Прикольная задача по игрушкам из достаточно популярного источника

Простая и приятная задачка на последовательности

И еще геомка заодно

Красиво (и кажется просто!)
Отмеченные точки, образующие треугольник и т. пересечения медиан - центры соответствующих окружностей

Зеленая точка делит дугу окружности на две равных синих
Красная точка - центр описанной окр. треугольника
Доказать вписанность четырехугольника

Дано натуральное n. Докажите, что при некотором натуральном m у числа (m^3 + m) ровно один или ровно два различных простых делителя, больших n.

После очень долгого перерыва задачка
Надеюсь в будущем будет больше постов

Задача из шортлиста 2017

Задача с отбора на сборы цпм, на туре показалось сложной, однако как и придумал прямо на туре в самом конце, на самом деле это просто угадайка точки

Формулировка: Дан прямоугольный треугольник AA'B; на A'B выбирают нефикс. точку C; (AA'C) пересекает (CDB) в точке Е, отличной от С, где D - середина AC
Доказать что все возможные DE проходят через одну точку

Равнобедренная трапеция, касательная в точке D; доказать коллинеарность FIH;
Решение простое и будет почти сразу в коментах, вопрос к вам, есть ли простое решение в векторах?

Дневное неравенство
Спойлеры: я знаю только достаточно сложное решение, поэтому будет классно увидеть решение проще, свое же отправлю (оно уже затехано кое-как) во вторую половину дня

И снова геометрия
Скорее всего очень известные задачи, однако я не нашел, фактически связанные задачи, поэтому публикуются вместе

Вечерние графы
Источник: вроде как задача с юмт прошлых лет, была последней в командной в какой-то лиге

Довольно известная задача
Была на разных сборах и достаточно простая

Аналогично предыдущей задачи является известной задачей и к тому же очень простой

Достаточно простой
Источник: KNO2020

Дан треугольник ABC, на стороне AB как на диаметре построена окружность W, пусть A_1, B_1, C_1 точки касания вписанной окружности w сторон BC, AC, AB соответственно, пусть W и w пересекаются в точках X и Y, докажите, что X, Y, C_1, и M - середина AB лежат на одной окружности.

Задачка с JBMO15 P2

Простая на инварианты

очередной баян