Просьба. Решения присылать на почту wonderfulcommittee@gmail.com

Важная информация.

В четвертой задаче в старшей группе есть ошибка в условии. Надо доказать, что точка пересечения диагоналей этого четырехугольника равноудалена от wonderful пары точек.

В четвёртой задаче в младшей группе есть ошибка в условии. Надо доказать, что прямые BC, DE, KL пересекаются в одной точке.

Приносим свои извинения.

Из-за найденых ошибок в условиях задач было принято решение продлить олимпиаду на 30 минут.

Таким образом олимпиада заканчивается в 17:30, а отправление решений в 17:45.

Исправленное условие

По результатам проверки выявлены абсолютные победители:

Старшая группа:
Абельский Игнат

Младшая группа:
Жук Тимофей

Поздравим их в комментариях!!!🎉🎉

Из того что не попало на WGO - 2025

Начинаем выкладывать задачи WGO-2025.

В точке на биссектрисе провели касательные к двум окружностям. Докажите параллельность.

(Старшая группа, задача №1)

Казалось бы, что может случиться, когда три зелёных отрезка имеют равную длину и три синих имеют одинаковую длину?

(Младшая группа, задача №4)

К четырём окружностям провели голубые и красные касательные таким образом, что тройки голубых касательных пересекаются в одной точке, как показано на рисунке. Доказать, что существует пунктирная окружность, касающаяся всех красных касательных.

(Старшая группа, задача №2)

Что-то давно не было чего-нибудь вкусного и стереометрического)

RoTST 2005 P3. Дан многогранник P с n гранями. Известно, что расстояние от некоторой точки X до каждой из вершин этого многогранника не больше 1. Докажите что сумма расстояний от X до граней P меньше n - 2.

На досуге интересно подумать о том на сколько это точная оценка.

Через основания трёх чевиан, пересекающихся в одной точке, провели прямые, параллельные этим чевианам. Доказать, что три пунктирные прямые пересекаются в одной точке.

(Младшая группа, задача №3)

Задача с коротким решением (а вы найдёте его?)

Прямая через две розовые точки, изогонально сопряжённые в четырёхугольнике, параллельна прямой, проходящей через точки пересечения противоположных сторон. Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от розовых точек.

(Старшая группа, задача №4)

Несомненно, самая добрая и одна из моих любимых задач Wonderful Geometry Olympiad-2025.

В одну полуплоскость построили правильный шестиугольник и квадрат. Докажите, что три вершины слева являются вершинами некоторого правильного 12-угольника.

(Младшая группа, задача №1)

Откуда только авторы не черпают своё вдохновение: то от вида горящего костра, то от очередной лекции по ТДИ, то звуков газонокосилки в пять утра. Вдохновением для этой задачи стала ISL-2023, N7🤩:

На основаниях трапеции произвольно взяты синие точки и в трёх получившихся трапециях отмечены точки пересечения диагоналей X, Y, Z. Красные прямые симметричны относительно точки X. Розовые прямые симметричны относительно точки Z. Точка T --- пересечение этих симметричных прямых. Доказать, что прямая YT параллельна основаниям трапеции тогда и только тогда, когда синяя прямая проходит через точку пересечения противоположных сторон.

(Старшая группа, задача №3)

Последняя из неопубликованных задач WGO-2025.

Левая красная окружность касается правой красной окружности в красной точке и синей окружности в синей точке. Докажите, что биссектриса отмеченного угла проходит через синюю точку.

(Младшая группа, задача №2)

В равнобедренном треугольнике провели биссектрису и оказалось, что BB' + B'A = BC. Найдите углы треугольника ABC.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №1)

Доказать, что четыре красные точки лежат на одной окружности.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №2)

Кто найдёт наиболее элегантное решение?)

Даны три полувписанные окружности. Доказать, что три прямые пересекаются в одной точке.

(IMSC-2025, Mock Test по геометрии, задача №3)

Довольно интересненько🤔

RoTST 2016 Day 4 P1. Найдите все конечные множества точек на плоскости, что для любых двух различных точек этого множества существует третья из этого же множества, которая дополняет их до равностороннего треугольника.

В невырожденном тетраэдре ABCD суммы трёх двугранных углов при вершинах A и B равны между собой и суммы трёх двугранных углов при вершинах C и D также равны между собой.

Какое максимальное количество различных длин может оказаться среди длин всех шести рёбер у такого тетраэдра ABCD?

(2025 USA TSTST, P5)

Уже совсем скоро лучшие из лучших сразятся в прекрасной схватке. Пожелаем всем участникам IMO-2025 удачи🍀 и терпения😌, пусть сегодня и завтра вам попадутся красивые задачи💌. Ловите этот лёгкий подарок в качестве разминки:

Красные прямые симметричны относительно середины отмеченного отрезка. Доказать, что три пунктирные прямые пересекаются в одной точке.