Памятник нулю в... Будапеште!

Помните, в ролике про ноль я просил угадать, где находится единственный в мире памятник нулю? Так вот, оказывается, он находится в Будапеште, Венгрия. Называется «Камень нулевого километра». Сама скульптура достаточно молодая — 1975 года.

Правда, этот ноль отмечает не величие в математическом смысле, а ноль как точку отсчета, нулевой километр. Это обычная практика во многих странах и городах. Но вместо скульптур нуля везде ставят монументы, столбики или просто таблички.

В Париже нулевой километр, откуда отсчитываются все дороги во Франции, находится перед Нотр-дам де Пари. А, наверное самый очевидная нулевая точка отсчета, — на Южном Полюсе, из неё выходят все меридианы.

🗿Один из самых известных нулевых километров древности — мильный камень, построенный в Риме в 20 году до н.э. (за почти 1500 лет до полноценного появления привычного нуля!!) От камня начинались все дороги Римской Империи, благодаря чему появилась известная фраза: "Все дороги ведут в Рим".   

🤔Вот так ноль вошел в привычную жизнь задолго до того, как им стали пользоваться математики. Как думаете, ещё остались такие вещи, которыми мы пользуемся, но математики ещё это не поняли?

Ссылка на ролик про Ноль: https://youtu.be/ZH5d_g_Xa_s?si=FL8BJ56keXeOPWKw

Нестандартный подход

В возрасте 7 лет Карл Гаусс начал учиться в начальной школе Святой Катерины. Его учителем был директор школы с фамилией Бюттнер. Гаусс быстро поразил его своими математическими способностями — история, про которую многие наверняка слышали.

Как-то раз Бюттнер захотел заняться своими делами и решил чем-то отвлечь учеников, чтобы те ему не мешали. А что может быть лучшим отвлечением, чем сложная математическая задача? Бюттнер попросил учеников просуммировать числа от 1 до 100. Ученики приступили к расчёту, последовательно прибавляя каждое число. Каково было разочарование учителя когда всего через несколько минут маленький Гаусс сообщил ответ — 5050.

Как этот ответ получился? Если сложить 1 и 100, будет 101. Сумма 2 и 99 — снова 101, 3 и 98 — опять 101 и так далее, последняя сумма 50 и 51. В результате, нужно всего лишь 50 раз сложить 101 или умножить 50 на 101, вместо последовательного сложения 100 чисел, так и получается 5050. Просто и красиво.

Конечно, эта история — мотивирующая легенда и неизвестно, какой метод использовал Карл. Но сам принцип, группировка слагаемых, показывает красоту математики. Чтобы найти решение, полезно посмотреть на проблему под новым углом, а не так, как делают все вокруг.

В результате появилась формула суммы 1+2+…+n=n(n+1)/2. Но это только начало.

Вопрос: чему равна сумма квадратов 1^2+2^2+3^2+…n^2 — ?
Пишите в комментариях ответ и как вы к нему пришли.
Думайте и наслаждайтесь красотой математики!

Читаю книгу «Современная математика в отблеске медалей Филдса» Монастырского про Филдсовскую премию и её лауреатов:

«Хеисуке Хиронака удостоен медали в 1970 г. за решение проблемы разрешения особенностей алгебраических многообразий над полями нулевой характеристики. …
Проблема разрешения особенностей в алгебраической геометрии состоит в следующем. Пусть задано алгебраическое многообразие М с особенностями. Можно ли построить несингулярное многообразие М такое, что М получается бирациональным отображением М?»

Или ещё:

«В 1974 г. премия присуждена Дэвиду Мамфорду, далеко продвинувшему решение классической проблемы алгебраической геометрии — описание многообразия модулевых абелевых многообразий»

🤔 В какой момент математика из ЕГЭ переходит в сингулярные алгебраические многообразия над полями нулевой характеристики и модули абелевых многообразий?

🤯 - вся математика ломает мозг 🧠
🧐 - все же очевидно
🗿- ничего не понятно, но очень интересно
♥️ - алгебраическая геометрия топ

😎 — 58
❤️ — 10
🤷‍♂️ — 3,6
🗿— нужен калькулятор

Готовлю новый ролик на тему, неожиданно связанную с биологией и математикой, и столкнулся с интересным поведением AI генераторов картинок.

Что интересно? У гепардов пятнистое тело и полосатый хвост. Нужно было сгенерировать обратную картинку — полосатого гепарда с пятнистым хвостом. Но ни Midjourney, ни DALL-E от OpenAI с задачей не справились. Конечно, возможно стоило попробовать ещё Stable Diffusion или хитрее формулировать запросы, но факт есть факт. Умный AI пока не может взять и просто сгенерировать пятна и полосы в других местах. Видимо пятна и полосы легко получаются у природы, но пока тяжело даются для AI. Нужно работать дальше. В итоге получилось то, что на картинке выше.

Кстати, почему пятна и полосы и почему раскраска у гепардов именно такая, будет в новом видео уже совсем скоро.

@vitalmath

Как говорится “Знаете ли Вы?” 

➗Вот этот знак на калькуляторе в телефоне называется “обелюс”. Он обозначает деление уже 365 лет, начиная с 1659 года, когда была опубликована книга “Немецкая алгебра” швейцарского математика Йоханна Рана. Правда бытует мнение, что первым обозначать деление таким образом стал его учитель, Джон Пелл.

Символ прижился не сразу: сначала в Англии, а позже и в остальной Европе. В некоторых странах им обозначали вычитание. Но все таки из-за визуального сходства с дробями, деление победило.  

📚Хотя сам символ появился ещё на 2000 лет раньше, благодаря библиотекарю и филологу из Александрии, Зенодоту Эффескому. Обелюс обозначал сомнительные слова или части текста при проверке попадающих в библиотеку рукописей, в первую очередь произведений Гомера. Ученики Зенодота доработали символ до современного вида. А говорят гуманитарные науки бесполезны. 

Знали про название символа? 
😎 — давно известно
❤️ — теперь знаю 
🗿 — а какая разница, как называть

Кстати, говоря про ответ на задачку, про которую писал пару недель назад. Чему равно 6^2 ÷2(3)+4 ?

Некоторые могли подумать что 10, но тогда умножение оказывается почему-то приоритетней деления, хотя они стоят по порядку. Три в скобке смущает.

На самом деле ответ 58 (=36/2*3+4=18*3+4=54+4). Почему? Сейчас мы все используем общепринятый принцип приоритета операций: скобки, степени, умножение/деление, сложение/вычитание.

Но! Такие привычные обозначения и порядок операций сформировался лишь 150-200 лет назад. Йоханн Ран, который и ввел символ обелюса, использовал его по-другому. Посмотрите сами на страницу 76 из его “Алгебры”. Если обелюс использовать похожим способом, можно получить и 3,6 (=36/(2*3+4)=36/(6+4)=36/10), но сейчас лучше так уже не считать. 🤓

Алан Тьюринг. Один из величайших гениев XX века.

Как и все гении, он прожил немного, 41 год, но его вклад определил развитие всего человечества.

📚Тьюринг заложил фундамент для построения компьютеров. В 1936м, в 24 года, он опубликовал статью “О вычислимых числах”, вся суть которой сводилась к построению универсальной вычислительной машины, машины Тьюринга, которая с помощью нулей и единиц может решить любую задачу (или не решить, если она неразрешима).

🔐Тьюринг помог англичанам (те считают он спас миллионы жизней) во второй мировой, расшифровав Энигму, устройство, которым Германия шифровала всю военную коммуникацию. Про это вы, возможно, видели в фильме с Камбербэтчем, в нём есть доля правды.

🏃‍♂️Тьюринг почти стал участником Олимпийских игр 1948 года, прибежав 5м на квалификационном марафоне, но из-за травмы ноги не смог принять участие в олимпиаде.

🤖 Тьюринг заложил основы искусственного интеллекта. В 1950м вышла его статья “Вычислительные машины и разум”, где Тьюринг размышляет о вопросе “Могут ли машины думать?” и приходит к выводу, что лучше сыграть с компьютером в “Игру в имитацию” и понять, может ли машина действовать неотличимо от человека. Так возник “тест Тьюринга”. Вспомните себя, мы до сих пор тестируем чат-джипити и похожие AI вещи, пытаясь понять степень “человечности” поведения.

🤨 Но есть ещё одна интересная сторона Алана Тьюринга. Про неё новый ролик уже завтра. Не пропустите!

Что скажете?
🔥 — не пропущу
🤷‍♂️ — Тьюринг пробежал марафон за 2:46:03, я могу быстрее
🤯 — суперинтеллект близко
🗿 — Камбэрбетч хорошо сыграл

🦓 Зебры, гепарды, жирафы, тигры, рыбы, насекомые – у всех есть пятна и полосы! Но кажущуюся случайность природы можно удивительным образом объяснить с помощью простой математической модели. Модели, которая перевернула представления о развитии жизни, заложила основы математической биологии и привела к появлению красивых узоров.

🧐 Что такое узоры Тьюринга? Почему у животных пятна и полосы? Как Алан Тьюринг совершил революцию в биологии? И что полезного увидели ученые в модели морфогенеза Тьюринга?

Смотрите в новом выпуске!

🙏 Не забывайте оставить комментарий на YouTube — это помогает!

Узоры Тьюринга. Математика природы // Vital Math
https://youtu.be/_QczaBtifpU

С завершением рабочей недели самое время немного отвлечься и подумать о прекрасном. А что может быть лучше хорошей задачки на выходные?

🧐 Какая вероятность, что случайно выбранное целое число от 1 до 1000 окажется степенью (больше, чем первая) какого-либо целого числа?

Пишите варианты в комментариях. Ответ - в воскресенье.

Как правильно бежать?

Вопрос сложный и пока нет однозначного ответа. Хотя есть много тренировочных методик, математика в них пока не играла значительной роли.

В мае этого года вышла статья Британских и Французских математиков о стратегии бега на 400 и 1500 метров. 1500 метров вообще считается из наиболее престижных дистанций Олимпийских игр (вспомните драму Олимпиады в этом году)

Несмотря на значительное внимание к этим видам спорта, ранее не существовало единого подхода к выбору тактики бега и распределению усилий. Особенно сложно было точно оценить вклад аэробной (связанной с кислородом) и анаэробной (когда кислорода недостаточно) энергии в реальных условиях соревнований, так как во время забега невозможно проводить физиологические измерения. Ученые использовали математическое моделирование для точного анализа того, какие факторы оказывают наибольшее влияние на результативность спортсменов.

Решение
Исследователи взяли данные с чемпионатов Европы, и применили математические модели для расчета скорости, пропульсивных сил (силы с которой бегун отталкивается), аэробной и анаэробной энергии в реальном времени. Основными инструментами стали дифференциальные уравнения, описывающие баланс сил и энергии, и методы оптимального управления для нахождения наилучшей стратегии распределения усилий. Специальные алгоритмы оптимизации помогли настроить модель для каждого спортсмена, выявляя ключевые параметры, влияющие на скорость и энергоэффективность.

Какие выводы
Для дистанции 400 метров:
👟 Быстрый старт — критически важен: максимальная скорость достигается уже на первых 50 метрах.
👟 Основная задача — минимизировать замедление на второй половине дистанции, что требует хорошо развитой анаэробной системы, то есть работающей при нехватке кислорода (77% энергии поступает из анаэробных источников!).
👟 Высокое значение VO2 max (потребление кислорода) помогает поддерживать более стабильную скорость ближе к финишу, снижая эффект замедления.

Для дистанции 1500 метров:
🏃‍♂️Ключ к успеху — поддержание высокого “круизного” темпа после первых 300 метров, используя как аэробные, так и анаэробные ресурсы.
🏃‍♂️Спортсменам с высокими показателями VO2 max удается поддерживать стабильную скорость на большей части дистанции, что позволяет им финишировать без резкого ускорения.
🏃‍♂️Развитие аэробной (с кислородом) системы становится ключевым фактором для достижения лучших результатов на 1500 метров.

Этот математический подход помогает тренерам и спортсменам понять, какие аспекты подготовки следует улучшать для максимизации производительности на каждой из дистанций. Но впереди ещё много работы, чтобы понять как бегать оптимально.

#полезнаяматематика @vitalmath

Нобелевская премия за AI

Самая скандальная научная новость этой недели — Нобелевскую премию по физике получили Джон Хопфилд и Джеффри Хинтон за нейронныe сети.

🖋 С одной стороны, Нобелевский комитет можно понять. Хопфилд — физик и использовал идеи и методы статистической физики и физики материалов, чтобы построить сеть Хопфилда. Это первая рекуррентная нейронная сеть, ставшая ключевым шагом к построению сетей, которые повсюду используются сейчас, например, для распознавания изображений, голоса, генерации текста. Хинтон использовал результат Хопфилда и снова идеи из статистической физики, чтобы построить машину Больцмана, более продвинутую рекуррентную нейронную сеть. И сеть Хопфилда и машина Больцмана — это больше теоретические модели, но которые стали фундаментом для современного искусственного интеллекта.

🖋 Но с другой стороны, есть много критики. Хинтон вообще не физик, он специалист по искусcтвенному интеллекту и до недавнего времени почти 10 лет проработал в Google. Нейронные сети — это информатика, а не физика, для которой есть своя премия, премия Тьюринга, которую Хинтон кстати и получил в 2018 году. Хопфилд и Хинтон использовали идеи физики, но для задач машинного обучения, а не физики. И вообще, комитет подрывает авторитет премии и есть более подходящие кандидаты с прямым вкладом в физику.

Может и так, но с точки зрения масштаба и вклада в прогресс всего человечества Хопфилд и Хинтон действительно внесли большой вклад, заложив фундамент современного машинного обучения и искусственного интеллекта. Благодаря работам Хинтона стало возможным глубинное обучение, в эпоху которого мы сейчас и живём, и которое продолжает активно менять окружающий мир. Так что, видимо, Нобелевский комитет очень хотел принять участие в этом большом забеге за сильным искусственным интеллектом, AGI, и сделал это как мог.

Но Нобелевская премия не первый раз отмечается похожими противоречиями. В 1956 году премию по физике получили У. Шокли, Дж. Бардин, У. Браттейн за изобретение транзистора. Это тоже устройство без прямого влияния на физику, но кардинально поменявшее современный мир, став основой любого компьютера. Будет ли так и в этот раз?

Кстати, про Хопфилда и Хинтона, как и про всю историю искусственного интеллекта, я рассказывал почти год назад. Ссылка на видео: Не пропустите открытие тысячелетия!

А как вы считаете?
❤️ — Хопфилд и Хинтон заслужили премию
💯 — видимо Нобелевский комитет спросил у СhatGPT, кто должен стать лауреатом в этом году
🗿 — в любом случае, искусственный интеллект — это математика

Во-первых, всем спасибо, кто подумал, посчитал и написал ответ! Вы большие молодцы!

Во-вторых, как и обещал, ответ - 41/1000. Таких чисел до 1000 41 штука. Как это посчитать? Можно обычным перебором:

п1. Для степени 2: 31 число, 1^2 ... 31^2, т.к. 32^2 = 1024 > 1000

п2. Для степени 3: 7 чисел, среди кубов, меньших 1000, то есть чисел 1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, 6^3, 7^3, 8^3, 9^3, 10^3 , три числа, 1^3=1^2, 4^3=8^2 и 9^3=27^2, мы уже учли в п1.

п3. Для степени 4: 0 чисел, так как максимальное число меньшее 1000 это 5^4=25^2, но его как и 4^4, 3^4, 2^4, мы уже учли в п1.

п4. Для степени 5: 2 число. Максимальная 5я степень меньше 1000, это число 3^5, т.к. 4^5=2^10=1024. 3^5 - такого числа ещё не было. Другая 5я степень 2^5=32 тоже ранее не встречалась.

п6. Для степени 6: 0 чисел. Максимальная 6я степень меньше 1000, это 3^6, но 3^6=9^2 - уже было в п1, а 2^6=4^3 было в п2.

п7. Для степени 7: 1 число. Только 2^7 < 1000, его ещё не было.

п8. Для степени 8: 0 чисел. 2^8=16^2 - уже было в п1.

п9. Для степени 9: 0 чисeл, т.к. 2^9=512=8^3, которое уже учли в п2.

Итого всего 41 число, если учитывать число 1.

Чем интересна математика? Удивительные факты повсюду.

В эти выходные мы решали задачку про целые числа меньшие 1000, которые являются целыми степенями для других целых чисел. Такие числа называют совершенные степени.

Вопрос! А что получится, если просуммировать ряд, состоящий из чисел, обратных к совершенной степени минус один, не включая единицу и повторения?

Если мы просуммируем 40 чисел до 1000, получится примерно 0,96. Но чему равна сумма до бесконечности? И тут начинается красота!

Оказывается сумма равна единице. А само утверждение называется теоремой Гольдбаха-Эйлера. В 1730х годах Христиан Гольбах написал решение в письме к Леонарду Эйлеру, а Эйлер в 1737 году опубликовал статью с решением.

Но! Решение Эйлера и Гольдбаха хоть и давало правильный ответ, но было ошибочным. Они обозначили расходящийся гармонический ряд (1+1/2+1/3+...) за x и из этого вывели сумму ряда с совершенными степенями. Но так делать нельзя, из бесконечных рядов можно получить все, что угодно. Только позже появилось корректное доказательство.

Тем не менее сам факт о бесконечной сумме ряда чисел, обратных к совершенным степеням, выглядит очень интересным. Что скажете?

❤️ — неожиданный факт
🔥 — математическую интуицию не подведешь (про Эйлера и Гольдбаха)
🗿 — а почему все-таки ответ единица?

@vitalmath

🔍 Гипотеза Гольдбаха: одна из старейших нерешённых задач математики 🔍

Снова продолжая предыдущий пост. Христиан Гольдбах на самом деле знаменит не только рядом с совершенными степенями, но и одной из простейших нерешенных до сих пор задач.

Задумывались ли Вы когда-нибудь, из чего "собираются" числа? Гипотеза Гольдбаха — одно из тех утверждений, которое кажется настолько простым, что трудно поверить, что оно до сих пор не доказано. 🧠

Суть гипотезы: Любое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Например:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
и так далее…

Кажется очевидным, не так ли? Однако, несмотря на свою простоту, доказательства гипотезы нет уже почти три столетия! 🤯

🔬 Краткая история: Гольдбах впервые предложил гипотезу в письме к Эйлеру в 1742 году. С тех пор многие математики пытались доказать её. И хотя на компьютерах проверили миллиарды чисел, универсального доказательства или опровержения гипотезы пока не найдено.

Почему эта задача такая сложная? В отличие от других математических гипотез, гипотеза Гольдбаха не имеет очевидной структуры, которая позволила бы применить существующие методы доказательства. Это как искать иголку в бесконечном стоге сена — хотя многие числа проверены, можно ли быть уверенными в остальных? 🤔

⚡️ Почему это важно: Доказательство гипотезы Гольдбаха не только решило бы одну из древнейших задач математики, но и помогло бы глубже понять структуру простых чисел — тех самых "кирпичиков", из которых состоит вся арифметика.

А как думаете Вы? Удастся ли когда-нибудь человечеству найди доказательство гипотезы Гольдбаха? 🔑

🔥 — конечно найдут
😢 — не в этом столетии
🗿 — а зачем вообще решать эту задачу?

Сколько можно заработать на математике?

Часто возникает вопрос, зачем учить математику. Иногда её приложения бывают очень полезны. Кто-то даже смог заработать целые состояния, используя свои математические навыки.

Вот несколько примеров тех, кто превратил свои знания в миллиарды:
💰 Джеймс Саймонс — состояние более $30 млрд (умер в 2024) , основатель хедж-фонда Renaissance Technologies. Саймонс сделал карьеру в области дифференциальной геометрии и топологии. До прихода в финансы, он был профессором математики и разработал методы, которые позже применил в моделировании финансовых рынков.

💰Кен Гриффин — $30 млрд, основатель Citadel. Изучал экономику, но построил свою империю на математических моделях и статистике, применяя их к финансовым рынкам.

💰 Дэвид Шоу — $8 млрд, основатель D.E. Shaw & Co. Имеет PhD в информатике и специализировался на вычислительной математике. Он первым применил сложные алгоритмы и вычислительные методы для торговли на фондовых рынках.

💰 Роберт Мерсер — $1 млрд+, бывший генеральный директор Renaissance Technologies. Мерсер имеет PhD в компьютерных науках, специализировался на искусственном интеллекте и использовал математические модели для создания прибыльных алгоритмов.

💰 Эдвард Торп — около $800 млн, известен как изобретатель математических методов для обыгрывания казино (например, подсчета карт в блэкджеке). Позже Торп применил теорию вероятностей и статистику в финансах, основав успешный хедж-фонд.

Согласен, все эти люди не настоящие математики, они покинули чистую математику и заработали миллиарды в финансах, хоть и используя математику. А что насчет тех, кто остался верен академической математике? Здесь заработки значительно скромнее, хотя для мира науки они неплохие — несколько миллионов долларов. Вот примеры с очень примерными оценками:

🔢 Теренс Тао — современный "Моцарт математики", лауреат медали Филдса, заработал около $1-5 млн. Специализируется в гармоническом анализе, дифференциальных уравнениях и теории чисел. Получил PhD в 20 лет и является профессором в UCLA.

🔢 Эндрю Уайлс — состояние $1-2+ млн. Он стал знаменитым за доказательство Великой теоремы Ферма. Получил PhD в числовой теории, сейчас преподает в Оксфорде и был награжден премией Абеля.

🔢 Седрик Виллани — около $1-2 млн, лауреат медали Филдса за работы в области дифференциальных уравнений и статистической механики. Учился в Ecole Normale Supérieure, один из главных математиков Франции.

🔢 Яков Синай — около $1-2 млн, лауреат премии Абеля за достижения в динамических системах и математической физике. Синай получил математическое образование в МГУ, где и начал свою научную карьеру.

🔢 Манжул Бхаргава — около $1-3 млн, лауреат медали Филдса. Специализируется на теории чисел и алгебраической геометрии. Получил PhD в Принстоне, где и продолжает свою научную работу.

🔢 Пьер-Луи Лион — около $1-2 млн, лауреат медали Филдса за вклад в изучение дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Профессор в Collège de France.

🔢 Энрико Бомбиери — около $1-2 млн, лауреат медали Филдса. Специалист по теории чисел и математическому анализу. Получил PhD в Миланском университете.

Таким образом, если цель — миллиарды, путь лежит через применение математики в других сферах, таких как финансы или технологии. Однако даже в академической математике можно добиться значительного финансового успеха, заработав миллионы и став одним из великих умов нашего времени!

Как думаете, что сложнее?
🔥 — заработать в математике
😎 — заработать вне математики
❤️ — математика не про деньги

Сегодня не будет больших постов, просто немного математической элегантности.

Для любого простого числа p>=5, p^2-1 кратно 24.

Просто, красиво, заставляет ненадолго задуматься.

Числа!

Числа удивительны сами по себе. Только представьте, человеку достаточно ручки, бумаги и, собственно, чисел, чтобы потратить всю жизнь на изучение этого огромного бесконечного мира с поражающими воображение связями и закономерностями!  

🔢 Каждый день мы сталкиваемся с натуральными, рациональными, иногда даже отрицательными числами. Но даже среди казалось бы понятных натуральных чисел, есть много подтипов со своей природой, красотой и нескончаемыми нерешенными задачами: простые, полупростые, составные, числа-близнецы, дружественные, счастливые, нарцистические, числа-палиндромы, числа Каталана, Мерсенна, Фибоначчи, Софи Жермен, Кармайкла, Харшада, Лишрел, Белла, Стирлинга, Прота, Вилсона, Пелля, Леонадро, Лаки, Гудштайна, Сильвестра, Улама, квадратные, кубические или многоугольные числа, например треугольные, пяти- и шестиугольные. 
Но на самом деле это всего лишь небольшая вершина огромного айсберга. Есть ещё иррациональные, алгебраические, трансцендентные, комплексные, гиперкомплексные и p-адические. 

📚 Числа можно представлять в разном виде, в разных системах счисления: привычной десятичной, двоичной, троичной, шестидесятеричной и вообще любой. Можно записать в виде цепных дробей, в нотации Кнута или цепной записи Конвея. 

Кроме того, есть вычислимые числа, определимые, построимые, фигурные, порядковые, кардинальные, бесконечно малые, трансфинитные, гипервещественные, сюрреальные, нечётные, тригонометрические, периоды и это далеко не всё.

Так получилось, за последние 12 месяцев на канале вышло целых 4 выпуска про разные числа: 
🍿 Корень из двух 
🍿 Трансцендентные числа
🍿 Отрицательные числа
🍿 Комплексные числа
Но, как видите, это лишь малая часть того, про что можно рассказать. 

А какое ваше любимое число? Пишите ответ 👇