Можно ли выиграть в лотерею с помощью математики❓

Сразу скажем: мы ни в коем случае не романтизируем азартные игры. Но история Стефана Манделя действительно хороша как математический кейс.

Наш герой не был академиком. Он работал бухгалтером и называл себя «математиком выходного дня»: в свободное время изучал вероятности и комбинаторику. В 1960-е он жил в Румынии. В то время там проходила местная лотерея «6 из 49».

Всего в такой игре 49! / (6! · 43!) = 13 983 816 возможных комбинаций. Купить все билеты было невозможно, поэтому Мандель придумал схему, которую назвал комбинаторной конденсацией.

Мандель заранее выбирал 15 чисел. Из них можно составить 15! / (6! · 9!) = 5005 разных шестёрок. Покупать все 5005 он не стал: вместо этого отобрал 569 шестёрок так, чтобы при попадании всех выигрышных чисел в исходные 15 хотя бы один из его билетов содержал пять выигрышных чисел. Пять угаданных чисел давали второй приз. Как именно он получил набор из этих 569 билетов, Мандель не раскрывал.

Схема сработала: сначала Мандель получил несколько небольших выигрышей, затем сорвал джекпот.

Вскоре он перебрался в Австралию, где собрал целый лотерейный синдикат — группу инвесторов, которые вместе вкладывали деньги в массовую покупку билетов, а потом делили выигрыш. Так он несколько раз выиграл в Австралии, пока организаторы не изменили правила. 

Тогда Мандель перешёл к другой стратегии: начал искать лотереи, где накопившийся джекпот перекрывал стоимость всех возможных комбинаций и дополнительные расходы. Так бывает, когда несколько тиражей подряд никто не угадывает выигрышный набор: главный приз переходит дальше и растёт. В 1992 году подходящий момент был в американской Вирджинии.

🔄В местной лотерее нужно было выбрать 6 чисел из 44, то есть существовало 7 059 052 комбинации. Билет стоил 1 доллар, а джекпот вырос до 27 млн долларов🔄

Но схема Манделя упёрлась в логистику. За 72 часа команда должна была провести миллионы билетов через терминалы. Часть точек продаж не справилась, поэтому вместо всех комбинаций удалось купить около 6,4 млн. Вместе с недостающими билетами исчезла и гарантия: вместо 100 % шансов у команды осталось примерно 90 %. Для лотереи это всё ещё почти неприлично много.

И всё же билет с нужными числами оказался у синдиката Манделя. Он снова сорвал джекпот! Нарушений закона не нашли, но после этой истории правила лотерей изменили: массовые покупки ограничили, а подобные схемы стало почти невозможно повторить.

После выигрыша Мандель отошёл от дел и переехал в Вануату — небольшое островное государство в Тихом океане. Там он поселился в доме у моря и больше никогда не играл в лотереи.

Что думаете о Манделе и его комбинаторной схеме?

🔥 — умный и находчивый, молодец!
🧐 — игромания, да и только…

#история

Друзья, хотим столько комментов под каждым постом! Спасибо за актив ❤️

Сегодня наши математические часы показывают… День учителя!

И мы уверены, что в этом канале учителей довольно много: школьных, вузовских и, может быть, будущих. Каждого из вас мы поздравляем всей редакцией ❤️

Чтобы не говорить тривиальных пожеланий, мы задались вопросом: в чём сила педагога? Особенно преподавателя математики.

⏩️И нам пришёл такой ответ: сила — в умении превращать способности и трудолюбие учеников в любовь к предмету и науке.

На пути образования нам всем нужен человек, который заметит интерес раньше нас самих и даст задачу чуть сложнее привычной. А главное — покажет, что за сложными решениями часто скрывается совершенно иной способ рассуждать.

Всем учителям спасибо за эту способность, а ещё за терпение к ошибкам и веру в своих подопечных.

Поздравляйте своих учителей и коллег в комментариях и рассказывайте школьные или университетские истории, после которых ваше восприятие мира стало шире и ярче 💬

Друзья, время разбрасывать камни!

🔸Условие: взяли сосуд сложной формы, до краёв наполнили какой-то жидкостью и стали понемногу бросать в него камни с плотностью 3,5 г/см3. Оказалось, что средняя плотность жидкости с камнями увеличивалась линейно по мере добавления камней.

Вот две точки, через которые прошла эта прямая в результате эксперимента:

объём камней V = 5 л, средняя плотность ρср = 1,2 г/см3
объём камней V = 6,5 л, средняя плотность ρср = 1,35 г/см3

🔸Вопрос: найдите плотность жидкости и объём сосуда.

#задача

Разбираем вчерашнюю задачу про камни вместе с Нелли Шишковой, методистом Яндекс Лицея ❤️
⠀

⠀
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀РЕШЕНИЕ
⠀
Средняя плотность вычисляется как вся масса, делённая на весь объём.

Масса камней:
mₖ = ρₖ V

Масса жидкости:
m₀ = ρ₀(V₀ − V)
ρ средняя = (ρₖ V + ρ₀(V₀ − V)) / V₀
ρ средняя = ρ₀ + ((ρₖ − ρ₀) / V₀) V

Получилось уравнение прямой линии — зависимость ρ средней от V.

С другой стороны, уравнение этой же линии можем написать по известным двум точкам:
ρ средняя = 0,7 + 0,1 V

Используем свойства прямой линии. Если продлить линию до нулевого объёма добавленных в сосуд камней, то средняя плотность в этой точке — это плотность жидкости. Координаты точки (0; ρ₀).

Если продлить до средней плотности, равной плотности камней, то объём станет равен объёму сосуда. Координаты точки (V₀; ρ средняя).

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀ ⠀ ОТВЕТ
⠀⠀⠀⠀⠀⠀
плотность жидкости 0,7 г/см³ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀
объём сосуда 28 л

▶️Кстати, вчерашняя задача уже не первая в нашем канале про разбрасывание камней. Есть ещё одна, но совершенно другого рода. Решайте!

#задача

И всё же, зачем❓

Скучали по нам? Это уже третья полка математического стеллажа Яндекс Книг (вот первая и вторая). Тут мы собрали лучшие, на наш взгляд, книги о том, как математика помогает понимать реальность.

Если вы хотите научиться видеть связи и понимать, почему интуиции не всегда достаточно, открывайте эти страницы:

▶️Иэн Стюарт
Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Стюарт — один из самых плодовитых и успешных авторов научпопа о математике. Эта книга — его попытка ответить на вечный вопрос: «А зачем мне вообще эта математика?» Через бытовые примеры он показывает, как она незаметно работает в жизни каждого из нас.

▶️Рафаель Роузен
Математика для гиков

Роузен ищет математику там, где её обычно не замечают: в спорте, кулинарии, архитектуре и повседневных мелочах. Лёгкий вход в тему для тех, кто хочет видеть числа вокруг себя, а не только в учебнике. Отметим, что книга скорее в экспресс-формате знакомит с разными проявлениями математики в окружающем мире, чем раскрывает их в деталях.

▶️Джеймс Глик
Хаос. Создание новой науки

Научно-популярный бестселлер про рождение теории хаоса: эффект бабочки, странные аттракторы, Лоренц и его модель погоды. Это не столько про формулы, сколько про историю идей и людей, стоявших за ними, — читается почти как приключенческий роман.

▶️Иэн Стюарт
Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную

Ещё один Стюарт в нашей коллекции — на этот раз про то, как математика помогает астрономам и физикам разбираться в устройстве космоса: от орбит и гравитации до более экзотических вещей. Как всегда у Стюарта, доступно и без лишнего пафоса.

▶️Сергей Попов
Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Своего рода побратим предыдущей книги — от русскоязычного астрофизика и популяризатора науки Сергея Попова. Книга знакомит с главными формулами физики: от простых до по-настоящему фундаментальных — и рассказывает, что за ними стоит. Хороший выбор, если интересна не только математика сама по себе, но и то, как она описывает устройство Вселенной.

#рекомендуем

Поймали себя на мысли, что довольно мало пишем про новости на стыке ИИ и математики. Исправляемся: сейчас тема как раз на пике обсуждений.

Недавно OpenAI озадачила всё матсообщество, выложив в открытый доступ сотни математических машинописей. В репозитории сейчас описаны 372 «семейства» результатов, часть из них сопровождается проверками в Lean.

Почему озадачила? Потому что позиционируются эти истории как победа ИИ над величайшей из наук.

👀 На это отреагировал наш любимчик Теренс Тао. Он провёл лекцию Math 2.0

В ней математик описал свои соображения о том, как смещается центр тяжести математики.

Вопреки всей критике сгенерированных решений Тао предлагает смотреть глубже и оценивать не только финальный ответ, но и путь к нему. В своём докладе он популярно раскрывает несколько важных тезисов. Вот что зацепило нас:

👉 Почему ИИ так быстро добрался до математики?
⠀
Потому что математика почти идеально подходит для машинной работы. Доказательства можно объективно проверить, многие из них можно записать на формальном языке (читайте об этом тут), а огромный массив математической литературы уже существует в цифровом виде. В отличие от физики или биологии, здесь не всегда нужен реальный эксперимент.

👉 Значит, ИИ теперь решит всю математику?
⠀
Нет. Тао подчёркивает, что возможности ИИ очень неравномерны. Модель может впечатляюще справляться с одними задачами и проваливаться на других. А ощущение, что ИИ решает всё подряд, усиливается из-за перекоса в медиа: в соцсети и пресс-релизы попадают удачные случаи, а не тысячи неудачных попыток.

👉 Решать больше задач с ИИ — плохая цель?
⠀
Пожалуй, да! Открытые задачи в математике (как эти) — это не просто финишные точки. Вокруг них исследователи изучают целые области. По дороге к доказательству появляются новые методы, связи и вопросы. Если ИИ сразу приносит готовое решение, то ценность исследовательского маршрута теряется.

👉 Что Тао предлагает вместо гонки за доказательствами?
⠀
Использовать ИИ не для закрытия открытых проблем, а для «прокачки» понимания: искать более ясные доказательства, объяснять непрозрачные результаты, строить формальные библиотеки вроде Mathlib, объединять разрозненные статьи в живые карты знаний.

Он предлагает проводить ablation studies для доказанных теорем. Брать результат и проверять: можно ли всё ещё доказать его, если убрать часть исходных теорий или предпосылок. Получится ли найти элементарное доказательство для результата, который сейчас доказывается лишь неэлементарными методами?

Ещё одна идея — исследовать «окрестность теоремы»: какие выводы сохранятся, если изменить или отбросить некоторые гипотезы?

Не можем не согласиться с Теренсом: главная проблема не в развивающихся технологиях и даже не в научных институциях, а в дефиците воображения. Именно оно понадобится человеку, чтобы понять, как использовать ИИ дальше.

А вы что думаете?

🤨 — не согласен, ИИ победит математику…
🕊 — без человека ИИ — ничто!

#это_база

Он потерял нос из-за… математики!

Друзья, видим ваш отклик на истории про жизни математиков. И продолжаем эту рубрику. Сегодня расскажем про астронома Тихо Браге.

Повод почтить его имя есть, ведь прямо сейчас во всём мире отмечается Всемирная неделя космоса. А кто, как не астрономы XVI века, сделал вклад в развитие космических наук современности?

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🎬🎬🎬

Да, наш герой действительно лишился носа из-за математики... Дело было на святках 1566 года, на вечеринке у профессора в Ростоке.

Тихо и его троюродный брат Мандеруп Парсберг поспорили — по одной из версий, о том, кто из них лучше разбирается в математике, а по другой — чья формула для решения задачи была правильной.

Спор не утих, и три дня спустя противники сошлись на дуэли на шпагах… в полной темноте. Там Тихо и лишился кончика носа и до конца жизни носил протез. Причём носил с гордостью, сделав его частью своего эксцентричного образа.

Тихо был придворным датского короля Фредерика II. Покровитель подарил учёному остров, где тот построил обсерваторию Ураниборг, одну из первых исследовательских институций в Европе. Именно там, ещё до изобретения телескопа, он вёл наблюдения неба.

Когда Фредерик II скончался, трон унаследовал его сын, который урезал финансирование Ураниборга. Обсерваторию пришлось закрыть, и вскоре Тихо перебрался в Прагу. Там его ассистентом стал молодой Иоганн Кеплер.

Три фанфакта из жизни Тихо Браге:

▶️помимо астрономии, наш герой подрабатывал астрологом — занимался составлением гороскопов для королевской семьи.

▶️по одной из легенд, астроном был близок с королевой и история их трагической любви вдохновила Шекспира на сюжет «Гамлета».

▶️у Тихо был ручной лось, который, по свидетельствам современников, любил пиво. Однажды, изрядно напившись на пиру, он упал с лестницы и погиб…

В отличие от трагической смерти своего питомца, уход великого учёного долгое время был окутан тайной. Общепринятая версия восходила к показаниям самого Кеплера: на пиру Тихо из вежливости не решился выйти из-за стола, чтобы облегчиться, и вскоре умер от почечной недостаточности.

Когда могилу учёного вскрыли в 1901 году, в останках нашли повышенное содержание ртути. Так родилась версия об отравлении — вплоть до подозрений в адрес самого Кеплера. Но более поздний химический анализ это не подтвердил.

⏩️Что мы в итоге имеем?⏪️

Тихо Браге без единого телескопа, вооружённый только угломерными инструментами и упрямством, исправил древние ошибки Птолемея и создал датасет, на котором выросла вся современная астрономия.

Он открыл сверхновую звезду в созвездии Кассиопеи и доказал, что новые звёзды и кометы находятся далеко за пределами Луны. Он опровергнул древнегреческое представление о неизменной «сфере небесной».

Кеплер же получил от него не просто философские умозрения, а точные числа — и именно из них вывел законы движения планет, которые полтора века спустя объяснит Ньютон. Дальше эта цепочка задаст вектор всей современной инженерии: от расчёта спутниковых орбит и космических миссий до GPS и навигации.

Ставьте 🏆, чтобы наполнить кубок лосю Браге!

#история

Не прошло и полгода, как мы возвращаемся в эфир с полюбившейся вам темой — математикой мУлЬтИкОв.

В этом посте мы рассказывали про книгу, в которой объясняются все технические подоплёки «Симпсонов» и «Футурамы». Обязательно прочитайте, если пропустили.

⠀Сегодня же мы разберём...
⠀⠀⠀ТЕОРЕМУ ФУТУРАМЫ ⚡️

Вам не понадобится ничего, кроме школьного багажа: ни абстрактной алгебры, ни сложных формул.

Иногда её называют теоремой Киллера по фамилии сценариста сериала. Серия, в которой она фигурирует, называется «Узник Бенды». Это название отсылает к роману Энтони Хоупа «Узник Зенды» про подмену одного человека другим.

🔸Сюжет эпизода / условие задачи:

Профессор Фарнсворт и Эми собирают машину, которая меняет разумы местами: два человека садятся в неё, и каждый просыпается в теле другого. У машины есть коварное ограничение: на одной и той же паре тел её нельзя использовать дважды.

Из-за этого начинается классический футурамовский хаос. По ходу серии происходят следующие обмены разумом:

1. Профессор и Эми
2. Эми и Бендер
3. Профессор и Лила
4. Эми и Ведро (???)
5. Фрай и Зойдберг
6. Император Николай и то же Ведро
7. Гермес и Лила

К концу серии разумы перемешаны так, что уже никто не сидит в своём теле. Просто переиграть задом наперёд не получится, иначе нарушается условие повторного использования тех же самых пар.

🔸Вопрос: можно ли вернуть каждый разум в своё тело, если ни одну пару тел нельзя использовать дважды?

Ждём ваши догадки и рассуждения в комментариях. Истинных фанатов сериала просим скрывать свои идеи под спойлер!

#задача