По кривой дорожке к самой сути 📈
Есть геометрические идеи древние, как сама математика. Прямая линия — одна из них.
Падающий камень, луч света, расстояние между деревнями — всё это требовало понимания концепции, которую Платон и Евклид пытались описать как «лежащую равномерно между своими концами» или как «имеющую длину, но не ширину».
🔵 Идея прямой линии подразумевает и противоположное — кривые.
Сегодня даже ребёнок понимает, что значит «нарисовать кривую». Но что такое кривая в строгом, математическом смысле? Когда появилось первое формальное определение?
Давайте разбираться вместе. Листайте карточки — вас ждёт интересная и местами противоречивая история поиска ответов.
Ещё один пост про основания математики➡️ прочитать
#это_база
Есть геометрические идеи древние, как сама математика. Прямая линия — одна из них.
Падающий камень, луч света, расстояние между деревнями — всё это требовало понимания концепции, которую Платон и Евклид пытались описать как «лежащую равномерно между своими концами» или как «имеющую длину, но не ширину».
Сегодня даже ребёнок понимает, что значит «нарисовать кривую». Но что такое кривая в строгом, математическом смысле? Когда появилось первое формальное определение?
Давайте разбираться вместе. Листайте карточки — вас ждёт интересная и местами противоречивая история поиска ответов.
Ещё один пост про основания математики
#это_база
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤15👍5👏4🤓2✍1
Повесть о двух фракталах 📘
Брошюра, которую мы хотим порекомендовать вам сегодня, — почти сборник сказок для тех, кто не боится бесконечности.
Она написана по материалам лекций для школьников и студентов, прочитанных А. А. Кирилловым в летней школе «Современная математика» в Дубне.
🔵 В центре книги — два фрактала, изображенные на карточках выше: ковёр Серпинского и ковёр Аполония. Вокруг них автор строит целое введение в современную теорию фракталов: от первых определений до нерешённых задач и актуальных направлений исследований.
Причём каждая задача сформулирована как приглашение к самостоятельному исследованию. Вот что пишет сам автор во введении:
Александр Кириллов — один из самых ярких учеников Израиля Моисеевича Гельфанда, автор знаменитого учебника по «Теории представлений», а также целого ряда работ по функциональному анализу, геометрии и математической физике.
Его стиль — продолжение той самой «гельфандовской школы», где от лекции по алгебре можно было уйти с философским инсайтом.
Книга идеально подойдёт студентам младших курсов и старшеклассникам, но будет интересна и тем, кто хочет понять, как можно учить математике без демпинга уровня и с уважением к читателю. А главное — распространяется брошюра бесплатно!
Скачивайте и читайте, если хотите разобраться с фракталами и почувствовать, как они вплетаются в ткань современной математики.
✅ А здесь вы найдёте пост с предыдущей подборкой книг от редакции канала.
#рекомендуем
Брошюра, которую мы хотим порекомендовать вам сегодня, — почти сборник сказок для тех, кто не боится бесконечности.
Она написана по материалам лекций для школьников и студентов, прочитанных А. А. Кирилловым в летней школе «Современная математика» в Дубне.
Причём каждая задача сформулирована как приглашение к самостоятельному исследованию. Вот что пишет сам автор во введении:
«Во многих популярных книгах читатель увидит массу цветных картинок и любопытных примеров, но не найдёт ни точных определений, ни строго доказанных результатов…
Последняя и, может быть, самая важная причина [написания этой книги] состоит в том, что самостоятельное изучение геометрии, анализа и арифметики фракталов, на мой взгляд, является одним из лучших способов для молодого математика активно и прочно овладеть основными математическими знаниями».
Александр Кириллов — один из самых ярких учеников Израиля Моисеевича Гельфанда, автор знаменитого учебника по «Теории представлений», а также целого ряда работ по функциональному анализу, геометрии и математической физике.
Его стиль — продолжение той самой «гельфандовской школы», где от лекции по алгебре можно было уйти с философским инсайтом.
Книга идеально подойдёт студентам младших курсов и старшеклассникам, но будет интересна и тем, кто хочет понять, как можно учить математике без демпинга уровня и с уважением к читателю. А главное — распространяется брошюра бесплатно!
Скачивайте и читайте, если хотите разобраться с фракталами и почувствовать, как они вплетаются в ткань современной математики.
#рекомендуем
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤14✍6👍6
Добро пожаловать в бесконечность 🌀
Представьте: огромные конструкции с геометрическими узорами парят в пустом белом пространстве, повторяются вверх и вниз, влево и вправо, а падение просто возвращает вас к исходной точке.
В этом странном, но завораживающем мире разворачивается действие Manifold Garden — игры-головоломки, в которой законы физики ставятся под сомнение.
Игра вышла в 2019 году после семи лет экспериментов и поисков. Её автор, Уильям Чир, начал с идеи управления геометрией пространства. Отсюда родилось и название.
Manifold — математическое понятие многообразия. Оно означает пространство, каждая часть которого при увеличении масштаба становится евклидовой (то есть плоской), но в целом может иметь иную форму.
Глобально мир Manifold Garden замыкается сам на себя по каждой из трёх осей. Движение в любом направлении рано или поздно вернёт игрока в исходную точку. Такое пространство в математике называется трёхмерным тором — компактным многообразием без границы.
В игре реализуются и другие абстрактные математические идеи:
А что думает о Manifold Garden человек, который сам проектирует игры?
Алексей Макаров — продюсер, старший левел-дизайнер и автор блога «Вот это уровень!» — делится наблюдениями:
❗️ Для тех, кто дочитал до конца — загадка: первую версию игры Уильям Чир назвал «Относительность». Тогда в ней ещё не было ни сада, ни бесконечного мира, ни архитектурных пространств — лишь меняющаяся перспектива и гравитация. Как думаете, чьими работами он вдохновлялся?
Свои догадки оставляйте в комментариях — ответ раскроем в следующем посте.
#как_устроено
Представьте: огромные конструкции с геометрическими узорами парят в пустом белом пространстве, повторяются вверх и вниз, влево и вправо, а падение просто возвращает вас к исходной точке.
В этом странном, но завораживающем мире разворачивается действие Manifold Garden — игры-головоломки, в которой законы физики ставятся под сомнение.
Игра вышла в 2019 году после семи лет экспериментов и поисков. Её автор, Уильям Чир, начал с идеи управления геометрией пространства. Отсюда родилось и название.
Manifold — математическое понятие многообразия. Оно означает пространство, каждая часть которого при увеличении масштаба становится евклидовой (то есть плоской), но в целом может иметь иную форму.
Глобально мир Manifold Garden замыкается сам на себя по каждой из трёх осей. Движение в любом направлении рано или поздно вернёт игрока в исходную точку. Такое пространство в математике называется трёхмерным тором — компактным многообразием без границы.
В игре реализуются и другие абстрактные математические идеи:
✅ если бросить кубик-«семя» за край платформы, он может прорасти деревом сверху;✅ вода течёт по кругу: падая за край уровня, она возвращается сама в себя и образует замкнутый «водяной цикл»;✅ в конце каждого большого блока задач игрок получает тессеракт, который превращает мир в переливающуюся фрактальную галерею;✅ на одном из уровней есть отсылка к рассказу Борхеса «Вавилонская библиотека» — как бы подчеркивая идею бесконечных комбинаций.✅ В игре есть научные метафоры и даже намёки на теорию относительности. Сам сюжет отсылает к идеям 400 лет развития физики.
Так Чир объединил математические и физические концепции в одном игровом пространстве.
А что думает о Manifold Garden человек, который сам проектирует игры?
Алексей Макаров — продюсер, старший левел-дизайнер и автор блога «Вот это уровень!» — делится наблюдениями:
1️⃣ Помимо способности поворачивать уровень, превращая стены и потолок в пол и наоборот, в игре отсутствует прыжок. При этом гравитация персонажа в рамках его текущей ориентации работает почти как обычно. Есть и объекты, которые меняют гравитацию вместе с игроком — на этом построено множество головоломок.2️⃣ Fun fact: довольно абстрактная архитектура уровней объясняется тем, что разработчик, по его словам, испытывал трудности с моделированием. Чтобы избежать проблем, он решил использовать простые элементы вроде блоков и кубов — поэтому мир игры воспринимается необычно и абстрактно.3️⃣ В игре нельзя упасть и разбиться или застрять всерьёз. Во-первых, потому что нет урона от падения. А во-вторых, потому что большие участки уровня реплицируются — в данном случае повторно спавнятся ниже персонажа — так, чтобы один участок уровня переходил сам в себя. Это, кстати, довольно затратный с точки зрения оптимизации подход, но благодаря аскетичной графике он вполне успешно работает.4️⃣ Manifold Garden — нетипичная игра ещё и потому, что она почти не ведёт игрока за руку: большинство пазлов можно выполнять в любом порядке, а явных визуальных подсказок почти нет. В этом плане игра как песочница с пазлами — каждый из них уникален, но не настолько сложен, чтобы в нём надолго застрять.
Свои догадки оставляйте в комментариях — ответ раскроем в следующем посте.
#как_устроено
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤11👍6❤🔥3
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Лестница, по которой невозможно спуститься ↔️
При одном взгляде на это видео в голове уже звучит тревожная музыка, а по коже бегут мурашки. Бесконечные ступени, на которых герои будто застревают в петле, пугают и притягивают одновременно.
Неудивительно, что декорации стали таким узнаваемым символом сериала. В конце июня в Сеуле даже прошёл парад по мотивам шоу — с костюмами, гигантской куклой Ён Хи и традиционными корейскими играми.
Но всё началось задолго до Netflix.
✅ Великий Мауриц Корнелис Эшер — парадоксальный и очень синкретичный художник. Он впитал идеи из самых разных дисциплин, и именно его работы стали вдохновением для режиссёров «Игры в кальмара».
Эшер не был профессиональным математиком, но мог интуитивно почувствовать закономерности симметрии, бесконечности и искажения пространства.
Визуальные головоломки, повторяющиеся конструкции и паттерны — уникальное пересечение искусства и науки. Они узнаваемы и знакомы даже тем, кто не знает имени их создателя. Анимированная версия литографии Relativity в ролике выше — только один из примеров.
🌀 На этой неделе мы хотим погрузить вас в мир геометрических парадоксов Эшера — и запускаем мини-сериал. Будем говорить о тесселяциях, невозможных фигурах и о том, как идеи художника до сих пор влияют на кино, игры и архитектуру.
Не переключайтесь!
#как_устроено
При одном взгляде на это видео в голове уже звучит тревожная музыка, а по коже бегут мурашки. Бесконечные ступени, на которых герои будто застревают в петле, пугают и притягивают одновременно.
Неудивительно, что декорации стали таким узнаваемым символом сериала. В конце июня в Сеуле даже прошёл парад по мотивам шоу — с костюмами, гигантской куклой Ён Хи и традиционными корейскими играми.
Но всё началось задолго до Netflix.
Эшер не был профессиональным математиком, но мог интуитивно почувствовать закономерности симметрии, бесконечности и искажения пространства.
Визуальные головоломки, повторяющиеся конструкции и паттерны — уникальное пересечение искусства и науки. Они узнаваемы и знакомы даже тем, кто не знает имени их создателя. Анимированная версия литографии Relativity в ролике выше — только один из примеров.
Не переключайтесь!
#как_устроено
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤25👍12😍8
Как ящерицы проникли в геометрию 🦎
Невозможный стиль Эшера не появился внезапно — за ним стояла целая цепочка событий.
✅ Всё началось с того, что будущего мастера визуальных парадоксов отчислили из технического училища — подвело здоровье. Но уже через год он поступил на факультет графического искусства. Именно там начал складываться его уникальный визуальный язык.
✅ А помог его становлению не кто иной, как родной брат — кристаллограф и геолог Беренд Георг Эшер. Он познакомил Маурица с ключевыми научными трудами по кристаллографии. После них Эшер всерьёз заинтересовался темой симметрии и заполняющих пространство структур.
✅ В 1922 году он отправился в путешествие по Испании и впервые попал в Альгамбру — мусульманский дворец, известный как высшее достижение мавританского искусства. Узоры на стенах, уложенные в плоскость без пробелов и зазоров, заворожили Эшера так же сильно, как и некогда строение кристаллов.
✅ Через 14 лет художник вернулся. Он внимательно изучал принципы построения восточных орнаментов и создал сотни набросков с тесселяциями — повторяющимися фигурами, идеально заполняющими поверхность. Позже он начал «населять» геометрические формы живыми существами — птицами, рыбами, ящерицами.
Зафиксируем: Эшер экспериментировал с симметриями интуитивно, ещё до того, как получил какие-либо математические пояснения. В работах он опирался только на своё уникальное видение и концепцию кристаллографических групп. Кстати, они до сих пор используются дизайнерами и архитекторами для создания интерьеров.
Ставьте 👀, если было интересно заглянуть за кулисы гениальности.
И рассказывайте в комментариях, был ли у вас опыт создания собственных тесселяций? Сегодня вечером покажем, как их сделать.
#история
Невозможный стиль Эшера не появился внезапно — за ним стояла целая цепочка событий.
Зафиксируем: Эшер экспериментировал с симметриями интуитивно, ещё до того, как получил какие-либо математические пояснения. В работах он опирался только на своё уникальное видение и концепцию кристаллографических групп. Кстати, они до сих пор используются дизайнерами и архитекторами для создания интерьеров.
Ставьте 👀, если было интересно заглянуть за кулисы гениальности.
И рассказывайте в комментариях, был ли у вас опыт создания собственных тесселяций? Сегодня вечером покажем, как их сделать.
#история
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👀31❤15😍6💯3
Повторяться нельзя замостить
Когда мы писали про мозаику Пенроуза, обещали вернуться к задаче, которая мучила математиков десятилетиями.
✅ Вопрос: существует ли фигура, которой можно замостить всю плоскость без пробелов и наложений, но так, чтобы рисунок никогда не повторялся?
✅ Ответ: да, существует.
Парадоксально, но даже неповторяющийся узор идеально укладывается в шестиугольную решётку — одну из самых регулярных структур в природе.
❗️ Получается, концепция апериодических фигур тоже выросла из строгих эшеровских замощений.
Играя с образами животных, художник разработал целую систему категоризации симметричных свойств, которая ранее рассматривалась только кристаллографами. Эшер классифицировал группы по тому, какие виды симметрии они допускают: параллельный перенос, повороты на 180°, 120°, 90° и 60°, зеркальные отражения.
🔵 Нарисовать такую тесселяцию не так уж и сложно. В карточках собрали мини-гайд по созданию орнамента от руки. А если не хочется долго корпеть над эскизом — вот сайт, где можно всё сделать на экране.
Результаты ждём в комментариях!
#задача
Когда мы писали про мозаику Пенроуза, обещали вернуться к задаче, которая мучила математиков десятилетиями.
Долгое время считалось, что такую фигуру построить нельзя. Но в 2023 году случилось невероятное.
Дэвид Смит, самопровозглашённый «любитель фигур» из Англии, открыл тринадцатиугольник, составленный из восьми одинаковых четырёхугольников. За характерную форму плитку прозвали «шляпой». Математики доказали её апериодичность и наплодили целое семейство подобных фигур.
Кстати, здесь вы можете даже открыть собственную «шляпу» — выбирайте форму, цвет и получите бесконечный неповторяющийся орнамент.
Парадоксально, но даже неповторяющийся узор идеально укладывается в шестиугольную решётку — одну из самых регулярных структур в природе.
Играя с образами животных, художник разработал целую систему категоризации симметричных свойств, которая ранее рассматривалась только кристаллографами. Эшер классифицировал группы по тому, какие виды симметрии они допускают: параллельный перенос, повороты на 180°, 120°, 90° и 60°, зеркальные отражения.
Результаты ждём в комментариях!
#задача
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥13❤7✍4