1️⃣ В первой части решения будем анализировать только левую часть мобиля. Начнем с простого — самого нижнего подвеса, из равновесия которого нетрудно заключить, что F = 2D.

Заметим, что у нас есть одна большая горизонтальная балка сверху (вес которой, разумеется, никак не может повлиять на решение), а также несколько одинаковых между собой балок поменьше. Будем для краткости обозначать их вес просто X. Тогда из нижней части левой половины можем заключить, что B + F = X+ 2D + F. Упрощая это выражение, получим B = X+ 2D, а учитывая то, что 2D = F, получаем B = X + F.

Далее, искомая # = 2X + 2F + 2D + B = 2(X+F) + 2D + B = 2B + 2D + B = 3B + 2D.

Теперь финальное соотношение для всей левой части:

B + 2E = 3X + # + B + 2F + 2D.

Упрощаем:

2E = 3X + 3F + # = 3(X+F) + # = 3B + 3B + F = 6B + F = 6B + 2D

E = 3B + D

Тогда # = 3B + 2D = E + D.

2️⃣ Сперва заметим, что C = A + 3D. Далее:

3A + D + 2F = X + A + 3D + C => 2A + 2F = X + 2D + C

▶️Подставим C: 2A + 2F = X + 2D + A + 3D

Упрощая, получаем: A + 2F = X + 5D

▶️Подставим F: A + 4D = X + 5D откуда A = X + D => C = A + 3D = X + 4D.

И финальное соотношение на всю правую часть:

A + 5C = 2X + 4A + 4D + 2F + C => 4C = 2X + 3A + 4D + 2F

Подставим C, A и F через X и D: 4X + 16D = 2X + 3X + 3D + 4D + 4D.
Упрощая, получаем X = 5D.

Таким образом, мы получили следующие соотношения:

F = 2D
X = 5D
A = X + D = 6D
B = X + F = 5D + 2D = 7D
C = X + 4D = 9D
E = 3B + D = 21D + D = 22D

🐛
Что мы о нём знаем?
🐛

🔸Настоящее имя писателя — Чарлз Лютвидж Доджсон. Он окончил Оксфорд с отличием по математике и в 1856 году стал лектором, проработав в этой должности 25 лет — до 1881 года.

🔸Особое место в его научных интересах занимала евклидова геометрия — строгая система аксиом и доказательств, которую он считал образцом научного мышления.

🔸За свою жизнь он издал около десяти математических книг, в том числе две по формальной логике. В 1890-е годы Доджсон публикует знаменитый текст «Что Черепаха сказала Ахиллесу» — его до сих пор обсуждают специалисты по логике, — а затем выпускает учебник «Символическая логика».

❄️
1️⃣ Арифметика и системы счисления
❄️
В знаменитой сцене, где Алиса уменьшается, она пытается умножать и получает странные результаты: «4×5 = 12, 4×6 = 13…». В десятичной системе это выглядит ошибкой, но Кэрролл сознательно смещает основание счёта.

Если считать не в десятичной системе, а, например, с основанием 18 или 21, такие равенства становятся корректными: 4×5 = 20(10) = 12(18), 4×6 = 24(10) = 13(21).

❄️
2️⃣ Геометрия и пропорции
❄️
Как вы помните, многие персонажи меняют форму: Кролик растёт, Алиса то уменьшается, то вытягивается, и любой математик бы спросил, сохраняют ли персонажи форму? Когда Гусеница произносит фразу «keep your temper», учёный XIX века слышит в ней не совет «держать себя в руках», а призыв «сохранять пропорции» — temper как средняя мера.

В евклидовой геометрии фигура после гомотетии остаётся подобной самой себе, если сохраняются соотношения сторон. Но если пропорции нарушаются, форма ломается, и объект перестаёт быть самим собой. Тут Кэрролл иронизирует над идеями алгебраической геометрии и символической алгебры.

❄️
3️⃣ Принцип непрерывности
❄️
Сцена с младенцем Герцогини, который внезапно превращается в поросёнка, отсылает к принципу непрерывных превращений, связанному с идеями Понселе. Согласно этому принципу, бесконечно малые изменения сохраняют некоторые свойства объекта.

Кэрролл доводит идею до гротеска: при превращении может получиться либо ребёнок, либо свинья — никакого «промежуточного существа» не существует. Автор насмешливо подчёркивает абсурдность механического переноса математического принципа в физическую реальность.

❄️
4️⃣ Шахматы и бинарная логика
❄️
В книге «По ту сторону зеркала» вся история разворачивается как партия в шахматы, подчёркивая строгую, почти формальную структуру мира. Для викторианцев шахматы считались «игрой для математиков», и Кэрролл активно использует этот предрассудок.

В зеркальном мире всё переворачивается: ходы работают наоборот, выводы инвертируются, логика ломается. Диалоги героев при этом отсылают к идеям алгебры Буля и двоичного мышления — к спорам о «0» и «1», лжи и истине. Кэрролл превращает серьёзные логические концепции в игру слов и парадоксов.

❄️
5️⃣ «Запутанная история» (1885)
❄️
Хотя это отдельная книга, её невозможно не упомянуть. В ней Кэрролл пишет пять «узлов» — коротких историй, внутри которых он прячет математические задачи. Читателю предлагают распутывать эти «узелки»: решать уравнения, задачи на сочетания и вероятность. Ответы автор выносит в конец книги.

💡
1️⃣ Логическая задача
💡
Из (1): все младенцы нелогичны.
Из (3): всех нелогичных людей презирают.

Следовательно, всех младенцев презирают.

Условие (2) говорит, что ни один человек, умеющий управляться с крокодилом, не может быть презираем.

В контрапозиции это означает: если кого-то презирают, значит, он не умеет управляться с крокодилом.

Поскольку всех младенцев презирают, ни один младенец не может управляться с крокодилом.

▶️Итак, вывод Кэрролла таков: младенцы не могут управляться с крокодилами.

💡
2️⃣ Арифметическая задача
💡
Пусть расстояние подъёма (и спуска) равно d милям, а L — длина ровного участка (туда и обратно).

Время подъёма: d / 3
время спуска: d / 6
время по ровной местности: L / 4 в каждую сторону

Общее время:
d / 3 + d / 6 + 2·(L / 4) = 6 часов (с 3 до 9 вечера)

Упрощаем: d / 3 + d / 6 = d / 2, значит:
d / 2 + L / 2 = 6, откуда d + L = 12

Общее расстояние равно 2d + 2L. Но так как d + L = 12, получаем 2d + 2L = 24 мили — независимо от того, как именно делятся эти 12 миль между подъёмом и ровной дорогой. Кэрролл показывает, что всего они прошли 24 мили.

Чтобы найти время подъёма на вершину: рыцари вышли в 3:00, общее время — 6 часов. Как объясняет Кэрролл, подъём должен был занять примерно 3½ часа после выхода, то есть около 6:30 вечера. Если бы все 12 миль были ровными, путь занял бы чуть больше 3 часов; если бы почти весь путь был в гору — чуть меньше 4 часов. В пределах получаса это даёт около половины седьмого.

▶️Ответ Кэрролла: 24 мили и 6:30 вечера.

💡
3️⃣ Парадокс вероятностей
💡
Изначально в мешке была либо белая W, либо чёрная B фишка — с равными вероятностями. После добавления белой фишки возможны два случая:

WW (если исходная была белой) или BW (если исходная была чёрной), каждый с вероятностью 1/2.

Мы вытаскиваем белую фишку. Перебор равновероятных случаев (как подробно делает Кэрролл) показывает, что остаются три равновероятных сценария, в которых вытянута белая фишка. В двух из этих трёх случаев оставшаяся фишка — белая.

▶️Следовательно, вероятность того, что оставшаяся фишка белая, равна 2/3.

*️⃣Сам Кэрролл отмечал, что интуитивный «короткий» ответ 1/2 вводит в заблуждение, и приводил правильный «длинный» расчёт.

👟
1️⃣ уровень: визуализации
👟
Если нужно сложить 2 и 3, можно просто загнуть два пальца, а потом три и сосчитать, сколько пальцев мы загнули. Если пальцев не хватает, мы просто берём две кучки одинаковых предметов в нужном количестве, складываем их в одну кучу и пересчитываем.

Проблема очевидна: такие операции масштабируются плохо. Посчитать десятки ещё можно, сотни — уже трудно, тысячи — почти невозможно. Любая серьёзная операция превращается в изнурительное пересчитывание.

👟
2️⃣ уровень: нотации
👟
Когда появляются числовые символы и обозначения, вместо груды камней у нас возникает запись 2 + 5. Вместо угла — набор букв, которыми мы обозначили углы.

Операция, которая раньше занимала минуты или часы, теперь выполняется за секунды. Причём не потому, что мы стали «умнее», а потому что абстракция спрятала сложность внутрь правил.

Правила сложения с переносом разрядов вовсе не очевидны. Это математические теоремы. Но они настолько глубоко встроены в нотацию, что мы перестаём замечать их существование.

👟
3️⃣ уровень: переменные
👟
На этом этапе числа заменяются буквами. Теперь мы можем делать утверждения сразу про все числа, а не про отдельные примеры.

Становится возможным говорить о решениях уравнений, о системах, о зависимостях, и манипулировать ими чисто алгебраически, получать формулы, в которые подставляются необходимые нам в моменте значения.

Этот уровень абстракции нам знаком благодаря школьным программам. Он уже невероятно красивый и универсальный. Но по меркам современной математики всё ещё довольно низкий.

👟
4️⃣ уровень: структуры
👟
Теперь абстрагируемся не от чисел, а от самих числовых систем. Если нас интересует только операция сложения, зачем привязываться именно к целым числам?

Можно рассматривать любые объекты, где есть «сложение» и выполняются знакомые свойства. Так возникают, например, абелевы группы или матрицы. И целые числа — лишь один частный случай, а сама группа становится чем-то вроде «переменной», обозначающей целый класс возможных структур.

Главная сила этого шага — в фокусировке: мы сознательно оставляем только те свойства, которые действительно важны для доказательства, и отбрасываем всё лишнее. В результате утверждения начинают работать сразу для огромного множества объектов, а не для одного конкретного примера.

👟
5️⃣ уровень: категории
👟
Здесь уже можно смотреть не на отдельные структуры, а на всю вселенную структур и отображений между ними. Так появляется язык категорий: категория абелевых групп, категория топологических пространств и так далее.

Более того, можно изучать связи между самими категориями, переходя ещё на уровень выше. Именно на этом уровне возникает возможность видеть глубинные закономерности, которые полностью скрыты на «низких этажах».

▶️Исходя из того, что суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников, найдём S:

10S = 0,9 · (10S + 90) ⇒
10S = 9S + 81 ⇒
S = 81

▶️Теперь в первом регионе 10% работников — это 9 человек, чья суммарная зарплата равна 9. Общая зарплата всего региона — 90. Тогда требуемое отношение выполняется:

9/90 = 0,1 ≤ 0,11

▶️Во втором регионе 10% работников — это 1 человек, чья зарплата равна, как мы вычислили выше, 81.

81/810 = 0,1 ≤ 0,11, т.е. региональное условие для этого региона также выполнено.

⠀
1️⃣ Статистика борется с опасностью
⠀
Через несколько дней полиция задержала Джанет Коллинз и её мужа Малкольма — они не могли подтвердить своё алиби и подходили под описания свидетелей:

▶️блондинка с хвостом
▶️жёлтая машина
▶️темнокожий водитель с усами и бородой

Поскольку основные доказательства основывались только на показаниях потерпевшей и очевидца, в суд пригласили математика. Он вычислил вероятность того, что случайно выбранная невиновная пара обладает всеми этими признаками. Предполагая независимость событий, он перемножил вероятности и получил совместную вероятность.

Оказалось, что шанс того, что такая пара окажется невиновной, — меньше одного к 12 миллионам. Присяжные вынесли обвинительный приговор. Но был нюанс...

⠀
2️⃣ Опасность борется со статистикой
⠀
Верховный суд отменил приговор, критикуя статистическое обоснование за игнорирование зависимостей между описаниями свидетелей.

Так дело «Люди против Коллинз» стало ещё более резонансным. Но его главным следствием стал разговор об «ошибке базового процента», она же — «ошибка прокурора».

*️⃣Пример: если известно, что у преступника и у обвиняемого группа крови B, и лишь у 1% населения страны эта группа крови, то «ошибкой прокурора» будет утверждение, что только на этом основании вероятность вины обвиняемого составляет 99%.

История с ограблением — тоже пример такой ошибки: путаницы между вероятностью «A при условии B» и «B при условии A». Фактически суд подменил вероятность описаний при невиновности вероятностью невиновности при совпадении описаний.⠀

⠀
3️⃣ «Условность» вероятности
⠀⠀
Представьте, что за занавеской спряталось животное с четырьмя ногами. Это — исходное условие. Какова вероятность, что это собака? Один шанс из ста, из тысячи, из миллиона?

Но если вместо этого в условии за занавеской находится собака, то это уже исходное условие. Какова вероятность, что у неё четыре ноги? Здесь ответ почти гарантирован, ведь у большинства собак четыре ноги.

❗️Здесь мы сталкиваемся с условной вероятностью:
P(невиновен | набор признаков) ≠ P(набор признаков | невиновен)

Стоит поменять местами исходное условие и вопрос — и вероятность может радикально измениться. Присяжные фактически поменяли местами исходное условие и вопрос, оставив той же вероятность. А мы только что увидели, что это может быть совершенно неверно.

▶️Если в городе десять пар подходят под описание, то, выбрав одну из них случайно, вероятность виновности — 1 из 10, а вероятность невиновности — 9 из 10, а вовсе не один шанс из 12 миллионов.⠀