فرمول کلی ریشه های معادله درجه چهار. (حتی نمی خوام نگاهش کنم!)

Word problem:
فرض کنید مجموعه ای متناهی از حروف دارید و مجموعه ای متناهی از قوانین که نشان می دهد چه ترکیب هایی از حروف یکسان شمرده می شوند. با توجه به اینکه کلماتی که می توانیم بسازیم شمارا اند آیا می توان الگوریتمی ساخت که تمام کلمات را لیست کند و در ضمن هیچ دو ترکیبی از کلمات با توجه به قواعد یکسان شمرده نشود؟
ثابت شده است که خیر! نمایش هایی متناهی وجود دارند که یکسان بودن یا نبودن دو ترکیب حروف تصمیم ناپذیر است! گروهی که در تصویر توسط مولد ها و رابطه های متناهی نمایش داده شده یک مثال از این نوع است.

وجود این گروه ها اولین بار توسط Nikov اثبات شد. بعدا توسط افراد دیگری اثبات های ساده تر و نمایش هایی ساده تر پیدا شد. به عنوان مثال این مقاله به صورتی قابل فهم تر و با استدلالی ترکیبیاتی چنین گروهی را استخراج می کند.

این هم یادداشتی که برای اولین بار گروهی که در تصویر به آن اشاره شد را استخراج کرد.

شروع این یادداشت هم جالب بود :))

از شگفتی‌های ریاضیات مدرن، وجود مساله‌های تصمیم‌ناپذیر است. ریشه‌ی نظری وجود این پدیده البته اصل ناتمامیت گودل است؛ که نشان می‌دهد در هر دستگاه اصل موضوعی توقع یافتن چنین مساله‌هایی می‌رود.

جایزه شاونت سال ۲۰۱۱ به مقاله‌ای از بیورن پونن رسیده‌است که در آن تصمیم‌ناپذیری را در حیطه نظریه‌ی اعداد بررسی کرده‌است. این مقاله در مجله نوتیس انجمن ریاضی امریکا چاپ شده‌است. اطلاعات کتاب‌شناسی این مقاله به شرح زیر است:

Bjorn Poonen, Undecidability in Number Theory, Notices of the American Mathematical Society, 55 (2008), no. 3, 344–350.

@CafeInfinity

وقتی تصمیم گیری درباره ی مزرعه دست خوک هایش باشد:

واقعیت این است که در کشوری که اقتصادش کاملا فلج است قرار نیست یک سال کم کردن از دوره ی کارشناسی و نادان تر کردن دانشجویی که تا همینجا هم به اندازه ی کافی به سمت پرتگاه نادانی هل داده شده است کمکی به بازار کارش کند. اگر قرار بود بازار کاری برای دانشجوها باشد بود، به همین سادگی. اما نمی گویند در اقتصاد ما جایی برای جوان ها نیست. در عوض با ژست دلسوزانه ای می گویند:مشکل نداشتن مهارت آن هاست!
فرمالیته و افتضاح بودن این طرح ها هم هزاران بار است که مشخص شده. آن همه کتاب های بنجل، مهارت های زندگی، دانش خانواده و... مگر چیزی آموختند؟ یا این دوره های کارآموزی مهندسی ها که برای اکثر دانشجوها کاملا فرمالیته می گذرد و بیشتر کار نیاموزی ست. آن همه درس های من درآوردی برای دانش آموزان مگر زندگی کردن به آن ها می آموزد؟تمام این ها صرفا وقت آموزش تخصصی را گرفت و دانش آموزان را بیشتر به سمت ندانستن برد.

بدیهی است که کسی در این طرح ها دلش به حال دانشجویان نمی سوزد، بحث چیز دیگری است.

#یادداشت

جز مقالات مورد علاقه من

💠 نظرات مایکل عطیه ریاضی دان بریتانیایی درمورد آندره ویل ریاضی دان فرانسوی


🆔 @khalaghiatriazi 💯

آندره ویل آمد و در اینجا یک دوره‌ درسی ارائه کرد؛ فکر می‌کنم در پایان سال اولم بود. او مقاله‌ای درباره‌ کلاف‌های برداری و هندسهٔ جبری، به سبک خودش، نوشته بود. اما رابطه‌‌ام با او کمی پر تنش بود. در واقع، ماجرا این‌طور بود که او این دوره را در ترم سوم ارائه داد؛ دوره‌ای بر پایه‌ درس‌هایی که پیش‌تر درباره‌ هندسه‌ی جبری و کلاف‌های تاری داده بود. و این درس‌ها واقعا هم‌پوشانی زیادی داشت با چیزی که من برای رساله‌ «جایزهٔ اسمیت» می‌نوشتم. و بنابراین خیلی خوشحال بودم؛ این مرد بزرگ داشت درباره‌ موضوعاتی درس می‌داد که من مستقل از او رویشان کار می‌کردم. پس نسخه‌ نخست دست‌نویس تایپی‌ام را به او نشان دادم، به این امید که کمی تشویق شوم.

او آن را با خود برد، یکی دو هفته نگه داشت، و بعد آن را به من برگرداند. و هیچ نظری نداد؛ و من کمی ناامید شدم. سپس خیلی با دقت نگاه کردم و دیدم روی صفحه‌ی رویی — آن صفحه‌ی جلد که چیزی روی آن نوشته بودیم — اگر آن را مقابل نور می‌گرفتید، مثل این دستگاه‌های الکترواستاتیکی جدید، می‌توانستید نوشته‌هایی را ببینید. کسی روی برگه‌ای دیگر که روی همان گذاشته شده بود چیزی نوشته بود و اثرش روی این صفحه ظاهر شده بود؛ و آنچه نوشته شده بود این بود:

Rien de neuf ici
(هیچ چیز تازه‌ای اینجا نیست.)

و با خودم فکر کردم: احتمالاً منظورش این نبوده؛ لابد تصادفی بوده. اما بعدها او را خیلی بهتر شناختم، وقتی در پرینستون همکار شدیم. و دقیقا این همان کاری است که او ممکن بود بکند. او قرار نبود رودررو به من بگوید «اینجا چیز تازه‌ای نیست»، اما اینکه آن را طوری بنویسد که خودم بتوانم کشفش کنم، برایش کاملاً قابل تصور بود.

و می‌دانید، از یک جهت درست هم بود. یعنی واضح بود کاری که من می‌کردم کمابیش شامل مباحثی بود که او درباره‌شان سخن می‌گفت، هرچند من با جزئیات بیشتری کار می‌کردم… اما با این حال، من یک دانشجوی سال اول دکتری بودم و او یک استاد مشهور. و این روش تشویق کردن دانشجوی پژوهشی نیست. اگر کمی کمتر مقاوم بودم، شاید دلسرد می‌شدم و کنار می‌کشیدم. اما ادامه دادم. هرگز آن ماجرا را فراموش نکرده‌م😊.

مترجم:
فرحان فرحت دانشجوی کارشناسی
دانشکده. ریاضی و علوم کامپیوتر
دانشگاه صنعتی امیرکبیر


با تشکر از دکتر نجفی استاد خوبمان در دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر


🆔 @khalaghiatriazi 💯

قدم زدن در زمین جبر_3

روش زیبای حلال ها

مقدمه: یکی از قدم های مهمی که برای رسیدن به قله ی کوه یعنی اواریست گالوا نیاز بود که برداشته شود، روش حلال هاست که به لطف واندرموند و لاگرانژ به وجود آمد. درواقع روش های حل معادلات چند جمله ای  تا اینجا مجموعه ای بود غیر مرتبط از تکنیک ها که برای هر درجه تفاوت می کرد. این نشان می داد هنوز از درک بنیادین اینکه حل معادله چیست فاصله داریم و صرفا استادان خوب روش های خوب پیدا کردند تا کارمان راه بیافتد! اما روش حلال ها روشی یکنواخت بود که می توانست معادلات از درجه ی یک تا چهار  را حل کند. (درجه ی چهار با کمی دشواری های تکنیکی)

ایده ی قدیمی برای حل معادلات دشواری مثل درجه سه یا چهار این بود  که به معادله متغیر یا متغیرهایی کنترل پذیر اضافه کنیم. اما در روش حلال ها به جای اضافه کردن متغیر، درجه ی معادله را افزایش می دهیم! چگونه؟
.........................................
دستور:
1-با فرض اینکه یک معادله درجه n، حداکثر n ریشه ی متمایز دارد) بعد ها گاوس اثباتش می کند) یک چند جمله ای '' مناسب'' از این  ریشه های فرضی که می خواهیم به دست آوریمشان در نظر بگیرید.( این را یک حلال می نامیم)

2-اکنون هر جایگشت از ریشه های فرضی در همین چند جمله ای، چند جمله ای ای متفاوت (یا یکسان، بستگی به چند جمله ای انتخابی تان دارد) خواهد ساخت.

3- اکنون معادله ای چند جمله ای می سازیم که ریشه هایش هر یک از این شکل های مختلف حلال باشد. در واقع اگر t1, t2, t3,... tk شکل داشته باشیم این معادله ی جدید را به این شکل تشکیل می دهیم:
(t-t1) (t-t2)... (t-tk) =0

سوال پیش می آید: این چند جمله ای چه فایده ای دارد وقتی هیچ یک از ریشه های معادله ی اصلی را نداریم، هیچ یک از ریشه های این معادله ی حلال را هم نداریم و این چند جمله ای مشخص نیست؟ اما به لطف نیوتن، می دانیم یک چند جمله ای متقارن از ریشه های معادله بر حسب ضرایبش که برای ما مشخص اند تعیین میشود. ضرایب معادله حلال چند جمله ای های متقارن از t ها هستند و از آن جا که t ها تمام جایگشت های روی ریشه های اصلی را دارند پس ضرایب معادله ی حلال نسبت به ریشه های معادله اصلی متقارن اند. پس ضرایب معادله ی حلال بر حسب ضرایب معادله ی اصلی کاملا مشخص اند!

4-اگر حلال مناسبی انتخاب کنید معادله ی حلال با اینکه درجه ی بسیار بالاتری از معادله ی اصلی دارد ساده تر از معادله ی اصلی حل می شود (معادله حلال با معادله ی اصلی درجه n از درجه ی ! n است.)

اما این '' حلال مناسب'' چیست؟ با ذکر یک مثال سعی می کنم اولا قدرت این دید را نشان دهم، دوما تصوری از این بدهم که یک حلال مناسب چیست.

مثال معادله ی درجه سوم را در نظر بگیرید. اگر x1, x2, x3 ریشه های این معادله باشند حلال را به صورت
t1= x1 + c x2 + c^2 x3
را در نظر بگیرید. که در اینجا c یک ریشه ی سوم واحد است (غیر از 1).

معادله ی حلال به شکل
t^6 + A t^3 + B =0

است. گرچه این معادله درجه ی 6 است اما واقعیت این است که برحسب t^3، یک معادله ی درجه دو است که حل آن را داریم. با بدست آوردن مقادیر t به راحتی می توان x1, x2, x3 را بر حسب t1,..., t6 بنویسیم.

در واقع برای معادلات درجه 1 تا 4 و برای بسیاری معادلات قابل حل دیگر حلالی که از مجموع ریشه ها در ریشه های n ام واحد بدست می آید حلال بسیار مناسبی است. اما اینکه چرا این نوع حلال معمولا مناسب است بماند برای قسمت های بعدی.

به احترام واندرموند:
این روشی است که واندرموند برای حل معادله ی درجه ی سه به کاربرد، اما بیان لاگرانژ (که در پست قبل توضیح داده ام) از همین روش دقیق تر و استادانه تر است. واندرموند که امروزه نامش در پس سایه ی ریاضی دانان ماهر گم شده است و ما به اشتباه در دترمینان واندرموند نامش را می شنویم، اگر اشتباه نکنم موسیقی دانی بود که به دلیل علاقه اش به سمت کارهای ریاضی رفت. اندک کارهایش نشان می دهد فکری پیشرو نسبت به زمان خودش داشته است.

این یادداشتی از واندرموند است که سال پیش دوستی به نام زهرا نامی لطف کردند و به درخواست من در ارائه ی ترجمه ای خوب از این یادداشت تاریخی تمام کارها را انجام دادند. البته به دلیل حواس پرتی های من این ترجمه گم شد و تا ابد نا تمام ماند.
به هر حال ترجمه اهمیتی ندارد. مهم آن که:
این یکی از اولین جاهایی در ریاضیات است که می گوید: درباره ی یک گره مهم نیست که ابعاد هندسی چه باشند در عوض چگونگی ساختار پیچیدگی گره در خودش اهمیت دارد.

این یعنی چه: یکی از اولین جاهایی که بیانی مبهم از ایده ی هندسه توپولوژی ظاهر می شود.

فکر کنم نشان دهد که اندیشه ی واندرموند واقعا پیشرو بوده است. گرچه دیده نشده، چون او یک ریاضیدان ماهر به مثابه اویلر یا لاگرانژ نبود.

کتاب جدید جناب تائو

دانشجوب: ببخشید عسطاد ما نمی‌تونیم شبها بخوابیم.
استاد: خب روزها بخوابید
دانشجوب: نه عسطاد ما غم ریاضیات داریم، از فکر قضایای گودل و اینکه اگر اصل انتخاب رو نپذیریم بنیان‌های ریاضی چی میشه شبها نمی‌تونیم بخوابیم.
استاد: آها پس دانشجو نو ورود هستی. اول تمرین کن بین ریاضیات، ریاضیدان و اصول موضوع ریاضیات تمایز قائل بشی بعدش متوجه میشی کسانی که واقعا ریاضیات رو به عنوان حرفه و پیشه خودشون انتخاب کردن چرا دنبال حواشی نیستن.
دانشجوب: نه عسطاد اونا سخته! ما میخوایم بقیه رو تحت تاثیر قرار بدیم. ما بریم با پارادوکس راسل و سلمونی سرگرم بشیم

⬅️ کتاب اواریست گالوا
نویسنده : لئوپولد اینفلد
مترجم : پرویز شهریاری
ناشر : نشر بردار



#چاپ_دوم_۱۳۷۳
#تاریخ_و_فلسفه_ریاضیات



🆔 @Math_ebook