Мне очень понравилась задача:
Пусть х²+ху+у² делиться на простое р вида 3k+2
Докажите что и х, и у делятся на р

С днем Великой Победы!

Пусть АВСD вписан в окружность с центром О. Обозначим за Х = пересечение АС и ВD
Обозначим центры описанных окружностей ХСD и ХАВ за N и М соответственно. Докажите что МОNХ - паралелограмм

Не сложная геома (попробуйте сначала нарисовать от руки, и только потом в гебре):

пусть АВС вписан в окружность ω. Проведена касательная к точке А = l. Обозначим пересечечение l и ВС с серпером АС для Р и D соответственно, а так же пересечение l и BC с серперов ВА за Q и E соответственно
Проведём высоты из точки А на DQ,EP и обозначим их за Х,У.
Докажите что ВС||ХУ

Тч/алгебра:
Назовём полином "Неравномерным" если
Существует коэффициент по модулю превышающий минимум в 100 раз сумму модулей оставшихся коэффициентов
Докажите что если у полинома Р с
а) действительными коэфф, корни которого дейстительные.
б) комплексными коэфф.
Корнями не являются корни из ±1 (над полем подпункта)
То всегда существует Q (над полем подпункта) такой что РQ неравномерный

Назовём число замечательным если оно представимо в виде
a^φ(b) + b^φ(a). Докажите что существует бесконечное число не замечательных чисел

Авторская:
Приведите пример функции, или докажите что такой нет, для которой верно что:
Она ограничена, её точки непрерывности всюду плотны на R, и она НЕ интегрируема по Риману

Пусть Н в треугольнике оказалась на вписанной окружности. Докажите касание:

Продолжение данной задачи:
Пусть точки АВС лежат на параболе, и оказалось что их Н - так же фокус параболы.
Докажите что радиус вписанной окружности не зависит от АВС

0≤х<1. Найдите значение ряда

Испытание:
докажите lim(x->0) sinx/x = 1 используя правило лопиталя.
P.s прошу обратить внимание что это испытание а значит тут скорее всего есть подвох

Найдите все функции f:R->R
f(x²-y²) = f(x)f(2y)
а) для всех х,у
б)(x,y ≠ 0)

Все, школа закончилась 🥲

а) любой ли угол вида πq где q - рациональное число можно построить циркулем и линейкой?
б)Любой ли правильный n угольник можно построить циркулем и линейкой?

Сегодня стартует сюжетный… стоп, не сюжетный, просто марафон. На этот раз тема - биекция, а именно диаграмма Юнга.
Решать задачи рекомендуется именно ей. Как и в прошлый раз на протяжении недели каждый день будет выходить по задаче. Сложность будет увеличиваться. Приятного решения!

Теперь по поводу задачи:

1 день: Разбиения берутся без учета порядка слагаемых.

(а) докажите, что число разбиений числа N+M на M слагаемых равно числу разбиений числа N на не более, чем M слагаемых.

(б) докажите, что число разбиений числа N на не более, чем k слагаемых совпадает с числом разбиений числа N + (k(k+1)) / 2 на ровно k попарно-различных слагаемых.

Всем удачи на ЕГЭ по русскому языку!

Продолжаем марафон, пока что все легко, назовем это ознакомлением и подготовкой к чему то действительно интересному.
2 день: 
а) Докажите, что число способов разбить число n на не более чем m слагаемых, не превосходящих k, равно числу способов разбить число n на не более чем k слагаемых, не превосходящих m.
(b) Сколько существует таких диаграмм?

Стандартная, но крутая задача:
Пусть в графе e рёбер и v вершин
Докажите что количество треугольников как минимум выражение сверху

Без лишних слов переходим к третьей задаче.
3 день: Крюком в диаграмме Юнга называется множество, состоящее из любой клетки и всех клеток, расположенных либо над ней, либо справа от неё. В диаграмме из n клеток количество кроков размера (количества клеток) а равно b.
(а) Докажите, что аb ≤ 2n.
(b) Докажите, что (а + b)b ≤ 2n. Достигается ли равенство?

Неравенство от @ezrasun:

3 день по итогу не был решен вовремя. Следующая задача вероятно будет проще, так что у вас все еще есть возможность решить предыдущую. Если же 3 задача по итогу не будет решена, то возможно я разберу ее и другие нерешенные задачи марафона на видео, после окончания.
4 день: верно ли, что, если при шахматной раскраске диаграммы Юнга одинаковое количество черных и белых клеток, то она разрезается на доминошки?