Докажите, что синие отрезки параллельны (Из канала @botgeom)

Майские сборы в России 2025.
Докажите, что пунктирные окружности касаются

Всем привет. Этим летом будет проходить первая Wonderful Geometry Olympiad (WGO).
Она будет проходить в онлайн формате. Будет разделение на две группы: младшая, старшая.

Для участия необходимо:
Отправить письмо на эл. почту wonderfulcommittee@gmail.com со следующим содержанием: ФИО, страна, город, класс и группа, в которой вы собираетесь участвовать. (Просьба: в качестве темы письма указывать "Заявка на WGO 2025")

Авторы интересных задач могут предлагать их, скидывая на ту же почту со следующим содержанием: ФИО, страна, город, условие и решение задачи (Просьба: в качестве темы письма указывать "Задача для WGO").

Подробная информация об олимпиаде будет прислана в начале лета на почты зарегистрировавшихся.


Желающие могут принимать участие неофициально (в таком случае нужна тоже заявка)

Wonderful geometry olympiad - 2025 (WGO-2025) будет проводиться 15 июня с 13:00 по 17:00 (GMT+3:00).

Довольно красивая задача, как и комбинаторная геометрия.

Дано выпуклое множество. Докажите, что существует точка со следующем условием: любая прямая проходящая через эту точку делит это множество на два так, что отношение площадей лежит в промежутке [1/2, 2].

Сегодня с 13:00 по 17:00 (GMT +3:00) будет проходить первая геометрическая олимпиада имени Игната Шушера. В 13:00 на почты зарегистрировавшихся и в этот канал будут отправлены условия олимпиады. Просим во время олимпиады не использовать интернет, помощь других людей, geogebra и т.п.
Так же вам будет выделено 15 минут после конца для сканирования, отправки работ.

Работы присланные позже 17:15 по решению проверяющих могут быть исключены из рассмотрения.

Просьба. Решения присылать на почту wonderfulcommittee@gmail.com

Важная информация.

В четвертой задаче в старшей группе есть ошибка в условии. Надо доказать, что точка пересечения диагоналей этого четырехугольника равноудалена от wonderful пары точек.

В четвёртой задаче в младшей группе есть ошибка в условии. Надо доказать, что прямые BC, DE, KL пересекаются в одной точке.

Приносим свои извинения.

Из-за найденых ошибок в условиях задач было принято решение продлить олимпиаду на 30 минут.

Таким образом олимпиада заканчивается в 17:30, а отправление решений в 17:45.

Исправленное условие

По результатам проверки выявлены абсолютные победители:

Старшая группа:
Абельский Игнат

Младшая группа:
Жук Тимофей

Поздравим их в комментариях!!!🎉🎉

Из того что не попало на WGO - 2025

Начинаем выкладывать задачи WGO-2025.

В точке на биссектрисе провели касательные к двум окружностям. Докажите параллельность.

(Старшая группа, задача №1)

Казалось бы, что может случиться, когда три зелёных отрезка имеют равную длину и три синих имеют одинаковую длину?

(Младшая группа, задача №4)

К четырём окружностям провели голубые и красные касательные таким образом, что тройки голубых касательных пересекаются в одной точке, как показано на рисунке. Доказать, что существует пунктирная окружность, касающаяся всех красных касательных.

(Старшая группа, задача №2)

Что-то давно не было чего-нибудь вкусного и стереометрического)

RoTST 2005 P3. Дан многогранник P с n гранями. Известно, что расстояние от некоторой точки X до каждой из вершин этого многогранника не больше 1. Докажите что сумма расстояний от X до граней P меньше n - 2.

На досуге интересно подумать о том на сколько это точная оценка.

Через основания трёх чевиан, пересекающихся в одной точке, провели прямые, параллельные этим чевианам. Доказать, что три пунктирные прямые пересекаются в одной точке.

(Младшая группа, задача №3)

Задача с коротким решением (а вы найдёте его?)

Прямая через две розовые точки, изогонально сопряжённые в четырёхугольнике, параллельна прямой, проходящей через точки пересечения противоположных сторон. Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от розовых точек.

(Старшая группа, задача №4)

Несомненно, самая добрая и одна из моих любимых задач Wonderful Geometry Olympiad-2025.

В одну полуплоскость построили правильный шестиугольник и квадрат. Докажите, что три вершины слева являются вершинами некоторого правильного 12-угольника.

(Младшая группа, задача №1)

Откуда только авторы не черпают своё вдохновение: то от вида горящего костра, то от очередной лекции по ТДИ, то звуков газонокосилки в пять утра. Вдохновением для этой задачи стала ISL-2023, N7🤩:

На основаниях трапеции произвольно взяты синие точки и в трёх получившихся трапециях отмечены точки пересечения диагоналей X, Y, Z. Красные прямые симметричны относительно точки X. Розовые прямые симметричны относительно точки Z. Точка T --- пересечение этих симметричных прямых. Доказать, что прямая YT параллельна основаниям трапеции тогда и только тогда, когда синяя прямая проходит через точку пересечения противоположных сторон.

(Старшая группа, задача №3)