Еще интересный математический контент. Тут Папич рассуждает о кнопке, которая с вероятностью 0.1% дает бессмертие, а иначе погибает случайный жить в городе с населением 4 миллиона человека. Папич как нажимающий сам можешь умереть.

Уберем моральную сторону вопроса)) Проверяем ток математику, и тут Папич правильно чувствует вероятность, но делает чуть не те выводы

Начнём с того, в чём он прав.

Шанс получить бессмертие за одно нажатие — один к тысяче. А вероятность самому погибнуть за это нажатие — приблизительно один к четырём миллионам. Строго говоря, ещё немного меньше: сначала должен произойти неудачный исход с вероятностью 99,9%, а затем среди жителей не должно повести именно Папичу.

Получается, что на каждом нажатии получить бессмертие примерно в четыре тысячи раз вероятнее, чем погибнуть самому. Поэтому его мысль нажимать кнопку до посинения вполне обоснована.

Но дальше начинаются ошибки.

Продолжение в следующему посте 👇

Первая — фраза о том, что для получения бессмертия должна погибнуть тысяча человек.

Вероятность один к тысяче не означает, что успех обязательно наступит после тысячи попыток. Здесь важно различать две задачи:

Если мы заранее назначаем n нажатий и считаем число успешных исходов X, то получаем биномиальное распределение: X ~ Bin(n; p), где p = 0,001. Мы мысленно проводим все n испытаний, даже если успех уже произошёл.
Для неё математическое ожидание и дисперсия равны:

E(X) = n × p
Var(X) = n × p × (1 − p)

Например, для тысячи нажатий:

E(X) = 1000 × 0,001 = 1
Var(X) = 1000 × 0,001 × 0,999 = 0,999

То есть в среднем на тысячу испытаний приходится один успех. Но это не означает, что в каждой тысяче обязательно будет ровно один успех. Их может быть ноль, один, два и так далее.
А если нас интересует число нажатий T до первого успеха включительно, это уже геометрическое распределение:

P(T = k) = (1 − p)^(k − 1) × p

И его математическое ожидание:

E(T) = 1 / p = 1000 нажатий.

А дисперсия:

Var(T) = (1 − p) / p²
Var(T) = 0,999 / 0,001² = 999 000

Дисперсия измеряется в квадратных единицах. Чтобы оценить масштаб разброса в самих нажатиях, возьмём из неё квадратный корень:

σ(T) = √999 000 ≈ 999,5 нажатия.

Получается, стандартное отклонение почти равно среднему. Разброс большой, поэтому воспринимать тысячу как надёжный срок получения бессмертия нельзя. Это также не означает, что результат обязательно окажется в пределах 1000 плюс минус 1000. Стандартное отклонение не задаёт границы возможных значений.

Вероятность не получить бессмертие за одно нажатие равна 0,999. Так как результаты нажатий независимы, вероятность не получить его за тысячу нажатий составляет:

P(X = 0) = P(T > 1000) = (1 − p)^1000
P(X = 0) = 0,999^1000 ≈ 0,3677 = 36,77%

То есть даже после тысячи попыток отсутствие успеха совершенно обычный исход. Это происходит более чем в трети случаев. И каждое следующее нажатие по-прежнему даёт только 0,1% шанса. Кнопка не запоминает предыдущие неудачи и не задерживает бессмертие.

Вторая ошибка — представление о десяти тысячах неудач как о практически предельном невезении. Если учитывать только выпадение бессмертия, вероятность остаться без него составляет:

— после 1000 нажатий — около 36,77%;
— после 3000 — около 4,97%;
— после 5000 — около 0,67%;
— после 10 000 — около 0,00452%.

Последний исход действительно редкий. Примерно один случай на 22 тысячи таких последовательностей. Но десять тысяч это не математический предел. И слово дисперсия здесь ничего не гарантирует. Дисперсия описывает разброс результатов. Она не ограничивает неудачную серию.

Теперь вернём в задачу возможность собственной гибели. Какова вероятность успеть получить бессмертие раньше неё?

Пусть при каждом нажатии сохраняются одни и те же вероятности (чтобы не вычитать из 4х миллионов по 1ому человеку). Тогда есть три исхода: вы получаете бессмертие, погибаете сами или погибает другой человек и продолжаем.

Обозначим вероятность бессмертия за одно нажатие через p, а собственной гибели через d:

p = 0,001
d = (1 − p) / 4 000 000 = 0,999 / 4 000 000

Обозначим вероятность в итоге получить бессмертие раньше собственной гибели через S. Можно выиграть сразу с вероятностью p. А можно пережить нажатие без успеха с вероятностью 1 − p − d и снова оказаться в той же ситуации:

S = p + (1 − p − d) × S

Отсюда:

S × (p + d) = p
S = p / (p + d) ≈ 0,9997503 = 99,97503%

А вероятность погибнуть раньше:

1 − S = d / (p + d) ≈ 0,0002497 = 0,02497%

Это около одного шанса из четырёх тысяч. Поэтому Папич выбрал верный вариант нажимать кнопку для максимизации шанса стать бессмертным, но теперь это математически объяснено)

Как найти вершину параболы?

Для функции y = ax² + bx + c, где a ≠ 0, координаты вершины находим так:
x₀ = −b / (2a)
Чтобы найти y₀ нужно подставить уже этот x в изначальное уравнение

Пример: y = x² − 6x + 5
Здесь a = 1, b = −6, c = 5.
x₀ = −(−6) / (2 · 1) = 3
y₀ = 3² − 6 · 3 + 5 = −4
Вершина: (3; −4).

Что это показывает?
• x = 3 — ось симметрии. На одинаковом расстоянии от неё значения функции равны: при x = 2 и x = 4 получаем y = −3.
• Поскольку a > 0, ветви направлены вверх. Значит, −4 — минимальное значение функции, которое достигается при x = 3.
Если a < 0, ветви направлены вниз, а в вершине достигается максимум.

Проверь себя: найди вершину и ось симметрии для y = −x² + 6x − 5. Здесь минимум или максимум?

🧩 Как решить биквадратное уравнение?

В нём есть x⁴, x² и свободный член:
ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0.

Главная идея: x⁴ = (x²)². Значит, можно сделать замену и получить обычное квадратное уравнение.

Разберём пример:
x⁴ − 5x² + 4 = 0

① Вводим t = x²:
t² − 5t + 4 = 0

И решаем

Отсюда t = 1 или t = 4.

② Возвращаемся к x:
• x² = 1 → x = ±1
• x² = 4 → x = ±2

✅ Ответ: −2, −1, 1, 2.

⚠️ Значения t — промежуточный результат! После замены обязательно нужен обратный переход.

При решении в действительных числах:
• t > 0 даёт два значения x;
• t = 0 даёт x = 0;
• t < 0 не подходит, ведь x² ≥ 0.

Например, t = −9 отбрасываем, а t = 9 даёт x = ±3.

Схема для запоминания: замена → квадратное уравнение → обратный переход 📌

Чтобы найти 40% от 60, предлагают убрать нули и умножить 4 на 6. Получается 24. Ответ верный, но важно понимать, откуда он взялся.

Процент — это сотая часть числа. Поэтому общий способ такой:

p% от a = a · p / 100

Пропорция помогает увидеть связь двух величин.

Для нашего примера:
40% от 60 = 60 · 40 / 100 = 24.

Здесь действительно удобно сократить множители 10 и 10. Но нули — лишь особенность записи чисел, а не смысл действия.

Проверим на другом примере:
75% от 20 = 75 · 20 / 100 = 15.

Нулей для привычного «трюка» уже не хватает, а формула работает.

В жизни я чаще использую коэффициенты:
40% = 0,4, значит 60 · 0,4 = 24.

Особенно удобно так считать изменения цены:

• Увеличить на 30% — умножить на 1,3.
Сохраняем исходные 100% и добавляем 30%: 1 + 0,3 = 1,3.

• Уменьшить на 30% — умножить на 0,7.
После скидки остаётся 70%: 1 − 0,3 = 0,7.

Например, вещь за 2000 ₽ после скидки 30% будет стоить:
2000 · 0,7 = 1400 ₽.

На занятиях мы разбираем не только порядок действий, но и причины каждого шага!

Почему √(a²) = |a|, а не всегда a?

Кажется, что корень и квадрат можно просто «сократить». Но здесь легко потерять знак и получить неверный ответ.

Главное правило: квадратный корень по определению неотрицателен.

При этом само число a может быть любым:
• если a = 5, то √(5²) = √25 = 5;
• если a = -5, то √((-5)²) = √25 = 5;
• если a = 0, то √(0²) = 0.

Обрати внимание: 5 и -5 после возведения в квадрат дают одно и то же число — 25. Квадрат убирает различие между знаками, а корень возвращает неотрицательный результат.

Поэтому правильная запись:
√(a²) = |a|

Модуль раскрывается так:
|a| = a, если a >= 0;
|a| = -a, если a < 0. И таким образом получим положительное число

С выражениями правило такое же:
√((x - 3)²) = |x - 3|

Дальше смотрим на знак всего выражения x - 3:
• при x >= 3 получаем x - 3;
• при x < 3 получаем -(x - 3) = 3 - x.

Проверим при x = 1:
√((1 - 3)²) = √((-2)²) = √4 = 2.

Если просто убрать корень и квадрат, получится 1 - 3 = -2. Это ошибка, из корня получили отриц результат

Когда можно «разбить» корень произведения?

Правило √(a · b) = √a · √b знакомо многим. Но у него есть условие: в действительных числах оба множителя должны быть неотрицательными.

То есть одновременно:
a ≥ 0 и b ≥ 0.

Разберём пример:
√(9 · 5) = √9 · √5 = 3√5.

Здесь 9 и 5 положительны, поэтому правило применимо. Из девяти мы извлекли корень, а пятёрка осталась под корнем.

Ноль тоже подходит:
√(0 · 7) = √0 · √7 = 0.

Неотрицательное число — это число, которое больше нуля или равно ему.

А теперь ловушка:
√((-2) · (-8)) = √16 = 4.

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Под одним корнем всё в порядке. Но записать вместо этого √(-2) · √(-8) нельзя: по отдельности эти квадратные корни не существуют в действительных числах.

Для разложения нужно проверить каждый множитель.

С буквами это особенно важно. Нельзя считать a и b положительными, если этого нет в условии задачи.

Проверьте себя: при каких x можно написать
√((x − 1)(x − 4)) = √(x − 1) ·√(x − 4)?

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое?

Например, 2^3 = 8. Значит, логарифм 8 по основанию 2 равен 3. Двойка - основание, восьмёрка - результат, тройка - искомая степень.

Но степень не всегда рациональная. Чтобы получить 3 из двойки, не подойдёт ни одно рациональное число. Искомая степень - логарифм 3 по основанию 2. Это точное значение, а 1,585 - лишь приближение. Логарифм позволяет записать такую степень точно, не выписывая бесконечную десятичную дробь.

Есть ограничения: основание должно быть > 0 и не равно 1, а число под логарифмом - > 0. Ведь единица в любой степени остаётся единицей, а положительное основание при возведении в действительную степень даёт положительный результат.

При этом сам логарифм может быть отрицательным: 2^(-1) = 0,5. Поэтому логарифм 0,5 по основанию 2 равен -1.

Логарифм единицы всегда равен нулю: 2^0 = 1.

Главное: логарифм - это степень. Знаешь, в какую степень возвести основание, - знаешь и ответ!

Арифметическая или геометрическая? За минуту!

Обе прогрессии - это последовательности чисел с определённым правилом. Главное - понять, что происходит при переходе к следующему числу.

В арифметической каждый раз прибавляем одно и то же число:
2, 5, 8, 11...
Здесь каждый шаг +3.

Как проверить? Вычти из каждого следующего числа предыдущее. Если разности одинаковые, перед тобой арифметическая прогрессия.

В геометрической каждый раз умножаем на одно и то же ненулевое число:
5, 15, 45, 135...
Здесь каждый шаг *3.

Для проверки раздели каждое следующее число на предыдущее. Если результаты одинаковые, прогрессия геометрическая. Помни: на 0 делить нельзя!

Рост чисел ничего не доказывает: расти и убывать могут обе прогрессии.
8, 4, 2, 1...
Каждый раз /2, то есть *0,5.
Или
8, 6, 4, 2...
Каждый раз -2.

Ряд 5, 5, 5, 5... подходит сразу под оба вида: можно каждый раз прибавлять 0 или умножать на 1.

Проверь себя: 81, 27, 9, 3...
Какая это прогрессия и какое число будет следующим? Ответь в комментариях!