Можно ли, зная уравнения движения, заставить модель фигуриста точно воспроизвести заданный узор на льду❓

Оказывается, да. Раньше фигурное катание так и выглядело. Спортсмены обязаны были вычерчивать на льду идеальные узоры, а судьи оценивали точность линии, чистоту ребра и симметрию.

Обязательные фигуры (compulsory figures) исчезли из олимпийской программы в 1991 году, но математически они куда интереснее четверных прыжков. И мы попробуем вас в этом убедить!

▶️ Модель, которая неожиданно идеально подходит для описания движения конька, — придуманные Сергеем Чаплыгиным знаменитые сани Чаплыгина.

Это простая механическая система: твёрдое тело скользит по плоскости, в одной точке есть «лезвие», и скорость в этой точке всегда направлена вдоль лезвия. «Вбок» двигаться запрещено.

*Показываем, как это работает, на карточке 2.

▶️ Но классическая модель слишком проста: в ней центр масс фиксирован. А настоящий фигурист постоянно управляет движением, меняя положение рук, корпуса, свободной ноги.

Именно над этим стали размышлять математики Меган Роудс и Вахтанг Путкарадзе. И написали целую статью по теме. В ней они начинают с, казалось бы, «интуитивной» идеи — добавить к «саням» подвижную массу, чтобы она управляла траекторией.

Управление таких саней осуществляется через положение, а не через силу. Это очень «по-человечески»: мы не думаем о силах в мышцах, мы просто двигаем руку в нужное место.

*Смотрите карточку 3.

Ещё один удивительный факт из статьи: если траектория — окружность, то управление должно удовлетворять формуле кривизны. То есть окружности оказываются «естественными» решениями системы. Если любую гладкую кривую можно аппроксимировать дугами окружностей, то можно построить алгоритм вычерчивания почти любой фигуры.

▶️ Но есть ещё и «острые» повороты. В узорах на льду они называются каспы — точки, где траектория делает резкий разворот. Математически это возможно только если скорость в этой точке равна нулю.

Именно так и катаются фигуристы: перед сменой направления конёк на мгновение «замирает». Но и в модели это вполне реализуемо: дуга строится вперёд по времени, затем назад; в точке соединения скорость обнуляется, и допускается мгновенный поворот.

*Это идеализация, конечно, но физически правдоподобная.

▶️ Классика фигурного катания — «двойной цветок». Тут управление выбирается так, что подвижная масса вращается по окружности внутри системы.

Дальше включается численная оптимизация: параметры подбираются таким образом, чтобы длина дуги совпала с заданной, а скорость в концах была нулевой. В результате получается траектория, почти идеально совпадающая с исходным (как на первом фото) узором.

*Наглядная демонстрация на карточке 4.

Конечно, в реальности фигурист не решает систему дифференциальных уравнений. Он запоминает «ощущение» правильного движения. Но где-то глубоко внутри его мозг решает сложную задачу управления тела в собственной системе координат.

❤️ — если владеете своим телом геометрически филигранно
☃️ — если ваш внутренний математик немного барахлит при выходе на лёд

#как_устроено

Посмотрим на оригами глазами математика 👀

Человечество не сразу пришло к этому ракурсу, но всё же разглядело за декоративной техникой геометрическую теорию.

Со времён Евклида геометрия понималась как мастерство построений циркулем и линейкой. Модель оказалась настолько фундаментальной, что не менялась более двух тысяч лет.

И лишь к XX веку обнаружилось, что если циркуль заменить произвольно сгибаемым листом бумаги, то класс допустимых построений существенно расширится.

Не будем пытаться урезать историю. Открывайте цитаты и читайте:

⠀
📐 Геометрия в сгибе
⠀⠀
Подобно построениям циркулем и линейкой, любое построение оригами можно описать как последовательность элементарных сгибов, или аксиом Фудзиты-Жюстина.

Эти базовые операции классифицируются путём перечисления всех возможных способов построить одну прямую линию сгиба, совмещая заданные точки и прямые с уже имеющимися на листе точками и прямыми.

Мы привели парочку аксиом для лучшего представления (см. карточку 1).

Практически все аксиомы оригами эквивалентны классическим евклидовым построениям циркулем и линейкой. Все, кроме одной — шестой.⠀

⠀
🧩 Складка Белок
⠀
Это аксиома, которая выводит нас за пределы античной геометрии. Она названа в честь Маргериты Пьяцоллы Белок, которая в 1936 году первой осознала её силу.

Геометрически такой сгиб эквивалентен задаче о проведении прямой, одновременно касательной к двум параболам, и может рассматриваться как эквивалент решения уравнения третьей степени, поскольку в общем случае существует три решения. Эти параболы имеют фокусы в точках P₁ и P₂ соответственно, а их директрисы задаются прямыми l₁ и l₂ (см. карточку 2).

Циркуль и линейка позволяют получать только те числа, которые выражаются через конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. Поэтому античные задачи на удвоение куба и трисекцию произвольного угла оказались неразрешимыми в классической модели: они требуют извлечения кубического корня.

Оригами снимает это ограничение. С помощью складки Белок можно построить отрезок длиной, равной кубическому корню из 2, трисектировать угол и в целом решать общие кубические уравнения.⠀

⠀
📚 Немного истории...
⠀
Задачи по геометрии складывания бумаги встречаются в древних японских сангаку, что свидетельствует о существовании не только художественной, но и математической традиции оригами.

Первым известным трактатом, посвящённым геометрическим построениям с помощью бумаги, считается книга Сундара Роу (1893 год). Она издавалась даже в дореволюционной России под названием «Геометрическiя упражненiя съ кускомъ бумаги».

Роу понимал складывание бумаги весьма широко, применяя сгибы, которые совмещают точки и прямые с ранее построенными точками и прямыми. Он не использовал ничего подобного сгибу Белок.

В 1930 году Джованни Вакка описал известные на тот момент связи оригами и геометрии. Он подытоживает, каким образом оригами позволяет решать квадратные уравнения, но не упоминает кубические.

Это и подготовило почву для Белок. После публикации статьи она также быстро заметила, что оригами позволяет находить действительные корни и для уравнений четвёртой степени.

Уже в XXI веке Роберт Лэнг показал, что складка Белок является наиболее сложной возможной операцией в классическом складывании бумаги.

Но возможны также и криволинейные сгибы. Они полностью разрушают «игру построений», поскольку позволяют строить трансцендентные числа, такие как π.

Кроме того, Роберт Лэнг показал, что если разрешить одновременное выполнение нескольких сгибов, то можно выполнить произвольную пятисекцию угла, а при разрешении трёх одновременных сгибов можно решать произвольные уравнения пятой степени.

⠀
Сегодня математике оригами посвящены:

▶️ отдельная категория на Википедии
▶️ общеобразовательный мультфильм на TED-Ed
▶️ специализированные курсы от MIT
▶️ пиксельные ролики с анализом серьёзных теорем

Знали ли вы, что складывание фигурок из бумаги имеет такую ценность для математики?

🔥 — не знал, но умею складывать самолётик
👀 — расскажите лучше, чем оригами полезно на практике

#история

В предыдущих постах мы вскользь упомянули Роберта Лэнга. В контексте современного оригами это художник, доведший искусство складывания бумаги до почти невозможной сложности.

Но Лэнг интересен не просто как мастер: он превратил оригами в математическую дисциплину.

По образованию Лэнг — физик. На сегодняшний день он является автором и соавтором более 80 публикаций по лазерам, оптике и оптоэлектронике, а также обладателем 46 патентов в этих областях.

Оригами долго оставалось его вечерним хобби, пока у него не созрела идея книги-руководства по самостоятельному проектированию моделей. Тогда он взял паузу в инженерной карьере и вскоре превратил своё увлечение в полноценную работу.

Именно физическая интуиция позволила ему увидеть в оригами не набор приёмов, а пространство задач. Он начал проектировать модели так же, как инженер обычно проектирует механизм: начиная не со сгибов, а с требований к структуре.

🔄Подробнее эти требования мы разобрали в карточках 2 и 3🔄

Кроме того, в математической теории оригами Лэнг доказал полноту правил Фудзиты, предложил одно из частичных решений задачи о мятом рубле и разработал формализованные подходы — «теорему складки» и «алгоритм кругового построения».

Названия его книг говорят сами за себя. Посудите сами:

▶️«Повороты, мозаики и тесселяции: математические методы для геометрического оригами»
▶️«Секреты дизайна оригами: математические методы в древнем искусстве»

Лэнговская математизация оригами оказалась важна далеко за пределами художественного творчества...

🔸Лэнг сотрудничал с инженерами Ливерморской национальной лаборатории, разрабатывавшими мощный космический телескоп со стометровой линзой-мембраной (см. карточку 4).

Его задачей было разработать способ упаковки гигантской линзы, известной как Eyeglass, в габариты ракетного обтекателя так, чтобы при развёртывании на ней не оставалось складок. Его методы были также использованы при создании первичного зеркала телескопа «Джеймс Уэбб».

🔸Лэнг разрабатывал схемы складывания подушек безопасности для автопроизводителей.

🔸Сегодня его алгоритмы применяются при проектировании сворачиваемых солнечных панелей и медицинских устройств, которые вводятся в тело в сложенном виде.

Лэнг регулярно выступает с лекциями о пересечении искусства и математики, а также консультирует инженеров и дизайнеров по применению оригами-структур.

Его работы демонстрировались в Музее современного искусства в Нью-Йорке, в Carrousel du Louvre в Париже и в научных центрах мира. На выставках он показывает не только готовые модели, но и развёрнутые схемы складок как самостоятельные художественные объекты.

Как вам история? Удалось увидеть в оригами немного больше математики? Если да — тык на 🏆.

#как_устроено