Как математики научились по-новому считать простые числа

Сегодня о простом, точные простых, числах. Простые числа — фундаментальные кирпичики математики, но их распределение по числовой оси до сих пор остаётся одной из главных загадок. Все знают, что простых чисел бесконечно много, но предсказать их появление в ряду чисел точно невозможно.

Недавно два математика — Бен Грин (Оксфорд) и Мехтааб Савни (Колумбийский университет) — смогли доказать, что существует бесконечно много простых чисел особого вида, причём для этого они использовали методы, которые раньше применялись в совершенно другой области математики.

🔢 В чём именно прорыв?
Давно известно, что простые числа могут принимать разные закономерные формы
Например такая, некоторые простые числа - это квадраты двух других простых чисел, сложенные вместе (13 = 2² + 3²).
Или простые числа в виде p² + 4q², где p и q тоже простые (например, 41 = 5² + 4 × 2²). Именно про простые числа в таком виде в 2018 году математики Фридлендер и Иванець поставили вопрос: существует ли бесконечно много простых чисел в виде p² + 4q²?
Грин и Савни доказали, что да.

📏 Как это удалось?
Вместо того чтобы сразу считать "настоящие" простые, они начали с упрощённого набора — так называемых "грубых" простых (чисел, которые не делятся на самые маленькие простые 2, 3, 5 и 7).
🔹 Оказалось, что сначала можно доказать существование бесконечного количества таких чисел в ослабленном варианте.
🔹 Затем учёные использовали неожиданную связь с другой областью математики — нормами Гауэрса, разработанными для оценки случайности чисел. По-простому, норма Гауэрса порядка k измеряет, насколько "структурированная" или "случайная" функция на конечной группе, например, функция от чисел 1 до N. Если маленькая - поведение хаотично, если большая - в ней есть структура.
🔹 С помощью этой теории удалось перенести доказательство с грубых простых на настоящие простые.

🚀 Почему это важно?
✔ Новый инструмент для исследования простых – нормы Гауэрса теперь можно применять в теории чисел.
✔ Метод может работать и для других семейств простых – возможно, это поможет решить более сложные задачи.
✔ Долгожданное продвижение в одном из ключевых направлений теории чисел – редкое событие для такой сложной области.

Этот результат подтверждает: простые числа не так хаотичны, как кажется, и в их структуре скрывается порядок, который математики только начинают открывать.

🔥 - интересно!
🤓 - надо попробовать норму Гауэрса
❤️ - простые числа

@vitalmath

🤩 МОЛНИЯ: Шестая проблема Гильберта решена?

В 1900 году Давид Гильберт сформулировал одну из ключевых задач математической физики: можно ли построить единый математический аппарат, описывающий как поведение отдельных частиц, так и движение сплошных сред — таких как жидкости и газы?

125 лет спустя группа математиков (Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma) нашла строгий ответ. Им удалось строго вывести уравнения гидродинамики (в частности, уравнения Навье–Стокса) из кинетических уравнений, описывающих поведение частиц на микроскопическом уровне. Это означает, что движение воздуха, воды или любой жидкости можно обосновать, начиная с фундаментальных уравнений для частиц.

📍 Почему это важно
До сих пор теория жидкости и теория частиц развивались параллельно. Кинетическая теория (например, уравнение Больцмана) работает с индивидуальными частицами, в то время как уравнения сплошной среды описывают усреднённые макропотоки. Связь между ними была интуитивно понятной физикам, но отсутствовала строгая математическая база, гарантирующая переход от одного описания к другому.

📍 Что именно доказано
Удалось показать, что уравнения движения флюида (Эйлера, Навье–Стокса) действительно можно получить как предел из Больцмановского уравнения, которое само происходит из законов Ньютона, с контролем ошибок и строгими оценками.
Что это значит? Удалось построить предел, при котором динамика частиц, описываемая через столкновения и статистические распределения, приводит к уравнениям гидродинамики. Это потребовало сложной работы с асимптотическими разложениями, контролем ошибок и учётом факторов, таких как столкновения, вязкость и флуктуации.

📍 Значение результата
Доказательство этого года - фундаментальный вклад в математику и физику: он закрывает один из давних пробелов между микроскопическим и макроскопическим описанием материи. Результат имеет значение для моделирования атмосферы, океанических течений, аэродинамики, физики плазмы и многих других областей, где важна связность между разными масштабами описания.

💡 Так решена ли Шестая проблема?
Короткий ответ - нет.
Важно понимать: Гильберт не ограничивался переходом от частиц к жидкости. Он сформулировал проблему необычайно широко: построить целостную, аксиоматическую основу для всей физики . Это включает в себя как квантовые явления, так и термодинамику, вероятностные законы, теорию поля — всё, что составляет современное представление о природе.

Чуть позже Гильбер выделял два центральных направления:
1. Аксиоматика теории вероятностей, как фундамент статистической физики
2. Строгий переход от моделей частиц к уравнениям сплошной среды.

Первый пункт решил Колмогоров ещё в 1933, так появилась современная теория вероятностей. А вот второй пункт, несмотря на прогресс, оставался открытым: как строго, без неформальных приближений, вывести уравнения жидкости из механики частиц?

Работа Ю Дена и его коллег как раз отвечает на этот вопрос — но в конкретной и строго доказанной форме. Тем не менее, сама шестая проблема Гильберта остаётся нерешённой, потому до сих пор нет полной аксиоматики всей физики.

Тем не менее, новая работа решает ключевой подэтап этой грандиозной программы. Это словно построить опору гигантского моста: ещё не весь мост готов, но без неё он невозможен.

❤️ - математика в основе всего!
🔥 - больше про современные задачи!
👏 - круто!

Задачка на выходные, про математический мир.

В гиперкомплексном мире живут два брата. Сумма их возрастов 4, а произведение 16. Найдите возраст каждого.

Ответ: 2+2i√3, 2-2i√3

#задача

Если прошлая задачка числа показалась слишком простой. Вот другая, тоже про комплексные числа. Все как мы любим, с простой и короткой формулировкой.

Сколькими способами можно разложить 5^100 яблок на две кучи, чтобы получилась сумма квадратов?

Ответ: 50

#задача

Математики — молодцы: перенесли День математики с 1 апреля на 1 декабря и в результате празднуют дважды. Всех с Днём математики!

Сенсация!
e^(π√163) - это целое число
262 537 412 640 768 744

1 апреля 1975. Научный троллинг века

Сегодня ещё и 1 апреля. Ровно 50 лет назад самый известный популяризатор математики в мире после А. Савватеева, Мартин Гарднер, решил пошутить. Он устроил крупнейший информационный троллинг в математике за десятилетие, а может и столетие.

1 апреля 1975 года в Scientific American вышел очередной выпуск «Математических игр» Мартина Гарднера. Но на этот раз он был особенным. Под видом серьёзной колонки Гарднер выдал шесть якобы сенсационных научных открытий, каждое из которых звучало как заголовок на грани гениальности и безумия. Вот что он «рассказал» миру:

1. Гипотеза четырёх цветов — опровергнута!
Графист Уильям МакГрегор из Нью-Йорка нашёл карту с 110 регионами, которую нельзя раскрасить четырьмя цветами. А ведь это одна из самых известных задач комбинаторики, которую к тому моменту пытались доказать уже почти 100 лет (про нее кстати был выпуск). В статье Гарднера говорилось, что доказательство опровержения выйдет в 1978 году. Конечно, никто ничего не публиковал: гипотеза была действительно доказана — но только годом позже, в 1976, компьютерами Аппеля и Хакена.

2. e^(π√163) — целое число!
Гарднер утверждает, что Джон Брилло доказал: выражение e^(π√163) даёт точное целое число 262 537 412 640 768 744. Это, конечно, почти правда: значение этого выражения удивительно близко к целому, но не является им. Это связано с глубокой теорией модулярных форм и «почти целыми» — загадкой, которая очаровывает математиков до сих пор.

3. Ход P-KR4 (g4) выигрывает партию
Компьютер MacHic, созданный Artificial Inteligence Lab в MIT (представьте, насколько древний AI на самом деле), играл сам с собой 7 месяцев, и в итоге «доказал», что ход пешкой на g4 приводит к гарантированной победе белых. Гарднер пишет, что это открытие вызвало панику среди гроссмейстеров, уже готовится встреча Киссинджера и Брежнева, требование Бобби Фишера $25 млн за матч с машиной. Всё это, конечно, полная пародия на ажиотаж вокруг ИИ и шахматных машин, но, согласитесь, актуально до сих пор!

4. Специальная теория относительности — ошибочна
Гарднер описал мысленный эксперимент, якобы доказывающий логическое противоречие в преобразованиях Лоренца. На деле — типичный псевдопарадокс, рассчитанный на невнимательного читателя. Гарднер демонстрирует, как легко запутать даже образованную публику красивой софистикой.

5. Леонардо да Винчи изобрёл сливной туалет
Нашли «утерянную страницу» из Codex Madrid I, на которой изображён прототип туалета с клапаном. Мол, и до Крампа был гений, который всё придумал. Так Гарднер троллил, как каждую неделю СМИ открывают «новую» гениальность Леонардо.

6. Пси-мотор, работающий на силе мысли
Бумажный цилиндр, который вращается от вашей ауры. Всё, что нужно — тишина, север-юг и сила мысли. Автор устройства — некий доктор Рипофф (в переводе — «обман»), его ассистентка — мисс Бёрдбрейн (то есть «пустоголовка»). Даже инструкция по сборке прилагается.

🌀 Что это было?
Всё это было тончайшим троллингом. Гарднер не просто разыграл читателей. Он показал, как легко наука и псевдонаука смешиваются в сознании публики. Как медиа гонятся за сенсациями и теряют фокус. И как важно сохранять критическое мышление даже перед красивой, математически звучащей ложью.

Ирония в том, что спустя годы каждое из этих «открытий» (кроме, пожалуй, пси-мотора) кто-то действительно обсуждал всерьёз. А некоторые — до сих пор (почитайте комментарии под выпуском о четырех красках).

Какая шутка вам понравилась больше всего? 🤣

Забавно получается. За последние 3 дня дважды пришлось посмотреть про диагональный метод Кантора в массовых роликах с милионными аудиториями. Вот в этом видео Топлеса про отель Гильберта и бесконечность и во вчерашнем выпуске Veritasium тоже про бесконечность и про самого Кантора.

С одной стороны, эти темы кажутся настолько заезженными. Как-будто есть уже десятки хороших роликов на тему.
C другой стороны - нет, хороших выпусков про бесконечность может два или три (тут, тут и тут). Чуть больше хороших книг.
Но есть ещё одна сторона, самая главная. Красивой математики никогда не бывает много, про интересные вещи, которые ещё и вызывают шевеления в мозгу можно рассказывать много, с разных сторон, раскрывая новые или переосмысливая старые смыслы. Сам Veritasium уже делал раньше видео об отеле Гильберта, где тоже показывал диагональный элемент.

Наступит время, мы тоже поговорим про бесконечность, когда раскопаем по-глубже. А пока пора начинать готовить выпуск про что-то более практичное, но тоже обманывающее и запутывающее.

А как у вас? Что-бы вы хотели узнать про бесконечность?

🔷 Старший брат тетраэдра — многогранник, который живёт на торе

Что общего у тетраэдра и странного многогранника, состоящего из 7 шестиугольников? Оба — настоящие единороги в мире геометрии: в них любые две грани соприкасаются по ребру. Таких тел всего два, и второе называется… многогранник Силаши.

Он был открыт в 1977 году венгерским математиком Лайошем Силаши и с тех пор занимает особое место в топологии.

📐 У него:
— 7 шестиугольных граней
— 21 ребро
— 14 вершин
— топология тора, а не сферы
— потрясающая симметрия: три пары граней конгруэнтны, одна — симметрична сама по себе
— вложенный граф Хивуда — знаменитая конструкция из теории графов
— и, наконец, он двойственен другому легендарному телу — многограннику Часара

🎨 Благодаря Силаши, появилась "теорема о 7 красках": чтобы раскрасить любые регионы на торе (аналог карты), достаточно всего семи цветов. В отличие от плоскости, где хватает четырёх, тор требует больше — и многогранник Силаши дал ключ к пониманию, почему.

🧱 Его даже увековечили в бронзе — скульптура Силаши стоит в Майкопе, столице Адыгеи. А в московской школе появился физмат-класс с символичным названием "Силаэдр".

Так что, если вы думали, что тетраэдр — минималистичный и крутой, знайте: у него есть старший брат, который живёт не на плоскости, а на торе, и делает топологию по-настоящему красивой.

Vital Math — там, где геометрия не плоская.

❤️ — красота!

@vitalmath

Задачка на выходные.
Чем красива геометрия? Чтобы заставить мозг работать, даже не надо слов. Задачка отсюда.

#задача

Все верно заметили - Манхэттенская геометрия!

📐 Манхэттенская геометрия: где перпендикуляр — не самый короткий путь

Представьте, что вы таксист на улицах Нью-Йорка. Перед вами — простая задача: доехать от точки А до точки Б как можно быстрее. Интуитивно хочется «срезать» путь по диагонали, но в городе с прямоугольной сеткой улиц это невозможно. Придётся ехать по кварталам — строго на север и восток.

Так появляется манхэттенская геометрия, или геометрия такси. Здесь кратчайшее расстояние между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) — это не отрезок по прямой, а сумма модулей разностей координат:

  d = |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|

Это расстояние называют также L₁-метрикой, или расстоянием Минковского. В отличие от евклидовой метрики, где расстояние измеряется по прямой (как у Пифагора), здесь учитываются только разрешённые направления движения — как будто вы действительно в городе и сворачивать нельзя.

📏 Свойства манхэттенской геометрии:
— Зависит от поворота системы координат (если повернуть сетку, всё сломается)
— Не зависит от сдвигов и отражений
— Удовлетворяет всем аксиомам Гильберта, кроме равенства углов
— Круг превращается в ромб, а π становится равным 4

🔢 Пример: все пути из (0, 0) в (6, 6), идущие строго по сетке, имеют одинаковую длину — 12. Таких путей будет 924.

🎯 Применение:
— Навигация и логистика (в том числе алгоритмы GPS)
— Сжатие данных и машинное обучение (например, в LASSO-регрессии)
— Обработка изображений
— Да и просто — шахматы! (король ходит ровно по манхэттенской геометрии)

💡 Термин «такси-геометрия» впервые ввёл Карл Менгер в 1952 году в буклете для выставки "You Will Like Geometry" в Чикаго. А формализовал — Герман Минковский, автор пространства Минковского, которое позже стало базой для специальной теории относительности Эйнштейна.

📚 Бонус: «Круг» в геометрии такси — это квадрат, повёрнутый на 45°. Его длина по периметру — 8r. Значит, местное π = 8r / (2r) = 4. Диаметр больше не связан с корнем, но по-прежнему центральен в определении расстояния.

А теперь скажите: если расстояние по диагонали ≈ 8.49 (в евклидовой геометрии), а в Манхэттенской оно всегда 12 — где легче жить пешеходу, а где — строителю маршрутов?

@vitalmath

Задачка на выходные! Давно не было про домино. Сегодня - на внимательность.

#задача

Где в жизни прячется показатель? Или как функция вида y = a^x управляет миром вокруг нас

Кажется, что показательная функция — это что-то скучное из учебника: y = a^x, красиво растёт или убывает, легко берётся производная и быстро забывается после контрольной.

Но на самом деле она повсюду. Природа, тело человека, техника, чайник на плите — все они подчиняются законам, в которых главную роль играет именно она. И вот как это выглядит:

1. Чайник, который вы забыли на плите
Если вы когда-нибудь снимали кипящий чайник — вы видели экспоненту. Он сначала остывает быстро, потом всё медленнее и медленнее. Это не магия, это формула:
T = T₀ + (100 - T₀)·e^(-kt)
Где T₀ — температура комнаты, а T — температура чайника. Чем горячее чайник, тем быстрее он остывает — и наоборот.

2. Воздух, которым мы дышим
Чем выше в горы, тем меньше воздуха — и этот спад тоже экспоненциальный:
P = P₀·a^(-kh)
Где P₀ — давление на уровне моря, а h — высота. Это означает, что на 1000 метрах и на 2000 — не просто “в два раза выше”, а совсем другое давление.

3. Рост бактерий
Вы оставили еду в тёплой комнате? Через пару часов её заселит армия микроорганизмов по закону:
N = 5^t
Это и есть классическая экспонента роста. Почему антибиотики надо пить курсом? Потому что если пропустить пару доз — колония вернётся экспоненциально быстро.

4. Дерево в лесу
Деревья не растут по линейному плану, как школьный проект. Рост древесной массы — это тоже показательная функция:
A = A₀·a^(kt)
Молодое дерево растёт быстро, зрелое — медленно. Всё как в графике функции y = a^x, но с нюансами.

5. Адреналин и страх
Испугались — выброс адреналина, а потом он постепенно уходит. С какой скоростью? Правильно:
скорость убывания пропорциональна количеству
Это снова экспонента. Наш организм сам “решает дифференциальное уравнение”, пока мы ещё не успели успокоиться.

6. Радиоактивность, кровь и почки
Диагностика почек, расчёт полураспада, восстановление гемоглобина после травмы — всё это процессы, которые описываются именно показательной убыванием.

7. А ещё…
• свет в мутной воде гаснет по экспоненте
• спутниковый сигнал теряет силу по экспоненте
• даже длина кабеля в морской телеметрии — это снова она

Мир гораздо более показательный, чем кажется.

Так что в следующий раз, когда вы снимете чайник с плиты, — присмотритесь, где-то рядом сидит показательная функция.

Что-то канал подзавис.

Потому что так и не дали правильный ответ на вопрос про домино

А. 3, если разбить костяшки на пары, слева направо сверху вниз, сумма в парах растет как 3, 6, 9, 12.
Б. 3, на каждой следующей костяшке сумма увеличивается на 3, а после уменьшается на 1.

@mangu5ta вы были правы 🔥

Когда звёзды гаснут — математика остаётся

В 1783 году умер Леонард Эйлер. В 1856 — Николай Лобачевский. В 1943 — Давид Гильберт. В 1987 — Андрей Колмогоров.
А в 2025 мы всё ещё живём в их мире.

Математика — не просто язык природы. Это язык вечного. Она не нуждается в питании, не стареет, не болеет. В отличие от биологии, истории, технологий — её законы не переписываются, не меняются и не обнуляются. Теорема Пифагора работала в Афинах, работает в Сеуле и будет работать на спутнике Проксима b.

В каждый момент времени где-то на Земле кто-то впервые открывает для себя, что
∑(1/n²) = π²/6.
Именно в этот момент огонь снова загорается.
Кто-то осознаёт, что прямые могут не пересекаться даже в бесконечности — и понимает неевклидову геометрию Лобачевского.
Кто-то в первый раз видит, как формула Эйлера e^{iπ} + 1 = 0 связывает экспоненту, π, и мнимую единицу — и замирает.
Кто-то впервые слышит, что хаос можно описать вероятностью — и оказывается в царстве Колмогорова.
Кто-то, глядя на закат, догадывается, что все уравнения мира можно уместить в аксиомах — и ощущает дух Гильберта.

Это не просто алгебра. Это факел, который передают из рук в руки сквозь века.
От Архимеда к Эйлеру. От Гаусса к Гротендику. От вас — к кому-то, кто ещё даже не родился.

🔥 Математика — вне времени. Это дыхание вечности.
📜 Её теоремы не стареют. Их можно забыть, но невозможно отменить.
🌱 Каждый новый разум, соприкасающийся с доказательством, становится продолжением знания длиной в тысячелетия.
🪐 И даже если исчезнут города, если потускнеют экраны — останется кто-то с палкой на песке, рисующий окружность.
И в этот миг круг замкнётся снова.

Математика — это огонь, который не гаснет.
А мы с вами те, кто его разжигает и поддерживает. Жизненной математики впереди ещё много. Уже скоро!

С Днём квадратного корня!

Сегодня — 05.05.2025, а значит, мы отмечаем пятый из девяти дней квадратного корня в этом столетии. Почему это круто? Потому что такая дата случается всего 9 раз за 100 лет!

Идея проста и изящна, как сама математика: если месяц и день — это корень квадратный из последних двух цифр года, то у нас праздник. Сегодня 5 мая 2025, и √25 = 5. Вот и 5/5/25.

Первый такой день был 1/1/01, последний в XXI веке случится 9/9/81. Так что мы уже на экваторе — 5 из 9.
Вот все даты на века:
1/1/01
2/2/04
3/3/09
4/4/16
5/5/25 ← сегодня!
6/6/36
7/7/49
8/8/64
9/9/81

Праздник придумал учитель из Калифорнии Рон Гордон, а его дочь даже завела Facebook-группу, где можно делиться фото с корнеплодами, вырезанными в форме квадратов — настоящие “square roots”.

Так что если сегодня вы едите редиску, нарезанную квадратами — вы в теме.

А самое главное, загадывайте желания и ставьте цели, где вы хотите быть и к чему прийти к следующему дню квадратного корня! Все-таки время ещё есть, 11 лет. Пусть все хорошее сбудется!

Зачем учить математику? Чтобы стать Папой Римским.

Да, это не опечатка. Новый Папа Римский — математик.

На этой неделе избрали нового главу Католической церкви — Папу Льва XIV. Это историческое событие: он стал первым Папой из США. Но что особенно интересно — это первый Папа с математическим образованием. Он окончил Villanova University в 1977 году со степенью бакалавра по математике.

Кто-то надеется, что математическое мышление отразится в аналитическом подходе к управлению и принятию решений. Кто-то видит в этом начало новой эры связи науки и религии.

Но одно можно сказать точно, математическое образование - одно из самых широких из всех. Помимо теории, оно про мышление, а это полезно везде. Так что, если ещё не решили, кем стать, когда вырастешь, становитесь математиком. А дальше будет видно.