🔸 Условие: представьте простую игру, в которую играют двое. Перед ними две кучки камней — в одной 5, в другой 7.

За ход можно выбрать любую кучку и убрать из неё сколько угодно камней, но только из одной. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

🔸 Вопрос: кто выигрывает при правильной игре?

✅ Его первый ход выглядит почти случайным: он убирает 2 камня из кучки с 7 камнями. После этого на столе лежат две равные кучки — 5 и 5.

А дальше игра превращается в зеркальный «танец». Что бы ни сделал второй игрок — скажем, уберёт 3 камня из одной кучки, — первый тут же убирает 3 камня из другой. Если второй возьмёт 1 камень, первый берёт 1 из противоположной кучки. Если второй решит забрать сразу всё, первый делает то же самое со второй кучкой. Симметрия больше не нарушается, а значит, последним ходит тот, кто эту симметрию создал, — первый игрок.

Заметьте, что ключевой момент не в количестве камней — «2», — а в создании равенства. Очевидно, что если бы кучки были, например, по 2025 и 2026 камней или ещё больше, то решение не поменялось бы.

Позиции вида (5,5), (100,100), (2025,2025) — проигрышные для того, кто ходит. Любой ход разрушает симметрию, и соперник может её восстановить. Поэтому правильная стратегия формулируется лаконично: нужно перевести игру в проигрышную позицию для соперника.

🔄Так простая игра с камнями неожиданно приводит к бинарной системе счисления, к алгебре без переноса и к целой теории комбинаторных игр. В начале XX века Чарльз Бутон полностью описал стратегию для игр Ним.

Это общее название игр, в которых два игрока по очереди берут предметы, разложенные на несколько кучек, и за один ход можно взять любое количество предметов (больше нуля) из одной кучки. В классическом варианте число кучек равно трём.

Позже на её основе появилась теорема Шпрага-Гранди — фундамент современной теории игр такого типа🔄

Его нижняя часть — это дуга окружности радиусом примерно 2–3 метра. Благодаря этой кривизне фигурист может наклоняться и «врезаться» в лёд под разными углами, вычерчивая дуги.

Это чистая евклидова геометрия: касание окружностей, направление движения (вперёд/назад), выбор внутреннего или внешнего ребра конька. Исторически именно такие фигуры и дали спорту название skating figures.

Если бы мы описывали это в терминах математики, то сказали бы: фигурист параметризует дуги окружностей, меняя знак кривизны и ориентацию касательного вектора.

Когда спортсмен выполняет прыжок — аксель или тулуп, — его центр масс движется по параболе. Это классическая модель из школьной физики: тело, брошенное под углом к горизонту.

Высота прыжка и дальность пролёта зависят от начальной скорости, угла отталкивания, распределения массы тела. Именно поэтому один и тот же прыжок (например, тройной тулуп) можно «недокрутить»: если угловая скорость недостаточна, спортсмен не успевает завершить требуемое число оборотов до приземления.

Особенно наглядна математика во вращениях. Если фигурист разводит руки в стороны — он вращается медленнее. Прижимает к телу — быстрее. Это прямое следствие закона сохранения момента импульса:

I ⋅ ω = const,
где I — момент инерции, а ω — угловая скорость

Уменьшая радиус (прижимая руки), спортсмен уменьшает момент инерции и увеличивает угловую скорость. Та же физика заставляет ускоряться балерину в фуэте или космонавта, меняющего положение тела в невесомости.

🔸Условие: в комнате размерами 5×4×4 м разбрызгали 0,5 мл духов так, что в среднем в каждом кубическом миллиметре воздуха оказалась одна малюсенькая капелька духов.

🔸Вопрос: каков радиус этой малюсенькой капельки?

*️⃣Считайте, что все капельки одинаковы и имеют сферическую форму.

1️⃣Рассчитаем, сколько в комнате находится капелек духов. Для этого выразим объём комнаты в мм³:

5 * 4 * 4 = 80 м³ = 80 * 10⁹ мм³

2️⃣Узнаем, чему равен объём каждой капельки:

0,5 мл = 0,5 * 10⁻⁶ м³ = 0,5 * 10³ мм³ = 500 мм³

(0,5 * 10⁻⁶) / (80 * 10⁹) = 6,25 * 10⁻⁹ мм³

3️⃣Теперь из формулы объёма сферы выразим радиус и найдём его:

V = 4/3 * πR3
R = (3V / (4π))¹ᐟ³

R = (3 * 6,25 * 10-9 / π / 4) = 0,00114 мм = 1,14 мкм.

Вопрос: можно ли сложить квадратный лист бумаги на плоскости так, что периметр полученной фигуры превысит периметр исходного листа?

Подсказка: решение принципиально зависит от того, как понимать условие.