Что-то давно не было чего-нибудь вкусного и стереометрического)

RoTST 2005 P3. Дан многогранник P с n гранями. Известно, что расстояние от некоторой точки X до каждой из вершин этого многогранника не больше 1. Докажите что сумма расстояний от X до граней P меньше n - 2.

На досуге интересно подумать о том на сколько это точная оценка.

Через основания трёх чевиан, пересекающихся в одной точке, провели прямые, параллельные этим чевианам. Доказать, что три пунктирные прямые пересекаются в одной точке.

(Младшая группа, задача №3)

Задача с коротким решением (а вы найдёте его?)

Прямая через две розовые точки, изогонально сопряжённые в четырёхугольнике, параллельна прямой, проходящей через точки пересечения противоположных сторон. Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от розовых точек.

(Старшая группа, задача №4)

Несомненно, самая добрая и одна из моих любимых задач Wonderful Geometry Olympiad-2025.

В одну полуплоскость построили правильный шестиугольник и квадрат. Докажите, что три вершины слева являются вершинами некоторого правильного 12-угольника.

(Младшая группа, задача №1)

Откуда только авторы не черпают своё вдохновение: то от вида горящего костра, то от очередной лекции по ТДИ, то звуков газонокосилки в пять утра. Вдохновением для этой задачи стала ISL-2023, N7🤩:

На основаниях трапеции произвольно взяты синие точки и в трёх получившихся трапециях отмечены точки пересечения диагоналей X, Y, Z. Красные прямые симметричны относительно точки X. Розовые прямые симметричны относительно точки Z. Точка T --- пересечение этих симметричных прямых. Доказать, что прямая YT параллельна основаниям трапеции тогда и только тогда, когда синяя прямая проходит через точку пересечения противоположных сторон.

(Старшая группа, задача №3)

Последняя из неопубликованных задач WGO-2025.

Левая красная окружность касается правой красной окружности в красной точке и синей окружности в синей точке. Докажите, что биссектриса отмеченного угла проходит через синюю точку.

(Младшая группа, задача №2)

В равнобедренном треугольнике провели биссектрису и оказалось, что BB' + B'A = BC. Найдите углы треугольника ABC.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №1)

Доказать, что четыре красные точки лежат на одной окружности.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №2)

Кто найдёт наиболее элегантное решение?)

Даны три полувписанные окружности. Доказать, что три прямые пересекаются в одной точке.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №3)

Довольно интересненько🤔

RoTST 2016 Day 4 P1. Найдите все конечные множества точек на плоскости, что для любых двух различных точек этого множества существует третья из этого же множества, которая дополняет их до равностороннего треугольника.

В невырожденном тетраэдре ABCD суммы трёх двугранных углов при вершинах A и B равны между собой и суммы трёх двугранных углов при вершинах C и D также равны между собой.

Какое максимальное количество различных длин может оказаться среди длин всех шести рёбер у такого тетраэдра ABCD?

(2025 USA TSTST, P5)

Уже совсем скоро лучшие из лучших сразятся в прекрасной схватке. Пожелаем всем участникам IMO-2025 удачи🍀 и терпения😌, пусть сегодня и завтра вам попадутся красивые задачи💌. Ловите этот лёгкий подарок в качестве разминки:

Красные прямые симметричны относительно середины отмеченного отрезка. Доказать, что три пунктирные прямые пересекаются в одной точке.

PS. Если что, оранжевая фигура на картинке – полукруг)

Итак... IMO 2025 P2. Доказать что, если синие отрезки параллельны, то пунктирный отрезок касается окружности

В этом году межнар был немного странным. Наша команда выступила не на том уровне на котором могла бы, но даже так у каждого есть по медальке.

Возможно у меня было бы серебро если бы я решил эту задачу, но что-то пошло не так и первый день я завалил. Возможно не выспался, возможно просто устал. В любом случае не повод расстраиваться.

А задача довольно поучительная.

M --- точки Микеля, O --- центры описанных окружностей. Докажите, что оранжевые окружности пересекаются в одной точке

Не сложная, но интересная задача.
Тридцать шестой ТурГор.
Докажите, что у любого описанного многоугольника найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

По моему мнению, лучшая задача 10 класса Шарыгина

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади