👨🏻‍💻 Блог с заметками преподавателя по математике, физике, информатике и IT:

💡 Репетитор IT men // @mentor_it

Автор канала рассказывает о задачах и способах их решения. Пишет заметки о применении математики в жизни и как сквозь неудачи и вопросы идти к физико-математическому просветлению.

🔴Доска Гальтона [Galton Board] (также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году, затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы. Если нарисовать на задней стенке треугольник Паскаля, то можно увидеть, сколькими путями можно добраться до каждого из штырьков (чем ближе штырёк к центру, тем больше число путей).

3000 стальных шариков падают через 12 уровней ветвящихся путей и всегда в конечном итоге соответствуют распределению кривой нормального распределения. Каждый шар имеет шанс 50/50 следовать за каждой ветвью, так что шары распределяются внизу по математическому биномиальному распределению.

▪️ Каждый шарик движется по двоичному дереву решений (влево/вправо на каждом уровне). Количество путей, ведущих в конкретную ячейку k на нижнем уровне n, в точности равно биномиальному коэффициенту C(n, k). Это означает, что доска Гальтона — это механическая, физическая реализация треугольника Паскаля. Распределение шариков в лотках визуализирует n-ную строку треугольника (нормированную на 2ⁿ ).

▪️ Известно, что при большом числе рядов (n) биномиальное распределение стремится к нормальному (центральная предельная теорема в действии). Но малоизвестно, что сходимость распределения позиции шарика к нормальной кривой происходит с разной скоростью в разных частях доски. В центре (около математического ожидания) аппроксимация становится неплохой уже при n=12-15, в то время как на "хвостах" (крайние ячейки) для хорошей аппроксимации нужно гораздо больше рядов. Это связано с локальной теоремой Муавра-Лапласа.

▪️Если запускать шарики по одному и смотреть, куда они падают, человеческому глазу кажется, что они образуют "кластеры" и падают неравномерно, особенно в начале эксперимента. Это проявление закона малых чисел и случайных флуктуаций. Наш мозг плохо оценивает случайность: равномерное распределение выглядит как чередование, а истинно случайное — как сгустки. Доска Гальтона наглядно демонстрирует эту психологическую иллюзию.

▪️Казалось бы, доска детерминирована. Но на самом деле микроскопические различия в начальном положении и импульсе шарика, а также неидеальности конструкции (например, точность формы и положения штифтов) приводят к тому, что траектория каждого шарика является практически непредсказуемой. Это пример детерминированного хаоса в простой системе. Два шарика, выпущенных почти из одной точки, могут получить совершенно разные траектории.

▪️В классической доске вероятность отклонения влево/вправо равна 1/2. Если сместить ось симметрии штифтов или сделать их разного размера, вероятность станет p ≠ 1/2. Тогда распределение в лотках перестанет быть симметричным и будет описываться общим биномиальным распределением B(n, p). Физически это можно смоделировать доской, установленной под углом.

▪️Траекторию одного шарика можно рассматривать как простое симметричное случайное блуждание в одном измерении (где каждый ряд — это шаг по времени, а отклонение — шаг в пространстве). Таким образом, доска Гальтона моделирует дискретный аналог броуновского движения. Плотность распределения шариков внизу аппроксимирует фундаментальное решение уравнения диффузии (распределение Гаусса).

▪️Интересный практический вопрос: сколько шариков нужно запустить, чтобы эмпирическое распределение в лотках "гладко" совпало с теоретической биномиальной кривой? Оказывается, это число должно быть существенно больше, чем количество лотков (n+1). Эмпирическое правило для построения гистограмм (правило Стёрджеса) здесь неприменимо, так как мы знаем истинное распределение. Для n=20 может потребоваться несколько тысяч шариков, чтобы флуктуации в крайних ячейках (где теоретическая вероятность мала) стали не так заметны.

Эти факты показывают, что простая на первый взгляд доска Гальтона является глубокой иллюстрацией ключевых концепций теории вероятностей, статистики, хаоса и комбинаторики.

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

Это не должно было попасть в интернет🔞‼️

Два сумасшедших математика из онлайн-школы ЕГЭFlex выложили свои шпоры в открытый доступ...

Если хочешь готовиться без воды и объяснений «для гуманитариев»— ты по адресу.
Подписывайся, чтобы забрать шпоры и никому не рассказывай🤫👇🏻

📍Профмат с Антоном Многочленом
📍Профмат со Стасом Exponenta

Псссс, гумманитарии, для вас тут тоже подгон👇🏻
📍Русский язык с Верой ЕГЭFlex
📍Обществознание с Машей Вайб
📍История с Гефестом

📚 Гравитация [3 тома] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж

💾 Скачать книги

Монография выдающихся американских физиков посвящена изложению физических основ, современного математического аппарата и важнейших достижений теории тяготения Эйнштейна. Также один из авторов работал над фильмом "Интерстеллар".
Рекомендуем всем! Поделись с другом-инженером хорошими книгами.
Издатель: У. Х. Фримен. Издательство Принстонского университета.

Книга по-прежнему пользуется авторитетом в физическом сообществе и получает в основном положительные отзывы, но некоторые критикуют её за объём и стиль изложения.

«Гравитация» — настолько выдающаяся книга по теории относительности, что инициалы её авторов — М. Т. В. — могут использоваться в других книгах по теории относительности без каких-либо пояснений.

Спустя более тридцати лет после публикации «Гравитация» по-прежнему остаётся наиболее полным трактатом по общей теории относительности. На его 1300 страницах можно найти авторитетное и исчерпывающее обсуждение практически любой темы, связанной с этой областью. В книге также содержится обширная библиография со ссылками на первоисточники. Написанная тремя выдающимися учёными XX века, она задала тон многим последующим текстам по этой теме, в том числе и этому. — Джеймс Хартл

Книга, которая стала источником знаний как минимум для двух поколений исследователей в области гравитационной физики. Эта всеобъемлющая и энциклопедическая книга написана своеобразным языком, который вам либо понравится, либо нет. — Шон М. Кэрролл

#гравитация #физика #механика #наука #science #physics #космология #астрономия

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Гравитация [3 тома] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж

«Гравитация» — учебник по общей теории относительности Альберта Эйнштейна, написанный Чарльзом У. Мизнером, Кипом С. Торном и Джоном Арчибальдом Уилером. Первоначально он был опубликован издательством W. H. Freeman and Company в 1973 году и переиздан издательством Princeton University Press в 2017 году. Его часто сокращённо называют MTW (по фамилиям авторов). Несмотря на то, что этот учебник нельзя назвать лучшим вводным пособием, поскольку его объём может ошеломить новичка, и несмотря на то, что некоторые его части уже устарели, по состоянию на 1998 год он оставался ценным источником информации для аспирантов и исследователей.

После краткого обзора специальной теории относительности и плоского пространства-времени мы переходим к физике искривлённого пространства-времени и рассматриваем многие аспекты общей теории относительности, в частности уравнения поля Эйнштейна и их следствия, экспериментальные подтверждения и альтернативы общей теории относительности. В книгу включены исторические фрагменты, в которых кратко изложены идеи, приведшие к созданию теории Эйнштейна. В заключение автор задаётся вопросом о природе пространства-времени и предлагает возможные направления исследований. Несмотря на подробное изложение линеаризованной гравитации, одна тема осталась за рамками — гравитоэлектромагнетизм. Упоминается квантовая механика, но квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени и квантовая гравитация не рассматриваются.

Рассматриваемые темы в целом разделены на два «направления»: первое содержит основные темы, а второе — более сложные. Первое направление можно изучать независимо от второго. Основной текст дополнен блоками с дополнительной информацией, которые можно пропустить без потери целостности восприятия. Для комментирования основного текста также используются примечания на полях.

Математика, в первую очередь тензорное исчисление и дифференциальные формы в искривлённом пространстве-времени, рассматривается по мере необходимости. Ближе к концу книги также приводится вводная глава о спинорах. В книге есть множество иллюстраций сложных математических идей, таких как альтернативные полилинейные формы, параллельный перенос и ориентация гиперкуба в пространстве-времени. Для практики читателю предлагаются математические упражнения и физические задачи. #гравитация #физика #механика #наука #science #physics #космология #астрономия

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Подборка книг по Астрономии, Астрофизике, Космосу

💾 Скачать книги

Астрофизика — раздел астрономии, использующий принципы физики и химии, который изучает физические процессы в астрономических объектах, таких как звёзды, галактики, экзопланеты и т. д. Физические свойства материи в самых больших масштабах и возникновение Вселенной изучает космология.

Астрофизика — учение о строении небесных тел. Астрофизика занимается изучением физических свойств и (наряду с космохимией) химического состава Солнца, планет, комет или звёзд и туманностей. Главные экспериментальные методы астрофизики: спектральный анализ, фотография и фотометрия вместе с обыкновенными астрономическими наблюдениями. Спектроскопический анализ составляет область, которую принято называть астрохимией или химией небесных тел, так как главные указания, даваемые спектроскопом, касаются химического состава изучаемых астрономических объектов. Фотометрические и фотографические исследования выделяются иногда в особые области астрофотографии и астрофотометрии. Само название астрофизики существует с 1865 года и предложено Цёлльнером. #физика #астрономия #оптика #космос #космология #cosmos #Astronomy #physics #science #подборка_книг

☕️ Для тех, кто захочет задонать на кофе:
ВТБ: +79616572047 (СБП)

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Подборка книг по Астрономии, Астрофизике, Космосу

📔 Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды (в двух частях) [1985] Шапиро С., Тьюколски С
📕 Нейтронные звезды и пульсары [1973] Дайсон Ф., Тер Хаар Д.
📗 Астрофизика нейтронных звезд [1987] Липунов Владимир Михайлович
📘 Небо и телескоп [2019] Сурдин В.Г.
📙 Галактики [2013-2019] Сурдин В.Г.
📓 Релятивистская астрофизика и физическая космология [2011] Бисноватый-Коган Г.С.
📒 Теоретическая астрофизика [1952] Амбарцумян В.А.
📕Нейтринная астрофизика [1993] Бакал Дж.
📗 Книга для чтения по астрономии. Астрофизика [1988] Дагаев М.М., Чаругин В.М.
📘 Солнечная система [2017] Сурдин В.Г.
📙 Звёзды [2009] Сурдин В.Г.

Теоретическая астрофизика есть наука, которая изучает и объясняет физические явления, происходящие в небесных телах, на основе законов физики. При этом теоретическая астрофизика широко пользуется математическим аппаратом, который, однако, играет только вспомогательную роль.
Теоретическая астрофизика является молодой и весьма быстро развивающейся наукой. Но её успехи уже сейчас имеют большое значение для всех отраслей астрономии и для многих отраслей физики.

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib