Поздравляю с 29 февраля!

В подобном впервые буду участвовать (см. ниже):

​​Люди делятся на два типа✌: на тех, у кого математика вызывает оцепенение и слёзы😱, и тех, кто чувствует азарт и дух захватывающего приключения🤠, сталкиваясь с новой задачей. Подумав о первых и вторых, мы подготовили для вас специально в день числа Пи научно-популярное ток-шоу «Учёные PRO кино: Математика» с Дарьей Лыткиной.

🔥 Дарья Лыткина — доктор физико-математических наук, зам. декана ММФ НГУ, зав. кафедрой высшей математики СибГУТИ и автор подкаста «Найди Х».

Кто из вас не вспомнит картинку, где персонаж известного фильма окружён парящими в воздухе формулами... Но что, если математики так видят🧐? Какие ещё особенности числового мышления математики скрывают от гуманитариев? Что уж говорить о задачах, которые приводятся в фильмах о математиках: такое комбо из чисел и знаков может сниться лишь в кошмарах, но в фильме всегда найдётся герой, который сможет упорядочить хаос из знаков и решить задачу быстрее и успешнее многих🦸‍♀. Реально ли это? Насколько сложны задачи, которые представлены на экране? Всё это мы сможем узнать от Дарьи Лыткиной. Разбирать вопросы будем на таких известных произведениях как: «Одарённая», «Умница Уилл Хантинг», «Футурама» и другие.

💫Истина — она в числе.

📍Дата и время: 14 марта в 19:00
📍Адрес ИЦАЭ: пр. Карла Маркса 20/1 каб.103
📍Мероприятие бесплатное

У людей нет чёткого интуитивного представления
о том, насколько 1 миллиард больше, чем 1 миллион. 1 миллион секунд — это примерно 11 дней. 1 миллиард секунд равен примерно 31,5 годам.

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЧЁТНЫМ ЧИСЛОМ?

(Попробуйте угадать ответ.)

Чётность. Это понятие в математике обычно применяется только к целым числам. Целые числа (я буду их называть «обычными целыми числами») — это натуральные числа плюс ноль и плюс натуральные числа, к которым приделали знак «минус» (отрицательные). Если вы хотите распространить понятие чётности на какие-то другие объекты, вам надо определить эти объекты и ввести для них понятие чётности, которое можно будет применить к каждому из них.

Гауссовы целые числа. Например, понятие чётности можно расширить на так называемые гауссовы целые числа. Гауссово целое число — это комплексное число вида m+in, где m и n являются обычными целыми числами. Гауссово целое число m+in считается чётным, если числа m и n имеют одинаковую чётность (как обычные целые числа), в противном случае оно считается нечётным. Так, 2 + i нечётно, а 1 + i чётно.

Теперь про бесконечность. Числа «бесконечность» нет ни среди обычных целых чисел, ни среди целых гауссовых чисел. Чтобы решить вопрос о чётности бесконечности, вам, во-первых, надо определить множество, которому она принадлежит, а затем определить понятие чётности для всех элементов этого множества. Вот как это можно сделать.

Сюрреальные целые числа (omnific integers). Сюрреальные числа впервые были определены и построены Джоном Конвеем где-то в 1970 году. Про сюрреальные числа надо писать отдельную статью, в качестве одного факта про них приведу такой: невозможно сказать «множество сюрреальных чисел», потому что они не образуют множество, поэтому говорят «вселенная сюрреальных чисел». Так вот. Среди всех сюрреальных чисел выделяется понятие целого сюрреального числа. И если у нас есть любое сюрреальное целое число n, то либо n/2, либо (n+1)/2 тоже является сюрреальным целым числом (но не одновременно). Это означает, что для сюрреальных целых чисел можно корректно определить понятие чётности: сюрреальное число чётно, если половина его является сюрреальным числом.

Обычные целые числа являются подмножеством сюрреальных целых чисел. Кстати, для сюрреальных целых чисел определено и отношение порядка «быть меньше».

Сюрреальное целое число называется бесконечно большим (или просто бесконечным), если оно больше всех обычных целых чисел. Существует бесконечное множество бесконечно больших сюрреальных целых чисел, некоторые из них чётные, а остальные нечётные. Итак, для бесконечных сюрреальных целых чисел ответ на вопрос из заголовка такой: некоторые из них чётные, а некоторые — нет.

Самое простое (с точки зрения построения) бесконечное сюрреальное целое число обозначается символом ω. Это то же самое ω, что и наименьшее бесконечно большое порядковое число. Это ω чётно, в то время как ω + 1 и ω − 1 нечётны. Все три из них являются бесконечными сюрреальными целыми числами.

С ДНЁМ ЧИСЛА π!

Математик Алек Эйткен (Alec Aitken) обладал феноменальной памятью. В числе прочего, он мог назвать по памяти 1000 знаков числа π. Способности Эйткена привлекли внимание психологов, которые записали и прокомментировали несколько интервью, в которых они фиксировали способности Эйткена.

Вот как описан эпизод, связанный с числом π:

“Алек сидит расслабленный и спокойный и уверенно и безошибочно произносит первые 500 знаков. После этого он делает паузу, чтобы перевести дыхание. Всё это занимает 150 секунд. Речь ритмичная, темп составляет ровно пять знаков в секунду, потом пауза примерно полсекунды, он говорит почти механически. На цитирование каждого блока из пятидесяти символов у него уходит ровно 15 секунд.”

После этого Эйткен безошибочно назвал следующие 500 знаков числа π. Но здесь комментатор пишет, что Эйткен иногда мешкал и даже исправлялся. Когда его спросили, почему вторые 500 знаков дались ему сложнее первых, Эйткен дал интересный ответ. Он сказал, что частично это было связано с усталостью, потому что такое воспроизведение требует больших усилий. Но более занимательной является другая причина, которую он привёл:

“До появления вычислительных машин некоторые математики соревновались в количестве знаков числа π, которые они могли вычислить (конечно, вручную). В 1873 Шэнкс вычислил число π до 707-го знака, но в 1948 году было обнаружено, что он ошибся в вычислении 528-го знака, и поэтому последние 180 знаков из его вычислений были неверными. Но в 1927 году я заучил эти 707 знаков для выступления на студенческом мероприятии, и, конечно, был очень удручён, когда в 1948 году обнаружил, что я выучил нечто неверное. Когда π вычислили до 1000 знака и дальше, я выучил эти знаки заново. Но мне приходится подавлять память о тех неверных 180 знаках, которые я выучил раньше и не способен забыть. “

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ДЛЯ ПРЕКРАСНЫХ ДАМ

Журнал «Дамский дневник, или женский альманах» выходил ежегодно в Лондоне с 1704 по 1841 год (то есть в течение 137 лет без перерыва).

Слово «альманах» в буквальном переводе с арабского означает «астрономический календарь». Поэтому первые альманахи выполняли именно функции календарей. Не был исключением и «Дамский дневник»: он содержал материалы, относящиеся к календарям, включая время восхода и захода солнца и фазы луны, а также важные даты (затмения, праздники, начало и окончание школьного семестра и т. д.), а также хронологию примечательных событий.

У названия альманаха всегда присутствовал подзаголовок, который указывал на его серьезные цели: «Содержит новые достижения в искусстве и науках, а также множество занимательных подробностей: предназначено для увеселения и развлечения представительниц прекрасного пола». К средствам развлечения относились так называемые загадки (enigmata): головоломки, шарады, научные вопросы и математические вопросы. Типичный выпуск этой серии включал ответы читателей на загадки, сформулированные в прошлом году, и набор новых задач, почти все из которых были предложены самими читателями. И загадка, и ответ (обнародованные в следующем году) часто представлялись в стихах. На каждой обложке было изображение выдающейся англичанки.

Иногда подзаголовок очередного выпуска был ещё более конкретным. Например, в 1836 году полное название было таким: «Женский дневник, 1835 год от Рождества Христова, третий после бисекстиля (високосного года – tbp). Создано специально для увеселения и развлечения представительниц прекрасного пола с приложением любопытных и ценных математических работ для учащихся. Сто тридцать второй издаваемый альманах такого рода. Также и «Дневник джентльмена, или математический репозиторий»; альманах на 1835 и 1836 годы Господа нашего, являющегося третьим, бисекстильным или високосным годом, содержащий множество полезных и занимательных подробностей, специально адаптированных для изобретательного джентльмена, находящего занимательным изучение и практику математики».

Первый редактор и издатель Джон Типпер начинал первые выпуски альманаха с публикации календаря, рецептов, медицинских советов, рассказов и заканчивал «специальными рифмованными загадками». К выпуску 1709 года содержание было изменено: рецепты, медицинские советы и рассказы исключены, а головоломок, наоборот, стало больше: как от самого Типпера, так и от читателей. Второй редактор, Генри Бейтон, взял на себя руководство альманахом после смерти Типпера в 1713 году. Он продолжал публиковать альманах с множеством головоломок, а в 1720 году начал включать в него более сложные головоломки, связанные с ньютоновским исчислением бесконечно малых.

На страницах «Дамского дневника» были опубликованы (и затем решены) проблемы, которые впоследствии стали известными (и не очень известными) теоремами. Теорема Наполеона (приписываемая, как легко понять, Наполеону Бонапарту) была предложена в качестве задачи в 1825 году, её аналитическое и геометрическое доказательства были опубликованы в 1826 году.

Теорема Наполеона: Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний.

Есть и романтические истории (как минимум, одна), связанные с «Дамским дневником». Одним из регулярных авторов журнала был некий Роберт Ричардсон. А мисс Элизабет Смейлс писала для журнала задачи в стихах. Ричардсон был очарован остроумием Элизабет, написал ей восхищённое письмо, завязалась переписка, и через непродолжительное время они поженились. Одна из их дочерей, Шарлотта Каролина Ричардсон, впоследствии стала поэтессой, одно из её стихотворений посвящено знакомству родителей, которому способствовал «Дамский дневник». Самое удивительно, что не только родители Шарлотты соединились благодаря журналу, но и воссоединение Шарлотты с матерью тоже произошло благодаря альманаху. Когда Шарлотте было восемь лет, её отец скончался, и мать отправила младшую из дочерей (как раз Шарлотту) на время к тётке на север Англии. Тётка почему-то решила девочку назад матери не возвращать, и Шарлотта прожила с ней больше десяти лет. В попытке соединиться с семьёй девушка отправила в «Дамский дневник» стихотворение, совершенно ясным образом обращённое к матери. На следующий год мать ответила (тоже в журнале и тоже в стихах), и семья благополучно воссоединилась.

Хотя «Дамский дневник», самое популярное из математических периодических изданий, призывал женщин «соединить остроумие и красоту», он привлекал серьезных любителей математики обоих полов. В 1822 году (почти за 20 лет до конца издания альманаха) математический приз журнала выиграл Уэсли Стокер Баркер Вулхаус, которому на тот момент было тринадцать лет. Вулхаус вырос, стал актуарием (специалистом по страховой математике), при этом он имел разнообразнейшие интересы в области теории музыки, проектирования паровозов, измерений и многих других областей, причём во всех этих областях он публиковал книги. Например, его перу принадлежит книга «Очерки музыкальных интервалов, гармоник и темперамента музыкальной гаммы», в которой продвигается 19-тоновая темперация, предполагающая (для измерения музыкальных интервалов) деление октавы на 730 частей, сейчас называемых единицами Вулхауса. Кроме того, ему приписывается формула численного интегрирования (или квадратуры), один из методов вычисления приближённого значения определённого интеграла.

Так вот, этот самый Уэсли Стокер Баркер Вулхаус в 1841 году (когда «Дамский дневник» перестал публиковаться) стал редактором «Дневника леди и джентльмена» — развлекательного математического журнала, пришедшего на смену одновременно и «Дамскому дневнику», и «Дневнику джентльмена». Этот новый журнал издавался ежегодно в период с 1841 по 1871 год. Примечательно, что именно в «Дневнике леди и джентльмена» была опубликована задача о школьницах (предложенная Томасом Киркманом), решение которой вдохновило Киркмана на публикацию своей первой математической работы, положившей начало математической теории комбинаторных схем.

Вот эта задача: Пятнадцать молодых девушек в школе прогуливаются по три в ряд семь дней (каждый день), требуется распределить их на каждую прогулку так, чтобы никакие две девушки не шли в том же ряду.

ПРО ВАНДЕРМОНДА

Александр-Теофиль Вандермонд был французским математиком, и имя его наиболее известно благодаря определителю Вандермонда. Хотя он действительно внёс значительный вклад в теорию определителей, ни в одной из его четырёх математических работ конкретно этот определитель не упоминается. Ещё более замечательно то, что к математике Вандермонд обратился только в 35 лет, а первой его любовью была музыка, и инструментом – скрипка.

Спустя всего год после того, как он стал заниматься математикой, Вандермонда избрали во Французскую академию наук, несмотря на отсутствие явных признаков математического гения, кроме его первой (и единственной на тот момент) работы. Как уже было сказано, вклад Вандермонда в математику насчитывает ровно четыре работы, написанные в течение двух лет, в 1771 и 1772 гг.

Но Вандермонд занимался не только математикой. Совместно с химиком Лавуазье он проводил эксперименты по исследованию низких температур, в частности, влияния сильного мороза 1776 года. Через десять лет он опубликовал две работы по производству стали. Целью этого исследования было улучшение стали, используемой для штыков, путём экспериментов с различными смесями железа и углерода.

В 1778 году Вандермонд представил в Академию наук первую часть своей работы по теории музыки (вторая часть была представлена через два года). Эта работа Système d'harmonie applicable à l'état actuel de la musique (Система гармонии, применимая к нынешнему состоянию музыки), как ни странно, не предлагала теории музыки, базирующейся на математике, а именно этого можно было бы ожидать от эксперта в обеих областях. Напротив, целью работы было обосновать, что музыканты должны игнорировать любую теорию музыки и при оценке музыки полагаться только на свои тренированные уши. Ожидаемо, работа вызвала споры среди музыкантов, которые разделились во мнениях о том, согласны ли они с Вандермондом.

Несмотря на то, что первоначально идеи Вандермонда были отвергнуты многими музыкантами, с течением времени они получили поддержку, и к началу XIX века Академия наук Франции переместила музыку из области математики в область искусств. То есть до этого времени (и ещё со времён древней Греции – про это когда-нибудь в другой раз) музыка считалась дисциплиной математической. А благодаря Вандермонду она этот статус утратила.

Вандермонд был яростным сторонником Французской революции, начавшейся со штурма Бастилии 14 июля 1789 года. Но ещё до этих событий политика так увлекла Вандермонда, что отвлекла от возможной более продолжительной математической и вообще научной карьеры. На самом деле, плюс к этому он всю жизнь страдал от плохого здоровья, и, возможно, если бы не это, он мог бы активно заниматься и политикой, и научной деятельностью. Мы не знаем.

А определитель Вандермонда погуглите.

ФИЛЬКИНА ПРЕМИЯ

Если вы вдруг пропустили объявление, ещё не поздно присоединиться.

8 декабря 2024 с 17:00 в НГУ пройдёт редкая и уникальная “Филькина премия” – анти-но-не-совсем-научная конференция по математике.

Медаль получит автор доклада с рассказом о самом ненаучном применении своего или чужого исследования. Среди докладчиков — молодые-и-не-очень учёные СО РАН, а также студенты и аспиранты НГУ.

Это вторая Филькина премия в истории НГУ, в 2021 году медаль получил доклад об оптимизации распространения слухов. На той же конференции были доклады о математическом способе избежать полицейского преследования, о капустных и других фракталах, и о коде, который способны писать котики.

Подробности на сайте конференции. Регистрироваться уже поздно, можно прийти так. Ауд. 212 ректорского корпуса НГУ.

ЕЩЁ ОДНО ПРОСТОЕ ЧИСЛО МЕРСЕННА

21 октября (2024 года) Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) объявил об открытии нового самого большого (из известных) простого числа. Для специалистов по теории чисел множество простых чисел имеет такое же значение, как периодическая таблица Менделеева для химиков: простые числа – это нерасщепляемые «кирпичики», из которых «собираются» все остальные числа. Со времён Евклида известно, что их бесконечно много; по теореме о распределении простых чисел, доказанной в 1896 г., количество простых чисел, меньших числа x, асимптотически равно x/ln(x), то есть среди целых чисел простые числа встречаются тем реже, чем дальше вы продвигаетесь. Математики восприняли этот факт как вызов и с тех пор ведут постоянный поиск всё больших простых чисел.

Самое новое наибольшее простое число относится к категории так называемых простых чисел Мерсенна. Эти числа появляются ещё у Евклида в его работе о совершенных числах. Совершенное число — это число, которое равно сумме всех своих собственных делителей. Например, совершенными числами являются 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14. В IX Книге «Начал» Евклида говорится, что если число 2ⁿ – 1 является простым, то 2ⁿ⁻¹(2ⁿ – 1) является совершенным. И наоборот, любое чётное совершенное число имеет такой вид (но до сих пор неизвестно, существует ли нечётное совершенное число).

Изучением совершенных чисел занимались Декарт и Ферма, а также французский священник (а по совместительству математик, физик, философ, богослов и теоретик музыки) Марен Мерсенн (1588–1648), который вёл активную переписку с ними обоими. В 1644 году Мерсенн опубликовал список всех известных на тот момент совершенных чисел. Их было восемь, последнее было построено в соответствии с утверждением Евклида в виде (2³¹ – 1)2³⁰ = 2 305 843 008 139 952 128. Чтобы расширить список совершенных чисел, Мерсенн стал искать другие большие простые числа вида 2ⁿ – 1. Оказалось, что, если 2ⁿ – 1 является простым числом, n тоже должно быть простым, хотя обратное неверно: есть примеры, когда n является простым числом, а 2ⁿ – 1 – нет. Числа вида 2ᵖ – 1 (для простого p) теперь называются числами Мерсенна.

Мерсенн утверждал, что с помощью этого метода нашёл ещё три совершенных числа, но на самом деле из найденных им чисел только одно является совершенным. Тем не менее, его тактика поиска простых чисел среди чисел Мерсенна (конечно, при его жизни их ещё никто так не называл) была очень хорошей, она была даже лучше, чем он сам предполагал. Еще в 1644 году Мерсенн сетовал, насколько сложно понять «являются ли 15-значные или 20-значные числа простыми, поскольку даже целого столетия недостаточно для такого исследования каким-либо известным на сегодняшний день способом». Но последующий прогресс в теории чисел сделал процесс определения, является ли число Мерсенна простым, значительно более доступным, чем тот же самый процесс для случайного целого числа, состоящего из того же количества знаков, и почти все обнаруженные самые большие простые числа были именно такого типа.

Самое свежее простое число Мерсенна (оно 52-е по счёту), вычисленное для p=136 279 841, имеет более 41 миллиона знаков (их перечисление со скоростью 100 000 знаков в секунду можно посмотреть в этом видео). Это число было найдено Люком Дюрантом (ему 36, и он когда-то участвовал в разработке видеокарт NVIDIA), и на поиск потребовался примерно год вычислений.

Для этого Дюрант использовал распределённые вычисления на серверах в 24 центрах обработки данных. Такой вид вычислений использовался для нахождения последних 17 самых больших простых чисел; инновация, которую использовал Дюрант, состояла в том, что, вместо центральных процессоров (CPU) он использовал графические процессоры (GPU), которые работают почти на порядок быстрее. Это позволило найти простое число, которое на 16 миллионов знаков длиннее последнего самого большого простого числа, обнаруженного в 2018 году.

Дюрант, вложивший в проект 2 миллиона долларов личных средств, представляет его как способ показать людям, чего они могут достичь, если будут работать вместе: «Масштабы вычислений, доступных в облаке, практически непостижимы ... Мы обладаем этими невероятными системами, так давайте поймём, как их лучше всего использовать».

ГОД 2025

Кажется, только ленивый ещё не заметил (прочитал/написал), какой замечательный наступил год. Ведь 2025=45², а 45=20+25, и получается, что 2025 = (20+25)².

Это не все восхитительные свойства числа 2025. Я поделюсь теми, которые я знаю, а вы напишите, если знаете ещё какие-то.

Итак,

2025 = (20+25)²
2025 = (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)²
2025= 0+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610+987 (сумма первых семнадцати чисел последовательности Фибоначчи)
2025 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³

2025 – квадрат числа 45, которое является треугольным числом (T₉=45). Это означает, что, если взять 45 точек, их можно расставить в форме правильного треугольника (как, например, три точки или шесть).

2025 – сумма двух последовательных треугольных чисел: 2025 = 990+1035=T₄₄+T₄₅ (или T₄₅+T₄₆, если начинать последовательность треугольных чисел с нуля, а не с единицы).

Если записать число 1 один раз, число 2 два раза, число 3 три раза, и так далее до числа 45, которое надо записть сорок пять раз – вот так: 12233344445555...454545, – то получится число из 2025 знаков, (что, как вы помните, является квадратом 45). Такого совпадения не происходит ни для одного другого числа, большего 1.

Существует ровно 2025 чисел от 1 до 9999, у которых последняя цифра строго больше остальных цифр (если они есть): 1, 2, 3, 4, ..., 8869, 8879, 8889.

У 2025 ровно 15 делителей, при этом 2025 делится на 15 (нацело). Это означает, что 2025 является тау-числом.

Сумма цифр числа 2025 равна 9, что означает, что 2025 делится на 9. Числа, которые делятся на сумму своих цифр, называются числами харшад (в переводе с санскрита: дарящими великую радость).

2025 является вежливым числом (polite number), потому что его можно записать (причём несколькими способами) в виде суммы последовательных натуральных чисел, например, 403+404+405+406+407. На самом деле, это свойство совсем тривиальное, потому что невежливым числом может быть только степень двойки.

2025 является числом Керзона (Curzon number), это такие числа n, для которых 2n+1 делит 2ⁿ+1.

2025 является злым числом, потому что число единиц в его двоичной записи чётно. 2025 в двоичной системе счисления записывается как 11111101001.

ОПЯТЬ 25

Полюбуйтесь на разнообразную матемагию чисел 25 и 2025 в прикреплённой статье.

РЕБЯТА

Простите меня за оффтоп, но не могу не поделиться свежедобытой информацией, с которой ваша жизнь мгновенно изменится в лучшую сторону.

Те, кто хорошо знает Дарью Викторовну, в курсе, что в число её (обширных) интересов входят языки. Так вот, буквально сегодня я узнала, что слово «Арктика» происходит от греческого слова arktos, которое означает ‘медведь’ (в числе других схожих значений). И как раз в Арктике (не путать с Антарктикой) водятся белые медведи! А вот Антарктика — это типа антиарктика (‘не медведь‘), и там водятся пингвины (не медведи).

В общем, мне кажется, это огромное подспорье для всех, кто постоянно путает Арктику с Антарктикой.

На всякий случай скажу, что Антарктика буквально означает ‘напротив Арктики’, а то вы подумаете, что я какой-то народной этимологией пользуюсь.

Вот тут есть анекдот про математиков , рассказанный Дарьей Викторовной. С 1 апреля — днём математика (у вас вся спина белая)!