Продолжение данной задачи:
Пусть точки АВС лежат на параболе, и оказалось что их Н - так же фокус параболы.
Докажите что радиус вписанной окружности не зависит от АВС

0≤х<1. Найдите значение ряда

Испытание:
докажите lim(x->0) sinx/x = 1 используя правило лопиталя.
P.s прошу обратить внимание что это испытание а значит тут скорее всего есть подвох

Найдите все функции f:R->R
f(x²-y²) = f(x)f(2y)
а) для всех х,у
б)(x,y ≠ 0)

Все, школа закончилась 🥲

а) любой ли угол вида πq где q - рациональное число можно построить циркулем и линейкой?
б)Любой ли правильный n угольник можно построить циркулем и линейкой?

Сегодня стартует сюжетный… стоп, не сюжетный, просто марафон. На этот раз тема - биекция, а именно диаграмма Юнга.
Решать задачи рекомендуется именно ей. Как и в прошлый раз на протяжении недели каждый день будет выходить по задаче. Сложность будет увеличиваться. Приятного решения!

Теперь по поводу задачи:

1 день: Разбиения берутся без учета порядка слагаемых.

(а) докажите, что число разбиений числа N+M на M слагаемых равно числу разбиений числа N на не более, чем M слагаемых.

(б) докажите, что число разбиений числа N на не более, чем k слагаемых совпадает с числом разбиений числа N + (k(k+1)) / 2 на ровно k попарно-различных слагаемых.

Всем удачи на ЕГЭ по русскому языку!

Продолжаем марафон, пока что все легко, назовем это ознакомлением и подготовкой к чему то действительно интересному.
2 день: 
а) Докажите, что число способов разбить число n на не более чем m слагаемых, не превосходящих k, равно числу способов разбить число n на не более чем k слагаемых, не превосходящих m.
(b) Сколько существует таких диаграмм?

Стандартная, но крутая задача:
Пусть в графе e рёбер и v вершин
Докажите что количество треугольников как минимум выражение сверху

Без лишних слов переходим к третьей задаче.
3 день: Крюком в диаграмме Юнга называется множество, состоящее из любой клетки и всех клеток, расположенных либо над ней, либо справа от неё. В диаграмме из n клеток количество кроков размера (количества клеток) а равно b.
(а) Докажите, что аb ≤ 2n.
(b) Докажите, что (а + b)b ≤ 2n. Достигается ли равенство?

Неравенство от @ezrasun:

3 день по итогу не был решен вовремя. Следующая задача вероятно будет проще, так что у вас все еще есть возможность решить предыдущую. Если же 3 задача по итогу не будет решена, то возможно я разберу ее и другие нерешенные задачи марафона на видео, после окончания.
4 день: верно ли, что, если при шахматной раскраске диаграммы Юнга одинаковое количество черных и белых клеток, то она разрезается на доминошки?

Сегодняшняя задача уже появлялась в канале, и ее никто на удивление не решил. Чтож, даю вам еще шанс:
5 день: Дано натуральное число n и его делитель d. Рассмотрим всевозможные наборы из n целых неотрицательных чисел, не больших n, сумма которых кратна d. Докажите, что ровно в половине таких наборов наибольшее число равно n.

Всем удачи на ЕГЭ по математике!

Похоже марафона на сегодня не будет, по этому держите функционалку:

Найдите все функции из С->С так что для любых u,z - комплексных чисел верно что:
f(u + (i +√3)z) + f(u + (i −√3)z) =
= 2f(u) + 2 Re(z).

Я вспомнил про марафон!!
У всех прошу прощения, замотался с ЕГЭ. Вот обещанная задачка, в этот раз фото для удобства
6 день:

Перевод с математического на русский -
Возмём константу с (а)натуральную, (б)целую
Обозначим за
d = |с лишённый квадратов| (например d(-18) = 2)
Докажите что кол-во возможных целых значений выражения (a²+b²)/(ab+c) не имеющих вид d*n² - конечное количество
(г) Докажите что если с≤0 то кол-во значений выражения конечно

Вот и подходит к концу второй марафон. Хочу напоследок сказать, что диаграмма Юнга имеет множество применений даже за пределами комбинаторики. Например лексикографический порядок и доказательство неравенство Мюрхеда через «сбрасывания кубиков» в диаграмме на меньшие столбцы. Если вам станет интересно, то я мог бы подробнее объяснить доказательство на видео. Ну а вот и последняя задача, которая также уже появлялась в канале, но очень хочется чтобы вы попробовали построить биекцию при помощи Юнга.

7 день: Докажите, что для любого натурального n количество разбиений n на попарно различные натуральные слагаемые равно количеству разбиений на натуральные нечетные

Задача от Абулиаба:

Доказать, что если а нильпотентен в кольце, то 1-а обратим.

С днем России!

Все же знают что доску n×n можно покрыть минимум n ладьями чтоб все клетки были побиты.
Что с кубиком n×n×n? (Ладьи бьют так же, но только в 3 измерениях)