F_1 - один из фокусов гиперболы

OF, OG - асимптоты гиперболы

Докажите, что синий и зелёный треугольник подобны

IZHO 2025 P5
Жёлтая точка — центр отрицательной гомотетии двух окружностей

Proposed by Matsvei Zorka

KVANT M2014

Действительно wonderful конструкция. Обобщение предыдущей задачи.

China TST 1988 P3
Докажите, что синие отрезки равны и перпендикулярны

Зелёные треугольники подобны и одинаково ориентированы. Отметили середины отрезков, соединяющие соответствующие вершины. Докажите что эти середины образуют треугольник подобный им. А будет ли это правда, если взять другие отношения, на которые делят синие точки отрезки?

Серединный перпендикуляр к биссектрисе треугольника пересекает его описанную окружность в двух точках.

Казалось бы, причём здесь точка пересечения касательных?)

Дан прямоугольный треугольник. Докажите, что MN равно радиусу вписанной

Задача для самых юных подписчиков нашего канала:

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Оказалось так, что AB + BL = AC.
Докажите, что один из углов треугольника ABC вдвое больше другого.

Вітаю, паважаныя падпісанты, самы час абняць аўтара 11.3!

Па дадзенаму трыкутніку з дапамогай цыркуля і лінейкі пабудуйце тры акружыны аднаго й таго жа радыусу, якія тычацца адна адной і кожны з пунктаў трыкутніка ляжыць на сваёй акружыне.

Гэтую задачу ніхто не вырашыў!

Аўтар: Мацвей Зорка
Крыніца: БелМА IV этап, задача 11.3