEvolve нашёл новый способ перемножать матрицы 4×4, используя всего 48 умножений. Предыдущий рекорд — 49, установлен Штрассеном в 1969 году. А обычный школьный метод требует 64.
Почти 60 лет без прогресса — и вот, прорыв. Сделанный не человеком.
Что делает это особенно удивительным — AlphaEvolve не был специально обучен умножать матрицы. Это универсальная система: она получает на вход код с примерным решением, проверочную программу, и затем с помощью генетических алгоритмов строит десятки и сотни новых решений. Самостоятельно.
Почему это важно?
Потому что умножение матриц — это двигатель почти всех вычислений:
— 3D-графика и физические симуляции
— машинное обучение и нейросети
— криптография
— работа дата-центров
— даже поведение квантовых систем
Одна лишняя операция в фундаментальной процедуре — это триллионы избыточных действий по всему миру. А теперь их стало меньше.
Этот результат — не просто точечная победа. AlphaEvolve был запущен на 70+ открытых математических задачах, и в каждой пятой из них нашёл лучшее решение, чем было известно науке, а остальных - пришел к уже известным решениям.
В числе других успехов:
— повышение нижней границы контактного числа в 11 измерениях с 592 до 593 (то есть число сфер, которые одновременно касаются одной центральной);
— оптимизация архитектуры чипов Google TPU;
— ускорение обучения моделей Gemini на 1% за счёт 23% ускорения в ключевом ядре умножения.
Мы все ещё в начале пути. Интересно, когда уже ИИ откроет всю математику.
@vitalmath
🔥49👍11👏3😱2🌚1
🔷 Почему доказать, что P ≠ NP — так трудно?
Задача P vs NP звучит просто: если мы можем проверить решение задачи быстро (в полиномиальное время), можем ли мы найти это решение так же быстро? Если да — тогда P = NP. Если нет — тогда P ≠ NP.
Большинство учёных уверены, что нет, P не равно NP. Но… доказать это не получается уже более 50 лет. Почему? Давайте разберёмся.
1. Проблема слишком “общая”
NP — это не одна конкретная задача, а целый класс: судоку, шифры, расписания, логические головоломки. Они разные по сути, но у всех одна черта: если кто-то даст вам готовое решение — вы быстро проверите, что оно верное.
Но вот найти его — может быть очень трудно.
И чтобы доказать, что P ≠ NP, нужно показать, что не существует ни одного способа, который бы решал все эти задачи быстро. Это как доказать, что не существует универсального “волшебного метода” — и это крайне непросто.
2. Природа “проверки” и “поиска” различна
Мы чувствуем, что найти правильный пароль — трудно, а проверить его — легко.
Но чувства недостаточно. Нужно строгое доказательство: в рамках математики и формальных моделей вычислений.
И тут всё упирается в сложность: как выразить “поиск” и “проверку” в одинаковых терминах, и как доказать, что одно заведомо сложнее другого?
3. Почти все известные методы — бессильны
Вот где становится по-настоящему интересно. За 50 лет математики попробовали десятки подходов. И оказалось, что существуют целые классы методов, которые просто не способны решить задачу P ≠ NP — даже теоретически.
Объясним на простом языке:
● Подход 1: «Оракулы»
Представьте, что у вас есть магическая коробка, которая мгновенно решает любые подзадачи — как “оракул”. Такие коробки помогают “обойти” сложные моменты в доказательствах.
Но оказалось, что можно построить две такие коробки: одну, где P = NP, и другую, где P ≠ NP — и доказательства, основанные на таких «оракулах», не различают их.
Вывод: этот путь — тупик.
● Подход 2: «Типичные» доказательства
Многие попытки доказать P ≠ NP используют методы, которые ищут закономерности или слабости в структуре алгоритмов. Это называется “естественные” (natural) доказательства.
Но в 90-х доказали, что если хотя бы одна современная криптосистема (например, RSA) действительно надёжна, то естественными методами P ≠ NP не доказать.
Иными словами: если шифры работают — этот подход не сработает.
● Подход 3: Перевод в алгебру
Некоторые сложные задачи можно превратить в задачи алгебры — вроде уравнений и функций. Это помогло в других теоремах, но в 2008 году показали: этот метод тоже не справляется с P ≠ NP.
4. Может, проблема неразрешима в наших аксиомах
Некоторые учёные предполагают: а что если задача P ≠ NP не может быть доказана в рамках современной математики? Как гипотеза континуума или аксиома выбора — просто вне досягаемости.
Это не значит, что ответа нет. Просто он может быть невыводим из наших текущих аксиом.
5. А вдруг P = NP?
Этот вариант почти все считают маловероятным, но он пугает ещё больше. Если P = NP, то все задачи, включая доказательство теорем, креативные поиски и взлом криптографии, можно решать эффективно — но только в теории.
Проблема: если такое доказательство и существует, оно может быть неконструктивным — просто утверждать, что “такой алгоритм есть”, но не показывать его. Тогда это вообще не изменит практику, но перевернёт теорию.
Вывод
Доказать P ≠ NP — это не просто “трудная задача”. Это граница всей современной математики. Мы упёрлись в пределы методов, в фундаментальные вопросы о природе алгоритмов, доказательств и самих аксиом.
Скорее всего, потребуется новая математика, новый взгляд на вычисление и, возможно, новые основания логики — чтобы сделать хоть шаг вперёд.
Как думаете, когда увидим доказательство?
@vitalmath
Задача P vs NP звучит просто: если мы можем проверить решение задачи быстро (в полиномиальное время), можем ли мы найти это решение так же быстро? Если да — тогда P = NP. Если нет — тогда P ≠ NP.
Большинство учёных уверены, что нет, P не равно NP. Но… доказать это не получается уже более 50 лет. Почему? Давайте разберёмся.
1. Проблема слишком “общая”
NP — это не одна конкретная задача, а целый класс: судоку, шифры, расписания, логические головоломки. Они разные по сути, но у всех одна черта: если кто-то даст вам готовое решение — вы быстро проверите, что оно верное.
Но вот найти его — может быть очень трудно.
И чтобы доказать, что P ≠ NP, нужно показать, что не существует ни одного способа, который бы решал все эти задачи быстро. Это как доказать, что не существует универсального “волшебного метода” — и это крайне непросто.
2. Природа “проверки” и “поиска” различна
Мы чувствуем, что найти правильный пароль — трудно, а проверить его — легко.
Но чувства недостаточно. Нужно строгое доказательство: в рамках математики и формальных моделей вычислений.
И тут всё упирается в сложность: как выразить “поиск” и “проверку” в одинаковых терминах, и как доказать, что одно заведомо сложнее другого?
3. Почти все известные методы — бессильны
Вот где становится по-настоящему интересно. За 50 лет математики попробовали десятки подходов. И оказалось, что существуют целые классы методов, которые просто не способны решить задачу P ≠ NP — даже теоретически.
Объясним на простом языке:
● Подход 1: «Оракулы»
Представьте, что у вас есть магическая коробка, которая мгновенно решает любые подзадачи — как “оракул”. Такие коробки помогают “обойти” сложные моменты в доказательствах.
Но оказалось, что можно построить две такие коробки: одну, где P = NP, и другую, где P ≠ NP — и доказательства, основанные на таких «оракулах», не различают их.
Вывод: этот путь — тупик.
● Подход 2: «Типичные» доказательства
Многие попытки доказать P ≠ NP используют методы, которые ищут закономерности или слабости в структуре алгоритмов. Это называется “естественные” (natural) доказательства.
Но в 90-х доказали, что если хотя бы одна современная криптосистема (например, RSA) действительно надёжна, то естественными методами P ≠ NP не доказать.
Иными словами: если шифры работают — этот подход не сработает.
● Подход 3: Перевод в алгебру
Некоторые сложные задачи можно превратить в задачи алгебры — вроде уравнений и функций. Это помогло в других теоремах, но в 2008 году показали: этот метод тоже не справляется с P ≠ NP.
4. Может, проблема неразрешима в наших аксиомах
Некоторые учёные предполагают: а что если задача P ≠ NP не может быть доказана в рамках современной математики? Как гипотеза континуума или аксиома выбора — просто вне досягаемости.
Это не значит, что ответа нет. Просто он может быть невыводим из наших текущих аксиом.
5. А вдруг P = NP?
Этот вариант почти все считают маловероятным, но он пугает ещё больше. Если P = NP, то все задачи, включая доказательство теорем, креативные поиски и взлом криптографии, можно решать эффективно — но только в теории.
Проблема: если такое доказательство и существует, оно может быть неконструктивным — просто утверждать, что “такой алгоритм есть”, но не показывать его. Тогда это вообще не изменит практику, но перевернёт теорию.
Вывод
Доказать P ≠ NP — это не просто “трудная задача”. Это граница всей современной математики. Мы упёрлись в пределы методов, в фундаментальные вопросы о природе алгоритмов, доказательств и самих аксиом.
Скорее всего, потребуется новая математика, новый взгляд на вычисление и, возможно, новые основания логики — чтобы сделать хоть шаг вперёд.
Как думаете, когда увидим доказательство?
@vitalmath
🔥19👍11❤🔥6❤2🤔1
🔷 Из математика — в президенты
Если вы всё ещё спрашиваете, зачем учить математику — вот вам ещё один пример (недавний был здесь).
На днях Румыния выбрала нового президента. Его зовут Никушор Дан. И он — не просто политик. Он настоящий математик:
— дважды выигрывал золото на Международной математической олимпиаде (IMO) — в 1987 и 1988
— причём оба раза с идеальным баллом — то есть решил все задачи, включая ту самую шестую задачу 1988 года, одну из самых сложных в истории IMO (её, к слову, не решил даже Теренс Тао — правда, ему тогда было всего 13)
🎓 После олимпиады Дан уехал во Францию — и продолжил заниматься, конечно, теорией чисел. Защитил диссертацию в Сорбонне по арифметической геометрии, изучая мероморфные продолжения зелёных токов (это такой способ «продлить» аналитические объекты на особые множества в арифметической геометрии).
Дан написал несколько статей — о гиперлогарифмах, регуляторах и гипотезе Загье для n = 4. (в двух словах: это попытка понять, как многослойные логарифмы описывают глубинные связи между числами — и заодно соединяют теорию чисел с геометрией и алгеброй). Вот тут можно почитать на досуге.
🧠 Среди его тем:
— Арифметическая геометрия в духе Аракелова (это способ изучать уравнения с целыми числами так, будто они живут на гладких геометрических пространствах — объединяя методы алгебры, анализа и геометрии одновременно)
— Дзета-функции и функции высот
(инструменты, которые измеряют «сложность» алгебраических объектов и отслеживают распределение решений уравнений)
— Многократные логарифмы и функциональные уравнения
(обобщения обычного логарифма, которые позволяют глубже понять связи между числами и симметрии в формулах)
— Регуляторы Бейлина, Бореля, Гончарова — и всё это в симплициальных формализмах
(тонкие числовые инварианты, которые связывают топологию и арифметику; симплициальный подход упрощает расчёты с помощью геометрических построений)
Но после очередной публикации про гипотезу Загье, Дан первый раз балотируется в мэры Будапешта, а через девят лет возглавляет город.
Вот такой поворот. Вопрос на засыпку: Как думаете, он просто устал от теории чисел или всё-таки нашёл, как применять её — в реальной жизни?
@vitalmath
Если вы всё ещё спрашиваете, зачем учить математику — вот вам ещё один пример (недавний был здесь).
На днях Румыния выбрала нового президента. Его зовут Никушор Дан. И он — не просто политик. Он настоящий математик:
— дважды выигрывал золото на Международной математической олимпиаде (IMO) — в 1987 и 1988
— причём оба раза с идеальным баллом — то есть решил все задачи, включая ту самую шестую задачу 1988 года, одну из самых сложных в истории IMO (её, к слову, не решил даже Теренс Тао — правда, ему тогда было всего 13)
🎓 После олимпиады Дан уехал во Францию — и продолжил заниматься, конечно, теорией чисел. Защитил диссертацию в Сорбонне по арифметической геометрии, изучая мероморфные продолжения зелёных токов (это такой способ «продлить» аналитические объекты на особые множества в арифметической геометрии).
Дан написал несколько статей — о гиперлогарифмах, регуляторах и гипотезе Загье для n = 4. (в двух словах: это попытка понять, как многослойные логарифмы описывают глубинные связи между числами — и заодно соединяют теорию чисел с геометрией и алгеброй). Вот тут можно почитать на досуге.
🧠 Среди его тем:
— Арифметическая геометрия в духе Аракелова (это способ изучать уравнения с целыми числами так, будто они живут на гладких геометрических пространствах — объединяя методы алгебры, анализа и геометрии одновременно)
— Дзета-функции и функции высот
(инструменты, которые измеряют «сложность» алгебраических объектов и отслеживают распределение решений уравнений)
— Многократные логарифмы и функциональные уравнения
(обобщения обычного логарифма, которые позволяют глубже понять связи между числами и симметрии в формулах)
— Регуляторы Бейлина, Бореля, Гончарова — и всё это в симплициальных формализмах
(тонкие числовые инварианты, которые связывают топологию и арифметику; симплициальный подход упрощает расчёты с помощью геометрических построений)
Но после очередной публикации про гипотезу Загье, Дан первый раз балотируется в мэры Будапешта, а через девят лет возглавляет город.
Вот такой поворот. Вопрос на засыпку: Как думаете, он просто устал от теории чисел или всё-таки нашёл, как применять её — в реальной жизни?
@vitalmath
🔥28👍8✍3🆒3❤2
Шестую задачу с международной математической олимпиады 1988 года разберем как-нибудь потом. А пока, что можно попробовать посмотреть Задачу 3. Формулировка выглядит несложно. Пишите, как бы вы решали.
Задача 3.
Функция f задана на положительных целых числах следующим образом:
f(1) = 1,
f(3) = 3,
f(2n) = f(n),
f(4n + 1) = 2f(2n + 1) – f(n),
f(4n + 3) = 3f(2n + 1) – 2f(n),
для всех положительных целых n.
Вопрос:
Определите количество положительных целых чисел n, меньших или равных 1988, для которых f(n) = n.
Задача 3.
Функция f задана на положительных целых числах следующим образом:
f(1) = 1,
f(3) = 3,
f(2n) = f(n),
f(4n + 1) = 2f(2n + 1) – f(n),
f(4n + 3) = 3f(2n + 1) – 2f(n),
для всех положительных целых n.
Вопрос:
Определите количество положительных целых чисел n, меньших или равных 1988, для которых f(n) = n.
🤔21🤯5🔥1🤓1
Всем привет! Как вы могли заметить последнее время на канале не было большой активности. Крайний выпуск был в марте, да и вообще всего один в этом году.
При этом математики меньше не становится, наоборот, число математиков и открытий растет. Теории развиваются, а приложений появляется все больше. Мир и математика становятся сложнее. ИИ расширяет горизонты возможного (вопрос до чего?). Да и математики прошлого, о которой можно вспомнить, насладиться красотой и даже чему-то научиться, ещё очень и очень много. Что делать? Надо действовать.
Итоги подводить рано, впереди ещё много работы. Но одно могу сказать точно: 100 дней. Через 100 дней начнем менять мир математики. Постепенно, но уверенно. А пока что, поставьте напоминание в календарь, и не пропустите. 100 дней до дня начала. Поехали!
P.S. Да, и это не значит, что выпуском не будет ещё 100 дней. Нет. Уже в эту субботу, 24 мая. Новый выпуск про очень близкую всем тему. Не пропустите!
При этом математики меньше не становится, наоборот, число математиков и открытий растет. Теории развиваются, а приложений появляется все больше. Мир и математика становятся сложнее. ИИ расширяет горизонты возможного (вопрос до чего?). Да и математики прошлого, о которой можно вспомнить, насладиться красотой и даже чему-то научиться, ещё очень и очень много. Что делать? Надо действовать.
Итоги подводить рано, впереди ещё много работы. Но одно могу сказать точно: 100 дней. Через 100 дней начнем менять мир математики. Постепенно, но уверенно. А пока что, поставьте напоминание в календарь, и не пропустите. 100 дней до дня начала. Поехали!
P.S. Да, и это не значит, что выпуском не будет ещё 100 дней. Нет. Уже в эту субботу, 24 мая. Новый выпуск про очень близкую всем тему. Не пропустите!
❤31👍15🔥3👏3
Vital Math
Шестую задачу с международной математической олимпиады 1988 года разберем как-нибудь потом. А пока, что можно попробовать посмотреть Задачу 3. Формулировка выглядит несложно. Пишите, как бы вы решали. Задача 3. Функция f задана на положительных целых числах…
Как решать Задачу 3?
Ответ: 92
На самом деле, правильные идеи уже были в комментариях — и это очень вдохновляет 🙂
В математике часто важен не только сам ответ, сколько путь к нему: как подумать, на что обратить внимание, какую структуру заметить. Часто ключевое — это не вычисления, а идея. А уже после неё всё выглядит почти очевидным.
В этой задаче таких идей две - двоичная запись и симметрия:
🧠 Двоичная запись: функция ведёт себя так, что её значения можно выразить через значения на меньших числах — часто при делении на 2 или 4. Это намекает, что f «смотрит» на число не в десятичной записи, а на его запись в двоичном виде.
🧠 Симметрия: если внимательно проследить за значениями f(n), то видно: f(n) = n тогда и только тогда, когда двоичная запись числа симметрична, то есть число n - палиндром в двоичной системе. Например: число 5 — это 101, перевернули — снова 101, значит f(5) = 5. Число 6 — это 110, перевернули — 011, то есть f(6) ≠ 6
📌 Значит, задача сводится к следующему:
Найти все положительные числа n ≤ 1988, у которых двоичная запись — палиндром. Именно для них будет f(n) = n.
На этом месте идеи заканчиваются и дальше нужно только считать. Для чисел длины m бит, количество двоичных палиндромов — это 2 в степени (m-1)/2 (округляем вверх). Если посчитать по длинам:
- от 1 до 2: 1 число
- от 2 до 4: 1 число
- от 4 до 8: 2 числа
- от 8 до 16: 2 числа
- от 16 до 32: 4
- от 32 до 64: 4
- от 64 до 128: 8
- от 128 до 256: 8
- от 256 до 512: 16
- от 512 до 1024: 16
Осталось посчитать, сколько симметричных чисел между 1024 и 1988.
Число 1988 в двоичной системе — это 11111000100. 11 бит. Значит, у нас ещё 30 симметричных чисел в этом диапазоне.
📊 Суммируем всё вместе:
1 + 1 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 + 8 + 16 + 16 + 30 = 92 числа, для которых f(n) = n
Вот такой подход и идеи. А строгие решения можно найти здесь .
@vitalmath
Ответ: 92
На самом деле, правильные идеи уже были в комментариях — и это очень вдохновляет 🙂
В математике часто важен не только сам ответ, сколько путь к нему: как подумать, на что обратить внимание, какую структуру заметить. Часто ключевое — это не вычисления, а идея. А уже после неё всё выглядит почти очевидным.
В этой задаче таких идей две - двоичная запись и симметрия:
🧠 Двоичная запись: функция ведёт себя так, что её значения можно выразить через значения на меньших числах — часто при делении на 2 или 4. Это намекает, что f «смотрит» на число не в десятичной записи, а на его запись в двоичном виде.
🧠 Симметрия: если внимательно проследить за значениями f(n), то видно: f(n) = n тогда и только тогда, когда двоичная запись числа симметрична, то есть число n - палиндром в двоичной системе. Например: число 5 — это 101, перевернули — снова 101, значит f(5) = 5. Число 6 — это 110, перевернули — 011, то есть f(6) ≠ 6
📌 Значит, задача сводится к следующему:
Найти все положительные числа n ≤ 1988, у которых двоичная запись — палиндром. Именно для них будет f(n) = n.
На этом месте идеи заканчиваются и дальше нужно только считать. Для чисел длины m бит, количество двоичных палиндромов — это 2 в степени (m-1)/2 (округляем вверх). Если посчитать по длинам:
- от 1 до 2: 1 число
- от 2 до 4: 1 число
- от 4 до 8: 2 числа
- от 8 до 16: 2 числа
- от 16 до 32: 4
- от 32 до 64: 4
- от 64 до 128: 8
- от 128 до 256: 8
- от 256 до 512: 16
- от 512 до 1024: 16
Осталось посчитать, сколько симметричных чисел между 1024 и 1988.
Число 1988 в двоичной системе — это 11111000100. 11 бит. Значит, у нас ещё 30 симметричных чисел в этом диапазоне.
📊 Суммируем всё вместе:
1 + 1 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 + 8 + 16 + 16 + 30 = 92 числа, для которых f(n) = n
Вот такой подход и идеи. А строгие решения можно найти здесь .
@vitalmath
🤯11🔥8👍3✍1
🔥 Новый выпуск! Почему мы считаем до 10 (но далеко не всегда)
Мы так привыкли к десятичной системе, что другие варианты даже не приходят в голову. Но ведь система счисления — это не закон природы, а всего лишь выбор. Почему мы считаем до 10 и как мы к этому пришли? Может ли основанием системы счисления быть отрицательное число, золотое сечение или даже число пи? И как всё-таки мы будем считать через тысячи лет?
Смотреть на YouTube
Смотреть в ВК
Мы так привыкли к десятичной системе, что другие варианты даже не приходят в голову. Но ведь система счисления — это не закон природы, а всего лишь выбор. Почему мы считаем до 10 и как мы к этому пришли? Может ли основанием системы счисления быть отрицательное число, золотое сечение или даже число пи? И как всё-таки мы будем считать через тысячи лет?
Смотреть на YouTube
Смотреть в ВК
👍31🔥9❤4👏1
🔷 Охота за простыми числами
Если бы у древних людей были калькуляторы, они бы точно использовали их для поиска простых чисел. Почему? Потому что интерес к ним — буквально старше письменности.
На кости Ишанго (20 000 лет назад) учёные обнаружили зарубки, похожие на простые числа. На вавилонской табличке Плимптон 322 — то же самое. Простые числа появляются в артефактах по всему миру, как будто человечество интуитивно чувствовало: в этом что-то есть.
📐На всякий случай, напомню, простое - это число больше единицы, которое нельзя разложить на произведение двух меньших. 7 — простое (делится только на 1 и 7), а вот 8 — уже нет (2×4).
📜 Немного истории:
• Ещё Евклид (около 300 года до н.э.) доказал: простых чисел бесконечно много.
• Персы и арабы в средние века открыли: любое число — это произведение простых. Простые — как атомы математики.
• В 1202 году Фибоначчи заинтересовался числами вида 2^p – 1, где p — тоже простое. Такие числа позже назвали числа Мерсенна. Большинство самых больших известных простых чисел имеют именно такую форму.
В 1876 году математик Эдуард Люка показал, что число 2^127 – 1 простое — вручную! Оно содержит 39 цифр и держало рекорд до середины XX века.
С появлением компьютеров — особенно суперкомпьютеров вроде Cray — охота за простыми ускорилась. В 1996 году запустили проект GIMPS, где каждый мог подключиться и помочь искать простые числа на своём ПК. С тех пор GIMPS нашёл 18 новых простых чисел Мерсенна, включая:
🔥 Самое большое на сегодня:
2^136 279 841 – 1
41 024 320 цифр (!), найдено в октябре 2024 года.
Искал его не человек — а распределённая сеть на Nvidia-чипах, охватившая 17 стран и 24 дата-центра. Что же искать дальше? Дальше — 100 миллионов цифр, а потом и миллиард. Приз от Electronic Frontier Foundation за это — 150 и 250 тысяч долларов соответственно.
Поиск простых чисел, видимо, будет идти всё время, пока существует человечество. Числа помогают обеспечивать безопасность в цифровом мире и стоят за фундмантальными вопросами в бескрайнем мире математики. Простота и сложность сливаются в единое целое.
Какое ваше любимое простое число?
7 - 🔥
37 - 👏
2^136 279 841 – 1 - ❤️
@vitalmath — тут любят простые числа.
Если бы у древних людей были калькуляторы, они бы точно использовали их для поиска простых чисел. Почему? Потому что интерес к ним — буквально старше письменности.
На кости Ишанго (20 000 лет назад) учёные обнаружили зарубки, похожие на простые числа. На вавилонской табличке Плимптон 322 — то же самое. Простые числа появляются в артефактах по всему миру, как будто человечество интуитивно чувствовало: в этом что-то есть.
📐На всякий случай, напомню, простое - это число больше единицы, которое нельзя разложить на произведение двух меньших. 7 — простое (делится только на 1 и 7), а вот 8 — уже нет (2×4).
📜 Немного истории:
• Ещё Евклид (около 300 года до н.э.) доказал: простых чисел бесконечно много.
• Персы и арабы в средние века открыли: любое число — это произведение простых. Простые — как атомы математики.
• В 1202 году Фибоначчи заинтересовался числами вида 2^p – 1, где p — тоже простое. Такие числа позже назвали числа Мерсенна. Большинство самых больших известных простых чисел имеют именно такую форму.
В 1876 году математик Эдуард Люка показал, что число 2^127 – 1 простое — вручную! Оно содержит 39 цифр и держало рекорд до середины XX века.
С появлением компьютеров — особенно суперкомпьютеров вроде Cray — охота за простыми ускорилась. В 1996 году запустили проект GIMPS, где каждый мог подключиться и помочь искать простые числа на своём ПК. С тех пор GIMPS нашёл 18 новых простых чисел Мерсенна, включая:
🔥 Самое большое на сегодня:
2^136 279 841 – 1
41 024 320 цифр (!), найдено в октябре 2024 года.
Искал его не человек — а распределённая сеть на Nvidia-чипах, охватившая 17 стран и 24 дата-центра. Что же искать дальше? Дальше — 100 миллионов цифр, а потом и миллиард. Приз от Electronic Frontier Foundation за это — 150 и 250 тысяч долларов соответственно.
Поиск простых чисел, видимо, будет идти всё время, пока существует человечество. Числа помогают обеспечивать безопасность в цифровом мире и стоят за фундмантальными вопросами в бескрайнем мире математики. Простота и сложность сливаются в единое целое.
Какое ваше любимое простое число?
7 - 🔥
37 - 👏
2^136 279 841 – 1 - ❤️
@vitalmath — тут любят простые числа.
🔥33👏25❤17👍8🤓1
🧬 Свобода, которая правит моделями ДНК
Если вы думаете, что свобода — это философская категория, то на секунду загляните в математику. А потом — в биологию.
Когда биологи моделируют работу генов, белков или РНК, они, по сути, составляют математическую модель: подаёшь на вход последовательность букв ДНК — получаешь на выходе активность. Но... вот парадокс: два совершенно разных набора параметров модели могут давать одинаковый результат.
Как это возможно? Это и есть gauge freedom — «свобода калибровки» или, если совсем по-простому, свобода выбора координатной системы.
⚡️ Когда вы записываете дробь как 2/4 или 3/6 — вы получаете одно и то же число. Вот и в биомоделях: разные параметры = одинаковый результат. Эти лишние степени свободы и называют gauge freedoms.
📐 Раньше на них смотрели как на «технический мусор»: мол, мешают, но что поделать. А теперь — переворот. Ученые из лаборатории Cold Spring Harbor создали унифицированную математическую теорию, которая позволяет «починить калибровку» моделей. А значит — однозначно интерпретировать, что конкретно значат параметры в модели генной активности.
Это не просто удобно. Это — фундамент для точного редактирования ДНК, подбора лекарств и создания устойчивых сортов растений.
👾 Оказывается, чтобы модель биологической активности вела себя интуитивно и понятно, нужно... добавить ей лишние измерения. Да-да. Более простое поведение требует более сложной модели. Звучит как дзен.
🔧 Новая теория позволяет:
— 📊 Мгновенно «чинить» параметры, устраняя лишние свободы
— 🧭 Выбирать удобную систему координат (гейдж) в зависимости от задачи
— 🧬 Получать простые локальные модели в разных регионах «пространства ДНК» — например, для мутаций в конкретном участке белка
💡 Один и тот же белок может вести себя абсолютно по-разному в зависимости от того, какие координаты (gauge) вы выбрали. И именно новая теория позволяет адаптировать модель под конкретный участок генома — без потери точности.
📊 Что именно сделали математики?
Они построили общую геометрическую теорию для линейных моделей, которая позволяет однозначно проецировать параметры модели в специальное подпространство (гейдж) с заранее заданными свойствами. Это делается с помощью матрицы проекции, которая устраняет все направления, не влияющие на предсказания модели. Они вывели формулы, которые позволяют это делать быстро, универсально и для моделей любого порядка — от простых аддитивных до высоко взаимодействующих. Причем разные «гейджи» (например, zero-sum, wild-type, hierarchical) дают разные интерпретации — средние эффекты мутаций, эпистаз и даже вариации внутри конкретных регионов ДНК. В итоге мы получаем математический способ «перевести» параметры модели в биологически осмысленный язык.
🧠 Что это значит в целом?
Раньше учёные либо терялись в тонкостях моделей, либо делали упрощения. Теперь — у них есть карта и компас. Систематическая навигация по пространству моделей.
Так что если в ближайшие годы вы услышите о новых лекарствах или устойчивых культурах, не удивляйтесь: под капотом, возможно, будет работать не только CRISPR, но и gauge fixing.
Да, математика снова меняет биологию.
@vitalmath
Если вы думаете, что свобода — это философская категория, то на секунду загляните в математику. А потом — в биологию.
Когда биологи моделируют работу генов, белков или РНК, они, по сути, составляют математическую модель: подаёшь на вход последовательность букв ДНК — получаешь на выходе активность. Но... вот парадокс: два совершенно разных набора параметров модели могут давать одинаковый результат.
Как это возможно? Это и есть gauge freedom — «свобода калибровки» или, если совсем по-простому, свобода выбора координатной системы.
⚡️ Когда вы записываете дробь как 2/4 или 3/6 — вы получаете одно и то же число. Вот и в биомоделях: разные параметры = одинаковый результат. Эти лишние степени свободы и называют gauge freedoms.
📐 Раньше на них смотрели как на «технический мусор»: мол, мешают, но что поделать. А теперь — переворот. Ученые из лаборатории Cold Spring Harbor создали унифицированную математическую теорию, которая позволяет «починить калибровку» моделей. А значит — однозначно интерпретировать, что конкретно значат параметры в модели генной активности.
Это не просто удобно. Это — фундамент для точного редактирования ДНК, подбора лекарств и создания устойчивых сортов растений.
👾 Оказывается, чтобы модель биологической активности вела себя интуитивно и понятно, нужно... добавить ей лишние измерения. Да-да. Более простое поведение требует более сложной модели. Звучит как дзен.
🔧 Новая теория позволяет:
— 📊 Мгновенно «чинить» параметры, устраняя лишние свободы
— 🧭 Выбирать удобную систему координат (гейдж) в зависимости от задачи
— 🧬 Получать простые локальные модели в разных регионах «пространства ДНК» — например, для мутаций в конкретном участке белка
💡 Один и тот же белок может вести себя абсолютно по-разному в зависимости от того, какие координаты (gauge) вы выбрали. И именно новая теория позволяет адаптировать модель под конкретный участок генома — без потери точности.
📊 Что именно сделали математики?
Они построили общую геометрическую теорию для линейных моделей, которая позволяет однозначно проецировать параметры модели в специальное подпространство (гейдж) с заранее заданными свойствами. Это делается с помощью матрицы проекции, которая устраняет все направления, не влияющие на предсказания модели. Они вывели формулы, которые позволяют это делать быстро, универсально и для моделей любого порядка — от простых аддитивных до высоко взаимодействующих. Причем разные «гейджи» (например, zero-sum, wild-type, hierarchical) дают разные интерпретации — средние эффекты мутаций, эпистаз и даже вариации внутри конкретных регионов ДНК. В итоге мы получаем математический способ «перевести» параметры модели в биологически осмысленный язык.
🧠 Что это значит в целом?
Раньше учёные либо терялись в тонкостях моделей, либо делали упрощения. Теперь — у них есть карта и компас. Систематическая навигация по пространству моделей.
Так что если в ближайшие годы вы услышите о новых лекарствах или устойчивых культурах, не удивляйтесь: под капотом, возможно, будет работать не только CRISPR, но и gauge fixing.
Да, математика снова меняет биологию.
@vitalmath
❤🔥16🔥13🤔4👍3❤1
🔷 Крайняя математика: как решать невозможное
Ключевой жизненный принцип математики звучит так: «Когда не знаешь, с чего начать — начни с самого крайнего».
Это и есть принцип крайних элементов (подробнее тут)— один из самых мощных и удивительно универсальных методов.
Никаких сложных формул. Только здравый смысл и чутьё на то, что выбивается из общего порядка.
🧠 Суть:
Берём крайний элемент, то есть элемент с экстремальным значением — минимальный, максимальный, самый левый, ближе всех к границе и т.д.
Именно он чаще всего рушит симметрию, нарушает баланс или задаёт структуру. Его анализ помогает понять проблему. А дальше — уже техника.
📍 Пример 1. Все точки — середины?
На плоскости есть множество точек, и каждая из них — середина отрезка, соединяющего две другие из этого же множества. Может ли таких точек быть конечное число?
Предположим — да.
Берём точку с самой большой абсциссой, а среди них — с самой большой ординатой. Самая правая и самая верхняя.
По условию она — середина какого-то отрезка. Значит, два конца этого отрезка — ещё правее или выше.
Но это невозможно: такой точки нет — она же крайняя.
Противоречие. Значит, точек бесконечно много.
📍 Пример 2. Четыре точки — один острый треугольник?
Берём любые четыре точки на плоскости. Хотим понять: возможно ли, чтобы все треугольники, построенные из них, были остроугольными?
Рассматриваем все возможные треугольники.
Где-то будет самый тупой угол — и он точно ≥ 90°.
Остался ли он острым? Нет.
Вывод: хотя бы один из треугольников — не остроугольный.
📍 Пример 3. Минимальное решение — путь к невозможному
Ищем положительные решения уравнения:
x² + y² = 3(z² + t²)
Допустим, решение есть.
Выбираем среди всех — то, у которого x² + y² минимально.
Но тогда можно показать, что существует меньшее — и снова решение.
Бесконечное убывание натуральных чисел невозможно.
Противоречие.
Следовательно, решений нет. Ни одного.
📍 Пример 4. Простые числа вида 4m + 3
Доказываем, что таких простых бесконечно много.
Предположим, что конечное. Перемножаем все — и прибавляем 2.
Получаем новое число, которое не делится ни на одно из известных.
И, как оказывается, оно вида 4k + 3.
То есть наш список был неполон.
Противоречие.
📍 О чем это всё?
Именно крайние элементы:
– нарушают баланс,
– обнажают противоречие,
– становятся начальной точкой для доказательства.
– позволяют увидеть всю структуру задачи.
Так что в следующий раз не пугайтесь крайних задач, значений или выпусков. Возможно, именно крайние элементы подскажут путь. 😉
@vitalmath
Ключевой жизненный принцип математики звучит так: «Когда не знаешь, с чего начать — начни с самого крайнего».
Это и есть принцип крайних элементов (подробнее тут)— один из самых мощных и удивительно универсальных методов.
Никаких сложных формул. Только здравый смысл и чутьё на то, что выбивается из общего порядка.
🧠 Суть:
Берём крайний элемент, то есть элемент с экстремальным значением — минимальный, максимальный, самый левый, ближе всех к границе и т.д.
Именно он чаще всего рушит симметрию, нарушает баланс или задаёт структуру. Его анализ помогает понять проблему. А дальше — уже техника.
📍 Пример 1. Все точки — середины?
На плоскости есть множество точек, и каждая из них — середина отрезка, соединяющего две другие из этого же множества. Может ли таких точек быть конечное число?
Предположим — да.
Берём точку с самой большой абсциссой, а среди них — с самой большой ординатой. Самая правая и самая верхняя.
По условию она — середина какого-то отрезка. Значит, два конца этого отрезка — ещё правее или выше.
Но это невозможно: такой точки нет — она же крайняя.
Противоречие. Значит, точек бесконечно много.
📍 Пример 2. Четыре точки — один острый треугольник?
Берём любые четыре точки на плоскости. Хотим понять: возможно ли, чтобы все треугольники, построенные из них, были остроугольными?
Рассматриваем все возможные треугольники.
Где-то будет самый тупой угол — и он точно ≥ 90°.
Остался ли он острым? Нет.
Вывод: хотя бы один из треугольников — не остроугольный.
📍 Пример 3. Минимальное решение — путь к невозможному
Ищем положительные решения уравнения:
x² + y² = 3(z² + t²)
Допустим, решение есть.
Выбираем среди всех — то, у которого x² + y² минимально.
Но тогда можно показать, что существует меньшее — и снова решение.
Бесконечное убывание натуральных чисел невозможно.
Противоречие.
Следовательно, решений нет. Ни одного.
📍 Пример 4. Простые числа вида 4m + 3
Доказываем, что таких простых бесконечно много.
Предположим, что конечное. Перемножаем все — и прибавляем 2.
Получаем новое число, которое не делится ни на одно из известных.
И, как оказывается, оно вида 4k + 3.
То есть наш список был неполон.
Противоречие.
📍 О чем это всё?
Именно крайние элементы:
– нарушают баланс,
– обнажают противоречие,
– становятся начальной точкой для доказательства.
– позволяют увидеть всю структуру задачи.
Так что в следующий раз не пугайтесь крайних задач, значений или выпусков. Возможно, именно крайние элементы подскажут путь. 😉
@vitalmath
🤔22👍10❤6🔥2
Forwarded from Олег Линевич
Я начал вести свой ТГ канал по математике. Пожалуйста поддержите https://t.me/Math_exclusive
👍7❤4👎1
🔷 Самая молодая область математики
Когда-то молодой и «дерзкой» считалась теория вероятностей. В XVIII веке даже Д’Аламбер называл её «опасной и запутанной областью, ведущей скорее к парадоксам, чем к истине». Сегодня такой титул часто приписывают теории категорий — математике не про числа, а про структуры, связи и переходы между ними.
🧠 Что это вообще за теория?
Она появилась в 1940-х как язык для описания всего и сразу: вместо того чтобы изучать объекты (группы, множества, пространства), она изучает морфизмы — связи между ними. Категория — это такая математическая вселенная, где важны не сами вещи, а то, как они связаны.
Сначала это казалось слишком абстрактным — даже для математиков. В 1970-х Жан Дьёдонне писал, что большинство математиков считают её слишком философской, чтобы быть полезной.
Но…
👨💻 ...потом пришли программисты
Функциональное программирование (Haskell, Scala и др.) буквально построено на категориальных понятиях: монады, функторы, натуральные преобразования. Один из отцов теории в CS — Филипп Вадлер — сказал знаменитую фразу:
> «Монада — это просто моноид в категории эндофункторов. В чём тут проблема?»
🔬 ...а потом — физики
Категории нашли применение в топологической квантовой теории поля, в квантовой механике, где не уравнения, а структуры определяют суть. Например, как частицы взаимодействуют не по координатам, а через абстрактные правила преобразований.
🤖 ...и наконец — машинное обучение.
В 2020-х появляются статьи, где архитектура нейросети рассматривается как функтор, обучение — как преобразование морфизмов, а весь пайплайн описывается категорной логикой. Это не замена классическим методам, но надстройка — новая оптика, в которой видно глубже.
📌 Почему это «молодая» математика?
Потому что даже сами математики начали по-настоящему ценить категориальный подход только в последние 10–20 лет. А уж физики и программисты — и вовсе недавно. До этого она казалась слишком "мета-математикой". Сейчас — наоборот: она даёт универсальный язык, объединяющий разные науки.
И если вам кажется, что это сложно — вспомните, как когда-то слово «дисперсия» пугало даже математиков.
А сегодня без него не написать ни сделать ни одного исследования.
Так и здесь. Через 50-100 лет дети в школах, возможно, будут рисовать коммутативные диаграммы, как мы — графики функций.
А математика станет не только наукой о числах, но и наукой о переходах, паттернах и смыслах.
@vitalmath
Когда-то молодой и «дерзкой» считалась теория вероятностей. В XVIII веке даже Д’Аламбер называл её «опасной и запутанной областью, ведущей скорее к парадоксам, чем к истине». Сегодня такой титул часто приписывают теории категорий — математике не про числа, а про структуры, связи и переходы между ними.
🧠 Что это вообще за теория?
Она появилась в 1940-х как язык для описания всего и сразу: вместо того чтобы изучать объекты (группы, множества, пространства), она изучает морфизмы — связи между ними. Категория — это такая математическая вселенная, где важны не сами вещи, а то, как они связаны.
Сначала это казалось слишком абстрактным — даже для математиков. В 1970-х Жан Дьёдонне писал, что большинство математиков считают её слишком философской, чтобы быть полезной.
Но…
👨💻 ...потом пришли программисты
Функциональное программирование (Haskell, Scala и др.) буквально построено на категориальных понятиях: монады, функторы, натуральные преобразования. Один из отцов теории в CS — Филипп Вадлер — сказал знаменитую фразу:
> «Монада — это просто моноид в категории эндофункторов. В чём тут проблема?»
🔬 ...а потом — физики
Категории нашли применение в топологической квантовой теории поля, в квантовой механике, где не уравнения, а структуры определяют суть. Например, как частицы взаимодействуют не по координатам, а через абстрактные правила преобразований.
🤖 ...и наконец — машинное обучение.
В 2020-х появляются статьи, где архитектура нейросети рассматривается как функтор, обучение — как преобразование морфизмов, а весь пайплайн описывается категорной логикой. Это не замена классическим методам, но надстройка — новая оптика, в которой видно глубже.
📌 Почему это «молодая» математика?
Потому что даже сами математики начали по-настоящему ценить категориальный подход только в последние 10–20 лет. А уж физики и программисты — и вовсе недавно. До этого она казалась слишком "мета-математикой". Сейчас — наоборот: она даёт универсальный язык, объединяющий разные науки.
И если вам кажется, что это сложно — вспомните, как когда-то слово «дисперсия» пугало даже математиков.
А сегодня без него не написать ни сделать ни одного исследования.
Так и здесь. Через 50-100 лет дети в школах, возможно, будут рисовать коммутативные диаграммы, как мы — графики функций.
А математика станет не только наукой о числах, но и наукой о переходах, паттернах и смыслах.
@vitalmath
👍23❤14🔥14👀4😱1
🧠 Куда уходит интеллект? И при чём тут ИИ?
Кажется, мир умнеет. У нас в кармане GPT, калькулятор, википедия и целая кинопленка туториалов на YouTube. А значит ли это, что мы стали умнее?
🚨 Спойлер: нет. Всё совсем наоборот. В развитых странах IQ снижается. Это не домыслы — это уже называют разворотом эффекта Флинна. Раньше каждое поколение в среднем было умнее предыдущего, а теперь — наоборот.
🤔 Почему? Новое исследование группы под руководством Барбары Оукли (той самой, что сделала курс “Learning How to Learn”) даёт ответ. Простой, пугающий и убедительный: мы передали память машинам — и начали тупеть.
Мозгу нужно, чтобы им пользовались. Но вместо того, чтобы держать знания в голове, мы держим вкладки в браузере. Вместо того, чтобы решать в уме — спрашиваем у чата. Всё, что раньше тренировало наш мозг, теперь — аутсорс.
💡 А мозг не просто хранилище, как жёсткий диск. Это — активный процессор. Когда мы знаем — мы думаем быстрее, глубже, гибче. Знание формирует интуицию, связывает абстракции, позволяет обобщать и предсказывать.
А без знания? Мы становимся просто операторами интерфейсов, которые не понимают, как работает то, чем они пользуются. Как водитель без карты, который полагается только на навигатор — пока вдруг не пропадёт сигнал.
📚 Учёные из статьи показали, что:
— декларативная память (факты) и процедурная (навыки) — критичны для мышления;
— когнитивная «разгрузка» через ИИ и гаджеты обнуляет эти системы;
— обучение без запоминания ведёт к «мнимой компетентности» — когда кажется, что понял, но ничего не можешь применить.
🛑 Они критикуют современные модели образования, где важно «уметь гуглить» и «работать в группе», но никто не требует знать и помнить. А без базы — нет мышления.
📎 Парадокс: чем больше мы делегируем мышление, тем меньше остаётся тех, кто ещё способен думать самостоятельно.
Выход? Не отказаться от ИИ. А использовать его как дополнение к мозгу, а не вместо него. Как экзоскелет, а не как костыль.
Так что пока что продолжаем запоминать, учиться, и решать задачи.
@vitalmath
Кажется, мир умнеет. У нас в кармане GPT, калькулятор, википедия и целая кинопленка туториалов на YouTube. А значит ли это, что мы стали умнее?
🚨 Спойлер: нет. Всё совсем наоборот. В развитых странах IQ снижается. Это не домыслы — это уже называют разворотом эффекта Флинна. Раньше каждое поколение в среднем было умнее предыдущего, а теперь — наоборот.
🤔 Почему? Новое исследование группы под руководством Барбары Оукли (той самой, что сделала курс “Learning How to Learn”) даёт ответ. Простой, пугающий и убедительный: мы передали память машинам — и начали тупеть.
Мозгу нужно, чтобы им пользовались. Но вместо того, чтобы держать знания в голове, мы держим вкладки в браузере. Вместо того, чтобы решать в уме — спрашиваем у чата. Всё, что раньше тренировало наш мозг, теперь — аутсорс.
💡 А мозг не просто хранилище, как жёсткий диск. Это — активный процессор. Когда мы знаем — мы думаем быстрее, глубже, гибче. Знание формирует интуицию, связывает абстракции, позволяет обобщать и предсказывать.
А без знания? Мы становимся просто операторами интерфейсов, которые не понимают, как работает то, чем они пользуются. Как водитель без карты, который полагается только на навигатор — пока вдруг не пропадёт сигнал.
📚 Учёные из статьи показали, что:
— декларативная память (факты) и процедурная (навыки) — критичны для мышления;
— когнитивная «разгрузка» через ИИ и гаджеты обнуляет эти системы;
— обучение без запоминания ведёт к «мнимой компетентности» — когда кажется, что понял, но ничего не можешь применить.
🛑 Они критикуют современные модели образования, где важно «уметь гуглить» и «работать в группе», но никто не требует знать и помнить. А без базы — нет мышления.
📎 Парадокс: чем больше мы делегируем мышление, тем меньше остаётся тех, кто ещё способен думать самостоятельно.
Выход? Не отказаться от ИИ. А использовать его как дополнение к мозгу, а не вместо него. Как экзоскелет, а не как костыль.
Так что пока что продолжаем запоминать, учиться, и решать задачи.
@vitalmath
👍36🔥11❤5😭2🤔1