a, b, c > 0
a+b+c = 3
Докажите неравенство:

a²/(a+(bc)^(1/3)) + b²/(b+(ca)^(1/3)) + c²/(c+(ab)^(1/3)) >= 3/2

Авторская
Пусть F(g) будет первообразной g если таковая существует
Р(х) = полином n-нной степени ≥ 2
Определеним ряд следующим образом:
g₀ = P(x)e^x
gₙ = F(g₍ₙ₋₁₎)

Найдите пример рациональных чисел a₀ , а₁ , а₂ , ... аₙ , aₙ₊₁ среди которых есть хоть один ненулевой и выполняеться:
Сумма по k от 0 до n+1 от выражения (а_k)*(g_k/e^x)(x) = константе для любого х.

Авторская:
Приведите пример бинарного поиска на рациональных числах:
Представьте что вам загадали число a/b так что gcd(a,b) = 1, либо загаданное число = 0.
Каждым ходом вы можете выбрать число х, и человек скажет вам:
Загаданное число больше/меньше/равно х. Ваша цель угадать число
а) докажите что существует алгоритм работающий за конечное время для любого загаданного числа
б) найдите алгоритм работающий за
log( [a/b] ) + log(b)

Найдите все действительные числа для которых значение данной "башни" - действительно
Напоминание х^у^z = x^(y^z)

Найдите количество пар целых чисел (а,б), таких что:

Пусть даны n≥3 чисел х_k таких что их сумма равна n. Докажите:

Дано натуральное число n>1 . Докажите, что любой нечётный делитель d числа 5n²+1 имеет в своей десятичной записи на месте разряда десятков четную цифру.

Мне очень понравилась задача:
Пусть х²+ху+у² делиться на простое р вида 3k+2
Докажите что и х, и у делятся на р

С днем Великой Победы!

Пусть АВСD вписан в окружность с центром О. Обозначим за Х = пересечение АС и ВD
Обозначим центры описанных окружностей ХСD и ХАВ за N и М соответственно. Докажите что МОNХ - паралелограмм

Не сложная геома (попробуйте сначала нарисовать от руки, и только потом в гебре):

пусть АВС вписан в окружность ω. Проведена касательная к точке А = l. Обозначим пересечечение l и ВС с серпером АС для Р и D соответственно, а так же пересечение l и BC с серперов ВА за Q и E соответственно
Проведём высоты из точки А на DQ,EP и обозначим их за Х,У.
Докажите что ВС||ХУ

Тч/алгебра:
Назовём полином "Неравномерным" если
Существует коэффициент по модулю превышающий минимум в 100 раз сумму модулей оставшихся коэффициентов
Докажите что если у полинома Р с
а) действительными коэфф, корни которого дейстительные.
б) комплексными коэфф.
Корнями не являются корни из ±1 (над полем подпункта)
То всегда существует Q (над полем подпункта) такой что РQ неравномерный

Назовём число замечательным если оно представимо в виде
a^φ(b) + b^φ(a). Докажите что существует бесконечное число не замечательных чисел

Авторская:
Приведите пример функции, или докажите что такой нет, для которой верно что:
Она ограничена, её точки непрерывности всюду плотны на R, и она НЕ интегрируема по Риману

Пусть Н в треугольнике оказалась на вписанной окружности. Докажите касание:

Продолжение данной задачи:
Пусть точки АВС лежат на параболе, и оказалось что их Н - так же фокус параболы.
Докажите что радиус вписанной окружности не зависит от АВС

0≤х<1. Найдите значение ряда

Испытание:
докажите lim(x->0) sinx/x = 1 используя правило лопиталя.
P.s прошу обратить внимание что это испытание а значит тут скорее всего есть подвох

Найдите все функции f:R->R
f(x²-y²) = f(x)f(2y)
а) для всех х,у
б)(x,y ≠ 0)

Все, школа закончилась 🥲

а) любой ли угол вида πq где q - рациональное число можно построить циркулем и линейкой?
б)Любой ли правильный n угольник можно построить циркулем и линейкой?