👟
1️⃣ уровень: визуализации
👟
Если нужно сложить 2 и 3, можно просто загнуть два пальца, а потом три и сосчитать, сколько пальцев мы загнули. Если пальцев не хватает, мы просто берём две кучки одинаковых предметов в нужном количестве, складываем их в одну кучу и пересчитываем.

Проблема очевидна: такие операции масштабируются плохо. Посчитать десятки ещё можно, сотни — уже трудно, тысячи — почти невозможно. Любая серьёзная операция превращается в изнурительное пересчитывание.

👟
2️⃣ уровень: нотации
👟
Когда появляются числовые символы и обозначения, вместо груды камней у нас возникает запись 2 + 5. Вместо угла — набор букв, которыми мы обозначили углы.

Операция, которая раньше занимала минуты или часы, теперь выполняется за секунды. Причём не потому, что мы стали «умнее», а потому что абстракция спрятала сложность внутрь правил.

Правила сложения с переносом разрядов вовсе не очевидны. Это математические теоремы. Но они настолько глубоко встроены в нотацию, что мы перестаём замечать их существование.

👟
3️⃣ уровень: переменные
👟
На этом этапе числа заменяются буквами. Теперь мы можем делать утверждения сразу про все числа, а не про отдельные примеры.

Становится возможным говорить о решениях уравнений, о системах, о зависимостях, и манипулировать ими чисто алгебраически, получать формулы, в которые подставляются необходимые нам в моменте значения.

Этот уровень абстракции нам знаком благодаря школьным программам. Он уже невероятно красивый и универсальный. Но по меркам современной математики всё ещё довольно низкий.

👟
4️⃣ уровень: структуры
👟
Теперь абстрагируемся не от чисел, а от самих числовых систем. Если нас интересует только операция сложения, зачем привязываться именно к целым числам?

Можно рассматривать любые объекты, где есть «сложение» и выполняются знакомые свойства. Так возникают, например, абелевы группы или матрицы. И целые числа — лишь один частный случай, а сама группа становится чем-то вроде «переменной», обозначающей целый класс возможных структур.

Главная сила этого шага — в фокусировке: мы сознательно оставляем только те свойства, которые действительно важны для доказательства, и отбрасываем всё лишнее. В результате утверждения начинают работать сразу для огромного множества объектов, а не для одного конкретного примера.

👟
5️⃣ уровень: категории
👟
Здесь уже можно смотреть не на отдельные структуры, а на всю вселенную структур и отображений между ними. Так появляется язык категорий: категория абелевых групп, категория топологических пространств и так далее.

Более того, можно изучать связи между самими категориями, переходя ещё на уровень выше. Именно на этом уровне возникает возможность видеть глубинные закономерности, которые полностью скрыты на «низких этажах».

▶️Исходя из того, что суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников, найдём S:

10S = 0,9 · (10S + 90) ⇒
10S = 9S + 81 ⇒
S = 81

▶️Теперь в первом регионе 10% работников — это 9 человек, чья суммарная зарплата равна 9. Общая зарплата всего региона — 90. Тогда требуемое отношение выполняется:

9/90 = 0,1 ≤ 0,11

▶️Во втором регионе 10% работников — это 1 человек, чья зарплата равна, как мы вычислили выше, 81.

81/810 = 0,1 ≤ 0,11, т.е. региональное условие для этого региона также выполнено.

⠀
1️⃣ Статистика борется с опасностью
⠀
Через несколько дней полиция задержала Джанет Коллинз и её мужа Малкольма — они не могли подтвердить своё алиби и подходили под описания свидетелей:

▶️блондинка с хвостом
▶️жёлтая машина
▶️темнокожий водитель с усами и бородой

Поскольку основные доказательства основывались только на показаниях потерпевшей и очевидца, в суд пригласили математика. Он вычислил вероятность того, что случайно выбранная невиновная пара обладает всеми этими признаками. Предполагая независимость событий, он перемножил вероятности и получил совместную вероятность.

Оказалось, что шанс того, что такая пара окажется невиновной, — меньше одного к 12 миллионам. Присяжные вынесли обвинительный приговор. Но был нюанс...

⠀
2️⃣ Опасность борется со статистикой
⠀
Верховный суд отменил приговор, критикуя статистическое обоснование за игнорирование зависимостей между описаниями свидетелей.

Так дело «Люди против Коллинз» стало ещё более резонансным. Но его главным следствием стал разговор об «ошибке базового процента», она же — «ошибка прокурора».

*️⃣Пример: если известно, что у преступника и у обвиняемого группа крови B, и лишь у 1% населения страны эта группа крови, то «ошибкой прокурора» будет утверждение, что только на этом основании вероятность вины обвиняемого составляет 99%.

История с ограблением — тоже пример такой ошибки: путаницы между вероятностью «A при условии B» и «B при условии A». Фактически суд подменил вероятность описаний при невиновности вероятностью невиновности при совпадении описаний.⠀

⠀
3️⃣ «Условность» вероятности
⠀⠀
Представьте, что за занавеской спряталось животное с четырьмя ногами. Это — исходное условие. Какова вероятность, что это собака? Один шанс из ста, из тысячи, из миллиона?

Но если вместо этого в условии за занавеской находится собака, то это уже исходное условие. Какова вероятность, что у неё четыре ноги? Здесь ответ почти гарантирован, ведь у большинства собак четыре ноги.

❗️Здесь мы сталкиваемся с условной вероятностью:
P(невиновен | набор признаков) ≠ P(набор признаков | невиновен)

Стоит поменять местами исходное условие и вопрос — и вероятность может радикально измениться. Присяжные фактически поменяли местами исходное условие и вопрос, оставив той же вероятность. А мы только что увидели, что это может быть совершенно неверно.

▶️Если в городе десять пар подходят под описание, то, выбрав одну из них случайно, вероятность виновности — 1 из 10, а вероятность невиновности — 9 из 10, а вовсе не один шанс из 12 миллионов.⠀

▶️Алкотестеры полицейских в 5% случаев показывают ошибочное опьянение, когда водитель трезв. Однако действительно пьяного они всегда определяют правильно.

Один из 1000 водителей за рулём пьян. Полицейский случайным образом останавливает машину и предлагает водителю пройти тест. Тест показывает, что водитель пьян. Какова вероятность, что это действительно так?

Большинство ответит, что примерно 95%, однако правильная вероятность — лишь около 2%.

▶️Быстро вращающиеся ветряные турбины положительно коррелируют с сильным ветром: когда одно растёт, растёт и другое. Но означает ли это, что турбины вызывают ветер?

▶️Дети, которые играют в видеоигры со сценами жестокости, более агрессивны. Означает ли это, что игры делают детей жестокими? Или агрессивные дети просто выбирают жестокие развлечения?

▶️В Средние века люди замечали, что у здоровых людей часто есть вши, а у больных — нет, и делали вывод, что вши полезны для здоровья. На самом деле вши чувствительны к температуре и покидают организм при лихорадке.

▶️Продажи мороженого не вызывают рост числа тепловых ударов — и наоборот, — хотя они коррелируют. Общей причиной в данном случае является жаркая погода.

▶️Мнение, что курящие школьники учатся хуже, может означать, что курение приводит к снижению успеваемости. А может — что плохие оценки и стресс на учёбе подталкивают к курению. Разумно?

▶️В 1950-х Фредерик Вертхем объявил комиксы причиной подростковой преступности, потому что опрашиваемые им малолетние преступники читали комиксы в детстве. Но тогда комиксы читали почти все. Игнорируя масштаб выборки, Вертхем запустил общенациональную кампанию против комиксов, которая закончилась цензурой.

Например, список зарплат в крупной компании. Если кто-то спросит, какова средняя зарплата, мы можем посчитать:

▶️среднее арифметическое — сумму всех значений, делённую на их количество
▶️медиану — зарплату человека ровно в середине распределения
▶️взять моду — значение зарплаты, которое встречается чаще всего

В зависимости от того, какой вариант мы выберем, результат может радикально отличаться. Поэтому сохраняйте скептицизм, когда делаете выбор по средним показателям.

🔸 Условие: представьте простую игру, в которую играют двое. Перед ними две кучки камней — в одной 5, в другой 7.

За ход можно выбрать любую кучку и убрать из неё сколько угодно камней, но только из одной. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

🔸 Вопрос: кто выигрывает при правильной игре?

✅ Его первый ход выглядит почти случайным: он убирает 2 камня из кучки с 7 камнями. После этого на столе лежат две равные кучки — 5 и 5.

А дальше игра превращается в зеркальный «танец». Что бы ни сделал второй игрок — скажем, уберёт 3 камня из одной кучки, — первый тут же убирает 3 камня из другой. Если второй возьмёт 1 камень, первый берёт 1 из противоположной кучки. Если второй решит забрать сразу всё, первый делает то же самое со второй кучкой. Симметрия больше не нарушается, а значит, последним ходит тот, кто эту симметрию создал, — первый игрок.

Заметьте, что ключевой момент не в количестве камней — «2», — а в создании равенства. Очевидно, что если бы кучки были, например, по 2025 и 2026 камней или ещё больше, то решение не поменялось бы.

Позиции вида (5,5), (100,100), (2025,2025) — проигрышные для того, кто ходит. Любой ход разрушает симметрию, и соперник может её восстановить. Поэтому правильная стратегия формулируется лаконично: нужно перевести игру в проигрышную позицию для соперника.

🔄Так простая игра с камнями неожиданно приводит к бинарной системе счисления, к алгебре без переноса и к целой теории комбинаторных игр. В начале XX века Чарльз Бутон полностью описал стратегию для игр Ним.

Это общее название игр, в которых два игрока по очереди берут предметы, разложенные на несколько кучек, и за один ход можно взять любое количество предметов (больше нуля) из одной кучки. В классическом варианте число кучек равно трём.

Позже на её основе появилась теорема Шпрага-Гранди — фундамент современной теории игр такого типа🔄

Его нижняя часть — это дуга окружности радиусом примерно 2–3 метра. Благодаря этой кривизне фигурист может наклоняться и «врезаться» в лёд под разными углами, вычерчивая дуги.

Это чистая евклидова геометрия: касание окружностей, направление движения (вперёд/назад), выбор внутреннего или внешнего ребра конька. Исторически именно такие фигуры и дали спорту название skating figures.

Если бы мы описывали это в терминах математики, то сказали бы: фигурист параметризует дуги окружностей, меняя знак кривизны и ориентацию касательного вектора.

Когда спортсмен выполняет прыжок — аксель или тулуп, — его центр масс движется по параболе. Это классическая модель из школьной физики: тело, брошенное под углом к горизонту.

Высота прыжка и дальность пролёта зависят от начальной скорости, угла отталкивания, распределения массы тела. Именно поэтому один и тот же прыжок (например, тройной тулуп) можно «недокрутить»: если угловая скорость недостаточна, спортсмен не успевает завершить требуемое число оборотов до приземления.

Особенно наглядна математика во вращениях. Если фигурист разводит руки в стороны — он вращается медленнее. Прижимает к телу — быстрее. Это прямое следствие закона сохранения момента импульса:

I ⋅ ω = const,
где I — момент инерции, а ω — угловая скорость

Уменьшая радиус (прижимая руки), спортсмен уменьшает момент инерции и увеличивает угловую скорость. Та же физика заставляет ускоряться балерину в фуэте или космонавта, меняющего положение тела в невесомости.

🔸Условие: в комнате размерами 5×4×4 м разбрызгали 0,5 мл духов так, что в среднем в каждом кубическом миллиметре воздуха оказалась одна малюсенькая капелька духов.

🔸Вопрос: каков радиус этой малюсенькой капельки?

*️⃣Считайте, что все капельки одинаковы и имеют сферическую форму.

1️⃣Рассчитаем, сколько в комнате находится капелек духов. Для этого выразим объём комнаты в мм³:

5 * 4 * 4 = 80 м³ = 80 * 10⁹ мм³

2️⃣Узнаем, чему равен объём каждой капельки:

0,5 мл = 0,5 * 10⁻⁶ м³ = 0,5 * 10³ мм³ = 500 мм³

(0,5 * 10⁻⁶) / (80 * 10⁹) = 6,25 * 10⁻⁹ мм³

3️⃣Теперь из формулы объёма сферы выразим радиус и найдём его:

V = 4/3 * πR3
R = (3V / (4π))¹ᐟ³

R = (3 * 6,25 * 10-9 / π / 4) = 0,00114 мм = 1,14 мкм.

Вопрос: можно ли сложить квадратный лист бумаги на плоскости так, что периметр полученной фигуры превысит периметр исходного листа?

Подсказка: решение принципиально зависит от того, как понимать условие.