Архитектура незавершённого, ч. 1

Пожалуй, одно из самых известных противопоставлений математики остальным наукам связано с представлением о вечности её результатов. Дескать, если мы однажды доказали математическое утверждение, то доказали его насовсем. Прошло ли с момента доказательства несколько дней или несколько столетий, говорил ли его автор на греческом или на языке азанде, работал ли он в открытом обществе или в тёмные времена — всё это, казалось бы, не имеет значения. Если доказательство корректно, его выводы сохраняют силу независимо от обстоятельств, в которых оно было получено. Насколько обоснованно такое представление о математике — отдельный вопрос, который я сейчас оставлю в стороне.

Но я хочу остановиться на смежном с этим вопросом аспекте аспекте математического знания, а именно, возможности его концептуальной пересборки. Несомненен факт изменения способов говорить о математических объектах и взаимодействовать с ними. Более того, в некоторых случаях имеет место пересборка самого объекта, а иногда и пересборка самого способа пересборки. Примеров такого рода пересборок можно приводить несколько, но я ограничусь только самой известной — т.н. кризисом оснований (Grundlagenkrise). Впрочем, мне сейчас интересна не столько история самого кризиса, сколько метафорика, посредством которой описывались (мета)математические процессы. Так, Герман Вейль в предисловии к "Континууму" (1918) пишет:

В этой работе не ставится задача прикрыть «несокрушимую скалу», на которой возведено здание анализа, деревянной декорацией в духе формализма, чтобы убедить читателя — и в конечном счёте самого себя — в том, будто это и есть подлинный его фундамент. Напротив, я придерживаюсь здесь того взгляда, что здание анализа в значительной мере возведено на песке. Думаю, что это зыбкое основание может быть заменено надёжными, прочными опорами <...>.

Впрочем, следы архитектурной метафорики можно найти ещё раньше у Гильберта, в "Логических принципах математического мышления" (1905), однако у Гильберта она лишена какого бы то ни было катастрофического флёра, скорее наоборот:

Здание науки возводится не так, как жилой дом, где сначала прочно закладывают фундаментные стены и только потом приступают к возведению и обустройству жилых помещений. Наука предпочитает как можно скорее обзавестись помещениями, в которых можно удобно расположиться и свободно хозяйничать, и лишь впоследствии, когда обнаруживается, что кое-где непрочные фундаменты не выдерживают дальнейшей надстройки, принимается подпирать и укреплять их. В этом нет никакого недостатка — напротив, таков правильный и здоровый ход развития науки.

Сходную, хотя и несколько иначе используемую, образность можно встретить в "Архитектуре математики" (1948) Бурбаки, где последние сравнивают математику с

<....> большим городом, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие, все более удобные.

Архитектура незавершённого, ч. 2

Примечательно, что эта метафора появляется у Бурбаки в контексте обсуждения вопроса о единстве математики. Время полиматов, подобных Лейбницу осталось в далёком прошлом, а последнего mathematicus universalis в лице Гильберта отчётливо застало лишь первое поколение Бурбаки — так, уже при их жизни математика вступила в эпоху, когда представители различных областей знания начинали постепенно переставать понимать друг друга (на что, собственно, Бурбаки и обращают внимание в начале своей статьи). Однако одновременно с этим происходил и в каком-то смысле обратный процесс, который возглавила "структуралистская директория" в лице, собственно, Бурбаки, заключающийся в установлении связей между (ранее) относительно автономными областями, переописании уже известных результатов в рамках более общего понятийного аппарата. Собственно, именно этот процесс и позволял, по мнению Бурбаки, говорить о математике как о некотором едином целом.

Уже на этом этапе у нас возникает соблазн ограничиться незамысловатым наблюдением, заключающимся в том, что математика развивается не только путём получения новых результатов, но и посредством систематизации старых. Впрочем, обратная сторона подобных чрезмерно понятных формулировок заключается в том, что они являются тривиальными, и, как следствие, если не бессодержательными, то во всяком случае не требующими каких-то особых наблюдений. Я, в свою очередь, хочу обратить отдельное внимание на факт того, что изменение понятийного аппарата нередко сопровождается изменением (условия, при которых эти изменения происходят, сами в свою очередь требуют отдельного историко-эпистемологического исследования) самих исследовательских задач, способов их постановки и даже того, что в рамках соответствующей дисциплины считается заслуживающим исследования объектом (это то, что Лео Корри (2004) вслед за Иегудой Элканой (1981) называет образом знания (image of knowledge)). И что не менее важно (или даже более) подобные изменения вовсе не обязательно происходят посредством замены одной концептуальной системы на другую, напротив, уже известные результаты могут сохраняться, просто их меняется их эпистемическая роль. Возможно, Grundlagenkrise кажется не вполне уместным примером, хотя ответ на вопрос о том, являются ли Mengenlehre Кантора, Grundgesetze Фреге, аксиоматизация Цермело (1908) и аксиоматизация Неймана (1925, 1928) разными системами, развивающими одну и и ту же концепцию или всё-таки по существу различными, не вполне очевиден.

Эта метафорика развивается у Гротендика в "Урожаях и посевах" (1986) (цитата очень красивая, но очень большая, можете почитать её здесь и здесь), где он предлагает различать математиков, довольствующихся унаследованным ими концептуальным аппаратом, и математиков, стремящихся создавать новые понятийные конструкции. Первые, по его словам, словно бы «получили в наследство большой и красивый дом со всеми удобствами», но при этом, как правило, не задаются вопросами о том, почему он был построен именно таким образом, откуда взялись его инструменты и можно ли было бы устроить его иначе. Сам же Гротендик относит себя к другому роду математиков, «чьё наслаждение и чье стихийное призвание — беспрестанно строить новые дома».

Там же он сравнивает исследователя, пытающегося навязать изучаемым объектам заранее подготовленную теоретическую конструкцию, с плохим архитектором, который составил все свои планы, ещё даже не осмотрев участок, не изучив его возможностей и особенностей. Примечательно, что он специально различает математические структуры, которые, согласно его представлению, мы обнаруживаем, и теории, создаваемые для их описания. То есть речь явно не о возможности произвольного конструирования математических объектов, а о характере взаимодействия исследователя с предметом своей работы.

Архитектура незавершённого, ч. 3

Въедливый читатель на данном этапе может задать закономерный вопрос — зачем весь этот разговор об архитектурности? Разве это не более, чем красивая метафора? А в контексте эпистемологии уж точно не новая, вон уже у Декарта в "Рассуждении о методе" (1637) есть! Так-то оно так, образу перестраивающегося здания как эпистемического процесса уже не одна сотня нет. Правда, вопрос о том, каким объяснительным потенциалом обладает этот образ (особенно в случае математического знания), на мой взгляд является открытым.

Плодотворность этой образности добавляет Ричард Сеннет в "Открытом городе" (2006) (непосредственно о математике он, разумеется, ничего не пишет), где он пишет следующее:

Обсуждение стен и границ логически подводит нас ко второй систематической характеристике открытого города — незавершённости формы. Может показаться, что незавершённость противоречит структурной организации, однако это не так. Проектировщику необходимо создавать физические формы особого рода — «незавершённые» в некотором специфическом смысле.

Например, когда мы проектируем улицу таким образом, что здания оказываются отодвинутыми от линии застройки, оставшееся перед ними свободное пространство не становится общественным пространством в полном смысле слова; скорее, само здание оказывается отстранённым от улицы. Практические последствия этого хорошо известны: пешеходы, как правило, избегают подобных углублений в застройке.

Гораздо удачнее расположить здание ближе к улице, включив его в окружение других зданий. При этом, становясь частью городской ткани, оно уже не будет открывать взгляду все элементы своего объёма целиком. Таким образом, незавершённость возникает в самом восприятии объекта, в том, как мы воспринимаем то, что он собой представляет. Незавершённость формы распространяется и на само окружение зданий. <...> И теперь здания приобретают собственно городскую ценность благодаря своим отношениям друг с другом; со временем они становятся незавершёнными формами, если рассматривать их по отдельности, вне этих отношений. Незавершённость формы — это прежде всего своего рода творческое кредо.

Примечательно, что по Сеннету открытое проектирование предполагает не только решение уже имеющихся проблем (problem solving — ср. с одноимённой классификацией Тимоти Гауэрса в его знаменитом эссе), но и обнаружение новых (problem finding). Конечно, прямой перенос нормативных установок, связанных с социальным устройством городского пространства, на математическое исследование, — предприятие достаточно смелое, однако вопрос того, что удачно организованная математическая теория помимо предоставления средств для решения определённого круга задач, позволяет формулировать задачи, которые в рамках предшествующего концептуального аппарата могли попросту не возникнуть.

Развитие этой метафорики, как мне кажется, местами неплохо схватывает то, как изменяется математическое знание. Мы без труда можем представить себе ситуацию, в которой уже возведённая конструкция сохраняется практически без изменений, но появление новых построек существенно меняет её место в общей архитектуре города. Впрочем, можно представить и более радикальный случай, когда реконструкция некоторой области оказывается связана с изменением самого принципа её организации. Наконец, нам вовсе не обязательно полагать, что у подобного строительства существует некоторый окончательный проект, успешная реализация которого однажды положит конец дальнейшим перестройкам.

Архитектура незавершённого, ч. 4

Суммируя происходящее, можно сказать, что разговор о математической архитектуре, как мне кажется, позволяет несколько иначе поставить вопрос о (долго)вечности математического знания, с которого я и начинал. Даже если мы согласимся, что доказанная теорема сохраняет свою истинность независимо от исторических обстоятельств, отсюда ещё не следует, что неизменными остаются способы её понимания, обоснования и употребления. Результат при этом продолжает существовать в системе математического знания, неоднократно меняя своё место в ней, а вместе с этим — и ту роль, которую он играет в дальнейшем развитии дисциплины.

О конкретных примерах пересборок такого рода я поговорю как-нибудь в другой раз.

Всем любителям Фихте и хулителям Петра (ну или наоборот)

Из письма В. А. Белинского к М. А. Бакунину

В эту субботу читаю лекцию в Казани