Обозначим через C_λ малую полную подкатегорию λ-представимых объектов. Нетрудно показать ([AR94].1), что для λ-представимой категории C функтор Йонеды C -> Func(C_λ^op, Set)
* является полным вложением ранга λ
* является правым сопряженным
* функторы (C_λ)^op -> Set представимые объектами C это в точности функторы сохраняющие λ-малые пределы

Так мы из семантического определения видим, что λ-представимые категории биполны как рефлективные подкатегории биполных категорий (мне кажется, из синтаксического определения это также видно непосредственно: (надо подумать и убедиться, что) произведения/копроизведения и уравнители/коуравнители для всех существенно алгебраических теорий описываются также одинаково и просто, как и для (обычных) алгебраических теорий). Более того, на самом деле, можно получить следующую переформулировку семантического определения ([AR94].1.46)

Def. λ-представимые категории это (с точностью до эквивалентности) рефлексивные подкатегории ранга λ топосов предпучков.

Конечно, из данной локально представимой категории нельзя восстановить существенно алгебраическую теорию, потому что классическое определение существенно алгебраической теории выделяет некоторую точку зрения на алгебры (фактически некоторый забывающий функтор в категорию Set^C, где C выделенное им же множество носителей), которая отсутствует в самой категории. Например, для любых двух морита-эквивалентных колец R_1 и R_2 (скажем R_2 = End(R_1^n) т.е. кольцо матриц n x n), категории модулей над ними эквиваленты (а теории, как и забывающие функторы в Set -- Hom(R_i, -) -- разные).

Чтобы избавиться от привязки к выделенному набору носителей и операций, естественно рассматривать просто весь дуал категории представимых объектов (C_λ)^op как инвариантное понятие существенно алгебраической категории.

Def. Предельной теорией ранга λ называется малая категория, имеющая все λ-малые пределы. Для λ-предельной теории T и категории с λ-малыми пределами C, категорий T-объектов в С T[C] называется категория сохраняющих λ-малые пределы функторов T -> C и естественных преобразований между ними.

Конечно, естественные морфизмы предельных теорий -- функторы сохраняющие λ-малые пределы, так -[-] функториальна по обоим аргументам. Это задает двойственность между синтаксисом и семантикой:

Двойственность Габриэля-Улмера

2-категория предельных теорий ранга λ антиэквивалентна 2-категории локально λ-представимых категорий

Теперь точные формулировки анонсированных свойств категорий математических структур.

Теорема о сопряженном функторе. Для F: С -> D морфизма λ-представимых категорией (то есть функтора ранга λ)
* F сохраняет все малые пределы <=> F является правым сопряженным
* F сохраняет все малые копределы <=> F является левым сопряженным
Кроме того,
* Любой сопряженный функтор между λ-представимыми категориями является морфизмом

Rem.
1) Конечно в случае копределов условие о ранге функтора выполнено заведомо, также как и для левых сопряженных функторов последняя часть тривиальна.
2) Ранги всех трех объектов (двух категорий и функтора) могут быть даны произвольными -- можно перейти к большему и применять теорему.

При этом интересно (и очень просто), что для любого сопряжения L : C <-> D : R следующие два условия равносильны
* R имеет ранг λ
* L сохраняет λ-представимые объекты

Так как при любом предположении в круговом равенстве

= Hom(A, R(colim X_i)) = Hom(A, colim R(X_i)) = colim Hom(A, R(X_i)) = colim Hom(L(A), X_i) = Hom(L(A), colim X_i) =

все "=" кроме одного (из двух едва различимо выделенных) будут известны (λ-представимость A, λ-фильтрованность X_i и сопряженность). Значит по теореме выше, в частности, таковы все забывающие (R) и свободные (L) функторы между λ-представимыми категориями (только надо проверить что забывающий функтор (в смысле синтаксиса существенно алгебраических теорий) является правым -- мне кажется, это очевидно, попозже напишу).

Внутренние свойства.
(1) В λ-представимой категории λ-малые пределы коммутируют с λ-фильтрованными копределами (для предпучков т.к. пределы и копределы вычисляются поточечно => верно для любых их подкатегорий замкнутых относительно пределов и λ-фильтрованных копределов)
(2) Рефлексивная λ-подкатегория λ-представимой категории является λ-представимой (рефлектор сохраняет λ-представимые объекты и копределы => для каждого объекта рефлексивной подкатегории берем внешний копредел λ-представимых и рефлективизируем его)
(3) Для M монады ранга λ (= её подл. функтор таков) на λ-представимой категории, категория Alg M λ-представима. Это обобщает (2), как случай идемпотентных монад.
(4) В λ-представимой все slice и colsice категории λ-представимы

Ещё одно интересное не упоминавшееся свойство:

Недуализируемость. Если C и C^op локально представимы => C предпорядок.

Естественно из свойства (3) следует, что для любой монады имеющий ранг (синоним: допустимая монада) её категория алгебр локально представима, если подлежащая такова (выбираем больший из рангов монады и подлежащей категории). Если монада недопустима, то и для Set категория алгебр не обязательно локально представима. Например, категория алгебр монады ультрафильтров -- то есть категория компактных хаудсорфовых пространств, не является локально представимой т.к. двойственная ей категория коммутативных унитальных C^*-алгебр локально представима. Мне кажется, что для любой монады без ранга это верно -- интересно найти (возможно в литературе?) общее объяснение этого.

Про epi-mono морфизмы напишу позже, там сама по себе отдельная большая супер интересная тема.

[AR94] Adamek, Rosicky - Locally presentable and accessible categories (1994)
[FB94] Francis Borceux - Handbook of categorical algebra (1994)

Egbert Rijke - Introduction to Homotopy Type Theory (Dec 2022)

Активное влияние на написание книги оказывали: Steve Awodey, Dan Grayson, Andrej Bauer

Ранние версии книги читали и обсуждали: William Barnett, Katja Berčič, Marc Bezem, Ulrik Buchholtz, Ali Caglayan, Dan Christensen, Thierry Coquand, Peter Dybjer, Jacob Ender, Martín Escardó, Sam van Gool, Kerem Güneş, Bob Harper, Matej Jazbec, Urban Jezernik, Tom de Jong, Ivan Kobe, Anders Mortberg, Clive Newstead, Charles Rezk, Emily Riehl, Mike Shulman, Elif Uskuplu, Chetan Vuppulury, Blaž Zupančič

Начал читать -- по-моему, выглядит потрясающим введением, намного более функциональным для начинающего, чем HoTT Book. Не предполагает пререквизитов в теории типов.
(UPD 14.10.2023 После понимания основ по этой книге, рекомендую переключаться на существенно более богатую темами HoTT Book)

Очень хочется, по возможности, везде уже переходить на этот язык -- многое будет становится более естественно и ясно (вчера вот перечитал, например: anafunctor; вспоминается также this). Если действительно (как я надеюсь) несложно быстро переводить любого через языковой барьер при необходимости. На самом деле, у меня сложилось впечатление, что вот такое изучение языка в реальных курсах, как правило, получается намного более интересным и эффективным, чем изучение его самого по себе (хотя и одна лекция под введение, конечно, необходима).

Почему мы хотим изучать кольца с точностью до изоморфизма, а категории с точностью до эквивалентности?

Какое-то время я подумывал над этим вопросом, не понимая что же это вообще значит / как можно превратить это в строгие утверждения?

Только что осознал: это же и есть строгие утверждения в гомотопической теории типов. Я ощущаю очень волнительным (в направлении объективности / сходимости идей), что математики прошлого уже точно знали какое понятие равенства им нужно для тех или иных объектов, хотя ещё не знали почему так, как это устроено.

В двух словах, гомотопическая теория типов отличается от обычного (дискретного) взгляда на математику в том, что в ней "структура равенства" не обязана быть бинарным отношением "да/нет", а может представлять собой ∞-группоид. В частности, это может быть тот же 0-группоид / отношение эквивалентности (обычное равенство для элементов множеств), но может быть и более общий 1-группоид (релевантное понятие равенства для объектов многих 1-категорий), и ещё более общий 2-группоид (соотв. для объектов 2-категорий) и т.д.

К слову, часто в популярных пересказах (в том числе кажется на вики) фразу "в гомотопической теории типов отождествляются изоморфные объекты" понимают неправильно думая, что богатое понятие изоморфизма в ней редуцируется до бедного понятия 0-равенства, когда, на самом деле, это понятие равенства расширяется так, что потенциально может совпадать с изоморфизмом (и быстро становится видно, что это принципиально естественнее, что так и было с самого начала)

По умолчанию типы и простые алгебраические структуры образованные из них — высшие (в семантике теории гомотопий / sSet: типы — ∞-множества т.е. ∞-группоиды, кольца — ∞-кольца и т.д.). Но можно определить n-усеченные типы и n-усечения (в семантике sSet соответствуют усечениям в смысле теории гомотопий — то есть этажам башни Постникова) следующим образом:

X (-1)-усеченный := для любых x, y : X верно, что x = y. В теории типов кванторы и логика устроены так, что эта фраза означает "задана функция, которая по x, y строит элемент типа x = y" (элементы этого типа называют свидетелями равенства — скажем, в некоторых 1-ситуациях это может быть изоморфизм x -> y, ). Ясно, что гомотопически, в предположении исключенного третьего, это условие означает " стягиваемый или пустой": если есть хотя бы одна точка, то функториальное семейство путей реализует стягивание к ней. Эти типы играют роль простых предложений / логических значений (в предположении исключенного третьего соответственно true и false)

X (n+1)-усеченный := для любых x, y : X верно, что тип x = y n-усеченный.

Множества определяются как 0-типы и в гомотопической семантике они в точности совпадают с классическими множествами (для каждых двух элементов их равенство — это просто утверждение/факт). Но тип множеств автоматически является 1-типом, равенство в нем и есть изоморфизм множеств. Тоже самое касается типа групп (определенных через эти множества, а не произвольные типы, я имею в виду, т.е. 1-групп).

1-категория задается следующими данными:
* тип объектов Ob
* для каждых a, b: Ob задано множество Hom(a, b)
* композиция, id
* обычные аксиомы
* естественное отображение =(a, b) -> iso(a, b) является эквивалентностью этих типов [аксиома унивалентности, гарантирующая согласованность изначального равенства на типе Ob и того, что приходит из структуры категории — вообще говоря первое может быть более строгим, что собственно и имеет место для всех категорий в дискретных основаниях, кроме очень узкого класса gaunt категорий]

Итак, легко показать, что тип 1-категорий является 2-типом, а равенством 1-категорий является эквивалентность.

Подробнее объясню скоро на планируемом мини-курсе по HoTT для гомотопистов (анонс будет позже)

1 и 2 доклады мини-курса, продолжение следует.

За этим и другими курсам ассоциированными с Higher geometry можно следить (и, в частности, присоединяться к zoom-трансляциям) с соответствующего форума в телеграмме (можно попросить добавить вас любого участника, например, меня @arcsi)

— Симплициальные множества, нерв категории, сингулярное симплициальное множество, расслоения Кана, комплексы Кана, примеры

— Разница между теориями множеств и теориями типов

— Зависимые типы как расслоения Кана, зависимые термы как сечения (типы как комплексы Кана, термы как точки)
— Универсумы
— Семейства типов, зависимая сумма как тотальное пространство, зависимое произведение как пространство сечений
— Типа равенства как пространство путей, индукция по равенству, трансфер (как следствие индукции по равенству)
— Равенство и гомотопность функций, эквивалентность типов, аксиома унивалентности

— n-типы (-1 логика, 0 множества, 1 группоиды, ..), усечения

— Прекатегории, категории, примеры категорий

https://www.youtube.com/watch?v=1N-Fc1EQZAo
https://www.youtube.com/watch?v=6-GUJBvoQR4

Рассказ быстр и местами может быть неясен, если есть вопросы — пишите!

Сегодня в 16:20 - 19:00 на семинаре по исчислению Гудвили буду делать обзорный доклад по гомотопическим пределам с нуля: начнем с пререквезитов -- локализации, модельные категории, симплициальные множества, гомотопическая категория. Расскажу сформировавшееся у меня представление об этих понятиях и их роли. Потом перейдем непосредственно к цельной картине на практические алгоритмы вычисления гомотопических пределов с помощью Риди структур. Если интересно, приходите в 306 ауд. матфака или попросите у меня ссылку на зум-трансляцию.

А в 21:00 будет первый (в этом семестре) доклад на онлайн-семинаре Дмитрия Павлова:

Сегодня (24 января) в 21:00 по московскому времени (UTC+03) первое (организационное) собрание Quantum Homotopy Seminar.

В этом семестре мы будем изучать статью

Grigorios Giotopoulos, Hisham Sati. Field Theory via Higher Geometry I: Smooth Sets of Fields
arxiv.org/abs/2312.16301

The physical world is fundamentally: (1) field-theoretic, (2) smooth, (3) local, (4) gauged, (5) containing fermions, and last but not least: (6) non-perturbative. Tautologous as this may sound, it is remarkable that the mathematical notion of geometry which reflects all of these aspects – namely, as we will explain: “supergeometric homotopy theory” – has received little attention even by mathematicians and remains unknown to most physicists. Elaborate algebraic machinery is known for perturbative field theories, but in order to tackle the deep open questions of the subject, these will need to be lifted to a global geometry of physics.

Our aim in this series is, first, to introduce inclined physicists to this theory, second to fill mathematical gaps in the existing literature, and finally to rigorously develop the full power of supergeometric homotopy theory and apply it to the analysis of fermionic (not necessarily super-symmetric) field theories.

To warm up, in this first part we explain how classical bosonic Lagrangian field theory (variational Euler-Lagrange theory) finds a natural home in the “topos of smooth sets”, thereby neatly setting the scene for the higher supergeometry discussed in later parts of the series. This introductory material will be largely known to a few experts but has never been comprehensively laid out before. A key technical point we make is to regard jet bundle geometry systematically in smooth sets instead of just its subcategories of diffeological spaces or even Frechet manifolds – or worse simply as a formal object. Besides being more transparent and powerful, it is only on this backdrop that a reasonable supergeometric jet geometry exists, needed for satisfactory discussion of any field theory with fermions.

Ссылка на Zoom доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).
Семинар также имеет Дискорд-сервер для дискуссий, ссылка-приглашение доступна там же.

Я редко пишу в этот канал в последнее время, потому что ежедневные наблюдения и находки окончательно переселились в @truly_part, а содержательные откровения на разные темы ещё дозревают. Но этой весной будет много материала для ultima ratio — со следующей недели я начинаю читать курс по теории категорий.

Цель курса — дать объемное, наполненное примерами, интуицией и связями с разными областями математики, введение в ключевые идеи. Такого, по-видимому, до сих пор нет в литературе. (Постаревшая книга Маклейна, похоже, часто пугает неопытного читателя и рискует сформировать у него ошибочное неприятное представление об этом прекрасном фундаментальном языке, пронизывающем многие разделы современной математики. Книжка Эмили Риел же в этом плане хороша как введение, но там только азбука). Курс также заполняет все пререквезиты к курсам высшей теории категорий и бесконечномерной гладкой геометрии, которые я планирую прочитать на летнем лектории в этом году.

Темы курса — после глубокого обсуждения основ языка (свойств категорий, функторов, пределов, эпи-моно систем факторизаций, сопряжений, монад, 2-категорий и т.п.), мы перейдем к богатым теориям, вращающимся вокруг классов живых категорий и систематически изучающих соответствующие части математической реальности.

Начнем с главной из них — теории локально представимых категорий (= категорий математических структур), а затем перейдем к её веткам: алгебраическим категориям и топосам.

Среди прочего, здесь будет про двойственность Габриэля-Улмера между синтаксисом и семантикой, про топосы как сеттинг для геометрии (в частности, топосы гладких пространств, являющиеся моделями синтетической дифференциальной геометрии), про внутренний язык категорий, про естественные свойства и структуры возникающие у определенных типов математических объектов (регулярные, точные, когерентные, экстенсивные, моноидальные, декартово-замкнутые..) и крутые связанные с ними импликации. Отдельное внимание будет уделено теории замкнутых моноидальных категорий, концептам возникающим в них и, конечно, (как и всюду в этом курсе) воплощениям этих узоров в живой математике (теория вероятности через марковские категории, квантовая информация через кинжальные категории).

Затем, иллюстрируя развитый язык и технику, мы обсудим ряд важных и/или красивых сюжетов из классических и современных работ (например, инициальные алгебры, фрактальные объекты в категориях, монады коплотности и двойственность Исбела и др.).

На протяжении курса, все не вошедшее в него, я буду параллельно рассказывать здесь. Будут листочки с упражнениями и задачами, которые я могу принимать у желающих.

Интерактивные лекции предварительно планируются в 17:00 - 20:00 по средам в НМУ, трансляция в телемосте (ссылка в чате курса), записи на Higher geometry. Можете написать мне (куда угодно), чтобы добавиться на форум HG с чатом курса. Если вы хотите участвовать, но не можете в это время — напишите тоже, если многим окажется неудобно, то рассмотрим вместе другое время.

C0 Равенство

Теория категорий появилась в конце второй половины 20 века, во времена, когда в математике бурно формировались и становились ключевым концептом структуры (алгебраические, топологическо-геометрические, аналитические и др.). В предыдущие века, когда основными объектами изучения были функции, уравнения и числа, люди привыкли к понятию равенства как свойства пары объектов, а именно (говоря, в терминах, насколько мне известно, возникших только в 19 веке) некого особенного транзитивного рефлексивного симметричного бинарного отношения. Но для структур (множеств, групп, топ. пространств) такое понятие равенства, хотя и оставалось необходимым для функционирования используемых теоретико-множественных оснований, оказывалось уже их патологией, а не содержательным математическим концептом. Неважно какие именно элементы составляют структуру, важны только отношения между ними. Так центральным мотивом математического структурализма становилось:

Равенство структур — это изоморфизм. Таким образом, равенство — это структура, а не свойство.

Исторически верным является только первое предложение....

Мейнстримом математики ещё десятки лет было факторизовать по изоморфизмам, продолжая запирать равенства объектов в привычном шаблоне бинарного отношения. Но реальность неумолимо просачивались в этот барьер с разных сторон год за годом, пока, наконец (спустя более полувека (!) после таких манифестов структурализма как «Архитектура математики» Бурбаки) в конце 20 - начале 21 века, категорная революция не воплотилась окончательно. Просто завершив исходный центральный мотив структурализма его очевидным следствием, освобождая равенство из плена невидимых кругов 0-мира, в котором прошло младенчество математики.

Итак, было сказано:

Пока числа или функции — это фундаментально множества, сами множества, группы или пространства — это фундаментально группоиды. Их нельзя разделять с изоморфизмами, это их понятие равенства.

До тех пор, пока я не понимал, что объекты категории Ob C -- это всегда группоид (а возможность сказать "множества объектов" / обратиться к множеству Ob C — это лишь артефакт set-based языка), прошел через столько путаницы и деозориентировки в разных вопросах...

* Пара множеств Ob, Mor
* с операциями dom, cod: Mor → Ob, id: Ob → Mor, ∘: Mor x_{Ob} Mor → Mor, (тут Mor x_{Ob} Mor — это, конечно, пулбэк cod: Mor -> Ob <- Mor: dom т.е. множество пар (f, g) т.ч. cod f = dom g)
* c естественными аксиомами-тождествами (dom и cod композиции ∘ и id, ассоциативность ∘, двухсторонняя нейтральность id)

— это представление категории на языке множеств. Как и любое представление, оно хранит лишние данные, которые не существуют для представляемого объекта.

Ни из категории, ни из группоида (

Группоид — это категория, в которой все морфизмы обратимы.

Но оказывается условия существования "для каждого f существует обратный g" по умолчанию естественнее понимать как дополнительные данные — я буду раскрывать грани этого тезиса далее (собственно прямо сейчас мы обсуждаем его в случае понятия равенства). Так, чтобы отличать "существование как данные" от "(всего лишь) факта существования", используется соответственно терминология "существует / ∃" и "просто существует / [∃]"

Так, по определению, группоид — это категория, снабженная функцией ^{-1}: Mor -> Mor возвращающей обратный морфизм к данному dom f^{-1} = cod f, cod f^{-1} = dom f, f ∘ f^{-1}= id_{dom f}, f^{-1} ∘ f = id_{cod f}. В данном случае и данном контексте, в виду уникальности обратного, по принципу уникального выбора / понимания функций, эти понятия равносильны.

) нельзя извлечь множество Ob C.

О множестве Ob C имеет смысл думать как о термах / представлениях объектов группоида. Взгляните, например, на группоид N, содержащий всевозможные формулы (в некотором синтаксисе), задающие натуральные числа, и хранящий между некоторыми ровно по паре обратных стрелок — их равенства. Так же и элементы в Ob Set, Ob Ring, Ob Top — это термы/конкретные представления/формулы, которые связаны равенствами, только их равенства не уникальны.

Собственно, множества — это в точности тонкие группоиды, то есть те, в которых все множества (A = B) := { f : Mor | dom f = A, cod f = B} не более чем одноэлементны, как в примере с N выше (

Здесь и далее «a : A» это, во-первых, просто свободная от material set theory ассоциаций формально синонимичная нотация для «a ∊ A». То есть вместо того, чтобы думать об a и A как заранее определенных объектах и читать «a ∊ A» как условие на них "если a ∊ A, то ..." (как это и происходит в принятых теоретико-множественных основаниях), мы думаем об «a : A» как «для a из A», «для a имеющего тип A» — т.е. a возникает только в этот момент и не существует в отрыве от A (в частности, эта нотация подталкивает не спрашивать в каких ещё множествах a лежит, соответствуя духу structural set theory). А, во-вторых, та же нотация также непосредственно используется и для группоидов «X : Set», «G : Group», «R : Ring», где она уже транслируется в теоретико-множественный язык как a ∊ Ob C.

). И действительно тот факт, что равенство новых наполняющих математику объектов не было бинарным отношением выражался в точности в том, что в отличие от чисел, эти объекты имели симметрии (автоморфизмы т.е. равенства с самим собой).

Итак,
* совокупности чисел, строк, функций и т.п. — фундаментально множества (= тонкие группоиды)
* совокупности множеств, колец, пространств и т.п. — фундаментально группоиды
* совокупности группоидов, категорий, моноидальных категорий и т.п. — ?

Каково содержательное понятие равенства для группоидов? Чтобы понять значение слов "обратимое преобразование", нужно понять что такое функции между группоидами.

Для данных (представлений) группоидов A, B естественно назвать функцией между ними отображения носителей (Ob, Mor), сохраняющие все операции. Это имеет прямой математический смысл: имена отправляются в имена и равенства, их связывающие, a: x = y отправляются в равенства, связывающие образы f(a): f(x) = f(y). Классически это ещё называется «функтором» или «гомоморфизмом» группоидов, но мне больше нравится молодой термин «функция» здесь, потому что он подчеркивает отсутствие дополнительной структуры, тот же дух понятия, что и у множества.

Звуки из космоса: частью определения понятия является определение его равенства. Что такое равенство функций? Для f, g: A → B, естественно ожидать, что

f = g <=> для каждого a : A, f(a) = g(a)

То есть для каждого a : A задано равенство x_a: f(a) = g(a). То есть справа задана функция из A в... группоид равенств в B

Ob B^I = Mor B
Mor B^I = коммутативные квадраты в B

Легко видеть, что это единственное естественное определение группоида равенств B^I, в виду ожидаемой биекции каррирования-декаррирования Hom(A x I, B) = Hom(A, B^I). Здесь I — эссенция изоморфизма, группоид с 2 объектами и изоморфизмом между ними.

В теории категорий, естественное обобщение этого понятия известно как естественное преобразование — это функтор A x Δ^1 → B (или A → B^{Δ^1}, но тогда вам сначала нужно также дать специальное определение категории справа, а потом убедиться, что оно единственно возможное). Здесь Δ^1 — эссенция морфизма, категория с 2 объектами и 1 морфизмом между ними. Соответственно A x I → B — называются естественные изоморфизмы (упр: это в точности изоморфизмы в категории функторов A → B, с естественными преобразованиями как морфизмами).

Итак,

Равенство (или изоморфизм) группоидов — это обратимая функция f: A → B. То есть, f т.ч. просто существует g: B → A т.ч. fg = id_A и gf = id_B.

(
Классический термин для понятия изоморфизма в 2-контексте «эквивалентность», а «изоморфизм» было принято использовать для таких f, у которых существует обратный в строгом смысле теоретико-множественной кодировки (т.е. буквально биекция носителей, сохраняющая операции). Но т.к. такого рода ассемблерские идеи не имеют самостоятельного математического содержания, мы используем далее слово изоморфизм в его современном едином смысле — обратимый морфим — безотносительно того, о каких объектах идет речь.
)

Так ясно, что группоиды — не образуют группоид, потому что их равенства A = B сами являются группоидами, а не множествами (как это было у группоидов).

Совокупности группоидов, категорий, моноидальных категорий и т.п. — фундаментально 2-группоиды.

И так далее, каждое понятие n-группоида ведет к следующему, которое вбирает в себя все предыдущие. Действительно же стабильным фундаментальным концептом, неподвижной точкой это процесса, оказывается понятие ∞-группоида. Собственно, эта идея была непосредственно заложена в исходном центральном мотиве структурализма: раз равенства — это дополнительные данные, т.е. это такие же объекты как и все остальные, то значит, вообще говоря, есть равенства между равенствами и т.д. до бесконечности.

И каждое следующее понятие все сложнее описывается в стиле набора данных Ob, Mor, id, dom, cod, ∘ с аксиомами, потому что все аксиомы нужно понимать с точностью до равенств на следующих уровнях. То есть ∞-группоид в таких терминах это что-то вроде:

0. Последовательность множеств Ob, Isom, 2-Isom, 3-Isom, ...
1. Функции множеств dom, cod, ∘, id, inv — на всех уровнях
2. Равенства, связывающие эти функции (такие как associativity: (f ∘g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h))
3. Равенства связывающие эти равенства (такие как pentagon: l = r, где l, r: ((f ∘g) ∘ h) ∘ i = f ∘ (g ∘ (h ∘ i)) два, возникающих из associativity, равенства таких выражений / два способа перенести все скобки)
... and so on to infinity...

Явно выписать все эти равенства — сложно, а работать с таким объектом было бы невозмо.. ещё сложнее. Сегодня, вместо этого, мы знаем очень простое, компактное, эффективное и интуитивное определение категории ∞-группоидов — это локализация симплициальных множеств в некотором классе морфизмов (так называемых слабых эквивалентностях) sSet[W^{-1}]. А n-группоиды — представляются простым понятием (n+1)-коскелетонного симплициального множества. (Об этом всем я подробно буду рассказывать летом).

Но так или иначе речь здесь идет о кодировании ∞-группоидов на множествах, как на фундаментальном понятии. Более естественно было бы найти исходно язык, аксиоматизирующий идею/интуицию ∞-группоида как фундаментального понятия, так же как теоретико-множественные основания (такие как ZFC или скорее ETCS) исходно аксиоматизируют нашу интуицию о том что такое множество (а не определяют его как производное от чего-то понятие).

Область математики, в которой люди пытаются это сделать, называется гомотопическая теория типов. Её основания были сложены в 2009-2013 под влиянием множества умов и их усилиям была написана легендарная HoTT Book. Я очень рекомендую её к чтению. При первом чтении мне показалось из неё непростым четко понять сам каркас языка (то что называется теория типов Мартина-Лефа), он намного яснее по-моему выписан в другой молодой книжке, в этом плане может быть лучше начать с неё. Но в остальном HoTT Book написана просто замечательно: просмотрите основы I.1-4, читая только интересные места, а затем переходите сразу к «II.9 теория категория», чтобы понять смысл / увидеть язык в действии.

За прошедшие с тех пор 11 лет, в области произошло несколько впечатляющих и вдохновляющих прорывов, но центральная задача — создания синтетического языка для ∞-группоидов, достаточно выразительного, чтобы прямо в нем можно было формулировать все математические идеи — пока остается открыта. Предложенный язык интерпретируется в категориии ∞-группоидов (равно как и во всех остальных ∞-топосах Гротендика!) и в нем можно записать довольно много математики (и это активно делается, каждый месяц выходят статьи на нем), но мы пока не знаем, например, можно ли в нем собственно определить понятие категории (в общем смысле этого слова, т.е. когда Ob, Mor — ∞-группоиды, а не множества).

Поэтому мы пока продолжаем использовать несколько неестественный и неуклюжий, но (после быстрого обретения точных интуиций и опыта) не мешающий думать и следовать принципу эквивалентности set-based язык.

Касательно терминов, сейчас вместе с «∞-группоидом», синонимично используют слова: «анима», «гомотопический тип», «тип». Мне видится наиболее удачным последнее — оно точнее всего отражает дух этого понятия, как базового концепта, близко к его классическому частному случаю — «множеству», поэтому я использую его (а n-группоиды называются соответственно n-усеченными типами или n-типами).

«Анима» было намеренно придумано Шольце-Клаузеном (их мотивация совершенно естественна и в точности совпадает с моей, но интересно почему они просто не использовали «тип», учитывая, что в этот момент HoTT уже давно освещал мир?), а «гомотопический тип» возникает из того, что согласно гомотопической гипотезе Гротендика, типы — это и есть предмет изучения классической теории гомотопий. А именно, естественный функтор

Top → Type, пространство отправляется в тип, Ob, которого — точки пространства, Isom — пути в пространстве, 2-Isom — гомотопии путей, 3-Isom — гомотопии гомотопий etc

переводит слабые эквивалентности топ. пространств (отображения, индуцирующие изоморфизмы на всех гомотопических группах со всеми отмеченными точками и биекцию на pi_0) в изоморфизмы и индуцированный функтор из локализации Top[W^{-1}] → Type эквивалентность категорий.

Собственно ещё один, идущий отсюда, (но во всех отношениях неадекватный) термин-синоним — «пространства» 🤯 — был почему-то популяризован Лури и поэтому в данный момент все ещё используется массово. Но, конечно, как видно из слов Шольце по ссылке выше и многих математиков, начиная с первого сообщения Урса, здесь, сообщество старается уйти от него.

—

Интуитивно о типах, во-первых, полезно думать как о множествах: для них определены все те же самые понятия и конструкции, к которым вы привыкли в категории множеств (а также все их старшие версии) и, более того, продолжают выполняться все утверждения («более того»? — типовая/структурная точка зрения как раз стирает разницу между понятием и утверждением, как вы могли начать замечать). В том смысле, что некоторые претерпевают естественную когерентную модификацию, то есть в некоторых формулировках происходит обнаружение скрытого числа «1» и немедленная замена его на «∞».

Иллюстрируя множественные интуиции:

* Cюръекией типов называется функция f: A → B т.ч. для каждого b : B просто существует a : A т.ч. f(a) = b (последнее выражение значит, конечно, просто существует a: A и p: f(a) = b).

* Вложением (или инъекций) типов называется функция f: A → B т.ч. для каждых a, a' : A, отображение a = a' → f(a) = f(a') изоморфизм.

Смысл второго понятия: мы в точности выбираем часть объектов -- они остаются с тем же устройством равенства, которое было. Концепт подтипа.

Здесь пока не определялось формально, что такое типы и их функции, но мы знаем это для 1-типов — группоидов и для них можем понять эти определения буквально.

Имеет место

Теорема.
* f: A → B изоморфизм типов <=> f инъекция и сюръекция
* Каждая f: A → B канонически раскладывается как композиция cюръекции и вложения A → im f → B.

Упр. Докажите теорему для 1-типов.

Во-вторых, как отмечалось, типы — это, в точности, гомотопические типы в теории гомотопий. Только не объекты поломанной гомотопической категории, конечно, которые традиционно именуют гомотопическими типами. Эта категория, в действительности, никогда не была местом действия гомотопистов [поэтому они постоянно нуждались в том, чтобы продолжать держать в руках Top] в ней нет никаких пределов и копределов (кроме дискретных), в отличие от категории типов, которая вообще является архетипическим (∞, 1)-топосом Гротендика с самими замечательными категорными свойствами, точно так же, как и в 1-усеченном мире, категория множеств. Попробуйте посмотреть отсюда интуицию пределов и копределов в категории типов (или пропуская формальные проверки с помощью модельных категорий, или посмотрев этот цикл лекций с начала и приблизившись к формальному владению понятием типа.

Упр. Убедитесь, что естественное определение:
* A (-2)-усечен := A = 1 (стягиваемый тип)
* A n-усечен := для каждых a, a' : A, тип (a = a') (n-1)-усечен

Дает следующую вложенную серию подпонятий:
(-2)-типы = 1
(-1)-типы = логические значения (предполагая исключенное третье, как это обычно делается: 0 и 1)
0-типы = множества
1-типы = группоиды
...

Далее для типа X,

* его (-2)-усечением называется терминальный тип t_{-2}(X) = *
* его n-усечением X, называется тип полученный из него применением (n-1) усечения к типам равенств.

Так
* (-1)-усечение типа — это бит его обитаемсти (t_{-1}(X) = 1, если X в кто-то есть / X непуст и t_{-1}(X) = 0, иначе)
* 0-усечение типа — это просто множество его объектов (без всех их симметрий)
* 1-усечение — группоид объектов т.е. объекты с симметриями, но без их 2-симметрий

Как можно почувствовать, это, конечно, соотв. рефлекторы на подкатегории n-типов. А гомотописты знают это понятие как башню Постникова

X → ... t_n(X) → ... → t_0(X) → t_{-1}(X) → t_{-2}(X) = 1

На этом завершим нулевую сказку о понятии равенства — структурализме, унивалентности и пастушьих стадах.

C1 Категория

Категория — это

* Типы Ob, Mor
* Функции dom, cod, ∘, id
* Естественные равенства на них (конечно, связанные естественными равенствами следующего уровня and so on to ∞)
* Унивалентность: id: Ob -> Isom является изоморфизмом типов (где Isom, конечно, подтип в Mor, морфизмов, для которых просто существует обратный)

(как видно, неточность здесь только 3-ем компоненте, с точным выражением которого текущие варианты HoTT собственно пока не могут справиться. Но которое легко формулируется, если добавить в язык дискретный слой, из которого собственно целиком и состоят традиционные теоретико-множественные основания, где мы умеем определять все что хотим, ценой пропасти между формальным текстом и представляемой им содержательной математикой)

Так, например, старое/традиционное понятие категории — это частный случай, который следует называть 1-усеченные категории т.е. такие, что в них все Hom(A, B) = {f : Mor | dom f = A, cod f = B}} являются множествами (0-типами). В этом случае понятно, что все старшие равенства тривиализуются и просто традиционные аксиомы категории на операции, пополненные унивалентностью, в этом случае дают полное правильное определение.

Унивалентность гласит: изоморфизмы объектов то же самое, что их равенства (то есть, все изоморфизмы объектов приходят из равенств между объектами, равенства между изоморфизмами из равенств между равенствами и т.д.). То есть фактор-тип от Ob, возникающий из структуры категории — тривиальный, он совпадает с исходным Ob (а мог быть вообще говоря более грубым, стрелка могла быть некоторой сюръекцией типов Ob -> Ob_cat).

Так, например, в случае классических категорий, таких как Set, Group, Top, аксиома форсирует, что их типы объектов — изначально являются группоидами (группоидами изоморфизмов в соотв. категории), а не множествами, как это привычно в представлении категорий в языке множеств (с множествами объектов стрелка как раз будет нетривиальной сюръекцией, фейля унивалентность, а все остальные аксиомы категории будут выполнены).

Как и можно было почувствовать из естественности аксиомы, оказывается, что, с такой настройкой (зафиксировав так на уровне определения категории принцип структурализма, обсуждавшийся выше) теория категория становится совершенной. Часть списка свидетельств её естественности можно найти по этим nlab-ссылкам homotopy type theory, anafunctor.

И кроме того, в точности это понятие и было определено, во всех этих эквивалентных определениях (∞, 1)-категорий, а одно из них (которое я, кстати, нахожу наиболее естественным, удобным и интуитивным — в терминах полных пространств Сигала), содержит буквально аксиому унивалентности непосредственно. Только Резк, опубликовавший это понятие в 1998 году, за 10 лет до Воеводского, дал ей неприметное имя «полнота».

Как уже читается из предыдущих абзацов, точка зрения на типы, как на базовое понятие приводит к тому, что

Объект, который традиционно называют «(∞, 1)-категория» следует воспринимать и называть (просто) категориями.

А «(n, 1)-категории», восстанавливаются как его частные случаи — это просто те категории, в которых Hom-ы (n-1)-усечены. (см. незатейливый смысл этой терминологии пар индексов по ссылке (n,r)-category). То есть, в частности, по унивалентности, типы объектов n-усечены (но в другую сторону импликации нет, потому что усеченность типа объектов определяется только изоморфизмами в Hom-ах, а остальные морфизмы при таком условии могут иметь иерархию равенств любой высоты).

Аналогично, можно определить n-категории как набор типов Ob, 1-Mor, 2-Mor, ..., n-Mor с операциями и аксиомами — я не уверен сходу что даже примерно писать чисто синтетически, как я это набрасывал для 1-категорий выше (ждем пока кто-нибудь не совершит ключевой прорыв и создаст окончательный вариант HoTT, потом будем разбираться), но они имеют столь же естественное/самоочевидное и красивое определение в терминах n-кратных полных пространств Сигала, как и 1-категории. Итак,

Объект, который традиционно называют «(∞, n)-категория» следует воспринимать и называть (просто) n-категориями.

А «(k, n)-категории», восстанавливаются как его частные случаи — это просто те n-категории, в которых n-Hom-ы (типы n-морфизмов для любой параллельной пары (n-1)-морфизмов) (k-n)-усечены. В частности, тип объектов n-усечен.

Такова естественная картина теории категорий (к слову, одним из пионеров, наиболее опередивших время в этом виденье, был Кан, как это описывается в ведении замечательной книжки Цизинского). Но в этом курсе мы сосредоточимся только на 1-усеченной теории 1-категорий — частном случае, содержащемся все ростке общности и, являющемся (в нынешним изложении), пререквезитом к общей теории категорий (о которой будем говорить летом).

Мне представляется, что именно по последней причине на протяжении значительной части 20 века математическое сообщество (в подавляющем большинстве) было ещё совершенно не готово понять и принять очевидное сейчас следствие структурализма. Для совершения такого прыжка, нужно было накопить достаточного много систематического понимания реальности, выстроить прочные слова, идеи, в которых можно описывать, представлять (и т.о. рассмотреть как возможное) место, в которое ты прыгаешь. Иначе даже задуматься о том, что покинуть привычный шаблон мышления, было невозможно — такую длинную мысль не угадать.

Позже, к концу 20-го века, изложенный выше язык уже четко существовал в умах специалистов (особенную роль в этом сыграли Кан, Квиллен, Гротендик, Жойяль), но он оставался в основном покрыт белыми пятнами и потому все ещё не покидал высококатегорного комьюнити. Все изменилось в 2006 году, когда молодой математик, Джейкоб Лури, опубликовал 700 страничную Higher Topos Theory, которая, вопреки названию, в основном содержала подробное изложение теории 1-категорий.

All of this was a dream. Lurie made it a reality

(c) Tim Capmion

Я очень рекомендую полностью прочитать замечательный ответ Тима по ссылке, включая цитату Кларка Барвика в нем.

На первой лекции мы кратко зафиксировали тезисы, раскрытые выше, после чего говорили про

1) Универсумы и полиморфизм по универсумам
2) Четыре свойства функторов (инъективность и сюръективность | на объектах и на Hom-ах) и их сочетания как формализация понятий "свойство" и "структура"
3) Карту категорий и функторов, захватывающую основные понятия университетской математики
3*) Как бы могла выглядеть категорная карта математики?
4) Понятие алгебраической теории и соотв. алгебраических категорий
5) Первую интуицию естественного преобразования
6) Определение предела/копредела

По некоторым пунктам я хочу дать комментарии, но сейчас я устал писать и продолжу потом.

Удивительная запись прилагается