Всем удачи на ЕГЭ по математике!

Похоже марафона на сегодня не будет, по этому держите функционалку:

Найдите все функции из С->С так что для любых u,z - комплексных чисел верно что:
f(u + (i +√3)z) + f(u + (i −√3)z) =
= 2f(u) + 2 Re(z).

Я вспомнил про марафон!!
У всех прошу прощения, замотался с ЕГЭ. Вот обещанная задачка, в этот раз фото для удобства
6 день:

Перевод с математического на русский -
Возмём константу с (а)натуральную, (б)целую
Обозначим за
d = |с лишённый квадратов| (например d(-18) = 2)
Докажите что кол-во возможных целых значений выражения (a²+b²)/(ab+c) не имеющих вид d*n² - конечное количество
(г) Докажите что если с≤0 то кол-во значений выражения конечно

Вот и подходит к концу второй марафон. Хочу напоследок сказать, что диаграмма Юнга имеет множество применений даже за пределами комбинаторики. Например лексикографический порядок и доказательство неравенство Мюрхеда через «сбрасывания кубиков» в диаграмме на меньшие столбцы. Если вам станет интересно, то я мог бы подробнее объяснить доказательство на видео. Ну а вот и последняя задача, которая также уже появлялась в канале, но очень хочется чтобы вы попробовали построить биекцию при помощи Юнга.

7 день: Докажите, что для любого натурального n количество разбиений n на попарно различные натуральные слагаемые равно количеству разбиений на натуральные нечетные

Задача от Абулиаба:

Доказать, что если а нильпотентен в кольце, то 1-а обратим.

С днем России!

Все же знают что доску n×n можно покрыть минимум n ладьями чтоб все клетки были побиты.
Что с кубиком n×n×n? (Ладьи бьют так же, но только в 3 измерениях)

Данный пост скорее не задача, а обсуждение:
Вам дан код:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {

    int a, b, c, d; cin >> a >> b >> c >> d;
    vector<long long> v(a);

    //cout << "21";
    vector<long long> g(a-d);
    //cout << "21";
    for(int i = c; i < a; i++){
        g[i] = v[i+d];
    }
    //cout << "21";

}

Если ввести данные "8 3 3 3" и поочерёдно убирать // перед cout (скрывая предыдущий конечно же) то в 3 ситуациях результат будет разный:
21
1
Error 134

Если тут есть знатоки компиляции - подскажите, как порядок может менять вывод (как во втором варианте) и как он может влиять на верность программы (как в третьем)

Дан остроугольный треугольник ABC. На стороне AB выбрана точка X. Из X проводят отрезок, параллельный стороне BC, до пересечения с AC (точка Y), и опускают перпендикуляр на сторону BC (основание H).
Всегда ли существует такая точка X на AB, что длины этих двух отрезков равны: XY = XH?

Попробуйте решить эту задачу тремя разными способами.

Задача из последнего видео veritasium , которая мне сильно понравилась:
Представим грубое решето Эратосфен за алгоритм решета, который не проверяет границы удаления. Другими словами если мы удаляли из n=100 все числа =3*х, то в решете мы бы проверяли чтоб числа не удалялись несколько раз, чтоб мы удалили числа до 99, а не например 102, и тд. В грубом решете мы просто уберём 1/3 из оставшихся чисел. Не важно получиться число целым или нет - мы домножим на (1 - 1/3).

а) пусть существует предел для
#(чисел в грубом решете Эратосфена)/#(простых чисел меньше n) = с, то меньше ли он 1?
б) докажите что "с" существует и найдите чему он равен.

P.s пункт а доступен школьникам, когда б скорее для студентов

Небольшое введение к авторской задаче:
Перед вами мой любимый тип пазлов -

Ситуация получена в игре. М1.

Ситуация получена в игре. Кто выигрывает при правильной игре?

Р.s попробуйте разобрать несколько случаев. Почти все из них разные

Докажите. Сигмы маленькие - элементарные симметрические функции.
Сигма энная - сумма произведений всех комбинаций n из i переменных.
Сигма нулевая = 1.
p_m - это сумма х_1^m+... +x_k^m
Задача от Абулиаба

Данная задача была скорее для размышления. Решение скорее всего упрется в топологический анализ. Но вот решить аналогичную задачу для 2 измерений должно быть посильно

Ситуация получена в игре.
За какое минимальное число ходов проигрывают (а)Белые, (б)Чёрные, при неправильной игре?

Напоминание: игрок А проигрывает В при неправильной игре <=> В ходит оптимально для выйгрыша, а А ходит оптимально для проигрыша (как будто помогая В)

Самая удивительная и красивая тч которую я видел за всё время!

Найдите все n так что
φ(n)σ(n) | n²
Где σ(n) = сумма делителей n

На доске n*m расставлено nm - n - m + 2 камней
Каждый раз когда где то на доске есть квадрат 2*2 в котором всего 1 камень, то этот камень убирают с доски

Докажите что не все камни уберут с доски

Задача от @ezrasun :

Докажите неравенство:
a, b>= 1

(b-1)ln(a+√(a²-1)) + (a-1)ln(b+√(b²-1)) >= 4ln(a)ln(b)

Авторская

Найдите все натуральные n для которых известно что
Если (-n/p) = 1 => p == 2ᵏ (mod n)
(Где 2ᵏ < n)

Напоминание: (х/р) = символ Лежандра х по р

Вы не поверите, но снова авторская:

Найдите количество вычетов которое принимает выражение (a²+1)/(1-a) где a - вычет по модулю р не равный 1
(Ответ зависит от р)