Хотите ёлочную гирлянду идеальной длины? Вот вам формула.

ГЛАВНАЯ НОВОСТЬ 2024

Слышали ли вы про периодических цикад? Я вам сейчас расскажу. Жизненный цикл этих насекомых составляет 13 или 17 лет. И здесь «или» означает, что есть периодические цикады с жизненным циклом в 13 лет, а есть – в 17. Большую часть своей жизни (то есть почти 13 или почти 17 лет) цикады (в виде личинок) проводят практически в полной неподвижности под землёй, а весной тринадцатого или семнадцатого года выходят наружу, залезают на растения, в течение примерно недели превращаются во взрослых цикад, потом спариваются, откладывают яйца и умирают. Из яиц появляются новые личинки, которые закапываются в землю и начинают новый тринадцати- или семнадцатилетний цикл жизни. Вся «земная» жизнь периодических цикад – десяток недель.

Сразу возникает два вопроса: 1) как это тянет на новость года и 2) что периодические цикады делают в блоге про математику?

Восхитительное свойство периодических цикад заключается в том, что их жизни внутри одного поколения полностью синхронизированы. Они закапываются, выходят, взрослеют, линяют, начинают летать, спариваются и откладывают яйца одновременно (буквально с точностью до часа). То есть в какой-то момент на поверхности земли появляется куча личинок. Куча – это около 370 штук на один квадратный метр. А размер одной личинки – сантиметра три. Можете себе представить. А потом вся эта куча начинает одновременно сбрасывать экзоскелеты, летать, петь, спариваться и далее по тексту.

И вот теперь математическая вишенка. Одно поколение периодических цикад появляется на поверхности один раз в 13 лет. Другое – один раз в 17 лет. Внимание, вопрос: раз в сколько лет совершится выход и тех, и других? Пока вы думаете, скажу, что есть версия, что именно такие продолжительности жизненных циклов цикад связаны с заботой о выживании, потому что в таких условиях они крайне редко появляются вместе. Например, если бы один цикл составлял шесть лет, а другой – восемь, то они бы появлялись одновременно один раз в 24 года. Наши герои и героини появляются одновременно один раз в 221 год (если что, это наименьшее общее кратное двух чисел, в данном случае оно равно их произведению). А чем плохо появляться вместе? Да просто тем, что в период взросления, пока они ещё не умеют летать, они являются лёгкой добычей для хищников. Погибнет большая часть одного поколения – останется другое. А если они появятся вместе и их всех сожрут? Вот то-то же.

Ну и наконец. Угадайте, сколько лет назад эти два поколения появлялись вместе? Ровно 221 год назад, в 1803 году! А это означает, что весной этого, 2024 года нас ожидает событие века – одновременное появление двух выводков периодических цикад. Один выводок – около 370 особей на квадратный метр, а два – это же 740! Это же почти по одной трёхсантиметровой штуке на квадратный сантиметр! А потом они все поднимутся в воздух (кого не съедят) и будут хором петь. Жалко, что они только где-то на востоке Северной Америки водятся.

Дальше, в принципе, можно не читать, вся exciting часть уже закончилась. Но, чтобы не сойти за лгунью (потому что я уверена, что хотя бы кто-то из вас полезет читать про периодических цикад в Википедии), я должна сказать вот что: поколений не два, а буквально двадцать два (на самом деле, 23, но два из них уже вымерли). Они довольно регулярно размазаны по годам, один выводок появится в 2025, ещё один – в 2027, и т.д. Событие года заключается именно в появлении двух выводков с разными циклами. Именно этот замечательный (и, замечу, редкий) факт согревает математическое сердце профессора.

А, и вот ещё: международное научное название периодических цикад – Magicicada.

Вот вам картиночка.

Подборка интересных научных (в разных областях науки) каналов: https://t.me/ivoryzoo/4017

Меня попросили записать кружочек для #ицаэ Записала им про простое число Бельфегора (писала про него выше).

Нелегкое дело ограничить Дарью Викторовну минутой

РЕКУРСИЯ

Как известно, в математике рекурсия связана со способом определения функций и числовых рядов. Для определения значения рекурсивно заданной функции необходимо вычислить значение этой же самой функции, но от другого аргумента. Наверное, самый простой пример функции, задающейся рекурсивно – это факториал: n!=n*(n–1)! Чтобы вычислить значение факториала для заданного n, надо вычислить его значение для n–1 и умножить то, что получилось, на n.

В программировании рекурсия – это вызов функции (процедуры) из неё же самой. Здесь простым примером является вычисление ряда чисел Фибоначчи, где для получения n-ого члена надо вычислить (n–1)-й и (n–2)-й.

Рекурсия есть и в физике. Классический пример – это два зеркала, поставленные друг напротив друга. Ещё один пример бесконечной рекурсии в физике – эффект самовозбуждения у электронных схем усиления, когда сигнал с выхода попадает на вход, усиливается, снова попадает на вход и снова усиливается. Такие схемы называются автогенераторами.

В лингвистике рекурсией называют способность языка порождать вложенные предложения и конструкции. Базовое предложение «кошка съела мышь» может быть за счёт рекурсии расширено как «Ваня догадался, что кошка съела мышь», а потом как «Катя знает, что Ваня догадался, что кошка съела мышь», и так далее. Поэтический пример такой рекурсии мы все знаем с детства: «Вот дом, который построил Джек. А это пшеница, которая в тёмном чулане хранится в доме, который построил Джек», и далее по тексту. Считалось (и сейчас до конца не опровергнуто), что рекурсия свойственная абсолютно любому естественному языку. Вроде бы в одном из языков Амазонии — языке «пирахан» – рекурсия отсутствует, но это не точно.

География, наконец. Рекурсивные острова и озёра — это острова или озёра, которые находятся внутри других островов или озёр. Например, остров Ольхон на озере Байкал – рекурсивный остров рекурсивной глубины два (озеро Байкал – это раз, остров Ольхон – это два). Остров Майда, находящийся в Море Кракена на спутнике Сатурна Титане – тоже рекурсивный остров рекурсивной глубины два. Самый высокий уровень вложенной озёрно-островной рекурсии – шестой – можно найти в Канаде. Там, на территории Нунавут, есть озеро Яткайед (что на языке индейцев означает «Белый лебедь»), в котором есть безымянный остров, на котором есть безымянное озеро, в котором есть другой безымянный остров, на котором есть другое безымянное озеро, в котором находится остров Манар, и это единственный рекурсивный остров в мире с таким уровнем рекурсивной глубины.

И вот вам задачка. Найдите рекурсию в гербе Российской Федерации. Только не подсматривайте, сами найдите.

ПРО ОШИБКИ В МАТЕМАТИКЕ

Часто спрашивают, делают ли математики ошибки, и какие ошибки самые знаменитые. Ответ: конечно, делают. Говоря про знаменитые ошибки, можно вспомнить французского математика Анри Пуанкаре. Это тот самый Пуанкаре, чью гипотезу около двадцати лет назад доказал Григорий Перельман. Так вот, Пуанкаре был чемпионом по производству неформальных (и, соответственно, нестрогих) доказательств, которые содержали существенные ошибки. Любопытно то, что большинство из этих ошибок привели к новым и очень глубоким теориям. Известным примером является задача трёх тел (о взаимном расположении небесных объектов), для которой он привёл доказательство разрешимости (неверное, конечно), но фактическая ошибка послужила базой для создания математической теории хаоса, которую Пуанкаре сам позже и развил.

Еще одной известной серией ошибок знаменита итальянская школа алгебраической геометрии, расцвет которой пришёлся на 1885–1935. Специалисты этой школы поначалу придерживались высоких стандартов строгости доказательств, но постепенно стали считать допустимым использовать более неформальные аргументы. Поначалу это не имело негативных последствий благодаря тонкой интуиции конкретных учёных. Но позже стандарты строгости размылись ещё сильнее, и полученные представителями школы результаты оказывались не просто недостаточно обоснованными, но даже безнадёжно неверными. И потом это покатилось, как снежный ком: следующие строили свои неверные доказательства на предыдущих неверных доказательствах, и спустя 30 лет вся школа была полностью дискредитирована, потому что перестало быть понятно, какие из результатов верные и правильные, а какие – нет.

Проблемой последних лет в математике является подтверждение (верификация) получаемых результатов, поскольку часть результатов являются очень узко специальными и не интересными большей части математического сообщества (поэтому они получают иногда очень формальную проверку, а когда-то и вовсе никем не проверяются), а доказательства других (таких как теорема Ферма или Классификация конечных простых групп) настолько объёмны и сложны, что для их подтверждения требуются годы, усилия большого количества математиков и автоматическая проверка доказательств, которая на данный момент разработана только для небольшого (по сравнению с общим) количества существующих доказательств.

Наверняка вы слышали тезис о том, что математически доказанные утверждения невозможно опровергнуть. Ну так вот это неправда. История знает и продолжает производить этому свидетельства.

ПРО СЭРА ТОНИ ХОАРА И ЕГО QUICKSORT

В computer science есть алгоритм сортировки массивов, который называется «быстрая сортировка». Это один из самых быстрых известных универсальных алгоритмов сортировки: он имеет среднюю сложность O(n logn), а это, как известно, лучшее из возможного для алгоритмов сортировки без дополнительных ограничений на массив данных.

Этот алгоритм был разработан Сэром Чарльзом Энтони Ричардом Хоаром в 1959 году, когда он был ещё студентом, а никаким не сэром.

Тони Хоар родился на Цейлоне (ныне Шри Ланка), который был в то время британской колонией. Отец был государственным служащим (представителем колониальной администрации), мать – дочерью чайного плантатора (тоже британка). Образование Хоар получил в Англии, в частности, в Оксфордском университете он получил степень бакалавра по классическим языкам.

После университета Тони Хоар пошёл служить в Королевский военно-морской флот. За время службы в армии он выучил русский язык, а после неё снова вернулся в Оксфорд изучать статистику, и через статистику увлёкся программированием. Из Оксфорда он отправился в СССР, в Московский государственный университет, по программе студенческого обмена. Здесь он обучался компьютерному переводу, а также теории вероятностей в школе великого советского математика Андрея Николаевича Колмогорова. Вот именно в это время он и разработал Quicksort. Это был 1959 год.

А дело было так. В процессе перевода Хоар должен был сортировать слова в русских предложениях, потому что потом ему надо было искать их в русско-английском словаре, который был записан на магнитной ленте в алфавитном порядке. Его первым порывом было использовать самый популярный на тот момент алгоритм сортировки – сортировку вставками, но он быстро понял, что это будет работать очень медленно, поэтому придумал новую идею – которая позже модифицировалась в Quicksort.

В МГУ он проучился всего год, а потом был вынужден уехать из-за разразившегося политического кризиса, который был вызван тем, что в воздушном пространстве СССР (в районе Свердловска, ныне Екатеринбурга) был замечен, а потом сбит самолёт-разведчик США Lockheed U-2. После инцидента первоначально США пытались отрицать существование, задание и цели самолёта, однако после предъявления советским правительством остатков сбитого самолёта и захваченного пилота Гари Пауэрса вынуждены были признать существование программы полётов самолётов-шпионов над СССР. Пауэрс был осуждён за шпионаж и приговорён к десяти годам заключения, однако 10 февраля 1962 года был обменян на советского разведчика Рудольфа Абеля.

Но вернёмся к Хоару. Ему пришлось вернуться в Англию, где он устроился на работу в небольшую компанию по производству компьютеров Elliott Brothers, где занимался реализацией языка ALGOL60.

В качестве одного из рабочих заданий Хоару поручили написать код для ещё одной сортировки – сортировки Шелла. Хоар упомянул своему боссу, что знает более быстрый алгоритм, и тот поспорил на шесть пенсов, что это неправда. Понятно, что в конце концов боссу пришлось признать, что пари он проиграл.

Ну а потом, в 1968 году, Чарльз Энтони Ричард Хоар стал профессором информатики и вычислительной техники в университете Квинс в Белфасте, а позднее вернулся в Оксфорд как профессор вычислительной техники, чтобы возглавить исследовательскую группу Programming Research Group, в задачу которой входило укрепление связей промышленных, академических и государственных структур, работающих в сфере информационных технологий.

В 1980 году Хоар получил премию Тьюринга, а в 2000 году стал сэром – ему был пожалован рыцарский титул за заслуги в области образования и компьютерных наук.

Сэр Тони Хоар жив до сих пор, ему 90 лет. У него 314 научных потомков (это 24 непосредственных ученика, защитившихся под его руководством, и ученики его учеников).

Поздравляю с 29 февраля!

В подобном впервые буду участвовать (см. ниже):

​​Люди делятся на два типа✌: на тех, у кого математика вызывает оцепенение и слёзы😱, и тех, кто чувствует азарт и дух захватывающего приключения🤠, сталкиваясь с новой задачей. Подумав о первых и вторых, мы подготовили для вас специально в день числа Пи научно-популярное ток-шоу «Учёные PRO кино: Математика» с Дарьей Лыткиной.

🔥 Дарья Лыткина — доктор физико-математических наук, зам. декана ММФ НГУ, зав. кафедрой высшей математики СибГУТИ и автор подкаста «Найди Х».

Кто из вас не вспомнит картинку, где персонаж известного фильма окружён парящими в воздухе формулами... Но что, если математики так видят🧐? Какие ещё особенности числового мышления математики скрывают от гуманитариев? Что уж говорить о задачах, которые приводятся в фильмах о математиках: такое комбо из чисел и знаков может сниться лишь в кошмарах, но в фильме всегда найдётся герой, который сможет упорядочить хаос из знаков и решить задачу быстрее и успешнее многих🦸‍♀. Реально ли это? Насколько сложны задачи, которые представлены на экране? Всё это мы сможем узнать от Дарьи Лыткиной. Разбирать вопросы будем на таких известных произведениях как: «Одарённая», «Умница Уилл Хантинг», «Футурама» и другие.

💫Истина — она в числе.

📍Дата и время: 14 марта в 19:00
📍Адрес ИЦАЭ: пр. Карла Маркса 20/1 каб.103
📍Мероприятие бесплатное

У людей нет чёткого интуитивного представления
о том, насколько 1 миллиард больше, чем 1 миллион. 1 миллион секунд — это примерно 11 дней. 1 миллиард секунд равен примерно 31,5 годам.

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЧЁТНЫМ ЧИСЛОМ?

(Попробуйте угадать ответ.)

Чётность. Это понятие в математике обычно применяется только к целым числам. Целые числа (я буду их называть «обычными целыми числами») — это натуральные числа плюс ноль и плюс натуральные числа, к которым приделали знак «минус» (отрицательные). Если вы хотите распространить понятие чётности на какие-то другие объекты, вам надо определить эти объекты и ввести для них понятие чётности, которое можно будет применить к каждому из них.

Гауссовы целые числа. Например, понятие чётности можно расширить на так называемые гауссовы целые числа. Гауссово целое число — это комплексное число вида m+in, где m и n являются обычными целыми числами. Гауссово целое число m+in считается чётным, если числа m и n имеют одинаковую чётность (как обычные целые числа), в противном случае оно считается нечётным. Так, 2 + i нечётно, а 1 + i чётно.

Теперь про бесконечность. Числа «бесконечность» нет ни среди обычных целых чисел, ни среди целых гауссовых чисел. Чтобы решить вопрос о чётности бесконечности, вам, во-первых, надо определить множество, которому она принадлежит, а затем определить понятие чётности для всех элементов этого множества. Вот как это можно сделать.

Сюрреальные целые числа (omnific integers). Сюрреальные числа впервые были определены и построены Джоном Конвеем где-то в 1970 году. Про сюрреальные числа надо писать отдельную статью, в качестве одного факта про них приведу такой: невозможно сказать «множество сюрреальных чисел», потому что они не образуют множество, поэтому говорят «вселенная сюрреальных чисел». Так вот. Среди всех сюрреальных чисел выделяется понятие целого сюрреального числа. И если у нас есть любое сюрреальное целое число n, то либо n/2, либо (n+1)/2 тоже является сюрреальным целым числом (но не одновременно). Это означает, что для сюрреальных целых чисел можно корректно определить понятие чётности: сюрреальное число чётно, если половина его является сюрреальным числом.

Обычные целые числа являются подмножеством сюрреальных целых чисел. Кстати, для сюрреальных целых чисел определено и отношение порядка «быть меньше».

Сюрреальное целое число называется бесконечно большим (или просто бесконечным), если оно больше всех обычных целых чисел. Существует бесконечное множество бесконечно больших сюрреальных целых чисел, некоторые из них чётные, а остальные нечётные. Итак, для бесконечных сюрреальных целых чисел ответ на вопрос из заголовка такой: некоторые из них чётные, а некоторые — нет.

Самое простое (с точки зрения построения) бесконечное сюрреальное целое число обозначается символом ω. Это то же самое ω, что и наименьшее бесконечно большое порядковое число. Это ω чётно, в то время как ω + 1 и ω − 1 нечётны. Все три из них являются бесконечными сюрреальными целыми числами.

С ДНЁМ ЧИСЛА π!

Математик Алек Эйткен (Alec Aitken) обладал феноменальной памятью. В числе прочего, он мог назвать по памяти 1000 знаков числа π. Способности Эйткена привлекли внимание психологов, которые записали и прокомментировали несколько интервью, в которых они фиксировали способности Эйткена.

Вот как описан эпизод, связанный с числом π:

“Алек сидит расслабленный и спокойный и уверенно и безошибочно произносит первые 500 знаков. После этого он делает паузу, чтобы перевести дыхание. Всё это занимает 150 секунд. Речь ритмичная, темп составляет ровно пять знаков в секунду, потом пауза примерно полсекунды, он говорит почти механически. На цитирование каждого блока из пятидесяти символов у него уходит ровно 15 секунд.”

После этого Эйткен безошибочно назвал следующие 500 знаков числа π. Но здесь комментатор пишет, что Эйткен иногда мешкал и даже исправлялся. Когда его спросили, почему вторые 500 знаков дались ему сложнее первых, Эйткен дал интересный ответ. Он сказал, что частично это было связано с усталостью, потому что такое воспроизведение требует больших усилий. Но более занимательной является другая причина, которую он привёл:

“До появления вычислительных машин некоторые математики соревновались в количестве знаков числа π, которые они могли вычислить (конечно, вручную). В 1873 Шэнкс вычислил число π до 707-го знака, но в 1948 году было обнаружено, что он ошибся в вычислении 528-го знака, и поэтому последние 180 знаков из его вычислений были неверными. Но в 1927 году я заучил эти 707 знаков для выступления на студенческом мероприятии, и, конечно, был очень удручён, когда в 1948 году обнаружил, что я выучил нечто неверное. Когда π вычислили до 1000 знака и дальше, я выучил эти знаки заново. Но мне приходится подавлять память о тех неверных 180 знаках, которые я выучил раньше и не способен забыть. “

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ДЛЯ ПРЕКРАСНЫХ ДАМ

Журнал «Дамский дневник, или женский альманах» выходил ежегодно в Лондоне с 1704 по 1841 год (то есть в течение 137 лет без перерыва).

Слово «альманах» в буквальном переводе с арабского означает «астрономический календарь». Поэтому первые альманахи выполняли именно функции календарей. Не был исключением и «Дамский дневник»: он содержал материалы, относящиеся к календарям, включая время восхода и захода солнца и фазы луны, а также важные даты (затмения, праздники, начало и окончание школьного семестра и т. д.), а также хронологию примечательных событий.

У названия альманаха всегда присутствовал подзаголовок, который указывал на его серьезные цели: «Содержит новые достижения в искусстве и науках, а также множество занимательных подробностей: предназначено для увеселения и развлечения представительниц прекрасного пола». К средствам развлечения относились так называемые загадки (enigmata): головоломки, шарады, научные вопросы и математические вопросы. Типичный выпуск этой серии включал ответы читателей на загадки, сформулированные в прошлом году, и набор новых задач, почти все из которых были предложены самими читателями. И загадка, и ответ (обнародованные в следующем году) часто представлялись в стихах. На каждой обложке было изображение выдающейся англичанки.

Иногда подзаголовок очередного выпуска был ещё более конкретным. Например, в 1836 году полное название было таким: «Женский дневник, 1835 год от Рождества Христова, третий после бисекстиля (високосного года – tbp). Создано специально для увеселения и развлечения представительниц прекрасного пола с приложением любопытных и ценных математических работ для учащихся. Сто тридцать второй издаваемый альманах такого рода. Также и «Дневник джентльмена, или математический репозиторий»; альманах на 1835 и 1836 годы Господа нашего, являющегося третьим, бисекстильным или високосным годом, содержащий множество полезных и занимательных подробностей, специально адаптированных для изобретательного джентльмена, находящего занимательным изучение и практику математики».

Первый редактор и издатель Джон Типпер начинал первые выпуски альманаха с публикации календаря, рецептов, медицинских советов, рассказов и заканчивал «специальными рифмованными загадками». К выпуску 1709 года содержание было изменено: рецепты, медицинские советы и рассказы исключены, а головоломок, наоборот, стало больше: как от самого Типпера, так и от читателей. Второй редактор, Генри Бейтон, взял на себя руководство альманахом после смерти Типпера в 1713 году. Он продолжал публиковать альманах с множеством головоломок, а в 1720 году начал включать в него более сложные головоломки, связанные с ньютоновским исчислением бесконечно малых.

На страницах «Дамского дневника» были опубликованы (и затем решены) проблемы, которые впоследствии стали известными (и не очень известными) теоремами. Теорема Наполеона (приписываемая, как легко понять, Наполеону Бонапарту) была предложена в качестве задачи в 1825 году, её аналитическое и геометрическое доказательства были опубликованы в 1826 году.

Теорема Наполеона: Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний.

Есть и романтические истории (как минимум, одна), связанные с «Дамским дневником». Одним из регулярных авторов журнала был некий Роберт Ричардсон. А мисс Элизабет Смейлс писала для журнала задачи в стихах. Ричардсон был очарован остроумием Элизабет, написал ей восхищённое письмо, завязалась переписка, и через непродолжительное время они поженились. Одна из их дочерей, Шарлотта Каролина Ричардсон, впоследствии стала поэтессой, одно из её стихотворений посвящено знакомству родителей, которому способствовал «Дамский дневник». Самое удивительно, что не только родители Шарлотты соединились благодаря журналу, но и воссоединение Шарлотты с матерью тоже произошло благодаря альманаху. Когда Шарлотте было восемь лет, её отец скончался, и мать отправила младшую из дочерей (как раз Шарлотту) на время к тётке на север Англии. Тётка почему-то решила девочку назад матери не возвращать, и Шарлотта прожила с ней больше десяти лет. В попытке соединиться с семьёй девушка отправила в «Дамский дневник» стихотворение, совершенно ясным образом обращённое к матери. На следующий год мать ответила (тоже в журнале и тоже в стихах), и семья благополучно воссоединилась.

Хотя «Дамский дневник», самое популярное из математических периодических изданий, призывал женщин «соединить остроумие и красоту», он привлекал серьезных любителей математики обоих полов. В 1822 году (почти за 20 лет до конца издания альманаха) математический приз журнала выиграл Уэсли Стокер Баркер Вулхаус, которому на тот момент было тринадцать лет. Вулхаус вырос, стал актуарием (специалистом по страховой математике), при этом он имел разнообразнейшие интересы в области теории музыки, проектирования паровозов, измерений и многих других областей, причём во всех этих областях он публиковал книги. Например, его перу принадлежит книга «Очерки музыкальных интервалов, гармоник и темперамента музыкальной гаммы», в которой продвигается 19-тоновая темперация, предполагающая (для измерения музыкальных интервалов) деление октавы на 730 частей, сейчас называемых единицами Вулхауса. Кроме того, ему приписывается формула численного интегрирования (или квадратуры), один из методов вычисления приближённого значения определённого интеграла.

Так вот, этот самый Уэсли Стокер Баркер Вулхаус в 1841 году (когда «Дамский дневник» перестал публиковаться) стал редактором «Дневника леди и джентльмена» — развлекательного математического журнала, пришедшего на смену одновременно и «Дамскому дневнику», и «Дневнику джентльмена». Этот новый журнал издавался ежегодно в период с 1841 по 1871 год. Примечательно, что именно в «Дневнике леди и джентльмена» была опубликована задача о школьницах (предложенная Томасом Киркманом), решение которой вдохновило Киркмана на публикацию своей первой математической работы, положившей начало математической теории комбинаторных схем.

Вот эта задача: Пятнадцать молодых девушек в школе прогуливаются по три в ряд семь дней (каждый день), требуется распределить их на каждую прогулку так, чтобы никакие две девушки не шли в том же ряду.