Все верно заметили - Манхэттенская геометрия!

📐 Манхэттенская геометрия: где перпендикуляр — не самый короткий путь

Представьте, что вы таксист на улицах Нью-Йорка. Перед вами — простая задача: доехать от точки А до точки Б как можно быстрее. Интуитивно хочется «срезать» путь по диагонали, но в городе с прямоугольной сеткой улиц это невозможно. Придётся ехать по кварталам — строго на север и восток.

Так появляется манхэттенская геометрия, или геометрия такси. Здесь кратчайшее расстояние между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) — это не отрезок по прямой, а сумма модулей разностей координат:

  d = |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|

Это расстояние называют также L₁-метрикой, или расстоянием Минковского. В отличие от евклидовой метрики, где расстояние измеряется по прямой (как у Пифагора), здесь учитываются только разрешённые направления движения — как будто вы действительно в городе и сворачивать нельзя.

📏 Свойства манхэттенской геометрии:
— Зависит от поворота системы координат (если повернуть сетку, всё сломается)
— Не зависит от сдвигов и отражений
— Удовлетворяет всем аксиомам Гильберта, кроме равенства углов
— Круг превращается в ромб, а π становится равным 4

🔢 Пример: все пути из (0, 0) в (6, 6), идущие строго по сетке, имеют одинаковую длину — 12. Таких путей будет 924.

🎯 Применение:
— Навигация и логистика (в том числе алгоритмы GPS)
— Сжатие данных и машинное обучение (например, в LASSO-регрессии)
— Обработка изображений
— Да и просто — шахматы! (король ходит ровно по манхэттенской геометрии)

💡 Термин «такси-геометрия» впервые ввёл Карл Менгер в 1952 году в буклете для выставки "You Will Like Geometry" в Чикаго. А формализовал — Герман Минковский, автор пространства Минковского, которое позже стало базой для специальной теории относительности Эйнштейна.

📚 Бонус: «Круг» в геометрии такси — это квадрат, повёрнутый на 45°. Его длина по периметру — 8r. Значит, местное π = 8r / (2r) = 4. Диаметр больше не связан с корнем, но по-прежнему центральен в определении расстояния.

А теперь скажите: если расстояние по диагонали ≈ 8.49 (в евклидовой геометрии), а в Манхэттенской оно всегда 12 — где легче жить пешеходу, а где — строителю маршрутов?

@vitalmath

Задачка на выходные! Давно не было про домино. Сегодня - на внимательность.

#задача

Где в жизни прячется показатель? Или как функция вида y = a^x управляет миром вокруг нас

Кажется, что показательная функция — это что-то скучное из учебника: y = a^x, красиво растёт или убывает, легко берётся производная и быстро забывается после контрольной.

Но на самом деле она повсюду. Природа, тело человека, техника, чайник на плите — все они подчиняются законам, в которых главную роль играет именно она. И вот как это выглядит:

1. Чайник, который вы забыли на плите
Если вы когда-нибудь снимали кипящий чайник — вы видели экспоненту. Он сначала остывает быстро, потом всё медленнее и медленнее. Это не магия, это формула:
T = T₀ + (100 - T₀)·e^(-kt)
Где T₀ — температура комнаты, а T — температура чайника. Чем горячее чайник, тем быстрее он остывает — и наоборот.

2. Воздух, которым мы дышим
Чем выше в горы, тем меньше воздуха — и этот спад тоже экспоненциальный:
P = P₀·a^(-kh)
Где P₀ — давление на уровне моря, а h — высота. Это означает, что на 1000 метрах и на 2000 — не просто “в два раза выше”, а совсем другое давление.

3. Рост бактерий
Вы оставили еду в тёплой комнате? Через пару часов её заселит армия микроорганизмов по закону:
N = 5^t
Это и есть классическая экспонента роста. Почему антибиотики надо пить курсом? Потому что если пропустить пару доз — колония вернётся экспоненциально быстро.

4. Дерево в лесу
Деревья не растут по линейному плану, как школьный проект. Рост древесной массы — это тоже показательная функция:
A = A₀·a^(kt)
Молодое дерево растёт быстро, зрелое — медленно. Всё как в графике функции y = a^x, но с нюансами.

5. Адреналин и страх
Испугались — выброс адреналина, а потом он постепенно уходит. С какой скоростью? Правильно:
скорость убывания пропорциональна количеству
Это снова экспонента. Наш организм сам “решает дифференциальное уравнение”, пока мы ещё не успели успокоиться.

6. Радиоактивность, кровь и почки
Диагностика почек, расчёт полураспада, восстановление гемоглобина после травмы — всё это процессы, которые описываются именно показательной убыванием.

7. А ещё…
• свет в мутной воде гаснет по экспоненте
• спутниковый сигнал теряет силу по экспоненте
• даже длина кабеля в морской телеметрии — это снова она

Мир гораздо более показательный, чем кажется.

Так что в следующий раз, когда вы снимете чайник с плиты, — присмотритесь, где-то рядом сидит показательная функция.

Что-то канал подзавис.

Потому что так и не дали правильный ответ на вопрос про домино

А. 3, если разбить костяшки на пары, слева направо сверху вниз, сумма в парах растет как 3, 6, 9, 12.
Б. 3, на каждой следующей костяшке сумма увеличивается на 3, а после уменьшается на 1.

@mangu5ta вы были правы 🔥

Когда звёзды гаснут — математика остаётся

В 1783 году умер Леонард Эйлер. В 1856 — Николай Лобачевский. В 1943 — Давид Гильберт. В 1987 — Андрей Колмогоров.
А в 2025 мы всё ещё живём в их мире.

Математика — не просто язык природы. Это язык вечного. Она не нуждается в питании, не стареет, не болеет. В отличие от биологии, истории, технологий — её законы не переписываются, не меняются и не обнуляются. Теорема Пифагора работала в Афинах, работает в Сеуле и будет работать на спутнике Проксима b.

В каждый момент времени где-то на Земле кто-то впервые открывает для себя, что
∑(1/n²) = π²/6.
Именно в этот момент огонь снова загорается.
Кто-то осознаёт, что прямые могут не пересекаться даже в бесконечности — и понимает неевклидову геометрию Лобачевского.
Кто-то в первый раз видит, как формула Эйлера e^{iπ} + 1 = 0 связывает экспоненту, π, и мнимую единицу — и замирает.
Кто-то впервые слышит, что хаос можно описать вероятностью — и оказывается в царстве Колмогорова.
Кто-то, глядя на закат, догадывается, что все уравнения мира можно уместить в аксиомах — и ощущает дух Гильберта.

Это не просто алгебра. Это факел, который передают из рук в руки сквозь века.
От Архимеда к Эйлеру. От Гаусса к Гротендику. От вас — к кому-то, кто ещё даже не родился.

🔥 Математика — вне времени. Это дыхание вечности.
📜 Её теоремы не стареют. Их можно забыть, но невозможно отменить.
🌱 Каждый новый разум, соприкасающийся с доказательством, становится продолжением знания длиной в тысячелетия.
🪐 И даже если исчезнут города, если потускнеют экраны — останется кто-то с палкой на песке, рисующий окружность.
И в этот миг круг замкнётся снова.

Математика — это огонь, который не гаснет.
А мы с вами те, кто его разжигает и поддерживает. Жизненной математики впереди ещё много. Уже скоро!

С Днём квадратного корня!

Сегодня — 05.05.2025, а значит, мы отмечаем пятый из девяти дней квадратного корня в этом столетии. Почему это круто? Потому что такая дата случается всего 9 раз за 100 лет!

Идея проста и изящна, как сама математика: если месяц и день — это корень квадратный из последних двух цифр года, то у нас праздник. Сегодня 5 мая 2025, и √25 = 5. Вот и 5/5/25.

Первый такой день был 1/1/01, последний в XXI веке случится 9/9/81. Так что мы уже на экваторе — 5 из 9.
Вот все даты на века:
1/1/01
2/2/04
3/3/09
4/4/16
5/5/25 ← сегодня!
6/6/36
7/7/49
8/8/64
9/9/81

Праздник придумал учитель из Калифорнии Рон Гордон, а его дочь даже завела Facebook-группу, где можно делиться фото с корнеплодами, вырезанными в форме квадратов — настоящие “square roots”.

Так что если сегодня вы едите редиску, нарезанную квадратами — вы в теме.

А самое главное, загадывайте желания и ставьте цели, где вы хотите быть и к чему прийти к следующему дню квадратного корня! Все-таки время ещё есть, 11 лет. Пусть все хорошее сбудется!

Зачем учить математику? Чтобы стать Папой Римским.

Да, это не опечатка. Новый Папа Римский — математик.

На этой неделе избрали нового главу Католической церкви — Папу Льва XIV. Это историческое событие: он стал первым Папой из США. Но что особенно интересно — это первый Папа с математическим образованием. Он окончил Villanova University в 1977 году со степенью бакалавра по математике.

Кто-то надеется, что математическое мышление отразится в аналитическом подходе к управлению и принятию решений. Кто-то видит в этом начало новой эры связи науки и религии.

Но одно можно сказать точно, математическое образование - одно из самых широких из всех. Помимо теории, оно про мышление, а это полезно везде. Так что, если ещё не решили, кем стать, когда вырастешь, становитесь математиком. А дальше будет видно.

Хорошие новости! На следующей неделе будет новый выпуск, материал уже отснят. Получилось чуть больше, чем планировалось, но сильно меньше возможного, сама тема намного больше.
В остальном - сегодня без больших математических открытий. Работаем.

🔷 Математика переговоров: как найти компромисс

Переговоры — это не только искусство убеждения, но и… математика. Чтобы найти честный и устойчивый компромисс, математика предлагает несколько подходов — от классики до сложных моделей с неопределённостью.

Вот 4 ключевых модели, которые придумали математики, и способ проверки решения на оптимальность.

1. Модель Нэша (Nash Bargaining Solution)
📐 Компромисс как максимум взаимной выгоды

Вы хотите договориться, но у каждого есть точка, ниже которой соглашение бессмысленно. Нэш предложил выбирать такое решение, где произведение «выигрышей» обеих сторон максимально:

(u₁ – d₁) · (u₂ – d₂) → максимум
где:
• u₁ и u₂ — итоговые полезности (выгоды)
• d₁ и d₂ — минимальные приемлемые уровни (disagreement point)

Решение этой модели справедливо и сбалансировано — и именно по ней часто договариваются профсоюзы, правительства и бизнес-партнёры.

2. Модель поочерёдных предложений (Rubinstein Alternating Offers)
⏳ Компромисс через время и терпение

Если стороны делают предложения по очереди, важна не только «цена», но и терпение. В этой модели каждый ход откладывается, и ценность предложения «дисконтируется» во времени:

(1 – δ₂) / (1 – δ₁·δ₂)
где δ₁ и δ₂ — коэффициенты терпения (discount factors)

Тот, кто умеет ждать и не спешит соглашаться, получает больше. Эта модель отлично объясняет, почему затяжные переговоры — не всегда плохой знак, а иногда стратегический приём.

3. Оптимизация полезности (Utility Optimization)
🧮 Компромисс как взвешенное решение по нескольким критериям

Иногда компромисс — это не просто цена, а набор ценностей:
• выгода (B)
• справедливость (F)
• издержки (C)
• доверие (T)

Их можно объединить в одну функцию:

U = w₁·B + w₂·F – w₃·C + w₄·T

Каждому критерию присваивается вес (w), который отражает приоритет. Такой подход используется в переговорах в больших группах, на переговорах о политике или в мультисторонних соглашениях, где важно учитывать не только деньги, но и отношения, риски, репутацию.

4. Оценка ожидаемого результата (Estimated Negotiation Outcome, ENO)
🔁 Компромисс как приближение — шаг за шагом

Если переговоры ведутся раундами, то результат может постепенно улучшаться. ENO — это способ предсказать следующий шаг:

ENO = uₙ – ½(uₙ – uₙ₋₁)

То есть вы делаете шаг навстречу, но только наполовину. Такие модели применяются в автоматизированных переговорах и в ситуациях, когда уступки делаются постепенно — например, при переговорах о длительных контрактах.

Итоговая проверка: Парето-оптимум (Pareto Efficiency)
🎯 Как понять, что вы нашли идеальный компромисс?

Решение считается оптимальным по Парето, если невозможно улучшить положение одной стороны, не ухудшив другой:

Если:
∀i: uᵢ(s) ≥ uᵢ(s′) → ∃j: uⱼ(s) > uⱼ(s′)
— значит, вы нашли точку, где никто не проигрывает, но кто-то выигрывает.

Это главный тест любого соглашения. Парето-оптимум — это не обязательно «идеальный» компромисс, но это точно лучшая возможная сделка для всех.

Вывод:
Чтобы вести переговоры, недостаточно интуиции. Нужна система.
Компромисс — это не просто уступка, а рациональное решение в многомерном пространстве интересов.

@vitalmath

🔷 ИИ сделал то, что не удавалось математикам 56 лет

На этой неделе DeepMind от Гугла поделился интересными новостями. Последнее время они работали над проектом AlphaEvolve, ИИ на основе LLM и генетических алгоритмов, цель которого - создание алгоритмов. И, о чудо, он уже начал работать.

AlphaEvolve нашёл новый способ перемножать матрицы 4×4, используя всего 48 умножений. Предыдущий рекорд — 49, установлен Штрассеном в 1969 году. А обычный школьный метод требует 64.

Почти 60 лет без прогресса — и вот, прорыв. Сделанный не человеком.

Что делает это особенно удивительным — AlphaEvolve не был специально обучен умножать матрицы. Это универсальная система: она получает на вход код с примерным решением, проверочную программу, и затем с помощью генетических алгоритмов строит десятки и сотни новых решений. Самостоятельно.

Почему это важно?
Потому что умножение матриц — это двигатель почти всех вычислений:
— 3D-графика и физические симуляции
— машинное обучение и нейросети
— криптография
— работа дата-центров
— даже поведение квантовых систем

Одна лишняя операция в фундаментальной процедуре — это триллионы избыточных действий по всему миру. А теперь их стало меньше.

Этот результат — не просто точечная победа. AlphaEvolve был запущен на 70+ открытых математических задачах, и в каждой пятой из них нашёл лучшее решение, чем было известно науке, а остальных - пришел к уже известным решениям.

В числе других успехов:
— повышение нижней границы контактного числа в 11 измерениях с 592 до 593 (то есть число сфер, которые одновременно касаются одной центральной);
— оптимизация архитектуры чипов Google TPU;
— ускорение обучения моделей Gemini на 1% за счёт 23% ускорения в ключевом ядре умножения.

Мы все ещё в начале пути. Интересно, когда уже ИИ откроет всю математику.

@vitalmath

🔷 Почему доказать, что P ≠ NP — так трудно?

Задача P vs NP звучит просто: если мы можем проверить решение задачи быстро (в полиномиальное время), можем ли мы найти это решение так же быстро? Если да — тогда P = NP. Если нет — тогда P ≠ NP.

Большинство учёных уверены, что нет, P не равно NP. Но… доказать это не получается уже более 50 лет. Почему? Давайте разберёмся.

1. Проблема слишком “общая”
NP — это не одна конкретная задача, а целый класс: судоку, шифры, расписания, логические головоломки. Они разные по сути, но у всех одна черта: если кто-то даст вам готовое решение — вы быстро проверите, что оно верное.
Но вот найти его — может быть очень трудно.

И чтобы доказать, что P ≠ NP, нужно показать, что не существует ни одного способа, который бы решал все эти задачи быстро. Это как доказать, что не существует универсального “волшебного метода” — и это крайне непросто.

2. Природа “проверки” и “поиска” различна
Мы чувствуем, что найти правильный пароль — трудно, а проверить его — легко.
Но чувства недостаточно. Нужно строгое доказательство: в рамках математики и формальных моделей вычислений.

И тут всё упирается в сложность: как выразить “поиск” и “проверку” в одинаковых терминах, и как доказать, что одно заведомо сложнее другого?

3. Почти все известные методы — бессильны

Вот где становится по-настоящему интересно. За 50 лет математики попробовали десятки подходов. И оказалось, что существуют целые классы методов, которые просто не способны решить задачу P ≠ NP — даже теоретически.

Объясним на простом языке:

● Подход 1: «Оракулы»
Представьте, что у вас есть магическая коробка, которая мгновенно решает любые подзадачи — как “оракул”. Такие коробки помогают “обойти” сложные моменты в доказательствах.

Но оказалось, что можно построить две такие коробки: одну, где P = NP, и другую, где P ≠ NP — и доказательства, основанные на таких «оракулах», не различают их.
Вывод: этот путь — тупик.

● Подход 2: «Типичные» доказательства
Многие попытки доказать P ≠ NP используют методы, которые ищут закономерности или слабости в структуре алгоритмов. Это называется “естественные” (natural) доказательства.

Но в 90-х доказали, что если хотя бы одна современная криптосистема (например, RSA) действительно надёжна, то естественными методами P ≠ NP не доказать.

Иными словами: если шифры работают — этот подход не сработает.

● Подход 3: Перевод в алгебру
Некоторые сложные задачи можно превратить в задачи алгебры — вроде уравнений и функций. Это помогло в других теоремах, но в 2008 году показали: этот метод тоже не справляется с P ≠ NP.

4. Может, проблема неразрешима в наших аксиомах
Некоторые учёные предполагают: а что если задача P ≠ NP не может быть доказана в рамках современной математики? Как гипотеза континуума или аксиома выбора — просто вне досягаемости.

Это не значит, что ответа нет. Просто он может быть невыводим из наших текущих аксиом.

5. А вдруг P = NP?

Этот вариант почти все считают маловероятным, но он пугает ещё больше. Если P = NP, то все задачи, включая доказательство теорем, креативные поиски и взлом криптографии, можно решать эффективно — но только в теории.

Проблема: если такое доказательство и существует, оно может быть неконструктивным — просто утверждать, что “такой алгоритм есть”, но не показывать его. Тогда это вообще не изменит практику, но перевернёт теорию.

Вывод

Доказать P ≠ NP — это не просто “трудная задача”. Это граница всей современной математики. Мы упёрлись в пределы методов, в фундаментальные вопросы о природе алгоритмов, доказательств и самих аксиом.

Скорее всего, потребуется новая математика, новый взгляд на вычисление и, возможно, новые основания логики — чтобы сделать хоть шаг вперёд.

Как думаете, когда увидим доказательство?

@vitalmath

🔷 Из математика — в президенты

Если вы всё ещё спрашиваете, зачем учить математику — вот вам ещё один пример (недавний был здесь).

На днях Румыния выбрала нового президента. Его зовут Никушор Дан. И он — не просто политик. Он настоящий математик:
— дважды выигрывал золото на Международной математической олимпиаде (IMO) — в 1987 и 1988
— причём оба раза с идеальным баллом — то есть решил все задачи, включая ту самую шестую задачу 1988 года, одну из самых сложных в истории IMO (её, к слову, не решил даже Теренс Тао — правда, ему тогда было всего 13)

🎓 После олимпиады Дан уехал во Францию — и продолжил заниматься, конечно, теорией чисел. Защитил диссертацию в Сорбонне по арифметической геометрии, изучая мероморфные продолжения зелёных токов (это такой способ «продлить» аналитические объекты на особые множества в арифметической геометрии).

Дан написал несколько статей — о гиперлогарифмах, регуляторах и гипотезе Загье для n = 4. (в двух словах: это попытка понять, как многослойные логарифмы описывают глубинные связи между числами — и заодно соединяют теорию чисел с геометрией и алгеброй). Вот тут можно почитать на досуге.

🧠 Среди его тем:
— Арифметическая геометрия в духе Аракелова (это способ изучать уравнения с целыми числами так, будто они живут на гладких геометрических пространствах — объединяя методы алгебры, анализа и геометрии одновременно)
— Дзета-функции и функции высот
(инструменты, которые измеряют «сложность» алгебраических объектов и отслеживают распределение решений уравнений)
— Многократные логарифмы и функциональные уравнения
(обобщения обычного логарифма, которые позволяют глубже понять связи между числами и симметрии в формулах)
— Регуляторы Бейлина, Бореля, Гончарова — и всё это в симплициальных формализмах
(тонкие числовые инварианты, которые связывают топологию и арифметику; симплициальный подход упрощает расчёты с помощью геометрических построений)

Но после очередной публикации про гипотезу Загье, Дан первый раз балотируется в мэры Будапешта, а через девят лет возглавляет город.

Вот такой поворот. Вопрос на засыпку: Как думаете, он просто устал от теории чисел или всё-таки нашёл, как применять её — в реальной жизни?

@vitalmath

Шестую задачу с международной математической олимпиады 1988 года разберем как-нибудь потом. А пока, что можно попробовать посмотреть Задачу 3. Формулировка выглядит несложно. Пишите, как бы вы решали.

Задача 3.
Функция f задана на положительных целых числах следующим образом:

f(1) = 1,
f(3) = 3,
f(2n) = f(n),
f(4n + 1) = 2f(2n + 1) – f(n),
f(4n + 3) = 3f(2n + 1) – 2f(n),
для всех положительных целых n.

Вопрос:
Определите количество положительных целых чисел n, меньших или равных 1988, для которых f(n) = n.

Всем привет! Как вы могли заметить последнее время на канале не было большой активности. Крайний выпуск был в марте, да и вообще всего один в этом году.

При этом математики меньше не становится, наоборот, число математиков и открытий растет. Теории развиваются, а приложений появляется все больше. Мир и математика становятся сложнее. ИИ расширяет горизонты возможного (вопрос до чего?). Да и математики прошлого, о которой можно вспомнить, насладиться красотой и даже чему-то научиться, ещё очень и очень много. Что делать? Надо действовать.

Итоги подводить рано, впереди ещё много работы. Но одно могу сказать точно: 100 дней. Через 100 дней начнем менять мир математики. Постепенно, но уверенно. А пока что, поставьте напоминание в календарь, и не пропустите. 100 дней до дня начала. Поехали!

P.S. Да, и это не значит, что выпуском не будет ещё 100 дней. Нет. Уже в эту субботу, 24 мая. Новый выпуск про очень близкую всем тему. Не пропустите!

Как решать Задачу 3?

Ответ: 92

На самом деле, правильные идеи уже были в комментариях — и это очень вдохновляет 🙂

В математике часто важен не только сам ответ, сколько путь к нему: как подумать, на что обратить внимание, какую структуру заметить. Часто ключевое — это не вычисления, а идея. А уже после неё всё выглядит почти очевидным.

В этой задаче таких идей две - двоичная запись и симметрия:
🧠 Двоичная запись: функция ведёт себя так, что её значения можно выразить через значения на меньших числах — часто при делении на 2 или 4. Это намекает, что f «смотрит» на число не в десятичной записи, а на его запись в двоичном виде.

🧠 Симметрия: если внимательно проследить за значениями f(n), то видно: f(n) = n тогда и только тогда, когда двоичная запись числа симметрична, то есть число n - палиндром в двоичной системе. Например: число 5 — это 101, перевернули — снова 101, значит f(5) = 5. Число 6 — это 110, перевернули — 011, то есть f(6) ≠ 6

📌 Значит, задача сводится к следующему:
Найти все положительные числа n ≤ 1988, у которых двоичная запись — палиндром. Именно для них будет f(n) = n.

На этом месте идеи заканчиваются и дальше нужно только считать. Для чисел длины m бит, количество двоичных палиндромов — это 2 в степени (m-1)/2 (округляем вверх). Если посчитать по длинам:
- от 1 до 2: 1 число
- от 2 до 4: 1 число
- от 4 до 8: 2 числа
- от 8 до 16: 2 числа
- от 16 до 32: 4
- от 32 до 64: 4
- от 64 до 128: 8
- от 128 до 256: 8
- от 256 до 512: 16
- от 512 до 1024: 16

Осталось посчитать, сколько симметричных чисел между 1024 и 1988.
Число 1988 в двоичной системе — это 11111000100. 11 бит. Значит, у нас ещё 30 симметричных чисел в этом диапазоне.

📊 Суммируем всё вместе:
1 + 1 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 + 8 + 16 + 16 + 30 = 92 числа, для которых f(n) = n

Вот такой подход и идеи. А строгие решения можно найти здесь .

@vitalmath

Кстати, новый выпуск - тоже про то, как считать. По техническим причинам, появится не сегодня, а завтра, в воскресенье. Не пропустите!