1️⃣ В первой части решения будем анализировать только левую часть мобиля. Начнем с простого — самого нижнего подвеса, из равновесия которого нетрудно заключить, что F = 2D.

Заметим, что у нас есть одна большая горизонтальная балка сверху (вес которой, разумеется, никак не может повлиять на решение), а также несколько одинаковых между собой балок поменьше. Будем для краткости обозначать их вес просто X. Тогда из нижней части левой половины можем заключить, что B + F = X+ 2D + F. Упрощая это выражение, получим B = X+ 2D, а учитывая то, что 2D = F, получаем B = X + F.

Далее, искомая # = 2X + 2F + 2D + B = 2(X+F) + 2D + B = 2B + 2D + B = 3B + 2D.

Теперь финальное соотношение для всей левой части:

B + 2E = 3X + # + B + 2F + 2D.

Упрощаем:

2E = 3X + 3F + # = 3(X+F) + # = 3B + 3B + F = 6B + F = 6B + 2D

E = 3B + D

Тогда # = 3B + 2D = E + D.

2️⃣ Сперва заметим, что C = A + 3D. Далее:

3A + D + 2F = X + A + 3D + C => 2A + 2F = X + 2D + C

▶️Подставим C: 2A + 2F = X + 2D + A + 3D

Упрощая, получаем: A + 2F = X + 5D

▶️Подставим F: A + 4D = X + 5D откуда A = X + D => C = A + 3D = X + 4D.

И финальное соотношение на всю правую часть:

A + 5C = 2X + 4A + 4D + 2F + C => 4C = 2X + 3A + 4D + 2F

Подставим C, A и F через X и D: 4X + 16D = 2X + 3X + 3D + 4D + 4D.
Упрощая, получаем X = 5D.

Таким образом, мы получили следующие соотношения:

F = 2D
X = 5D
A = X + D = 6D
B = X + F = 5D + 2D = 7D
C = X + 4D = 9D
E = 3B + D = 21D + D = 22D

🐛
Что мы о нём знаем?
🐛

🔸Настоящее имя писателя — Чарлз Лютвидж Доджсон. Он окончил Оксфорд с отличием по математике и в 1856 году стал лектором, проработав в этой должности 25 лет — до 1881 года.

🔸Особое место в его научных интересах занимала евклидова геометрия — строгая система аксиом и доказательств, которую он считал образцом научного мышления.

🔸За свою жизнь он издал около десяти математических книг, в том числе две по формальной логике. В 1890-е годы Доджсон публикует знаменитый текст «Что Черепаха сказала Ахиллесу» — его до сих пор обсуждают специалисты по логике, — а затем выпускает учебник «Символическая логика».

❄️
1️⃣ Арифметика и системы счисления
❄️
В знаменитой сцене, где Алиса уменьшается, она пытается умножать и получает странные результаты: «4×5 = 12, 4×6 = 13…». В десятичной системе это выглядит ошибкой, но Кэрролл сознательно смещает основание счёта.

Если считать не в десятичной системе, а, например, с основанием 18 или 21, такие равенства становятся корректными: 4×5 = 20(10) = 12(18), 4×6 = 24(10) = 13(21).

❄️
2️⃣ Геометрия и пропорции
❄️
Как вы помните, многие персонажи меняют форму: Кролик растёт, Алиса то уменьшается, то вытягивается, и любой математик бы спросил, сохраняют ли персонажи форму? Когда Гусеница произносит фразу «keep your temper», учёный XIX века слышит в ней не совет «держать себя в руках», а призыв «сохранять пропорции» — temper как средняя мера.

В евклидовой геометрии фигура после гомотетии остаётся подобной самой себе, если сохраняются соотношения сторон. Но если пропорции нарушаются, форма ломается, и объект перестаёт быть самим собой. Тут Кэрролл иронизирует над идеями алгебраической геометрии и символической алгебры.

❄️
3️⃣ Принцип непрерывности
❄️
Сцена с младенцем Герцогини, который внезапно превращается в поросёнка, отсылает к принципу непрерывных превращений, связанному с идеями Понселе. Согласно этому принципу, бесконечно малые изменения сохраняют некоторые свойства объекта.

Кэрролл доводит идею до гротеска: при превращении может получиться либо ребёнок, либо свинья — никакого «промежуточного существа» не существует. Автор насмешливо подчёркивает абсурдность механического переноса математического принципа в физическую реальность.

❄️
4️⃣ Шахматы и бинарная логика
❄️
В книге «По ту сторону зеркала» вся история разворачивается как партия в шахматы, подчёркивая строгую, почти формальную структуру мира. Для викторианцев шахматы считались «игрой для математиков», и Кэрролл активно использует этот предрассудок.

В зеркальном мире всё переворачивается: ходы работают наоборот, выводы инвертируются, логика ломается. Диалоги героев при этом отсылают к идеям алгебры Буля и двоичного мышления — к спорам о «0» и «1», лжи и истине. Кэрролл превращает серьёзные логические концепции в игру слов и парадоксов.

❄️
5️⃣ «Запутанная история» (1885)
❄️
Хотя это отдельная книга, её невозможно не упомянуть. В ней Кэрролл пишет пять «узлов» — коротких историй, внутри которых он прячет математические задачи. Читателю предлагают распутывать эти «узелки»: решать уравнения, задачи на сочетания и вероятность. Ответы автор выносит в конец книги.

💡
1️⃣ Логическая задача
💡
Из (1): все младенцы нелогичны.
Из (3): всех нелогичных людей презирают.

Следовательно, всех младенцев презирают.

Условие (2) говорит, что ни один человек, умеющий управляться с крокодилом, не может быть презираем.

В контрапозиции это означает: если кого-то презирают, значит, он не умеет управляться с крокодилом.

Поскольку всех младенцев презирают, ни один младенец не может управляться с крокодилом.

▶️Итак, вывод Кэрролла таков: младенцы не могут управляться с крокодилами.

💡
2️⃣ Арифметическая задача
💡
Пусть расстояние подъёма (и спуска) равно d милям, а L — длина ровного участка (туда и обратно).

Время подъёма: d / 3
время спуска: d / 6
время по ровной местности: L / 4 в каждую сторону

Общее время:
d / 3 + d / 6 + 2·(L / 4) = 6 часов (с 3 до 9 вечера)

Упрощаем: d / 3 + d / 6 = d / 2, значит:
d / 2 + L / 2 = 6, откуда d + L = 12

Общее расстояние равно 2d + 2L. Но так как d + L = 12, получаем 2d + 2L = 24 мили — независимо от того, как именно делятся эти 12 миль между подъёмом и ровной дорогой. Кэрролл показывает, что всего они прошли 24 мили.

Чтобы найти время подъёма на вершину: рыцари вышли в 3:00, общее время — 6 часов. Как объясняет Кэрролл, подъём должен был занять примерно 3½ часа после выхода, то есть около 6:30 вечера. Если бы все 12 миль были ровными, путь занял бы чуть больше 3 часов; если бы почти весь путь был в гору — чуть меньше 4 часов. В пределах получаса это даёт около половины седьмого.

▶️Ответ Кэрролла: 24 мили и 6:30 вечера.

💡
3️⃣ Парадокс вероятностей
💡
Изначально в мешке была либо белая W, либо чёрная B фишка — с равными вероятностями. После добавления белой фишки возможны два случая:

WW (если исходная была белой) или BW (если исходная была чёрной), каждый с вероятностью 1/2.

Мы вытаскиваем белую фишку. Перебор равновероятных случаев (как подробно делает Кэрролл) показывает, что остаются три равновероятных сценария, в которых вытянута белая фишка. В двух из этих трёх случаев оставшаяся фишка — белая.

▶️Следовательно, вероятность того, что оставшаяся фишка белая, равна 2/3.

*️⃣Сам Кэрролл отмечал, что интуитивный «короткий» ответ 1/2 вводит в заблуждение, и приводил правильный «длинный» расчёт.

👟
1️⃣ уровень: визуализации
👟
Если нужно сложить 2 и 3, можно просто загнуть два пальца, а потом три и сосчитать, сколько пальцев мы загнули. Если пальцев не хватает, мы просто берём две кучки одинаковых предметов в нужном количестве, складываем их в одну кучу и пересчитываем.

Проблема очевидна: такие операции масштабируются плохо. Посчитать десятки ещё можно, сотни — уже трудно, тысячи — почти невозможно. Любая серьёзная операция превращается в изнурительное пересчитывание.

👟
2️⃣ уровень: нотации
👟
Когда появляются числовые символы и обозначения, вместо груды камней у нас возникает запись 2 + 5. Вместо угла — набор букв, которыми мы обозначили углы.

Операция, которая раньше занимала минуты или часы, теперь выполняется за секунды. Причём не потому, что мы стали «умнее», а потому что абстракция спрятала сложность внутрь правил.

Правила сложения с переносом разрядов вовсе не очевидны. Это математические теоремы. Но они настолько глубоко встроены в нотацию, что мы перестаём замечать их существование.

👟
3️⃣ уровень: переменные
👟
На этом этапе числа заменяются буквами. Теперь мы можем делать утверждения сразу про все числа, а не про отдельные примеры.

Становится возможным говорить о решениях уравнений, о системах, о зависимостях, и манипулировать ими чисто алгебраически, получать формулы, в которые подставляются необходимые нам в моменте значения.

Этот уровень абстракции нам знаком благодаря школьным программам. Он уже невероятно красивый и универсальный. Но по меркам современной математики всё ещё довольно низкий.

👟
4️⃣ уровень: структуры
👟
Теперь абстрагируемся не от чисел, а от самих числовых систем. Если нас интересует только операция сложения, зачем привязываться именно к целым числам?

Можно рассматривать любые объекты, где есть «сложение» и выполняются знакомые свойства. Так возникают, например, абелевы группы или матрицы. И целые числа — лишь один частный случай, а сама группа становится чем-то вроде «переменной», обозначающей целый класс возможных структур.

Главная сила этого шага — в фокусировке: мы сознательно оставляем только те свойства, которые действительно важны для доказательства, и отбрасываем всё лишнее. В результате утверждения начинают работать сразу для огромного множества объектов, а не для одного конкретного примера.

👟
5️⃣ уровень: категории
👟
Здесь уже можно смотреть не на отдельные структуры, а на всю вселенную структур и отображений между ними. Так появляется язык категорий: категория абелевых групп, категория топологических пространств и так далее.

Более того, можно изучать связи между самими категориями, переходя ещё на уровень выше. Именно на этом уровне возникает возможность видеть глубинные закономерности, которые полностью скрыты на «низких этажах».