✨ Топ удивительных фактов о числе 2025: ✨

Надеюсь, у всех год начался хорошо. Ещё в прошлом году внимательные читатели спрашивали: сколько же всего свойств у 2025? Как и у всех чисел — много. Вот некоторые из них (про первые три уже писал):

1. 2025 = (20 + 25) × (20 + 25). Квадратное число, основанное на красивой симметрии суммы.

2. 2025 = 1³ + 2³ + … + 9³. Сумма кубов первых девяти чисел.

3. 2025 = (1 + 2 + … + 9)². Квадрат суммы первых девяти чисел.

4. Запишите число 1 один раз, число 2 дважды, число 3 трижды… и так до 45, записанного 45 раз. Получится число 122333…4545 длиной ровно 2025 цифр. Это работает только для числа 2025 🎯

5. 2025 — единственное четырехзначное число, которое является квадратом и остаётся квадратом при добавлении 1 к каждой цифре. 2025 превращается в 3136.

6. Сумма всех элементов в таблице умножения 9 × 9 равна 2025.

7. Если удалить цифру ‘0’ из куба числа 2025 (8303765625), получится 833765625, которое тоже является квадратом.

8. Ровно 2025 чисел от 1 до 9999 имеют последнюю цифру, строго большую, чем остальные.

9. 2025 — это число Харшада. Делится на сумму своих цифр (9).

10. 2025 — число Даффина. Это составное число, у которого нет общих простых делителей с суммой его делителей. Для 2025 сумма делителей равна 3751, и 2025 взаимно просто с этим числом, что делает его числом Даффина.

11. 2025 — число Курзона. Если удвоить 2025 и прибавить 1, получится число, которое является делителем числа 2^2025+1.

12. 2025 — вежливое число. Его можно представить как сумму последовательных натуральных чисел, причем 14ю способами. Например, 403 + 404 + … + 407.

13. 2025 — это услужливое число, потому что можно найти набор из 2025 чисел, сумма и произведение которых равны. Например, для числа 8 таким набором являются числа {-1, -1, 1, 1, 1, 1, 2, 4}, где сумма и произведение равны. Для числа 2025 такой набор тоже существует.

14. 2025 — недостаточное число. Сумма всех его собственных делителей (1726) меньше самого числа.

15. 2025 — эквициферное число. Использует столько же цифр, сколько требуется для записи его факторизации (2025 = 3^4 * 5^2).

Ещё больше можно найти тут.

А какой факт вас удивил больше всего?

❤️ — все
🔥 — первые пять точно
🤯 — как только это придумали

🎩 Как Давид Гильберт переписал математику вопреки критике 🎩

В 1888 году молодой Давид Гильберт сделал то, что казалось невозможным: он предложил совершенно новый подход к решению одной из сложнейших задач алгебры того времени — теоремы о конечной базе для инвариантов. Но его работа столкнулась с неожиданным препятствием, которое сделало эту историю одной из самых захватывающих в математике.

📜 История задачи
Что такое инварианты? Это свойства, которые не меняются при преобразованиях. Например, площадь треугольника остаётся неизменной, если его просто повернуть или перенести. В алгебре инварианты помогают описывать сложные структуры так, чтобы выявлять в них что-то неизменное и важное.

Задача, над которой работал Гильберт, состояла в том, чтобы доказать, что для описания любой такой структуры достаточно конечного набора этих инвариантов, а не бесконечного множества. До него это удалось сделать лишь для простейших случаев, а для более сложных задач подходы просто не работали.

💡 Решение Гильберта
Гильберт осознал, что нужно отказаться от вычислительных методов и взглянуть на проблему иначе. Вместо того чтобы строить явные примеры инвариантов, он доказал, что такие наборы всегда существуют, используя абстрактные методы. Это было революционным шагом: он показал, что можно доказать существование объекта, даже не видя его!

Однако его работа вызвала бурную реакцию. Пауль Гордан, которого считали ведущим экспертом в этой области, не принял доказательства Гильберта. Он критиковал подход за “недостаток строгости” и даже отказался рекомендовать публикацию его статьи в престижном журнале Mathematische Annalen.

📩 Письмо, которое изменило всё
Когда Гильберт узнал о критике, он не пошёл на компромисс. Он написал редактору журнала Феликсу Кляйну:
“Я не готов ничего менять или удалять. Эта работа — моё последнее слово, пока не будет представлено чёткое и неоспоримое опровержение моих рассуждений.”

Кляйн, признанный авторитет, понял важность работы Гильберта и настоял на её публикации. Впоследствии Кляйн называл её “самым важным трудом по общей алгебре, который когда-либо публиковался в Annalen”.

🎉 Последствия
Работа Гильберта стала основой для современной абстрактной алгебры и функционального анализа. Она изменила само понимание того, как математики работают с абстрактными объектами. Иронично, что позже сам Гордан сказал: “Это не математика, это теология!”, но со временем он признал её

📚 Мощь геометрической прогрессии

Как-то давно делал почти неизвестный выпуск про то, сколько людей родилось за все время. С одной стороны — это больше жизненная, чем математическая задача. С другой стороны — ответ может вас сильно удивить, особенно если сравнить с населением сейчас.

Что интересно, в основе несложного расчета, лежит геометрическая прогрессия. Этот простой инструмент из 8-9 класса школы является ключом к пониманию нашего мира, экспоненциального роста и убывания, которые встречаются повсюду: от роста популяций до распространения вирусов, от финансовых стратегий до космических исследований.

Что же делает геометрическую прогрессию такой мощной? Простота и универсальность.

Каждый следующий элемент получается из предыдущего умножением на фиксированное число, знаменатель прогрессии. Любой член можно выразить через его номер, знаменатель и первый член. А самое главное сумма бесконечной геометрической прогрессии (конечно, убывающей) находится всего лишь делением первого члена на единицу минус тот самый знаменатель прогрессии.

Ещё не менее удивительно: геометрической прогрессией, в отличие от телефона и компьютера, мы пользуемся уже почти 5000 лет (!!), по крайней мере первые принципы появились так давно. История геометрической прогрессии начинается с шумеров, живших около 2900 года до н. э. Они использовали последовательности с основанием 3 и множителем 1/2 для подсчёта запасов и распределения ресурсов. Позже, в III веке до н. э., Евклид в своих знаменитых «Началах» исследовал свойства прогрессий. Он применял их для анализа объемов и геометрических фигур. В Средние века математики продолжили изучение прогрессий. Например, индийский ученый Брахмагупта использовал их для решения сложных уравнений, а в XVIII веке Томас Мальтус применил прогрессии, чтобы объяснить экспоненциальный рост населения.

Вот так появился простой и мощный инструмент с универсальными применениями в разных сферах. Но есть ещё одно удивительное приложение геометрической прогрессии. Оно появилось на свет ровно 16 лет назад. Но вас точно удивит, что это и как оно продолжает менять весь мир. Из него появилась многотриллионная индустрия, оно повлияло на сотни миллионов людей по всему миру и создало фундамент для построения возможного мира будущего. Но про это чуть позже, в новом выпуске на канале, всего через пару дней. Не пропустите! А пока что, можно вспомнить и про то, сколько же людей родилось за все время.

Задачка! Чтобы немного размяться и отдохнуть от длинных выходных, раз уж заговорили про геометрическую прогрессию, давайте подумаем над такой задачкой:

Представьте 4 последовательных члена геометрической прогрессии a<b<c<d, про которые известно две вещи:
1. a+b+c+d = 1320
2. c-a = 264
Найти первый член, а.

Ответ и подход к решению: 33 или 88. Записать все члены в виде произведения первого члена и знаменателя в соотcтвующей степени (a, aq, aq^2, aq^3), получится два уравнения с двумя неизвестными. Выразить a и найти q, получится два решения 2 и 3. И после найти a = 33 и a = 88.

Новый выпуск! Про 8-страничную статью, криптографию, теорию игр, геометрическую прогрессию и появившийся в результате много-триллионный цифровой мир!

https://youtu.be/m7IIixtlygg?si=mckFObwzgFBtciZ7

Выпуск есть и в ВК видео:
https://vkvideo.ru/video-198484022_456239124

Два дня назад нас на канале стало уже 1000. С чем я всех и поздравляю! 🎉🎉

Сразу вспоминается задачка Перельмана:

Можете ли вы число 1000 выразить восемью одинаковыми цифрами? Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.

Ответ:
888 + 88 + 8 + 8+8 = 1000

Теорема Рейдемейстера: Как узлы стали строгой наукой

Каждый день мы сталкиваемся с узлами: завязываем шнурки, распутываем наушники, разбираем зарядки, нитки и веревки. Узлы — это часть нашей повседневной жизни. Но что, если посмотреть на них глазами математики? В начале XX века задача систематизации узлов была больше творческим вызовом, чем строгой наукой.

Интуитивно можно понять, что, потянув за одну часть узла и ослабив другую, вы можете преобразовать один узел в другой. Но как доказать это строго? Все изменилось в 1926 году, когда Курт Рейдеместер и независимо от него Джеймс Александер и Гарланд Бриггс дали математике узлов необходимую строгость.

📚Что говорит теорема?
Теорема Рейдемейстера утверждает, что два узла топологически эквивалентны, если их двумерные проекции можно преобразовать друг в друга с помощью трёх типов движений (трансформаций):
Тип I: Скручивание и раскручивание одного витка в любом направлении.
Тип II: Перемещение одной петли целиком через другую.
Тип III: Перемещение нити целиком над или под пересечением.

Эти преобразования позволяют доказать, что два узла представляют собой один и тот же объект без необходимости «разрезать» их. Узлы становятся объектами строгого анализа, с которыми можно работать на уровне формул и графов.

🔍Почему это важно?
До открытия теоремы узлы оставались хаотичной областью: их сложно было классифицировать и сравнивать. Теорема Рейдеместера стала основой для всей теории узлов, открыв двери к глубокому изучению топологии. Это помогло выделить универсальные свойства узлов, такие как полином Джонса — мощный инвариант, который используется для различения узлов.

Сегодня узлы играют важную роль не только в чистой математике, но и в физике. Теория узлов используется в квантовой механике, теории струн и даже для моделирования молекулярной структуры ДНК.

⚛️ Вывод!
Теорема Рейдемейстера — это пример того, как простая идея (три преобразования) способна заложить основу для сложной и глубокой науки. Она показывает, как строгая структура может скрываться в хаосе. Узлы — это универсальный язык, соединяющий физику, биологию, химию и информатику. От завязанных шнурков до квантовой механики — узлы продолжают вдохновлять исследователей на новые открытия.

❤️ - красота!
🤯 - математика повсюду!
🗿 - так как мне распутывать наушники?

Кстати, если хотите почувствовать теорему Рейдемейстера, попробуйте найти последовательность преобразований, которые переводят "трилистник" слева в узел справа.

Ответ: I, III, III, I. Само решение здесь на странице 20: ссылка

🌟 Сегодня вместо сложных теорий, частичка простой и удивительной математической красоты, как мы любим. Вот такое равенство:

√3 + √3 + √3 = √3 × √3 × √3

Попробуйте доказать, чтобы размять мозг после длинных выходных. Пишите в комментариях про похожие красивые вещи, соберем коллекцию 👇

✨ Число Чемпернауна: сложность в простоте ✨

Удивительно как легко в числах можно добраться до сложного. Давайте в дробной части десятичного числа запишем подряд все натуральные числа. Получим вот такое бесконечное число:
0.12345678910111213141516…

Это число имеет особое название — постоянная Чемпернауна. Впервые его описал в 1933 году английский математик Дэвид Чемпернаун, ещё будучи студентом. На первый взгляд, простая запись, но за ней скрывается несколько удивительных свойств.

1️⃣ Нормальность:
Каждая цифра от 0 до 9 встречается в нем одинаково часто. Это делает его примером нормального числа — уникальной и редкой категории, которая помогает изучать случайность.

2️⃣ Трансцендентность:
Число Чемпернауна не является решением никакого алгебраического уравнения. Это одно из тех загадочных чисел, которые подчёркивают, насколько удивителен мир математики.

3️⃣ Содержательность:
Число содержит все возможные комбинации цифр. То есть, в нем можно найти ваш номер телефона, дату рождения или даже полный текст "Войны и мира", если перевести буквы в цифры.

Что в этом удивительного? Почти все числа — трансцендентны, но их крайне трудно найти или описать. А тут перед нами простое, наглядное трансцендентное число. То же самое с нормальностью: таких чисел крайне мало, и их понимание важно, например, для создания надёжных алгоритмов случайных чисел.

Постоянная Чемпернаума напоминает нам, что даже за самой простой идеей — вроде записи всех натуральных чисел подряд — может скрываться удивительная красота и сложность. 😊

Что скажете?
❤️ — красота!
🤯 — удивительно!
🤓 — пойду пересмотрю выпуск про трансцендентные числа (вот он кстати)

🌾 Парадокс фермеров и назойливых птиц 🐦

С завершением короткой рабочей недели самое время поговорить о парадоксах бесконечности! Бесконечность — штука сложная, как и недавнее деление на ноль. Про бесконечный отель Гильберта слышали многие, но как вам такой парадокс.

Представьте двух фермеров: Алису и Боба. Они собираются посадить по бесконечному ряду семян. Но у них есть одна большая проблема — им мешают назойливые птицы. Для Алисы, птицы забирают каждое пятое семя, которое она посадила. А для Боба, после каждых пяти посадок птицы забирают первое оставшееся семя из его ряда.

🎯 Вопрос: останутся ли семена в рядах у Алисы и Боба, когда они "закончат" посадку?

🤔 Решение: У Алисы семена останутся! Птицы забирают каждое пятое семя из бесконечного количества, поэтому останется ещё бесконечно много семян. А у Боба не останется ничего! Птицы забирают первое оставшееся семя каждый раз, и в итоге весь его ряд окажется пустым.

⚡ Парадокс: Как же так? Алиса и Боб работают одновременно, и птицы забирают семена с одинаковой частотой. Почему тогда у Алисы остаётся бесконечность, а у Боба — ничего?

🧩 Решение парадокса: Парадокс кроется в неинтуитивных свойствах бесконечных множеств. Бесконечное множество можно (и это ключевая его характеристика) сопоставить в биекцию с его собственным подмножеством, поэтому хотя семян бесконечно, множество которое птицы забрали у Алисы кажется меньше. Иными словами, назойливые птицы Алисы и Боба забирают множества семян одинаковой мощности, но одно множество является подмножеством другого.

Как вам парадокс?
🤯 — заставляет задуматься
🤓 — сразу видна ошибка в вопросе
🗿 — до сих пор не понятно, почему так
❤️ — красиво!

Никогда ещё по субботам не было геометрии! Надо исправляться.
Первая задачка по геометрии на картинке. Для отдыха на выходных.

Решение:
1) z/sin 45° = y/sin A =>
sin A = y * sin 45°/z =>
sin A = (y*√2)/2z =>
sin²A = y²/2z²
2) z/sin 45° = x/sin(90°-A) =>
cos A = (x*√2)/2z =>
cos²A = x²/2z²
Складывая 1 и 2:
3) 1 = y²/2z² + x²/2z² =>
(y²+x²)/2z² = 1 =>
2z²/(x²+y²) = 1 =>
z²/(x²+y²) = 1/2

🏆 Абелевская премия 2024: Математика, которая приручила хаос

Мишель Талегран получил Абелевскую премию за выдающийся вклад в математику случайности. Его работы позволили находить закономерности там, где царит хаос. Талегран разработал неравенства, которые описывают поведение сложных систем: от уровня воды в реках и колебаний фондовых рынков до движения молекул газа. Эти методы не просто упрощают анализ, но и открывают путь к точным прогнозам в самых разных областях.

🔍 Прорыв века
Одним из главных достижений стало доказательство гипотезы о спиновых стёклах — магнитных системах, поведение которых долгое время считалось математически необъяснимым. Эта задача, выдвинутая лауреатом Нобелевской премии Джорджио Паризи, десятилетиями оставалась нерешённой. Талегран показал, что даже в самых случайных явлениях есть предсказуемость.

👨‍🏫 Кто такой Мишель Талегран?
Мишель Талегран — французский математик, 27-й лауреат Абелевской премии. Он родился в 1951 году и большую часть карьеры провёл в Национальном центре научных исследований Франции (CNRS), где проработал 43 года.
Его путь в науку был необычен. В детстве он потерял зрение из-за редкого генетического заболевания. Это вынудило его глубже сосредотачиваться на простых идеях, разбирать их в мельчайших деталях и строить из них сложные теории. Такой подход помог Талеграну стать не только выдающимся математиком, но и примером силы духа.

💬 Его собственные слова о себе:
“Я не гений. Я просто работал и искал глубинное понимание. Это и есть мой стиль.”

🌍 Влияние на другие науки
1️⃣ Физика и математика
Работа Талеграна ещё раз иллюстрирует глубокую связь между математикой и физикой. Его методы внесли ясность в фундаментальные задачи теоретической физики, продемонстрировав, что чисто математический подход способен решать физические загадки.

2️⃣ Экология, технологии, экономика
Неравенства Талеграна стали ключевым инструментом для анализа случайных процессов. Они помогают:
- прогнозировать наводнения, чтобы строить города безопаснее;
- разрабатывать системы связи и вычислений;
- предсказывать рост популяций в экологии и даже поведение рынков.

Талегран открыл новые горизонты: его работы напоминают нам, что математика не только точная, но и глубоко связанная с реальным миром.

Как вам достижения Талеграна?
❤️ Вдохновляет!
😎 Хочу узнать больше!
🔥 Математика — это круто!

Все больше появляется новостей о том, что относительно новый формат выпускных школьных экзаменов, ЕГЭ (ему всего лет 17 vs. сотен лет существования университетов) неожиданно оказался хуже старого формата среднего бала и, возможно, чего-то нового. Вообще, вопрос справедливой проверки знаний интересный и далеко не простой, как-нибудь надо обязательно разобраться.

А вы как считаете?

📚Кто придумал экзамены?

Про экзамены точно нужно видео, уж очень интересная и горячо обсуждаемая тема. Но пока его нет, можно заглянуть в историю и посмотреть по сторонам.

Откуда вообще взялись экзамены? Как и многие вещи сейчас, экзамены пришли из Китая.

📜 Древний Китай: истоки экзаменов
Идея экзаменов берет свое начало в Китае времен династии Суй (605 год н.э.). Тогда появился Императорский экзамен — первая в истории система тестирования, созданная для отбора государственных служащих.

Цель была благородной: выбирать людей по заслугам, а не по происхождению. Успешно сдавшие экзамен попадали в элиту чиновников и служили под управлением императора.

Позже династия Тан усовершенствовала эту систему, а императрица У Цзэтянь открыла возможность участия представителям из разных слоев общества. Этот экзамен продержался более тысячи лет (!!), пока в 1905 году не был упразднен.

🌍 Экзамены в Европе и мире
Концепция китайских экзаменов вдохновила многие страны.

В Великобритании, 1806 год, по примеру Китая, была внедрена система тестов для отбора сотрудников гражданской службы. Позже, в 1853 году, Британская Ост-Индская компания адаптировала эту практику для отбора чиновников в Индии.

Современные экзамены появились в конце XIX века. Их создание связывают с Генри Фишелем, немецко-американским педагогом. (Хотя, возможно, это всего лишь миф!) Фишель предложил систему, где тестирование оценивает не только знания, но и умение их применять. Этот подход быстро распространился по всему миру и стал стандартом в школах и университетах.

✨ Ещё несколько интересных фактов по всему миру
Франция: начала проводить первый национальный экзамен бакалавриата благодаря Наполеону. В 1808 году он выпустил указ об экзамене, baccalaureat, чтобы выявлять талантливых молодых людей для государственных нужд.

Япония: С 1979 года в Японии проводят общенациональный тест для поступления в университеты, где даже малейшая ошибка может кардинально повлиять на судьбу абитуриента.

Корея: Экзамен для поступления в университеты в Южной Корее длится 8 часов и настолько важен, что во время его проведения останавливают авиацию и ограничивают дорожное движение, чтобы не мешать участникам.

Британия: Экзамен A-Level существует с 1951 года и позволяет студентам выбирать предметы для изучения, готовя их к поступлению в конкретные университеты, похоже на ЕГЭ.

США: Впервые проведённый в 1926 году, SAT изначально использовался для выявления способных студентов, независимо от их социального происхождения. Славится своими «странными» вопросами.

Норвегия: Там экзаменационнация «лотерея», ученики узнают о своем экзамене всего за день до него.

Как считаете, какой опыт полезен?

100 дней назад…

100 дней назад решил публиковать посты каждый день. С тех пор появилось 100 постов (даже чуть больше). Но 100 дней пролетели очень быстро. Основной вывод все тот же — в математике много красоты, а этот канал — хорошее место, чтобы смотреть на частички этой красоты, просто, доступно и небольшими порциями.

Конечно, у телеграмма есть свои особенности: формул нет, даже с простыми x² приходится мучиться с набором, хорошее оформление занимает время, не говоря уже про само содержание и тд.

Что будет дальше?
Дальше — больше. Впереди ещё много непокрытых тем и разделов.

Нас с вами стало уже больше тысячи, и вместе мы можем сделать канал и контент ещё лучше. А для этого, давайте немного познакомимся. Ниже три вопроса, буду благодарен за ваши честные ответы! А в комментариях пишите, что вам уже нравится в канале, а что хотели бы улучшить!