Зачем мне эта математика
12.4K subscribers
436 photos
24 videos
1 file
314 links
Исследуем реальный мир через призму математики

Это канал Яндекс Образования

Мы делаем Практикум, Учебник, Лицей и другие большие проекты

Приходите учиться к нам: education.yandex.ru/

Номер регистрации 4962369782
Download Telegram
По кривой дорожке к самой сути 📈

Есть геометрические идеи древние, как сама математика. Прямая линия — одна из них.

Падающий камень, луч света, расстояние между деревнями — всё это требовало понимания концепции, которую Платон и Евклид пытались описать как «лежащую равномерно между своими концами» или как «имеющую длину, но не ширину».

🔵Идея прямой линии подразумевает и противоположное — кривые.

Сегодня даже ребёнок понимает, что значит «нарисовать кривую». Но что такое кривая в строгом, математическом смысле? Когда появилось первое формальное определение?

Давайте разбираться вместе. Листайте карточки — вас ждёт интересная и местами противоречивая история поиска ответов.

Ещё один пост про основания математики ➡️прочитать

#это_база
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
15👍5👏4🤓21
Повесть о двух фракталах 📘

Брошюра, которую мы хотим порекомендовать вам сегодня, — почти сборник сказок для тех, кто не боится бесконечности.

Она написана по материалам лекций для школьников и студентов, прочитанных А. А. Кирилловым в летней школе «Современная математика» в Дубне.

🔵В центре книги — два фрактала, изображенные на карточках выше: ковёр Серпинского и ковёр Аполония. Вокруг них автор строит целое введение в современную теорию фракталов: от первых определений до нерешённых задач и актуальных направлений исследований.

Причём каждая задача сформулирована как приглашение к самостоятельному исследованию. Вот что пишет сам автор во введении:

«Во многих популярных книгах читатель увидит массу цветных картинок и любопытных примеров, но не найдёт ни точных определений, ни строго доказанных результатов…

Последняя и, может быть, самая важная причина [написания этой книги] состоит в том, что самостоятельное изучение геометрии, анализа и арифметики фракталов, на мой взгляд, является одним из лучших способов для молодого математика активно и прочно овладеть основными математическими знаниями».


Александр Кириллов — один из самых ярких учеников Израиля Моисеевича Гельфанда, автор знаменитого учебника по «Теории представлений», а также целого ряда работ по функциональному анализу, геометрии и математической физике.

Его стиль — продолжение той самой «гельфандовской школы», где от лекции по алгебре можно было уйти с философским инсайтом.

Книга идеально подойдёт студентам младших курсов и старшеклассникам, но будет интересна и тем, кто хочет понять, как можно учить математике без демпинга уровня и с уважением к читателю. А главное — распространяется брошюра бесплатно!

Скачивайте и читайте, если хотите разобраться с фракталами и почувствовать, как они вплетаются в ткань современной математики.

А здесь вы найдёте пост с предыдущей подборкой книг от редакции канала.

#рекомендуем
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
146👍6
Добро пожаловать в бесконечность 🌀

Представьте: огромные конструкции с геометрическими узорами парят в пустом белом пространстве, повторяются вверх и вниз, влево и вправо, а падение просто возвращает вас к исходной точке.

В этом странном, но завораживающем мире разворачивается действие Manifold Garden — игры-головоломки, в которой законы физики ставятся под сомнение.

Игра вышла в 2019 году после семи лет экспериментов и поисков. Её автор, Уильям Чир, начал с идеи управления геометрией пространства. Отсюда родилось и название.

Manifold — математическое понятие многообразия. Оно означает пространство, каждая часть которого при увеличении масштаба становится евклидовой (то есть плоской), но в целом может иметь иную форму.

Глобально мир Manifold Garden замыкается сам на себя по каждой из трёх осей. Движение в любом направлении рано или поздно вернёт игрока в исходную точку. Такое пространство в математике называется трёхмерным тором — компактным многообразием без границы.

В игре реализуются и другие абстрактные математические идеи:

если бросить кубик-«семя» за край платформы, он может прорасти деревом сверху;
вода течёт по кругу: падая за край уровня, она возвращается сама в себя и образует замкнутый «водяной цикл»;
в конце каждого большого блока задач игрок получает тессеракт, который превращает мир в переливающуюся фрактальную галерею;
на одном из уровней есть отсылка к рассказу Борхеса «Вавилонская библиотека» — как бы подчеркивая идею бесконечных комбинаций.
В игре есть научные метафоры и даже намёки на теорию относительности. Сам сюжет отсылает к идеям 400 лет развития физики.

Так Чир объединил математические и физические концепции в одном игровом пространстве.


А что думает о Manifold Garden человек, который сам проектирует игры?

Алексей Макаров — продюсер, старший левел-дизайнер и автор блога «Вот это уровень!» — делится наблюдениями:

1️⃣ Помимо способности поворачивать уровень, превращая стены и потолок в пол и наоборот, в игре отсутствует прыжок. При этом гравитация персонажа в рамках его текущей ориентации работает почти как обычно. Есть и объекты, которые меняют гравитацию вместе с игроком — на этом построено множество головоломок.

2️⃣ Fun fact: довольно абстрактная архитектура уровней объясняется тем, что разработчик, по его словам, испытывал трудности с моделированием. Чтобы избежать проблем, он решил использовать простые элементы вроде блоков и кубов — поэтому мир игры воспринимается необычно и абстрактно.

3️⃣ В игре нельзя упасть и разбиться или застрять всерьёз. Во-первых, потому что нет урона от падения. А во-вторых, потому что большие участки уровня реплицируются — в данном случае повторно спавнятся ниже персонажа — так, чтобы один участок уровня переходил сам в себя. Это, кстати, довольно затратный с точки зрения оптимизации подход, но благодаря аскетичной графике он вполне успешно работает.

4️⃣ Manifold Garden — нетипичная игра ещё и потому, что она почти не ведёт игрока за руку: большинство пазлов можно выполнять в любом порядке, а явных визуальных подсказок почти нет. В этом плане игра как песочница с пазлами — каждый из них уникален, но не настолько сложен, чтобы в нём надолго застрять.


❗️Для тех, кто дочитал до конца — загадка: первую версию игры Уильям Чир назвал «Относительность». Тогда в ней ещё не было ни сада, ни бесконечного мира, ни архитектурных пространств — лишь меняющаяся перспектива и гравитация. Как думаете, чьими работами он вдохновлялся?

Свои догадки оставляйте в комментариях — ответ раскроем в следующем посте.

#как_устроено
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
11👍6❤‍🔥3
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Лестница, по которой невозможно спуститься ↔️

При одном взгляде на это видео в голове уже звучит тревожная музыка, а по коже бегут мурашки. Бесконечные ступени, на которых герои будто застревают в петле, пугают и притягивают одновременно.

Неудивительно, что декорации стали таким узнаваемым символом сериала. В конце июня в Сеуле даже прошёл парад по мотивам шоу — с костюмами, гигантской куклой Ён Хи и традиционными корейскими играми.

Но всё началось задолго до Netflix.

Великий Мауриц Корнелис Эшер — парадоксальный и очень синкретичный художник. Он впитал идеи из самых разных дисциплин, и именно его работы стали вдохновением для режиссёров «Игры в кальмара».

Эшер не был профессиональным математиком, но мог интуитивно почувствовать закономерности симметрии, бесконечности и искажения пространства.

Визуальные головоломки, повторяющиеся конструкции и паттерны — уникальное пересечение искусства и науки. Они узнаваемы и знакомы даже тем, кто не знает имени их создателя. Анимированная версия литографии Relativity в ролике выше — только один из примеров.

🌀 На этой неделе мы хотим погрузить вас в мир геометрических парадоксов Эшера — и запускаем мини-сериал. Будем говорить о тесселяциях, невозможных фигурах и о том, как идеи художника до сих пор влияют на кино, игры и архитектуру.

Не переключайтесь!

#как_устроено
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
26👍13😍8
Как ящерицы проникли в геометрию 🦎

Невозможный стиль Эшера не появился внезапно — за ним стояла целая цепочка событий.

Всё началось с того, что будущего мастера визуальных парадоксов отчислили из технического училища — подвело здоровье. Но уже через год он поступил на факультет графического искусства. Именно там начал складываться его уникальный визуальный язык.

А помог его становлению не кто иной, как родной брат — кристаллограф и геолог Беренд Георг Эшер. Он познакомил Маурица с ключевыми научными трудами по кристаллографии. После них Эшер всерьёз заинтересовался темой симметрии и заполняющих пространство структур.

В 1922 году он отправился в путешествие по Испании и впервые попал в Альгамбру — мусульманский дворец, известный как высшее достижение мавританского искусства. Узоры на стенах, уложенные в плоскость без пробелов и зазоров, заворожили Эшера так же сильно, как и некогда строение кристаллов.

Через 14 лет художник вернулся. Он внимательно изучал принципы построения восточных орнаментов и создал сотни набросков с тесселяциями — повторяющимися фигурами, идеально заполняющими поверхность. Позже он начал «населять» геометрические формы живыми существами — птицами, рыбами, ящерицами.

Зафиксируем: Эшер экспериментировал с симметриями интуитивно, ещё до того, как получил какие-либо математические пояснения. В работах он опирался только на своё уникальное видение и концепцию кристаллографических групп. Кстати, они до сих пор используются дизайнерами и архитекторами для создания интерьеров.

Ставьте 👀, если было интересно заглянуть за кулисы гениальности.

И рассказывайте в комментариях, был ли у вас опыт создания собственных тесселяций? Сегодня вечером покажем, как их сделать.

#история
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👀3517😍6💯3
Повторяться нельзя замостить

Когда мы писали про мозаику Пенроуза, обещали вернуться к задаче, которая мучила математиков десятилетиями.

Вопрос: существует ли фигура, которой можно замостить всю плоскость без пробелов и наложений, но так, чтобы рисунок никогда не повторялся?

Ответ: да, существует.

Долгое время считалось, что такую фигуру построить нельзя. Но в 2023 году случилось невероятное.

Дэвид Смит, самопровозглашённый «любитель фигур» из Англии, открыл тринадцатиугольник, составленный из восьми одинаковых четырёхугольников. За характерную форму плитку прозвали «шляпой». Математики доказали её апериодичность и наплодили целое семейство подобных фигур.

Кстати, здесь вы можете даже открыть собственную «шляпу» — выбирайте форму, цвет и получите бесконечный неповторяющийся орнамент.


Парадоксально, но даже неповторяющийся узор идеально укладывается в шестиугольную решётку — одну из самых регулярных структур в природе.

❗️Получается, концепция апериодических фигур тоже выросла из строгих эшеровских замощений.

Играя с образами животных, художник разработал целую систему категоризации симметричных свойств, которая ранее рассматривалась только кристаллографами. Эшер классифицировал группы по тому, какие виды симметрии они допускают: параллельный перенос, повороты на 180°, 120°, 90° и 60°, зеркальные отражения.

🔵Нарисовать такую тесселяцию не так уж и сложно. В карточках собрали мини-гайд по созданию орнамента от руки. А если не хочется долго корпеть над эскизом — вот сайт, где можно всё сделать на экране.

Результаты ждём в комментариях!

#задача
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥1595👍1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
«Я никогда не получал хороших оценок по математике… 

И, представьте себе, теперь математики используют мою графику для иллюстрации своих книг».

Так сказал Эшер, когда математик Гарольд Коксетер — его современник и близкий друг художника — попросил разрешения включить его рисунки в научную статью «Симметрия кристалла и её обобщения». Вместе с публикацией Коксетер отправил Эшеру копию статьи. В ней нашлось ещё одно изображение, заинтересовавшее Маурица.

🌀 Это была гиперболическая тесселяция: фигуры внутри круга становились всё мельче по мере приближения к краю. Эшер тщательно изучил узор, разметил изображение и вывел последовательность вложенных кругов, на которой строилась вся конструкция. Он отправил Коксетеру свой аналитический чертёж — и тот подтвердил его точность.

Тогда Эшер решил развить идею и создать нечто своё. Так появилась его знаковая серия Circle Limit — художественная интерпретация модели Пуанкаре в геометрии Лобачевского.

В 1995 году Коксетер опубликовал статью, в которой доказал: несмотря на отсутствие формального математического образования, Эшер достиг математического совершенства в офорте:
«Эшер всё рассчитал с абсолютной точностью, до миллиметра — буквально до миллиметра... К сожалению, он не дожил до того момента, когда я математически подтвердил его правоту».


Фрактальную анимацию Circle Limit III прикрепили к посту. Наслаждайтесь

Был ли Эшер дилетантом в математике или просто скрывал свою пугающе точную интуицию? Как бы то ни было, нам остаётся лишь восхищаться тем, как он сумел выразить бесконечность в пределах замкнутого пространства.

#история 
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
21🔥9😍7