Докажите, что если a - отличное от нуля алгебраическое число, то число e^a - трансцендентно.

Для каждого натурального n определим последовательность a(n) = (1+n+... +n^n/n!) * e^(-n) . Сходится ли данная последовательность?

Андрей выписал на доске n чисел, меньших, чем n-ое по счёту простое число. Докажите, что какое-то из выписанных чисел является делителем произведения остальных n чисел.

Существуют ли такие три натуральных числа, сумма квадратов которых равна их удвоенному произведению?

На n карточках написаны натуральные числа от 1 до n, каждое по одному разу. Оказалось, что для любого остатка r при делении на 100 можно выбрать несколько карточек (возможно, одну), так что произведение чисел на них даёт остаток r при делении на 100. Докажите, что n ⩾ 17.

Конструктив:

Можно ли построить такую замкнутую ломаную, что каждое звено пересекает какое-либо другое звено в середине:
а) В пространстве
б) На плоскости

Автор - @sporegalacticadventures

Дан ряд из 3000 кнопок, каждая из которых одного из 2025 попарно различных цветов, пронумерованных натуральными числами от 1 до 2025. При нажатии на кнопку цвета i<2025 та меняет цвет на i+1, а если i=2025, то на цвет 1. Действие заключается в том, чтобы одновременно нажать k (натуральное число) различных кнопок. Сколько существует таких k, что из любой последовательности цветов кнопок можно получить любую другую с тем же числом кнопок за конечное число действий?

Задача из сессии 8-го физмат класса школы "Силаэдр" :

Дано натуральное число A. Известно, что сумма цифр числа A равна S , а сумма цифр числа 5A равна T. Найдите количество нечётных цифр в числе A.

Сравните два числа:

Углы треугольника ABC удовлетворяют следующему соотношению:
sin²(A) + sin²(B) + sin²(C) = 1

Докажите, что описанная окружность и окружность девяти точек треугольника ABC перпендикулярны.

Решите систему уравнений:

Теория чисел: