📝 Бесконечно повторяющиеся радикалы Рамануджана

Рассмотренная выше формула с бесконечно повторяющимися радикалами являются частным случаем более общей формулы:

📝 Подробнее

Источник, где эта формула выводится более строго: A. Herschfeld, On Infinite Radicals, American Mathematical Monthly 42 (1935), no. 7, 420–421.

Самое удивительное в Рамануджане — это не его ответ Харди, а странная модулярная функция, которую он открыл. В ней постоянно фигурирует число 24.

▪️ Связь с физикой: Когда спустя десятилетия физики начали строить теорию струн, они с удивлением обнаружили, что для самосогласованности струны нужно 26 измерений пространства-времени.

▪️Магия числа 24: Оказалось, что все 24 «режима» колебаний струны описываются той самой функцией Рамануджана. Для суперструн число измерений стало 10, и здесь снова проявились обобщенные формулы Рамануджана (где 24 заменяется на 8).

Фактически, ещё в 1920 году он написал формулы, описывающие гравитацию на квантовом уровне, хотя сам термин «черная дыра» появился позже.

Когда Рамануджану предложили решить сложную задачу о вложенных корнях (задача из журнала), он дал ответ спустя полгода, когда все остальные сдались. Он показал, что:

(1 + 2‧(1 + 3‧(1 + 4‧(1 + ... ) ¹ᐟ²) ¹ᐟ²) ¹ᐟ²) ¹ᐟ² = 3

Он просто «увидел» ответ, разложив 3 как √9. #math #математика #наука #алгебра #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

Успейте подать заявку в магистратуру «ИИ в биотехе» — новую программу Центрального университета на стыке ИИ, биологии и медицины

Это магистратура для тех, кто хочет работать там, где машинное обучение встречается с биоинформатикой, генетикой и лекарственной разработкой. Здесь учат использовать ИИ для конкретных задач: предсказывать структуру белков, анализировать экспрессию генов, работать с геномными данными и искать новые подходы к диагностике заболеваний.

⭐️Обучение длится 2 года, проходит в очном формате, а абитуриентам доступны гранты до 75%.

Мы делаем программу вместе с факультетом биоинженерии и биоинформатики МГУ, а также индустриальными партнерами: Genotek и BIOCAD. Внутри есть два направления:

Прикладная биоинформатика × Genotek
Фокусируется на анализе генетических последовательностей (ДНК, РНК и геномных данных) и эпигенетических модификаций с применением методов статистики и машинного обучения

Структурная биоинформатика × BIOCAD
Сосредоточена на работе с трехмерными структурами белков, их предсказании, моделировании и анализе с помощью современных технологий и вычислительных методов

Программы плотно связана с практикой. Студенты могут с первого дня включаться в исследования лабораторий ЦУ, работать над реальными задачами, готовить научные статьи, проходить стажировки и строить карьеру в индустрии. Ведут курсы специалисты из биотеха, фармы, ФББ МГУ, Genotek и BIOCAD.

➡️Подробнее прочитать про программу и зарегистрироваться на участие в грантовом конкурсе можно по ссылке.

Заявки принимаются до 12:00 20 августа!

🔄 Тороидальные вихри: кольца, которые правят миром — от дыма до термояда 🔸

Один из самых элегантных объектов в в гидро- и аэродинамике — ториях, или тороидальных вихрях. Эти структуры являются удивительными, в них математика, физика и инженерная мысль встречаются в идеальной гармонии.

Тороидальный вихрь — это вихревое кольцо, где вихревость сконцентрирована вдоль тороидальной оси. Проще говоря, это «бублик» из вращающейся жидкости или газа, стабилизированный собственным полем скоростей. Рассмотрим основные параметры:
1. Циркуляция (Γ) — мера «силы» вихря, определяющая его скорость и устойчивость.
2. Радиус тора (R) и радиус сечения (a).
3. Связь R/a — определяет, будет ли кольцо тонким (как у дымового) или толстым (близким к сфере).

Но почему такое кольцо стабильно?

▪️Самоиндуцированная скорость: Благодаря теореме Кельвина о циркуляции и био-саваровскому взаимодействию разных участков вихревого шнура, кольцо движется вперёд само по себе. Центр кольца движется быстрее, чем его периферия, что и заставляет его трансляционно перемещаться.
▪️Вихревая устойчивость: При малых возмущениях тонкое вихревое кольцо демонстрирует удивительную устойчивость — это решение уравнений Эйлера/Навье-Стокса в первом приближении.

Строгое описание — сложная задача, но для тонкого кольца работает формула скорости движения кольца Ламба (Лэмба): V = (Γ / (4πR)) * [ ln(8R/a) - 1/4 ]. Эта логарифмическая зависимость — классика вихревой динамики.

На практике вихри пытаются использовать в следующих направлениях:

▫️ Аэрокосмическая инженерия: Срывные вихревые кольца — серьезная проблема для вертолетов в режиме висения (Vortex Ring State), могущая привести к падению. Их же изучают для управления течениями на крыльях.
▫️ Физика плазмы: Токамак — по сути, гигантское тороидальное вихревое кольцо из плазмы, удерживаемое магнитным полем. Устойчивость этого «бублика» — ключ к управляемому термоядерному синтезу.
▫️ Медицина и биология: Вихревые кольца лежат в основе эффективного транспорта веществ в сердечно-сосудистой системе, а также в механизме плавания медуз и кальмаров (гидрореактивный движитель).
▫️ Океанология и вулканология: Подводные газовые кольца, кольца в атмосфере Венеры, выбросы вулканов — всё это природные проявления торов.

Ну и пытались сделать «пушки», способные стрелять вихрем. Принцип работы заключался в том, чтобы совершить резкий выброс газа из отверстия с особым профилем. Процесс должен был быть импульсным, формирующим ударное вихревое кольцо.
— Германия: Проект «Windkanone» — пытались создавать вихревые кольца для сбивания самолетов. Эффективность была близка к нулю из-за быстрого затухания вихря в турбулентной атмосфере.
— Союзники / СССР: Также были эксперименты, но все упирались в ту же проблему — энергия кольца быстро рассеивается с расстоянием. Ударная волна от кольца слабее, чем от обычного взрыва.

Современное применение:
— Для перемешивания газов в больших объемах (например, в цехах).
— Эксперименты по тушению пожаров вихревыми кольцами. Идея в том, что кольцо может доставить огнетушащий состав (порошок, ингибитор) точно в очаг на расстоянии, «прошивая» турбулентные потоки горячего воздуха.
— Вулканология: Моделирование выбросов пепла.

Основная проблема для «пушки» — масштабирование. Энергия кольца растет с объемом (∼R³), но устойчивость и дальность «полета» ограничены вязкостью и турбулентным распадом. Чтобы сбить самолет, нужен был бы вихрь чудовищных размеров и энергии, который все равно распадется на сотнях метров. Тороидальные вихри — это миниатюрная лаборатория по динамике жидкостей и газов, воплощение теорем Кельвина и Гельмгольца. #physics #science #физика #гидродинамика #аэродинамика #вихри #тор #математика #техника #историянауки

Еще посмотреть по теме в нашем канале с Учебными фильмами: 🔥 Иерархическая динамика вихрей пламени

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔹 Ряд Фурье: музыка сфер и сжатие пикселей

Представьте, что вам нужно собрать сложнейший узор из простейших деталей конструктора. Именно эту задачу — разложить любую, даже самую капризную функцию, на сумму простых синусов и косинусов — и решил в начале XIX века французский гений Жан-Батист Жозеф Фурье. Но путь его открытия был тернист и сложен. История началась не с Фурье. Задолго до него, в середине XVIII века, великие умы — Даниил Бернулли, Жан Лерон Д'Аламбер и Леонард Эйлер — бились над задачей о колебании струны. Можно ли представить произвольную форму струны в виде суммы тригонометрических функций? Эйлер, например, получил схожие формулы, но не сделал решающего шага — не перешел от суммы к интегралу для нахождения коэффициентов, так как его исследования преследовали другую цель. Как позже заметил историк математики, это «поучительный пример того, как легко автор упускает почти очевидный вывод из своих результатов».

И вот, в 1807 году, Фурье, занимаясь задачей распространения тепла в твердых телах, представил мемуар в Парижский институт. Он заявил, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, и дал четкие формулы для вычисления коэффициентов. Это был вызов математическому истеблишменту! Сам Лагранж и Лаплас выступили с возражениями: идея о том, что функцию с «изломами» можно представить как бесконечную сумму гладких синусоид, казалась им абсурдной.

Работу приняли к рассмотрению, но к её содержанию отнеслись более чем скептически. Тем не менее, конкурс на премию Институт всё же объявил, и Фурье подал свой мемуар. По иронии судьбы, других заявок не поступило, так что премия автоматически досталась ему. Однако научное сообщество не спешило признавать его правоту: монография Фурье «Аналитическая теория тепла» увидела свет лишь 15 лет спустя, в 1822 году. Сегодня эти ряды носят его имя, а спор великих легенд стал лишь яркой страницей истории, доказавшей правоту Фурье.

🔻 За кулисами эффекта Гиббса. Когда мы берем не всю бесконечную сумму, а только ее часть (первые N членов), мы сталкиваемся с удивительным явлением — эффектом Гиббса. Вблизи точек разрыва функции частичная сумма ряда «всплескивает», создавая характерные пульсирующие выбросы. Площадь этих выбросов сжимается с ростом N, но их амплитуда не уменьшается!  Фурье мог бы и не заметить этого, иначе эффект мог бы усомнить его в универсальности метода, но его подход был настолько плодотворен, что это явление, осмысленное в конце XIX века, не умаляет его величия .

Ряды Фурье — это не абстракция из учебника, это фундамент современной цивилизации.

🔹Это главное оружие в математической физике. От решения уравнения колебания струны до распространения тепла в стержне — метод Фурье позволяет разбить сложную задачу на простые «кирпичики» . Без него невозможно представить такие области, как квантовая механика и акустика.

🔹Обработка сигналов. Ваш смартфон, Wi-Fi, радио, MP3-плеер — везде, где нужно оцифровать звук или сжать его, работает преобразование Фурье.

🔹 Анализ вариаций орбит планет, обработка данных сейсмологии, исследование приливов — все это опирается на частотный анализ, в основе которого лежит ряд Фурье.

🔹 И вот здесь мы подходим к самому удивительному. Ряд Фурье — это не просто про волны, это про информацию. Если мы представим изображение не как набор пикселей, а как функцию яркости, то его можно разложить в ряд Фурье. И это дает невероятные возможности:

▪️ Известный алгоритм JPEG основан на дискретном косинусном преобразовании. Мы оставляем только «главные» коэффициенты, отвечающие за низкие частоты (общий фон), и отбрасываем «шумные» высокие частоты (мелкие детали). Это и есть основа сжатия с потерями.

▪️ В современной компьютерной графике ряды Фурье применяются для создания бесшовных текстур, которые можно бесконечно повторять без стыков. А также для быстрого рендеринга глобального освещения и теней, как, например, в технологии Fourier-Compressed Horizon Mapping для рендеринга планетарных теней в реальном времени.
#физика #теория_теплоты #сжатие_данных #алгоритмы #math #physics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔻 Солнечная система: механика и танцы планет

Многие думают, что планеты просто летают по кругу вокруг Солнца. На самом деле наша система — это сложнейший гравитационный балет, где каждый шаг подчиняется эфемерным колебаниям. Вот несколько фактов, которые взорвут вашу картину мира.

🔭 1. Орбиты — это не эллипсы, а «цветочки»
Если смотреть из центра масс (барицентра) Солнечной системы, который не совпадает с центром Солнца, траектории планет похожи на спирали или эпициклоиды.
Из-за гравитации Юпитера (2.5 массы всех остальных планет вместе взятых) Солнце само вращается вокруг барицентра со скоростью ~12 м/с. Земля при этом движется не по замкнутому эллипсу, а по кривой, которая каждый год чуть-чуть смещается. За 100 лет орбита Земли сдвигается на 1.5 градуса из-за вековых возмущений.

📐 Факт: Перигелий не стоит на месте
Орбита Меркурия прецессирует (поворачивается) быстрее, чем предсказывал Ньютон. За 100 лет ось его орбиты проворачивается на 574 угловых секунды. Из них 532" — это влияние других планет (по Ньютону), а 43" — это чистое ОТО Эйнштейна.
Формула для смещения на один оборот (в радианах): delta = 6 * pi * G * M / (c² * a * (1 - e²)) Где a — большая полуось, e — эксцентриситет. Для Меркурия это дает те самые 43".

🌊 2. Эффект «Прыгающей Луны» и приливный трение
Луна удаляется от Земли на 3.8 см в год. Но это не линейный процесс! Из-за эксцентриситета лунной орбиты (e = 0.0549) происходит оптическая либрация — мы видим не 50%, а 59% поверхности Луны, потому что она «кивает» туда-сюда.
Главный нюанс: Приливы на Земле тормозят наше вращение. Длина земных суток увеличивается на 1.8 мс за столетие. Казалось бы, мелочь, но за 4 млрд лет это замедлило сутки с 6 часов до 24!

🌀 3. Парадокс вертикальных колебаний
Солнечная система движется вокруг центра Галактики. При этом плоскости орбит планет колеблются относительно галактической плоскости с периодом около 60 млн лет (галактический год). Во время этих «нырков» мы проходим через зоны высокой плотности газа и звездообразования. Это влияет на гелиосферу — она сжимается до орбиты Сатурна, и уровень космических лучей на Земле флуктуирует на 30-40%.

⚡️ 4. Флуктуации vs Резонансы
Самый жесткий фокус — резонанс 3:2 у Нептуна и Плутона. Пока Нептун делает 3 оборота, Плутон делает ровно 2. Это не случайность — это защита от столкновения. Но есть и хаос! Орбита Земли имеет эксцентриситет, который пульсирует с периодом 413 000 лет (от 0.003 до 0.058). Вплоть до того, что эти колебания меняют наклон земной оси на 1.3 градуса за 40 000 лет (это и есть циклы Миланковича, запускающие ледниковые периоды).

💥 5. Эффект Ярковского для астероидов
Это не планета, но факт из физики твёрдого тела: астероиды «самоускоряются» за счет теплового излучения. Дневная сторона нагревается, но пик тепла излучается не в зените, а с запаздыванием (из-за тепловой инерции). Возникает реактивная сила, которая меняет орбиту астероида. За 10 млн лет этот микро-импульс может сместить астероид на сотни тысяч километров.

📝 Скорость планеты в перигелии (Vp) и афелии (Va) связаны не просто так, а через постоянную момента импульса:
Vp * (1 - e) = Va * (1 + e) = const — То есть в перигелии Меркурий летит на 22 км/с быстрее, чем в афелии. Настолько быстро, что релятивистское замедление времени для его ядра составляет ~50 микросекунд в год по сравнению с Землей

Мы живем не на жесткой механической шестеренке, а на пульсирующем, дышащем и флуктуирующем «газовом шаре» в гравитационном болоте. Любое возмущение от Юпитера миллиметровым изменением орбиты запускает цепочку событий, которая через 100 млн лет может изменить форму оси Земли. Физика — это наука о том, как система держится на грани хаоса.

🔄 Генри Кавендиш: человек, который взвесил Землю 🌏

📚 Гравитация [3 тома] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж

А вы знали, что центр масс Земли отклоняется от геометрического центра из-за движения тектонических плит на целые 5 метров? Это мы обсудим в следующем посте. #гравитация #физика #механика #наука #science #physics #космология #астрономия

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Быстрее, чем g: знаменитая школьная физическая головоломка

Доска на шарнире и шарик одновременно отпускаются. Шарик ускоряется в свободном падении, но край доски достигает нижней точки намного раньше, так что прикреплённый к нему стакан успевает поймать шарик.
Как же край доски может иметь ускорение, превышающее ускорение свободного падения g?

Эта классическая демонстрация помогает развить интуитивное понимание сложностей вращательного движения. #задачи #физика #разбор_задач #physics #механика #динамика #кинематика #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚡️ С чего начать моделирование электрических полей?

Задумывались ли вы, как «увидеть» невидимое? Электрическое поле окружает нас повсюду, от розетки до экрана смартфона. Давайте разберемся, как смоделировать его для точечных зарядов и сложных поверхностей и получить эти завораживающие картинки силовых линий и эквипотенциалей.

1. Фундамент: Главные Уравнения
▪️ Закон Кулона для точечного заряда: F = k * (q₁ * q₂) / r² . Но для поля удобнее работать с напряженностью E = F / q.
▪️ Принцип суперпозиции: Поле системы зарядов — это просто векторная сумма полей от каждого заряда в отдельности. Это наше главное оружие в моделировании.

2. Силовые Линии и Эквипотенциали
Поле можно описывать по-разному, и это ключ к красивой визуализации.
▪️Силовые линии (Графическое отображение напряженности E):
— Воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором E.
— Свойства: Начинаются на «+» зарядах, заканчиваются на «-» или уходят в бесконечность. Никогда не пересекаются!
— Густота линий пропорциональна величине напряженности.
▪️Эквипотенциальные поверхности (Графическое отображение потенциала φ):
— Что это? Поверхности, где потенциал постоянен (φ = const).
— Свойства: Всегда перпендикулярны силовым линиям. Работа по перемещению заряда вдоль такой поверхности равна нулю.

3. Как Строить Уравнения?
Для точечного заряда q в точке (x₀, y₀):
— Потенциал: φ(x, y) = k * q / sqrt( (x - x₀)² + (y - y₀)² )
— Вектор напряженности E: Eₓ = -∂φ/∂x, Eᵧ = -∂φ/∂y (это просто частные производные, градиент со знаком минус).
А как получить уравнение силовой линии? Это уже сложнее. Силовая линия — это кривая, которая в каждой точке направлена вдоль E. Математически это решается через дифференциальное уравнение: dx / Eₓ(x, y) = dy / Eᵧ(x, y). Решая его (часто численно!), мы получаем траектории для наших визуализаций.

4. Инструменты для Моделирования и Визуализации
▪️Python — король научной визуализации: Библиотеки: matplotlib, numpy, scipy.
▪️Как: Задаете сетку точек (x, y), для каждой считаете Eₓ и Eᵧ (суммируя вклады от всех зарядов). Затем:
— Для силовых линий: используйте matplotlib.streamplot
— Для эквипотенциалей: matplotlib.contour или contourf для потенциала φ.

🖥 Простой пример кода для двух зарядов:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем сетку
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = np.linspace(-2, 2, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Задаем заряды (q, x, y)
charges = [(1, -0.5, 0), (-1, 0.5, 0)]

# Вычисляем полные Eₓ и Eᵧ на сетке
Ex = np.zeros(X.shape)
Ey = np.zeros(Y.shape)
k = 9e9
for q, xq, yq in charges:
    R = np.sqrt((X - xq)**2 + (Y - yq)**2)
    Ex += k * q * (X - xq) / R**3
    Ey += k * q * (Y - yq) / R**3

# Рисуем силовые линии
plt.streamplot(X, Y, Ex, Ey, color='blue', linewidth=1, density=2)
plt.show()

Готовые симуляторы:
— PhET Interactive Simulations (отлично для начального понимания).
— Falstad's E&M Simulator (очень наглядно).
— Comsol Multiphysics, Ansys — для серьезного моделирования сложных поверхностей.

🔴 А что с Крупными Заряженными Поверхностями? Здесь принцип суперпозиции остается, но суммирование становится интегрированием. Каждую поверхность разбиваете на маленькие точечные заряды dq и интегрируете их вклад в поле. На практике для сложных форм это почти всегда делается численными методами (например, методом конечных элементов), которые и используют пакеты вроде Comsol. Начните с Python и пары точечных зарядов. Поймите связь между φ и E, научитесь строить streamplot и contour. #электричество #физика #моделирование #визуализация #python #наука #образование #электрическоеполе #программирование

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib