Дан остроугольный треугольник ABC. На стороне AB выбрана точка X. Из X проводят отрезок, параллельный стороне BC, до пересечения с AC (точка Y), и опускают перпендикуляр на сторону BC (основание H).
Всегда ли существует такая точка X на AB, что длины этих двух отрезков равны: XY = XH?

Попробуйте решить эту задачу тремя разными способами.

Задача из последнего видео veritasium , которая мне сильно понравилась:
Представим грубое решето Эратосфен за алгоритм решета, который не проверяет границы удаления. Другими словами если мы удаляли из n=100 все числа =3*х, то в решете мы бы проверяли чтоб числа не удалялись несколько раз, чтоб мы удалили числа до 99, а не например 102, и тд. В грубом решете мы просто уберём 1/3 из оставшихся чисел. Не важно получиться число целым или нет - мы домножим на (1 - 1/3).

а) пусть существует предел для
#(чисел в грубом решете Эратосфена)/#(простых чисел меньше n) = с, то меньше ли он 1?
б) докажите что "с" существует и найдите чему он равен.

P.s пункт а доступен школьникам, когда б скорее для студентов

Небольшое введение к авторской задаче:
Перед вами мой любимый тип пазлов -

Ситуация получена в игре. М1.

Ситуация получена в игре. Кто выигрывает при правильной игре?

Р.s попробуйте разобрать несколько случаев. Почти все из них разные

Докажите. Сигмы маленькие - элементарные симметрические функции.
Сигма энная - сумма произведений всех комбинаций n из i переменных.
Сигма нулевая = 1.
p_m - это сумма х_1^m+... +x_k^m
Задача от Абулиаба

Данная задача была скорее для размышления. Решение скорее всего упрется в топологический анализ. Но вот решить аналогичную задачу для 2 измерений должно быть посильно

Ситуация получена в игре.
За какое минимальное число ходов проигрывают (а)Белые, (б)Чёрные, при неправильной игре?

Напоминание: игрок А проигрывает В при неправильной игре <=> В ходит оптимально для выйгрыша, а А ходит оптимально для проигрыша (как будто помогая В)

Самая удивительная и красивая тч которую я видел за всё время!

Найдите все n так что
φ(n)σ(n) | n²
Где σ(n) = сумма делителей n

На доске n*m расставлено nm - n - m + 2 камней
Каждый раз когда где то на доске есть квадрат 2*2 в котором всего 1 камень, то этот камень убирают с доски

Докажите что не все камни уберут с доски

Задача от @ezrasun :

Докажите неравенство:
a, b>= 1

(b-1)ln(a+√(a²-1)) + (a-1)ln(b+√(b²-1)) >= 4ln(a)ln(b)

Авторская

Найдите все натуральные n для которых известно что
Если (-n/p) = 1 => p == 2ᵏ (mod n)
(Где 2ᵏ < n)

Напоминание: (х/р) = символ Лежандра х по р

Вы не поверите, но снова авторская:

Найдите количество вычетов которое принимает выражение (a²+1)/(1-a) где a - вычет по модулю р не равный 1
(Ответ зависит от р)

Артур подсказал мне такое обобщение:
Пусть p - простое число. Найдите все простые q для которых из существования натурального a, что p|a²+a+(q+1)/4 следует существание натурального b, для которого b² == р (mod q)

Задачу раньше часто давали на собеседовании в google.

Есть 25 лошадей. У каждой лошади скорость постоянна, и никакие не одинаково быстрые. За раз можно сортировать по скорости до 5 лошадей за раз. Сколько минимум измерений потребуется, чтобы определить 3 самые быстрые?

предыдущая задача неожиданно ввела в ступр некоторых подписчиков. В качестве компенсации за моральный ущерб, вызванный данной тюремной загадкой, я откопал задачу, которая стоит внимания:

В окружность единичного радиуса вписан правильный 2023-угольник, в вершинах которого расставлены попарно различные положительные числа. Разрешается поменять два числа a и b местами, если длина отрезка между вершинами, в которых стоят эти числа, не превосходит 1, и произведение двух наиболее удаленных от a чисел равно произведению двух наиболее удаленных от b чисел. Могла ли через несколько операций получиться расстановка, получающаяся из исходной перестановкой чисел в двух соседних вершинах?

Моя первая в жизни авторская геома:

Дан равносторонний треугольник АВС.
Проведём любую прямую m через С. На прямой m отметим последовательность точек X_n которые стремятся к С. Обозначим I_n,O_n = центры двух окружностей ABX_n. Куда стремиться биссектриса между I_n O_n и m?

Сумма p_k = 1

Авторская Комбигео

Обозначим "расстояние" в R² за (∆х^α + ∆y^α)^(1/α) где α≥1, и ∆х,∆у - разница координат точек по осям х,у.
Например для α = 2 мы получаем евклидовое расстояние, а при α = 1 получим манхэттенское.
Назовём "минимальной площадью" для А и В - множество точек, для каждого Х из которого существует гладкий маршрут из А в В, проходящий через Х и при этом имеющий минимальную длинну по отношению к любым другим гладким маршрутам. Опишите минимальную площадь для каждого α≥1 и двух точек А,Б

С днём СиксСевен!!! Давайте поздравим это воистину уникальное число. Чем же оно уникально?

1. Суперпростое число - простое число, порядковый номер которого - простое число. 67 - 19ое простое число!

2. Счастливое число - натуральное число из множества, генерируемого таким алгоритмом:
Процесс начинается с полного списка натуральных чисел. Из списка исключается каждое второе число кроме второго, далее из оставшегося списка исключается каждое третье кроме третьего и т. д.. 67 - счастливое число!!

3. Доброе число (или одиозное) - это число с нечетным количеством единиц в двоичной записи. 67 - доброе число!!!

Из менее интересного:
Сумма цифр - простое число
Иррегулярное
Простое число Ченя
Простое число Пиллаи
-67 - Число Хингера

Еще раз всех с праздником!