F_1 - один из фокусов гиперболы

OF, OG - асимптоты гиперболы

Докажите, что синий и зелёный треугольник подобны

IZHO 2025 P5
Жёлтая точка — центр отрицательной гомотетии двух окружностей

Proposed by Matsvei Zorka

KVANT M2014

Действительно wonderful конструкция. Обобщение предыдущей задачи.

China TST 1988 P3
Докажите, что синие отрезки равны и перпендикулярны

Зелёные треугольники подобны и одинаково ориентированы. Отметили середины отрезков, соединяющие соответствующие вершины. Докажите что эти середины образуют треугольник подобный им. А будет ли это правда, если взять другие отношения, на которые делят синие точки отрезки?

Серединный перпендикуляр к биссектрисе треугольника пересекает его описанную окружность в двух точках.

Казалось бы, причём здесь точка пересечения касательных?)