Доказать, что четыре красные точки лежат на одной окружности.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №2)

Кто найдёт наиболее элегантное решение?)

Даны три полувписанные окружности. Доказать, что три прямые пересекаются в одной точке.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №3)

Довольно интересненько🤔

RoTST 2016 Day 4 P1. Найдите все конечные множества точек на плоскости, что для любых двух различных точек этого множества существует третья из этого же множества, которая дополняет их до равностороннего треугольника.

В невырожденном тетраэдре ABCD суммы трёх двугранных углов при вершинах A и B равны между собой и суммы трёх двугранных углов при вершинах C и D также равны между собой.

Какое максимальное количество различных длин может оказаться среди длин всех шести рёбер у такого тетраэдра ABCD?

(2025 USA TSTST, P5)

Уже совсем скоро лучшие из лучших сразятся в прекрасной схватке. Пожелаем всем участникам IMO-2025 удачи🍀 и терпения😌, пусть сегодня и завтра вам попадутся красивые задачи💌. Ловите этот лёгкий подарок в качестве разминки:

Красные прямые симметричны относительно середины отмеченного отрезка. Доказать, что три пунктирные прямые пересекаются в одной точке.

PS. Если что, оранжевая фигура на картинке – полукруг)

Итак... IMO 2025 P2. Доказать что, если синие отрезки параллельны, то пунктирный отрезок касается окружности

В этом году межнар был немного странным. Наша команда выступила не на том уровне на котором могла бы, но даже так у каждого есть по медальке.

Возможно у меня было бы серебро если бы я решил эту задачу, но что-то пошло не так и первый день я завалил. Возможно не выспался, возможно просто устал. В любом случае не повод расстраиваться.

А задача довольно поучительная.

M --- точки Микеля, O --- центры описанных окружностей. Докажите, что оранжевые окружности пересекаются в одной точке

Не сложная, но интересная задача.
Тридцать шестой ТурГор.
Докажите, что у любого описанного многоугольника найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

По моему мнению, лучшая задача 10 класса Шарыгина

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади

Простая задача.

Биссектрисы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке I, на прямых АВ и А1В1 выбираются точки Х и Y так, что прямая XY проходит через I.Требуется установить, что углы ХСВ и YСА равны.

Опять удивительная задача с ТРИДЦАТЬ ШЕСТОГО ТУРГОРА.

В кубической коробке помещается 3 одинаковых шара. Докажите, что там поместится четвёртый.

(Карпов - Каспаров, 1984 [секретная партия])

Дан треугольник c3e5g3. Черные пешки — эксцентры, слоны точки касания вписанной окружности со стороной. Ладья — инцентр, конь центр описанной. Докажите, что прямые пешка — слон (соответственные) пересекаются на прямой ладья — конь.

биссектриса проходит через центр вписанной окружности

[46-ой ТурГор] Серые окружности постоянны, а фиолетовая выбирается так, чтобы она касалась их внутренним образом. Найдите ГМТ M и N

Теорема Марион Волтер:

Каждую из сторон треугольника разделили на три равные части и соединили точки деления с противоположной вершиной. Тогда площадь образовавшегося центрального шестиугольника составляет одну десятую площади исходного треугольника.

Теорема была обнаружена в 1992 году в программе The Geometer's Sketchpad (аналоге Geogebra). См. также https://en.wikipedia.org/wiki/Marion_Walter

Задача Л. Емельянова с олимпиады Шарыгина 2024 года.

В остроугольном треугольнике ABC M - середина AC, P - проекция ортоцентра H на биссектрису угла B. Докажите, что прямая MP делит отрезок BH пополам.